হারমোনিক গড় স্কোয়ারযুক্ত আপেক্ষিক ত্রুটির পরিমাণকে হ্রাস করে

আমি একটি রেফারেন্স খুঁজছি যেখানে এটি প্রমাণিত যে সুরেলা মানে

{\bar{x}}^{h} = \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_{i}}}

$\bar{x}^h = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}$

স্কোয়ারযুক্ত আপেক্ষিক ত্রুটির সমষ্টি হ্রাস করে ( ) $z$

\sum_{i = 1}^{n} (\frac{(x_{i} - z)^{2}}{x_{i}}) .

$\sum_{i=1}^n \left( \frac{(x_i - z)^2}{x_i}\right).$

— মার্টিন ভ্যান ডার লিন্ডেন
সূত্র

উত্তর:

আপনার রেফারেন্স দরকার কেন? এই সহজ ক্যালকুলাস সমস্যা হল: সমস্যা হিসেবে আপনি এটা জানার জন্য প্রণয়ন করেছেন, আমরা যে সব অনুমান করা আবশ্যক $x_i > 0$ । তারপরে ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করুন পরেসাথে সম্মান করে ডেরিভেটিভ গণনা করুন:

f (z) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{(x_{i} - z)^{2}}{x_{i}}

$f(z) = \sum_{i=1}^n \frac{(x_i - z)^2}{x_i}$

z

$z$

f^{'} (z) = - 2 \cdot \sum_{i = 1}^{n} (1 - \frac{z}{x_{i}})

$f'(z) = -2\cdot \sum_{i=1}^n (1-\frac{z}{x_i})$

f^{'} (z) = 0

$f'(z)=0$

f^{″} (z) = - 2 \cdot \sum_{i = 1}^{n} (0 - \frac{1}{x_{i}}) = 2 \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_{i}} > 0

$f''(z) = -2 \cdot \sum_{i=1}^n (0-\frac1{x_i}) = 2 \sum_{i=1}^n \frac1{x_i} > 0$

x_{i} > 0

$x_i>0$

একটি রেফারেন্স হিসাবে, সম্ভবত https://en.wikedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_mean বা https://en.wikedia.org/wiki/Harmonic_mean বা এর উল্লেখগুলি।

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন
সূত্র

আপনার উত্তরের জন্য ধন্যবাদ. একটি রেফারেন্স আমাকে কিছু জায়গা বাঁচাতে পারে। আমি লেমার স্বতঃস্ফূর্ত প্রমাণ অন্তর্ভুক্ত না করেই লেমমা হিসাবে ফলাফলটিকে অন্য প্রমাণগুলিতে উদ্ধৃত করতে চাই।

— মার্টিন ভ্যান ডের লিন্ডেন

সুস্পষ্ট রেফারেন্স খুঁজে পাওয়া মুশকিল, এটিকে প্রাপ্য বলে বিবেচিত! আপনি কি বলতে পারবেন না যে প্রমাণটি একটি মৌলিক ক্যালকুলাস অনুশীলন?

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন

এটি যতটা বেসিক, আমি সর্বদা একটি রেফারেন্স সরবরাহ করতে পছন্দ করি। তবে আমি বুঝতে পারি যে প্রাথমিক ফলাফলগুলির জন্য একটি রেফারেন্স খুঁজে পাওয়া শক্ত, এবং প্রমাণটি পাঠকের কাছে রেখে দেওয়া স্পষ্টতই একটি বিকল্প।

— মার্টিন ভ্যান ডের লিন্ডেন

অস্থায়ী অফ টপিক পিং: স্পিয়ারম্যান-> স্পিয়ারম্যান- rho প্রতিশব্দটির জন্য এখানে বিবেচনা করুন stats.stackexchange.com/tags/spearman-rho/synonyms । ধন্যবাদ

— অ্যামিবা

আপনি চিহ্নিত করতে পারেন যে এটি ওজন সাথে ওজনযুক্ত সর্বনিম্ন স্কোয়ার রিগ্রেশন । $1/x_i$

একটি প্রমিত স্বরলিপি যা আপনি এটি চাইতে রেফারেন্স সঙ্গে সংযোগ, প্রত্যাবর্তন করতে যে ছোট $\beta$

\sum ω_{i} (y_{i} - β)^{2} .

