একটি স্বাধীন পইসন প্রক্রিয়া অন্যটিকে ছাড়িয়ে যাওয়ার সম্ভাবনা

অন্যান্য স্ট্যাকেক্সচেঞ্জে অন্য ফ্যাশনে আমি এই প্রশ্নটি আগে জিজ্ঞাসা করেছি, তাই কিছুটা পুনরায় পোস্টের জন্য দুঃখিত sorry

আমি আমার প্রফেসর এবং কয়েকজন পিএইচডি শিক্ষার্থীদের সম্পর্কে সুনির্দিষ্ট উত্তর না দিয়ে জিজ্ঞাসা করেছি। আমি প্রথমে সমস্যাটি, তারপরে আমার সম্ভাব্য সমাধান এবং আমার সমাধান সহ সমস্যাটি উল্লেখ করব, তাই পাঠ্যের প্রাচীরের জন্য দুঃখিত।

সমস্যাটি:

দুটি স্বতন্ত্র পোইসন প্রক্রিয়া ধরুন $M$ এবং $R$ , সঙ্গে $\lambda_R$ এবং $\lambda_M$ একই ব্যবধানের জন্য, সাপেক্ষে $\lambda_R>\lambda_M$ । সময়ের যে কোনও সময়ে সম্ভাব্যতাটি কী সময় হিসাবে অসীমের দিকে ঝুঁকছে, প্রক্রিয়াটির সামগ্রিক আউটপুট $M$ প্রক্রিয়া সামগ্রিক আউটপুট চেয়ে বড় $R$ যোগ $D$ অর্থাৎ $P(M>R+D)$ । একটি উদাহরণ দিয়ে উদাহরণস্বরূপ, দুটি সেতু ধরে নিন $R$ এবং $M$ , গড় $\lambda_R$ এবং $\lambda_M$ গাড়ি সেতু ধরে গাড়ি চালায় $R$ এবং $M$ যথাক্রমে অন্তর অন্তর, এবং $\lambda_R>\lambda_M$ । $D$ গাড়ি ইতিমধ্যে ওভার ব্রিজ চালিত $R$ , সম্ভাবনা কী যে কোনও সময়ে মোট আরও বেশি গাড়ি ওভার ব্রিজ চালিত করে $M$ চেয়ে $R$ ।

আমার এই সমস্যা সমাধানের উপায়:

প্রথমে আমরা দুটি পয়সন প্রক্রিয়া সংজ্ঞায়িত করি:

M (I) \sim Poisson (μ_{M} \cdot I) R (I) \sim Poisson (μ_{R} \cdot I)

$M(I) \sim \operatorname{Poisson}(\mu_M\cdot I ) \\ R(I) \sim \operatorname{Poisson}(\mu_R\cdot I ) \\$

পরবর্তী পদক্ষেপটি বর্ণনা করে এমন একটি ফাংশন সন্ধান করা $P(M>R+D)$ প্রদত্ত সংখ্যার বিরতি পরে $I$ । এটি ক্ষেত্রে ঘটবে $M(I)>k+D$ শর্তসাপেক্ষে আউটপুট $R(I)=k$ এর সমস্ত অ-নেতিবাচক মানগুলির জন্য $k$ । উদাহরণস্বরূপ, যদি এর সামগ্রিক আউটপুট হয় $R$ হয় $X$ তারপরে সামগ্রিক আউটপুট $M$ এর চেয়ে বড় হওয়া দরকার $X+D$ । নিচে দেখানো হয়েছে.

P (M (I)) > R (I) + D) = \sum_{k = 0}^{n} [P (M (I) > k + D \cup R (I) = k)]

$P(M(I))>R(I)+D)=\sum_{k=0}^n \bigg [P(M(I) >k+D\cup R(I)=k) \bigg]$

n \to \infty

$n\rightarrow \infty$

স্বাধীনতার কারণে এটি দুটি উপাদানগুলির পণ্য হিসাবে আবারও লেখা যেতে পারে, যেখানে প্রথম উপাদানটি পয়সন বিতরণের 1-সিডিএফ এবং দ্বিতীয় উপাদানটি পয়সন বেলাব্যাপী:

P (M (I) > R (I) + D) = \sum_{k = 0}^{n} [\underset{1 - Poisson CDF}{\underset{⏟}{P (M (I) > k + D)}} \cdot \underset{Poisson pmf}{\underset{⏟}{P (R (I) = k)}}]

