সম্ভাবনা যে বুটস্ট্র্যাপ নমুনা হুবহু মূল নমুনার মতো

Question

শুধু কিছু যুক্তি পরীক্ষা করতে চান।

আমার মূল নমুনা আকার হয় তাহলে এবং আমি তা বুটস্ট্র্যাপ, তারপর আমার চিন্তার প্রক্রিয়া নিম্নরূপ:$n$

$\frac{1}{n}$ হ'ল আসল নমুনা থেকে নেওয়া কোনও পর্যবেক্ষণের সুযোগ। পরবর্তী অঙ্কনটি পূর্বের নমুনাযুক্ত পর্যবেক্ষণ নয় তা নিশ্চিত করার জন্য, আমরা নমুনা আকারটিকে তে সীমাবদ্ধ করি । সুতরাং, আমরা এই প্যাটার্নটি পেয়েছি:$n-1$

$$\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n-1} \cdot \frac{1}{n-2} \cdots \frac{1}{n-(n-1)} = \frac{1}{n!}.$$

এটা কি সঠিক? পরিবর্তে কেন এটি হতে পারে না তা নিয়ে আমি হোঁচট খেয়ে যাই instead পরিবর্তে।$(\frac{1}{n})^n$

Comments

আমি নিশ্চিত না যে আমি আপনাকে অনুসরণ করছি। আপনি কেন "পরবর্তী অঙ্কনটি পূর্ববর্তী নমুনা নয়" তা নিশ্চিত করতে চান? বুটস্ট্র্যাপিংয়ে, ধারণাটি প্রতিস্থাপনের সাথে নমুনা দেওয়া। এটি হ'ল, আপনি এটি চান এটি চান যে পরবর্তী অঙ্কনটি আপনি ইতিমধ্যে আঁকার মত একই।

— গুং - মনিকা পুনরায়

তবে বুটস্ট্র্যাপযুক্ত নমুনাটি কি আসল নমুনার মতো নয়?

— জয়ন্ত.এম

আমি তোমাকে অনুসরণ করি না আপনি বুটস্যাম্পলটি আপনার নমুনার সাথে একইরকম হওয়া চাই না, আপনি কেবলমাত্র নমুনাকে জনসংখ্যার মডেল হিসাবে বিবেচনা করতে চান।

— গুং - মনিকা পুনরায়

সুতরাং আমার প্রশ্নটি হ'ল সম্ভাবনা কী যে বুটস্ট্র্যাপ নমুনাটি মূল নমুনার সমান the আমি বুটস্ট্র্যাপটি নমুনার অনুরূপ হতে আগ্রহী

— জয়ন্ত.এম

আমার প্রশ্নটি পরিষ্কার না হলে দুঃখিত!

— জয়ন্ত.এম

Answer 1

নোট করুন যে প্রতিটি পর্যবেক্ষণ পজিশনে ($i=1, 2, ..., n$) আমরা যে কোন একটি চয়ন করতে পারেন $n$ পর্যবেক্ষণ, তাই আছে $n^n$ সম্ভাব্য প্রতিকারগুলি (ক্রম যাতে তারা আঁকছে তা রেখে) $n!$ "একই নমুনা" (যেমন সমস্ত ধারণ করে) $n$কোনও পুনরাবৃত্তি না করে মূল পর্যবেক্ষণ; আমরা যে নমুনাটি দিয়ে শুরু করেছি সেটি অর্ডার করার সমস্ত পদ্ধতির জন্য এটি অ্যাকাউন্ট)।

উদাহরণস্বরূপ, তিনটি পর্যবেক্ষণ, ক, খ এবং সি দিয়ে আপনার কাছে ২ possible টি সম্ভাব্য নমুনা রয়েছে:

aaa aab aac aba abb abc aca acb acc 
baa bab bac bba bbb bbc bca bcb bcc 
caa cab cac cba cbb cbc cca ccb ccc 

এর মধ্যে ছয়টি ক, খ এবং গ এর প্রতিটি একটি করে থাকে।

সুতরাং $n!/n^n$ আসল নমুনা ফিরে পাওয়ার সম্ভাবনা।

পাশে - সম্ভাবনার একটি দ্রুত প্রায়:

বিবেচনা করুন যে :

$${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\ n^{n+{\frac {1}{2}}}e^{-n}\leq n!\leq e\ n^{n+{\frac {1}{2}}}e^{-n}}$$

সুতরাং

$${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\ n^{{\frac {1}{2}}}e^{-n}\leq n!/n^n \leq e\ n^{{\frac {1}{2}}}e^{-n}}$$

নিম্নচাপটি স্ট্রিলিং আনুমানিকতার জন্য দেওয়া স্বাভাবিক হিসাবে দেওয়া হয় (এতে বড়ের জন্য কম আপেক্ষিক ত্রুটি থাকে $n$)।

[গসপার ব্যবহার করার পরামর্শ দিয়েছেন$n! \approx \sqrt{(2n+\frac13)\,\pi}n^ne^{-n}$ যা আনুমানিক ফলন করবে $\sqrt{(2n+\frac13)\pi}\,e^{-n}$ এই সম্ভাবনার জন্য, যা যুক্তিসঙ্গতভাবে ভাল কাজ করে $n=3$, বা এমনকি ডাউন $n=1$ আপনার মানদণ্ডটি কতটা কঠোর তার উপর নির্ভর করে]]

---

(মন্তব্যে প্রতিক্রিয়া :) প্রদত্ত রেজুমলে কোনও নির্দিষ্ট পর্যবেক্ষণ না পাওয়ার সম্ভাবনা হ'ল $(1-\frac{1}{n})^n$ বড় জন্য যা $n$ আনুমানিক হয় $e^{-1}$।

বিশদগুলির জন্য দেখুন
কেন প্রতিটি বুটস্ট্র্যাপ নমুনায় প্রায় দুই তৃতীয়াংশ পর্যবেক্ষণ থাকে?

Comments

ধন্যবাদ! আগ্রহের বিষয় হিসাবে, কোনও নমুনায় একটি নির্দিষ্ট প্রবেশ না করার সুযোগ কী? উদাহরণস্বরূপ বিতরণ$a,b,c$ আপনি দিয়েছেন, একটি সঙ্গে একটি নমুনা না পাওয়ার 8/27 সম্ভাবনা রয়েছে $a$

— জয়ন্ত.এম

এটি ইতিমধ্যে সাইটের অন্যান্য উত্তরে কভার হয়েছে তবে আমি এটি উপরে (সংক্ষেপে) যোগ করেছি।

— গ্লেন_বি

সুতরাং, এটি একটি নমুনা প্রাপ্তির সম্ভাবনা যা মূল নমুনার অনুমান। পরিবর্তে, মূল নমুনায় যেমন সঠিকভাবে একই ক্রম পাওয়ার সম্ভাবনা (সুতরাং, একই ক্রমে একই উপাদান)$(\frac {1}{n})^n$। রাইট?

— ডেল্টাভ

@ দালতাইভ হ্যাঁ, এর মধ্যে একটি মাত্র $n!$ব্যবস্থা মূল ক্রমে হয়।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

গসপারের সান্নিধ্যটি এমনকি কার্যকরভাবে কাজ করে না $n=1$, শুধু নিচে না $n=3$? আমি মনে করি 0.499 (এর জন্য)$n=2$) 0.5 এবং 0.996 (এর জন্য) এর একটি খুব ভাল আনুমানিকতা $n=1$) 1.0 এরও বেশ কাছাকাছি।

— কার্ল ওভে হাফথামার