$\sum \omega_i (y_i - \beta)^2.$

এটি একটি একক ধ্রুবক রেজিস্ট্রার এবং ওয়েট ম্যাট্রিক্স

X = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix})

$X = \pmatrix{1\\1\\\vdots\\1}$

W = (\begin{matrix} ω_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & ω_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & 0 \\ 0 & \dots & 0 & ω_{n} \end{matrix}) .

$W = \pmatrix{\omega_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \omega_2 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \omega_n}.$

আমি " " এর নাম " " ("প্রতিক্রিয়া") রেখেছি এবং অনুমান করা প্যারামিটারটি পরিবর্তে । ওজন । এটি প্রয়োজনীয় যে তারা সবাই ছাড়িয়ে যাবে । সমাধানটি হ'ল $x_i$ $y_i$ $\beta$ $z$ $\omega_i=1/x_i$ $0$

\hat{β} = (X^{'} W X)^{- 1} X^{'} W y = \frac{\sum_{i} x_{i} ω_{i}}{\sum_{i} ω_{i}} = \frac{\sum_{i} x_{i} / x_{i}}{\sum_{i} 1 / x_{i}} = \frac{n}{\sum 1 / x_{i}},

$\hat\beta = (X^\prime W X)^{-1}X^\prime W y = \frac{\sum_i x_i\omega_i }{\sum_i \omega_i} = \frac{\sum_i x_i/x_i }{\sum_i 1/x_i} = \frac{n}{\sum 1/x_i},$

Qed ।

একই বিশ্লেষণটি ওজনগুলির কোনও ইতিবাচক সেটগুলিতে প্রযোজ্য, সুরেলা গড়ের একটি সাধারণীকরণ এবং এটির বৈশিষ্ট্যযুক্ত করার একটি কার্যকর উপায় সরবরাহ করে।
যখন, নিয়ন্ত্রিত পরীক্ষার মতো, স্থির হিসাবে দেখা হয় (এবং এলোমেলো নয়), ওজনযুক্ত ন্যূনতম স্কোয়ারের যন্ত্রপাতি আত্মবিশ্বাসের বিরতি এবং পূর্বাভাস অন্তর ইত্যাদি সরবরাহ করে । অন্য কথায়, সমস্যাটিকে এই সেটিংটিতে ফেলে দেওয়া স্বয়ংক্রিয়ভাবে আপনাকে সুরেলা গড়ের যথার্থতা নির্ধারণের জন্য একটি উপায় দেয় gives $x_i$
ভারী সমস্যার সমাধান হিসাবে সুরেলা গড়ন তার প্রকৃতি এবং বিশেষত, ডেটাগুলির সংবেদনশীলতার জন্য অন্তর্দৃষ্টি সরবরাহ করে। এখন এটি স্পষ্ট হয়ে গেছে যে সর্বাধিক গুরুত্বপূর্ণ অবদানকারীরা হ'ল এর ক্ষুদ্রতম মানগুলি - এবং তাদের গুরুত্ব ম্যাট্রিক্স দ্বারা পরিমিত করা হয়েছে । $x_i$ $W$

উল্লেখ

ডগলাস সি মন্টগোমেরি, এলিজাবেথ এ পেক এবং জি জেফ্রি ভাইনিং, লিনিয়ার রিগ্রেশন অ্যানালাইসিসের ভূমিকা। পঞ্চম সংস্করণ। জে উইলি, ২০১২. বিভাগ ৫.৫.২।

— whuber
সূত্র

হারমোনিক গড় স্কোয়ারযুক্ত আপেক্ষিক ত্রুটির পরিমাণকে হ্রাস করে

মন্তব্য

উল্লেখ