$P(M(I)>R(I)+D)=\sum_{k=0}^n \bigg [\underbrace{P(M(I)> k+D)}_{1-\text{Poisson CDF}}\cdot \underbrace{P(R(I)=k)}_\text{Poisson pmf} \bigg]$

n \to \infty

$n\rightarrow \infty$

একটি উদাহরণ তৈরি করতে, ধরে নিই $D=6$ , $\lambda_R=0.6$ এবং $\lambda_M=0.4$ নীচে function ফাংশনটির গ্রাফটি ওভার করা হবে $I$ :

পরবর্তী পদক্ষেপটি হ'ল যেকোন সময় এই ঘটনার সম্ভাবনা খুঁজে পাওয়া যায় call $Q$ । আমার ধারণা এই যে সম্ভাবনাটি 1 বিয়োগফলের সন্ধানের সমান $M$ কখনও উপরে না $R+D$ । অর্থাৎ যাক $N$ অসীম যোগাযোগ কি $P(R(N)+D \geq M(N))$ পূর্ববর্তী সমস্ত মানগুলির ক্ষেত্রে এটি শর্তাধীনও সত্য $N$ ।

$P(R(I)+D \geq M(I))$ হিসাবে একই $1-P(M(I)>R(I)+D)$ , এটি ফাংশন g (I) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করতে দেয়:

g (I) = 1 - P (M (I) > R (I) + D)

$g(I)=1-P(M(I)>R(I)+D)$

যেমন $N$ অনন্তের দিকে ঝোঁক, এটি ফাংশন ওভার জ্যামিতিক অবিচ্ছেদ্য হিসাবে আবারও লেখা যেতে পারে $g(I)$ ।

Q = 1 - \exp (\int_{0}^{N} \ln (g (I)) d I)

$Q=1-\exp \bigg (\int_0^N \ln(g(I)) \: dI \bigg )$

Q = 1 - \exp (\int_{0}^{N} \ln (1 - P (M (I) > R (I) + D)) d I)

$Q=1- \exp \bigg ( \int_0^N \ln(1-P(M(I)>R(I)+D)) \: dI \bigg )$

N \to \infty

$N\rightarrow \infty$

যেখানে আমাদের কাজ আছে $P(M(I)>R(I)+D)$ উপর থেকে

Q = 1 - \exp (\int_{0}^{N} \ln (1 - \sum_{k = 0}^{n} [\underset{1 - Poisson CDF}{\underset{⏟}{P (M (I) > k + D)}} \cdot \underset{Poisson pmf}{\underset{⏟}{P (R (I) = k)}}]) d I)

$Q=1-\exp \bigg (\int_0^N \ln \bigg (1-\sum_{k=0}^n \bigg [\underbrace{P(M(I)> k+D)}_{1-\text{Poisson CDF}}\cdot \underbrace{P(R(I)=k)}_\text{Poisson pmf} \bigg] \bigg ) \, dI \bigg )$

N \to \infty

$N\rightarrow \infty$

n \to \infty

$n\rightarrow \infty$

এখন আমার কাছে এটির চূড়ান্ত মান দেওয়া উচিত $Q$ , প্রদত্ত জন্য $D$ , $\lambda_R$ এবং $\lambda_M$ । যাইহোক, একটি সমস্যা আছে, আমরা ল্যাম্বডাস আবার লিখতে সক্ষম হব কারণ আমরা চাই যে বিষয়টি কেবলমাত্র একে অপরের সাথে অনুপাত হিসাবে বিবেচনা করা উচিত। আগে থেকে উদাহরণ তৈরি করতে $D=6$ , $\lambda_R=0.6$ এবং $\lambda_M=0.4$ , এটি কার্যকরভাবে হিসাবে একই $D=6$ , $\lambda_R=0.06$ এবং $\lambda_M=0.04$ , যতক্ষণ না তাদের ব্যবধানটি 10 দ্বারা বিভাজিত হয়, অর্থাত প্রতি 10 মিনিটে 10 গাড়ি প্রতি মিনিটে 1 গাড়ি সমান। তবে এটি করার ফলে একটি আলাদা ফলাফল পাওয়া যায় produces $D=6$ , $\lambda_R=0.6$ এবং $\lambda_M=0.4$ ফলন a $Q$ এর $0.5856116$ এবং $D=6$ , $\lambda_R=0.06$ এবং $\lambda_M=0.04$ ফলন a $Q$ এর $0.9998507$ । তাত্ক্ষণিক উপলব্ধি এটি $1-(1-0.5856116)^{10}=0.9998507$ , এবং কারণটি যদি মোটামুটি সহজ হয় তবে আমরা যদি দুটি ফলাফলের গ্রাফের তুলনা করি তবে নীচের গ্রাফটি ফাংশনটি দেখায় $D=6$ , $\lambda_R=0.06$ এবং $\lambda_M=0.04$ ।

