দুটি ভেরিয়েবলের যোগফল কীভাবে পৃথক ভেরিয়েবলের চেয়ে বেশি বৈকল্পিক ব্যাখ্যা করতে পারে?

Question

যখন দুটি ভবিষ্যদ্বাণী নেতিবাচকভাবে পরস্পর সম্পর্কযুক্ত হয় তখন আমি তৃতীয় ভেরিয়েবলের সাথে যোগফলের পারস্পরিক সম্পর্কের জন্য কিছু বিভ্রান্তিকর ফলাফল পাচ্ছি getting কী কারণে এই বিভ্রান্তিকর ফলাফল ঘটছে?

উদাহরণ 1: দুটি ভেরিয়েবল এবং তৃতীয় ভেরিয়েবলের যোগফলের মধ্যে সম্পর্ক

নীচে দেখানো গিল্ডফোর্ডের 1965 পাঠের 427 পৃষ্ঠায় সূত্র 16.23 বিবেচনা করুন।

বিভ্রান্তিকর সন্ধান: উভয় ভেরিয়েবল যদি তৃতীয় ভেরিয়েবলের সাথে .2 এর সাথে সম্পর্কযুক্ত এবং -7 একে অপরের সাথে সম্পর্কিত, সূত্রটি .52 এর মান হিসাবে ফলাফল করে। তৃতীয় ভেরিয়েবলের সাথে মোটের পারস্পরিক সম্পর্ক কীভাবে হয় .52 হতে পারে যদি দুটি ভেরিয়েবল প্রতিটি তৃতীয় ভেরিয়েবলের সাথে কেবল 2। সম্পর্কিত করে?

উদাহরণ 2: দুটি ভেরিয়েবল এবং তৃতীয় ভেরিয়েবলের মধ্যে একাধিক সম্পর্ক কী?

গিল্ডফোর্ডের 1965 পাঠের (নীচে দেখানো) 404 পৃষ্ঠার সূত্র 16.1 বিবেচনা করুন।

বিস্মিত সন্ধান: একই অবস্থা। যদি উভয় ভেরিয়েবল তৃতীয় ভেরিয়েবলের সাথে .2 এর সাথে সম্পর্কিত হয় এবং একে অপরের সাথে -7-সম্পর্কিত হয় তবে সূত্রটি .52 এর মান হিসাবে ফলাফল দেয়। তৃতীয় ভেরিয়েবলের সাথে মোটের পারস্পরিক সম্পর্ক কীভাবে হয় .52 হতে পারে যদি দুটি ভেরিয়েবল প্রতিটি তৃতীয় ভেরিয়েবলের সাথে কেবল 2। সম্পর্কিত করে?

আমি একটি ছোট্ট মন্টি কার্লো সিমুলেশন চেষ্টা করেছিলাম এবং এটি গিলফোর্ড সূত্রগুলির ফলাফল নিশ্চিত করে।

তবে যদি দুজন ভবিষ্যদ্বাণীকারী প্রতিটি তৃতীয় পরিবর্তকের 4% পরিবর্তনের পূর্বাভাস দেয় তবে তাদের মধ্যে একটি যোগফল কীভাবে বৈকল্পিকের 1/4 অংশ পূর্বাভাস দিতে পারে?

উত্স: মনোবিজ্ঞান এবং শিক্ষায় মৌলিক পরিসংখ্যান, চতুর্থ সংস্করণ, 1965।

শোধন

যে পরিস্থিতিটির সাথে আমি মুখোমুখি হচ্ছি তার মধ্যে এখন তাদের দক্ষতাগুলি পরিমাপের উপর ভিত্তি করে ব্যক্তিদের ভবিষ্যতের পারফরম্যান্স সম্পর্কে ভবিষ্যদ্বাণী করা জড়িত।

নীচের দুটি ভেন চিত্রটি আমার পরিস্থিতি সম্পর্কে আমার বোঝার চিত্র প্রদর্শন করে এবং আমার ধাঁধাটি স্পষ্ট করার জন্য।

