জাস্ট-শনাক্তকৃত 2 এসএলএস মিডিয়ান-নিরপেক্ষ?

ইন একটি প্রয়োগবাদী এর কম্প্যানিয়ন: প্রায় নিরীহ অর্থনীতি (Angrist এবং Pischke, 2009: পৃষ্ঠা 209) আমি নিম্নলিখিত পড়ুন:

(...) প্রকৃতপক্ষে, সুনির্দিষ্টভাবে চিহ্নিত 2 এসএলএস (বলুন, সহজ ওয়াল্ড অনুমানকারী) প্রায় পক্ষপাতহীন । এটি আনুষ্ঠানিকভাবে দেখা শক্ত কারণ কারণ কেবলমাত্র চিহ্নিত 2 এসএলএসের কোনও মুহুর্ত নেই (অর্থাত, নমুনা বিতরণে ফ্যাট টেইল রয়েছে)। তবুও, এমনকি দুর্বল যন্ত্রগুলি সহ, সুনির্দিষ্টভাবে চিহ্নিত 2 এসএলএস যেখানে হওয়া উচিত তা প্রায় কেন্দ্রিক। আমরা তাই বলি যে সুনির্দিষ্ট-চিহ্নিত 2 এসএলএস মাঝারি-পক্ষপাতহীন। (...)

যদিও লেখকরা বলেছেন যে সুনির্দিষ্টভাবে চিহ্নিত 2 এসএলএস মাঝারি-পক্ষপাতহীন, তারা প্রমাণ দেয় না বা প্রমাণের জন্য কোনও রেফারেন্স দেয় না । 213 পৃষ্ঠায় তারা আবার প্রস্তাবটির উল্লেখ করেছে, তবে কোনও প্রমাণের কোনও উল্লেখ নেই। এছাড়াও, আমি এমআইটি , পৃষ্ঠা 22 এর উপকরণ ভেরিয়েবলগুলির বিষয়ে তাদের বক্তৃতা নোটগুলিতে প্রস্তাবের জন্য কোনও প্রেরণা খুঁজে পাচ্ছি না ।

কারণটি হতে পারে যে প্রস্তাবটি মিথ্যা কারণ তারা তাদের ব্লগে একটি নোটে এটি প্রত্যাখ্যান করে । তবে সবেমাত্র চিহ্নিত 2 এসএলএস প্রায় মধ্য-পক্ষপাতহীন, তারা লেখেন। তারা এটি একটি ছোট মন্টি-কার্লো পরীক্ষা করে ব্যবহার করে অনুপ্রেরণা জোগায়, তবে আনুমানিকতার সাথে সম্পর্কিত ত্রুটি শর্তটির কোনও বিশ্লেষণাত্মক প্রমাণ বা ক্লোজড ফর্ম প্রকাশ করে না। যাহাই হউক না কেন, এই মিশিগান স্টেট বিশ্ববিদ্যালয়ের অধ্যাপক গ্যারি Solon কে মন্তব্য যে শুধু-চিহ্নিত 2SLS হয় করেছেন লেখকদের উত্তর ছিল না মধ্যমা-নিরপেক্ষ।

প্রশ্ন 1: গ্যারি সলনের যুক্তি অনুসারে আপনি কীভাবে প্রমাণ করবেন যে সুনির্দিষ্ট-চিহ্নিত 2SLS মধ্যম-পক্ষপাতহীন নয় ?

প্রশ্ন 2: আপনি কীভাবে প্রমাণ করবেন যে সুনির্দিষ্টভাবে চিহ্নিত 2 এসএলএস অ্যাঞ্জিস্ট এবং পিস্কে যুক্তি হিসাবে প্রায় মধ্যম-পক্ষপাতহীন?

প্রশ্ন 1 এর জন্য আমি একটি পাল্টা নমুনা খুঁজছি। প্রশ্ন 2-এর জন্য আমি (প্রাথমিকভাবে) একটি প্রমাণ বা প্রমাণের একটি রেফারেন্স খুঁজছি।

আমি এই প্রসঙ্গে মধ্য-পক্ষপাতহীন একটি আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞাও খুঁজছি । আমি ধারণা নিম্নরূপ বুঝতে: একটি মূল্নির্ধারক এর কিছু সেট উপর ভিত্তি করে এর র্যান্ডম ভেরিয়েবল জন্য মধ্যমা-নিরপেক্ষ হয় যদি এবং কেবল যদি এর বিতরণটির মাঝারি । $\hat{\theta}(X_{1:n})$ $\theta$ $X_{1:n}$ $n$ $\theta$ $\hat{\theta}(X_{1:n})$ $\theta$