দেখা যায় সম্ভাবনা বদলে যায় না, তবে এখন একই সম্ভাব্যতা পেতে দশগুণ বেশি সময় লাগে। যেমন $Q$ ফাংশনটির বিরতিতে নির্ভর করে এটি স্বাভাবিকভাবেই জড়িত। এর স্পষ্টতই বোঝা যাচ্ছে যে কোনও কিছু ভুল হয়েছে, ফলস্বরূপ আমার প্রারম্ভিক ল্যাম্বডায় নির্ভর করা উচিত নয়, বিশেষত কারণ কোনও প্রারম্ভিক ল্যাম্বদা সঠিক নয় $0.04$ এবং $0.06$ হিসাবে সঠিক $0.4$ এবং $0.6$ অথবা $1$ এবং $1.5$ ইত্যাদি, যতক্ষণ অন্তর অনুসারে সেই পরিমাণটি ছোট করে দেওয়া হয়। অতএব, আমি যখন খুব সহজেই সম্ভাবনাটি স্কেল করতে পারি, অর্থাৎ যাচ্ছি $0.4$ এবং $0.6$ প্রতি $0.04$ এবং $0.06$ 10 এর একটি ফ্যাক্টর দিয়ে সম্ভাব্যতা স্কেলিংয়ের সমান same

এই প্রভাবটি দেখানোর জন্য আমি আঁকড়ে ধরলাম $Q$ একটি কাজ হিসাবে $t$ , কোথায় $t$ ল্যাম্বডাস শুরু করার সাথে ল্যাম্বডাসের একটি স্কেলিং ফ্যাক্টর $\lambda_M=0.4$ এবং $\lambda_R=\lambda_M\cdot 1.5$ । আউটপুটটি নীচের গ্রাফটিতে দেখা যাবে:

আমি এখানে আটকে গিয়েছি, আমার কাছে দৃষ্টিভঙ্গিটি সূক্ষ্ম এবং সঠিক দেখাচ্ছে তবে ফলাফলটি অবশ্যই ভুল। আমার প্রাথমিক ধারণাটি হ'ল আমি কোথাও একটি মৌলিক পুনঃ-স্কেল অনুপস্থিত, তবে আমার জীবনের জন্য আমি কোথায় তা বের করতে পারি না।

পড়ার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ, যে কোনও এবং সমস্ত সাহায্যের প্রশংসা করা হয়।

অতিরিক্ত হিসাবে, যদি কেউ আমার আর-কোড চায় তবে দয়া করে আমাকে জানান এবং আমি এটি আপলোড করব।

poisson-distribution poisson-process

— নেইন
সূত্র

আমি আপনার ম্যাথজ্যাক্স কোডটির বেশ কয়েকটি বিস্তৃত ক্লিনআপ করেছি। আপনি যদি একবার খেয়াল করেন তবে আপনি মানক এবং সঠিক ব্যবহার সম্পর্কে কয়েকটি জিনিস দেখতে পাবেন। (আরও কাজ করা যেতে পারে; পরে হতে পারে))

— মাইকেল হার্ডি

অসাধারণ! আপনাকে অনেক ধন্যবাদ, আমি এ সম্পর্কে অসচেতন ছিলাম, আমার কোনও নির্দিষ্ট গাইড অনুসরণ করা উচিত?

— নেইন

আপনি যা করেছেন তার সাথে সামঞ্জস্য রেখে আমি কিছু অতিরিক্ত জিনিস সম্পাদনা করেছি।

— কোন nein

@ নোনইন এডিটিং সহায়তাটিতে একটি কিশোরী বিট রয়েছে তবে এর বাইরেও গণিত রয়েছে SE এসইয়ের ম্যাথজ্যাক্সের প্রাথমিক টিউটোরিয়াল এবং দ্রুত রেফারেন্স । লাটেক্সে গণিত রচনার গাইড (যা গুগল করা সহজ) আপনি যদি সেখানে দ্রুত রেফারেন্সের আওতাভুক্ত কিছু খুঁজে না পাওয়ার চেষ্টা করছেন (তবে এটি এখন ম্যাথজ্যাক্সের সাবসেটটির একটি বিস্তৃত বিস্তৃত কভারেজ পেয়েছে) সাহায্য করে।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা 5'17