এই ভেন ডায়াগ্রাম (চিত্র 1) x1 এবং সি এর মধ্যে শূন্য অর্ডার r = .2 প্রতিফলিত করে আমার ক্ষেত্রে এমন অনেক পূর্বাভাসকারী ভেরিয়েবল রয়েছে যা শালীনভাবে একটি মানদণ্ডের পূর্বাভাস দেয়।

এই ভেন ডায়াগ্রাম (চিত্র 2) এ জাতীয় দুটি পূর্বাভাসকে প্রতিফলিত করে, x1 এবং x2, প্রতিটি পূর্বাভাস সি = আর 2 এবং দুটি ভবিষ্যদ্বাণীকে নেতিবাচকভাবে সম্পর্কযুক্ত, r = -। 7।

আমি দু'টি r = .2 ভবিষ্যদ্বাণীকের মধ্যকার একটি সম্পর্ক কল্পনা করার ক্ষতির মুখোমুখি যা তাদের একসাথে সি এর বৈচিত্রের 25% পূর্বাভাস দেবে

আমি এক্স 1, এক্স 2 এবং সি এর মধ্যে সম্পর্ক বোঝার জন্য সাহায্য চাই

যদি (আমার প্রশ্নের উত্তরে কারও পরামর্শ অনুসারে) x2 এক্স 1 এর জন্য দমনকারী পরিবর্তনশীল হিসাবে কাজ করে, দ্বিতীয় ভেন চিত্রের কোন অঞ্চলটি দমন করা হচ্ছে?

যদি একটি দৃ concrete় উদাহরণ সহায়ক হয়, আমরা x1 এবং x2 কে দুটি মানব ক্ষমতা এবং সি হিসাবে 4 বছরের কলেজ জিপিএ হিসাবে বিবেচনা করতে পারি, 4 বছর পরে।

আমার দমনশীল ভেরিয়েবলটি কীভাবে দুটি r = .2 জিরো অর্ডার r এর বিভক্তির সি এর 25% প্রসারিত এবং ব্যাখ্যা করার জন্য 8% ব্যাখ্যা করা বৈকল্পিক হতে পারে তা কল্পনা করতে আমার সমস্যা হচ্ছে একটি কংক্রিট উদাহরণ খুব সহায়ক উত্তর হতে পারে।

Comments

পরিসংখ্যানগুলিতে থাম্বের একটি পুরানো নিয়ম রয়েছে যে স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলগুলির একটি সংখ্যার যোগফলের ভেরিয়েন্সগুলি তাদের রূপগুলির যোগফলের সমান।

— মাইক হান্টার

@DJohnson। আপনার মন্তব্য জিজ্ঞাসিত প্রশ্নের সাথে কীভাবে সম্পর্কিত?

— জোয়েল ডব্লিউ।

দুঃখিত, আমি প্রশ্নটি বুঝতে পারি না। আমার কাছে এটি কীভাবে সম্পর্কিত তা স্পষ্ট। তদুপরি, এটি এমন একটি মন্তব্য যা অনুগ্রহের জন্য উপযুক্ত নয় বা গভীরতর বর্ধনের প্রয়োজন নেই।

— মাইক হান্টার

@DJohnson। আপনার মন্তব্য জিজ্ঞাসিত প্রশ্নের সাথে কীভাবে সম্পর্কিত? আমার কাছে এটি কীভাবে সম্পর্কিত তা স্পষ্ট নয়।

— জোয়েল ডব্লিউ।

এন ভিউ এর অর্থ সম্পর্কে আপনার প্রশ্ন মেটা সিভি সাইটে আরও ভাল সাড়া পেতে পারে।

— mdewey 20'17

Answer 1

এটি ঘটতে পারে যখন উভয় ভবিষ্যদ্বাণীকারী উভয়ই একটি বড় উপদ্রব ফ্যাক্টর ধারণ করে তবে বিপরীত চিহ্ন সহ, সুতরাং আপনি যখন তাদের যোগ করেন তখন উপদ্রব বাতিল হয়ে যায় এবং তৃতীয় ভেরিয়েবলের খুব কাছাকাছি কিছু পেয়ে যায়।