প্রক্রিয়াগুলির সম্মিলিত সময় হোক Let $T = (0=t_0 \lt t_1 \lt t_2 \lt \cdots).$ কারণ এগুলি স্বতন্ত্র পোইসন প্রক্রিয়া, প্রায় প্রতিটি সময়ে এইগুলির মধ্যে প্রায় এক অবশ্যই পরিলক্ষিত হয়। জন্য $i\gt 0,$ নির্ধারণ করা

B (i) = {\begin{matrix} + 1 & if R (t_{i}) = 1 \\ - 1 & if M (t_{i}) = 1 \end{matrix}

$B(i) = \left\{\matrix{+1 & \text{if } R(t_i)=1 \\ -1 & \text{if }M(t_i)=1}\right.$

এবং জমে $B(i)$ প্রক্রিয়া মধ্যে $W:$ এটাই, $W(0)=0$ এবং $W(i+1)=W(i)+B(i)$ সবার জন্য $i \gt 0.$ $W(i)$ আরও কতবার গণনা করা হয় $R$ চেয়ে হাজির হয়েছে $M$ ঠিক সময়ের পরে $t_i.$

এই চিত্রটি উপলব্ধি দেখায় $R$ (লাল মধ্যে) এবং $M$ (মাঝারি নীল রঙে) শীর্ষে "রাগ প্লট" হিসাবে। পয়েন্টগুলি এর মানগুলি প্লট করে $(t_i, W(i))$ । প্রতিটি লাল বিন্দু অতিরিক্ত বৃদ্ধি উপস্থাপন করে $R(t_i)-M(t_i)$ প্রতিটি নীল বিন্দু অতিরিক্ত হ্রাস দেখায়।

জন্য $b=0, 1, 2, \ldots,$ দিন $\mathcal{E}_b$ কমপক্ষে একটি হতে চান $W_i$ এর চেয়ে কম বা সমান $-b$ এবং যাক $f(b)$ তার সম্ভাবনা হতে।

প্রশ্ন জিজ্ঞাসা $f(D+1).$

দিন $\lambda=\lambda_R+\lambda_M.$ এটি সম্মিলিত প্রক্রিয়াগুলির হার। $W$ একটি দ্বিপদী র্যান্ডম ওয়াক, কারণ

Pr (B (i) = 1) = \frac{λ_{R}}{λ} and Pr (B (i) = - 1) = \frac{λ_{M}}{λ} .

$\Pr(B(i) = 1) = \frac{\lambda_R}{\lambda}\text{ and } \Pr(B(i)=-1) = \frac{\lambda_M}{\lambda}.$

সুতরাং,

উত্তরটি দ্বিপদী এলোমেলো পদক্ষেপের সুযোগের সমান $W$ একটি শোষণকারী বাধা সম্মুখীন $-D-1.$

এই সুযোগটি খুঁজে পাওয়ার সবচেয়ে প্রাথমিক উপায় এটি পর্যবেক্ষণ করে

f (0) = 1

$f(0)=1$

কারণ $W(0)=0;$ এবং, সকলের জন্য $b \gt 0,$ সম্ভাব্য দুটি পরবর্তী পদক্ষেপ $\pm 1$ পুনরাবৃত্তি ফলন

f (b) = \frac{λ_{R}}{λ} f (b + 1) + \frac{λ_{M}}{λ} f (b - 1) .

$f(b) = \frac{\lambda_R}{\lambda} f(b+1) + \frac{\lambda_M}{\lambda} f(b-1).$

অভিমানী $\lambda_R \ge \lambda_M,$ জন্য অনন্য সমাধান $b\ge 0$ হয়

f (b) = {(\frac{λ_{M}}{λ_{R}})}^{b},

$f(b) = \left(\frac{\lambda_M}{\lambda_R}\right)^b,$

আপনি এটি পূর্বোক্ত সংজ্ঞায়িত সমীকরণগুলিতে প্লাগ করে চেক করতে পারেন। সুতরাং,

উত্তরটা হচ্ছে
$Pr (E_{D + 1}) = f (D + 1) = {(\frac{λ_{M}}{λ_{R}})}^{D + 1} .$ $\Pr(\mathcal{E}_{D+1})=f(D+1)=\left(\frac{\lambda_M}{\lambda_R}\right)^{D+1}.$

— whuber
সূত্র