$X, Y \sim N(0,1)$

$A = X$

$B = -X + 0.00001Y$

$Y$$A, B$$X$$A+B$$Y$

* বি এর স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি 1 এর চেয়ে কিছুটা বেশি হওয়ার জন্য একটি কিশোরী ক্ষুদ্র সংশোধন রয়েছে।

Comments

এই জাতীয় পরিস্থিতি কি কখনও সামাজিক বিজ্ঞানে উত্থিত হয়?

— জোয়েল ডাব্লু।

সামাজিক বিজ্ঞানের জার্গনে, এটি মূলত একটি শক্তিশালী প্রভাব যা কোনও নির্দিষ্ট উপায়ে একটি দুর্বল প্রভাবকে বিভ্রান্ত করে। আমি কোন সামাজিক বিজ্ঞানের বিশেষজ্ঞ নই, তবে এর উদাহরণ পাওয়া খুব কঠিন বলে আমি কল্পনাও করতে পারি না।

— পল

শারীরিক বিজ্ঞান বাদে অন্য কোনও উদাহরণ থাকতে পারে?

— জোয়েল ডাব্লু।

আপনি যে সম্পর্কটি বর্ণনা করেছেন তা কি ভেন চিত্রের মধ্যে দেখানো যেতে পারে?

— জোয়েল ডাব্লু।

আমি এখানে ব্যক্তিগতভাবে কোনও ভেন চিত্রটি খুঁজে পেতে পারি না তবে যদি আপনার অবশ্যই হয় তবে আমি বিটিকে আয়তক্ষেত্র হিসাবে আঁকব, তারপরে এটি দুটি উপ-আয়তক্ষেত্রগুলিতে বিভক্ত করব, একটি বড় চর্বি একটি এ এবং একটি ক্ষুদ্র চর্মসার এক ওয়াই। সামিং এ এবং বি হবে is বড় অংশ এ বাতিল করে এবং ক্ষুদ্র অংশটি ওয়াই ছেড়ে চলেছে

— পল

Answer 2

অন্যান্য অসামঞ্জস্যিত ভেরিয়েবলের রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে এটি তিনটি ভেরিয়েবলের ধারণায় সহায়ক হতে পারে। আমাদের অন্তর্দৃষ্টি উন্নত করতে আমরা তাদের জ্যামিতিকভাবে চিত্রিত করতে পারি, বীজগণিতের সাথে তাদের সাথে কাজ করব এবং আমাদের খুশি হিসাবে পরিসংখ্যানগত বিবরণ সরবরাহ করব।

$X$$Y$$Z$

$$U = X,\quad V = (- 7 X + \sqrt{51}Y )/10;\quad W=(\sqrt{3} X + \sqrt{17} Y + \sqrt{55}Z)/\sqrt{75}.$$

জ্যামিতিক ব্যাখ্যা

এই ভেরিয়েবলগুলির মধ্যে সম্পর্কগুলি বোঝার জন্য নীচের গ্রাফিকটি আপনার প্রয়োজনীয় সমস্ত কিছু সম্পর্কে is

$U$$V$$W$$U+V$$X,Y,Z$$U$$V$$U$$V$$W$$U$$V$$W$, একটি তীব্র কোণ তৈরি (প্রায় 45 ডিগ্রি): অপ্রত্যাশিতভাবে উচ্চ ধনাত্মক সম্পর্ক রয়েছে।

---

বীজগণিত গণনা

যারা আরও কঠোরতা চান তাদের জন্য গ্রাফিকের জ্যামিতির ব্যাক আপ দেওয়ার জন্য বীজগণিত এখানে।

$U$$V$$W$

$$\operatorname{Cor}(U, V) = \operatorname{Cov}(U,V) = \mathbb{E}(UV) = \mathbb{E}(\sqrt{51}XY- 7 X^2)/10 = -7/10 = -0.7$$

$X$$Y$

$$\operatorname{Cor}(U,W) = \sqrt{3/75} = 1/5 = 0.2$$

এবং

$$\operatorname{Cor}(V,W) = (-7\sqrt{3} + \sqrt{15}\sqrt{17})/(10\sqrt{75}) = 1/5 = 0.2.$$

অবশেষে,

$$\operatorname{Cor}(U+V,W) = \frac{\operatorname{Cov}(U+V,W)}{\sqrt{\operatorname{Var}(U+V)\operatorname{Var}(W)}} = \frac{1/5 + 1/5}{\sqrt{\operatorname{Var}(U) + \operatorname{Var}(V) + 2\operatorname{Cov}(U,V)}} = \frac{2/5}{\sqrt{1 + 1 - 2(7/10)}} = \frac{2/5}{\sqrt{3/5}}\approx 0.5164.$$

ফলস্বরূপ এই তিনটি ভেরিয়েবলের কাঙ্ক্ষিত পারস্পরিক সম্পর্ক রয়েছে।

---

পরিসংখ্যানগত ব্যাখ্যা

এখন আমরা দেখতে পাচ্ছি যে সবকিছু কেন এটির মতো কাজ করে:

• $U$$V$$-7/10$$V$$U$$Y$

• $U$$W$$1/5$$W$$U$$Y$$Z$

• $V$$W$$1/5$$W$$\sqrt{75}$

  • $\sqrt{17}Y$$V$
  • $-\sqrt{3}X$$V$
  • $Z$

• $U+V = (3X + \sqrt{51}Y)/10 = \sqrt{3/100}(\sqrt{3}X + \sqrt{17}Y)$$W$$W$$Z$

Comments

ভেন চিত্রের মধ্যে এটি দেখানোর কোনও উপায় আছে কি? গণিত সত্ত্বেও, আমি এখনও দুটি ভেরিয়েবলের যোগফলকে তৃতীয় ভেরিয়েবলের 25 +% ব্যাখ্যা করার সময় দেখতে পাচ্ছি না যখন প্রত্যেকে দুটি ভেরিয়েবলের পূর্বে পূর্বাভাস দেয় তবে তৃতীয় পরিবর্তকের 4% পরিবর্তনের 4% থাকে । মাত্র দুটি ভেরিয়েবল যুক্ত করে কীভাবে 8% বর্ণিত ভেরিয়েন্স 25% ব্যাখ্যা করা বৈকল্পিক হতে পারে?

— জোয়েল ডব্লিউ।

এছাড়াও, এই অদ্ভুত ঘটনাটির ব্যবহারিক প্রয়োগ রয়েছে?

— জোয়েল ডব্লিউ।

যদি কোনও ভেন চিত্রটি ব্যাখ্যা করা বৈকল্পিক উপস্থাপনের পক্ষে অনুপযুক্ত হয় তবে আপনি আমাকে বলতে পারেন কেন এটি অনুপযুক্ত?

— জোয়েল ডব্লিউ।

@JoelW। এখানে চমৎকার উত্তর স্পষ্ট করে যে কেন ভেন চিত্রগুলি এই ঘটনাকে (উত্তরটির শেষের দিকে) ব্যাখ্যা করার কাজটি করে না: stats.stackexchange.com/a/73876/5829

— জ্যাক ওয়েস্টফল

জোয়েল, কোহেনরা ভেনের মতো ডায়াগ্রাম ব্যবহার করেছিল তারা বৈকল্পের বিশ্লেষণের জন্য একটি "ব্যাল্যান্টাইন" বলেছিল। উদাহরণস্বরূপ ww2.amstat.org/publications/jse/v10n1/kennedy.html দেখুন । ব্যবহারিক অ্যাপ্লিকেশন যতদূর যায়, আপনার বিপরীত প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা উচিত: ভেরিয়েন্স এবং বৈকল্পিক ক্ষয়গুলির কোন প্রয়োগগুলি ব্যবহারিক নয় ?

— শুকনো

Answer 3

আর একটি সহজ উদাহরণ:

• $z \sim \mathcal{N}(0,1)$
• $x_1 \sim \mathcal{N}(0,1)$
• আসুন$x_2 = z - x_1$$z = x_1 + x_2$

তারপর:

• $\mathrm{Corr}(z, x_1) = 0$
• $\mathrm{Corr}(z, x_2) \approx .7$
• $\mathrm{Corr}(z, x_1 + x_2) = 1$

জ্যামিতিকভাবে, যা চলছে তা হুবুবারের গ্রাফিকের মতো। ধারণাগতভাবে, এটি দেখতে এর মতো কিছু হতে পারে:

$E[XY]$

$x_1$$z$$\theta$

• $\mathrm{Corr}(z, x_1) = \cos \theta_{zx_1} = 0 \quad \quad \theta_{z,x_1} = \frac{\pi}{2}$
• $\mathrm{Corr}(z, x_2) = \cos \theta_{zx_2} \approx .7 \quad \quad \theta_{z,x_2} = \frac{\pi}{4}$
• $\mathrm{Corr}(z, x_1 + x_2) = \cos \theta_{z,x_1+x_2} = 1 \quad \quad \theta_{z, x_1 + x_2} = 0$

$z$$-x_1$$x_2$$z$$-x_1$$x_1$$x_2$$-x_1$$x_2$

Comments

(+1) চমৎকার উদাহরণ!

— user795305

দয়া করে আপনার উত্তরের স্থানটি ব্যাখ্যা করুন। Z = x1 + x2 পোস্ট করার পরে, কেন “তাহলে করর (z, x1) = 0” বলবেন? আপনি কি বলছেন যে করর (জেড, এক্স 1) = 0 আপনার প্রথম লেট স্টেটমেন্ট থেকে অনুসরণ করে, বা শূন্যের পারস্পরিক সম্পর্ক একটি অতিরিক্ত অনুমান? যদি এটি অতিরিক্ত অনুমান হয়, তবে মূল প্রশ্নের পরিস্থিতি কেন সেই অতিরিক্ত অনুমানের প্রয়োজন?

— জোয়েল ডব্লিউ।

$z$$x_1$$z$$x_1$$z - x_1$$x_2$

@MatthewGunn। আপনার তৃতীয় লেট z = x1 + x2 বলে। এটি আপনার প্রথম দুটি লেটকে লঙ্ঘন করেছে বলে মনে হচ্ছে যে z এবং x1 স্বাধীন।

— জোয়েল ডব্লিউ।

$z = x_1 + x_2$$z$$x_1$

Answer 4

আপনার মন্তব্য সম্বোধন:

গণিত সত্ত্বেও, আমি এখনও দুটি ভেরিয়েবলের যোগফলকে তৃতীয় ভেরিয়েবলের 25 +% ব্যাখ্যা করার সময় দেখতে পাচ্ছি না যখন প্রত্যেকে দুটি ভেরিয়েবলের পূর্বে পূর্বাভাস দেয় তবে তৃতীয় পরিবর্তকের 4% পরিবর্তনের 4% থাকে । কেবলমাত্র দুটি ভেরিয়েবল যুক্ত করে কীভাবে 8% বর্ণিত ভেরিয়েন্স 25% ব্যাখ্যা করা বৈকল্পিক হতে পারে?

এখানে সমস্যাটি পরিভাষা বলে মনে হচ্ছে "রূপান্তরিত ব্যাখ্যা"। পরিসংখ্যানগুলিতে প্রচুর পদগুলির মতো, এটি এটিকে শোনার জন্য এটি চয়ন করা হয়েছে যা এর চেয়ে বেশি বোঝায় এটি এর চেয়ে বেশি বোঝায়।

$Y$

$$y = (6, 7, 4, 8, 9, 6, 6, 3, 5, 10)$$

$U$$Y$$R$$R$$Y$

$$r = (-20, -80, 100, 90, 50, 70, 40, 30, 40, 60)$$

$U = R + 0.1Y$

$$u = (-19.4, -79.3, 100.4, 90.8, 50.9, 70.6, 40.6, 30.3, 40.5, 61.0)$$

$V=-R+0.1Y$

$$v = (20.6, 80.7, -99.6, -89.2, -49.1, -69.4, -39.4, -29.7, -39.5, -59.0)$$

$U$$V$$Y$$r$$0.2Y$$Y$

$Y$$U$$U$$R$$V$$R$$Y$$U+V$

$A$$B$$B$$A$

Comments

@ ননট 101 আপনার ভেরিয়েবলগুলি ফ্লাউন্ডারিয়ার চিত্রিত করার জন্য কিছু পরিসংখ্যান তৈরি করেছে। সেগুলি অন্তর্ভুক্ত করে আপনার কাছে আবেদন করে কিনা তা আপনি দেখতে চাইতে পারেন।

— গুং - মনিকা পুনরায়

অবশ্যই, আপনি চান তা সম্পাদনা করুন। আমি আসলে কাজে ইমগর দেখতে পারি না তবে আমি নিশ্চিত এটি ঠিক হয়ে যাবে!

— ফ্লাউন্ডারার

আমি প্রস্তাবটি প্রত্যাখ্যান করেছি, খ / সি আমি দেখতে পাইনি যে তিনি এখানে আপনার সাথে যোগাযোগ করেছিলেন। আপনি প্রস্তাবিত সম্পাদনা কাতারে গিয়ে অনুমোদন দিতে পারেন, যদিও।

— গং - মনিকা পুনরায়

আপনি যে উদাহরণটি প্রদান করেছেন তা আকর্ষণীয়, যদি যত্ন সহকারে তৈরি করা হয় তবে আমি যে পরিস্থিতি উপস্থাপন করেছি তা আরও সাধারণ (সংখ্যাগুলি সাবধানে চয়ন করা হয়নি) এবং 2 ভেরিয়েবল এন (0,1) এর উপর ভিত্তি করে। এমনকি আমরা যদি "ব্যাখ্যা" থেকে "ভাগ করে" দিয়ে পরিভাষা পরিবর্তন করি তবে প্রশ্ন থেকেই যায়। তৃতীয় ভেরিয়েবলের সাথে 4% ভাগ বৈকল্পিক সহ 2 টি এলোমেলো ভেরিয়েবল কীভাবে একটি সাধারণ অঙ্কের সাথে মিলিত করা যায় যে সূত্র অনুসারে তৃতীয় ভেরিয়েবলের সাথে 25% ভাগ করে নেওয়া যায়? এছাড়াও, যদি লক্ষ্যটি পূর্বাভাস হয় তবে ভাগ করে নেওয়ার ক্ষেত্রে এই অদ্ভুত বৃদ্ধির কোনও বাস্তব-বিশ্বের ব্যবহারিক প্রয়োগ রয়েছে?

— জোয়েল ডাব্লু।

ওয়েল, ইলেক্ট্রনিক্সের যে কোনও জায়গায় আপনার কাছে যখন (জোরে আওয়াজ + দুর্বল সংকেত) + (-শব্দ উচ্চ শব্দ) = দুর্বল সংকেত, আপনি এটি প্রয়োগ করবেন। উদাহরণস্বরূপ, শব্দ-বাতিল হওয়া হেডফোনগুলি।

— ফ্লাউন্ডারিয়ার