মন্তব্য

একটি সুনির্দিষ্টভাবে চিহ্নিত মডেলটিতে অন্তঃসত্ত্বা রেজিস্ট্রারগুলির সংখ্যা বাদ্যযন্ত্রের সংখ্যার সমান।
একটি সুনির্দিষ্টভাবে চিহ্নিত ইনস্ট্রুমেন্টাল ভেরিয়েবল মডেলের বর্ণনা দেওয়ার কাঠামোটি নিম্নরূপে প্রকাশ করা যেতে পারে: আগ্রহের কার্যকারণ মডেল এবং প্রথম পর্যায়ে সমীকরণটি যেখানে একটি ম্যাট্রিক্স এন্ডোজেনাস রেজিস্ট্রারগুলি বর্ণনা করে এবং যেখানে যন্ত্রের ভেরিয়েবলগুলি কে-কেজ ম্যাট্রিক্স দ্বারা বর্ণনা করা । এখানে কেবল কয়েকটি নিয়ন্ত্রণ ভেরিয়েবলের বর্ণনা দেয় (উদাহরণস্বরূপ, নির্ভুলতা উন্নত করতে যোগ করা); এবং এবং ত্রুটি শর্তাবলী।
$\begin{matrix} (1) & {\begin{cases} Y & = X β + W γ + u \\ X & = Z δ + W ζ + v \end{cases} \end{matrix}$ $\begin{cases} Y&=X\beta+W\gamma+u \\ X&=Z\delta+W\zeta+v \end{cases}\tag{1}$ $X$ $k\times n+1$ $k$ $k\times n+1$ $Z$ $W$ $u$ $v$
আমরা 2 এসএলএস ব্যবহার করে ইন অনুমান করি : প্রথমত, জন্য নিয়ন্ত্রণের উপর পুনরায় চাপুন এবং পূর্বাভাসিত মানগুলি acquire অর্জন করুন ; একে প্রথম পর্যায়ে বলা হয়। দ্বিতীয়ত, for জন্য নিয়ন্ত্রণকারী ওয়াইতে পুনরায় চাপ দিন ; একে দ্বিতীয় পর্যায়ে বলা হয়। দ্বিতীয় পর্যায়ে on এ অনুমানযুক্ত সহগ সম্পর্কে আমাদের 2 এসএলএস অনুমান । $\beta$ $(1)$ $X$ $Z$ $W$ $\hat{X}$ $Y$ $\hat{X}$ $W$ $\hat{X}$ $\beta$
সরলতম ক্ষেত্রে আমরা মডেল আছে এবং উপকরণ এন্ডোজেন regressor সঙ্গে । এই ক্ষেত্রে, 2SLS এর অনুমান হয় যেখানে মধ্যে নমুনা সহভেদাংক উল্লেখ করে এবং । আমরা সরল করতে পারি : যেখানে , এবং
$y_{i} = α + β x_{i} + u_{i}$ $y_i=\alpha+\beta x_i+u_i$ $x_i$ $z_i$ $\beta$ $\begin{matrix} (2) & {\hat{β}}^{2SLS} = \frac{s_{Z Y}}{s_{Z X}}, \end{matrix}$ $\hat{\beta}^{\text{2SLS}}=\frac{s_{ZY}}{s_{ZX}}\tag{2},$ $s_{AB}$ $A$ $B$ $(2)$ $\begin{matrix} (3) & {\hat{β}}^{2SLS} = \frac{\sum_{i} (y_{i} - \bar{y}) z_{i}}{\sum_{i} (x_{i} - \bar{x}) z_{i}} = β + \frac{\sum_{i} (u_{i} - \bar{u}) z_{i}}{\sum_{i} (x_{i} - \bar{x}) z_{i}} \end{matrix}$ $\hat{\beta}^{\text{2SLS}}=\frac{\sum_i(y_i-\bar{y})z_i}{\sum_i(x_i-\bar{x})z_i}=\beta+\frac{\sum_i(u_i-\bar{u})z_i}{\sum_i(x_i-\bar{x})z_i}\tag{3}$ $\bar{y}=\sum_iy_i/n$ $\bar{x}=\sum_i x_i/n$ $\bar{u}=\sum_i u_i/n$ , যেখানে পর্যবেক্ষণের সংখ্যা। $n$
আমি প্রশ্নের সন্ধান 1 এবং 2 এর উত্তর খুঁজে পেতে "সুনির্দিষ্ট" এবং "মধ্য-নিরপেক্ষ" শব্দ ব্যবহার করে একটি সাহিত্য অনুসন্ধান করেছি above আমি কিছুই পাইনি। স্রেফ সনাক্তকৃত 2 এসএলএস মাঝারি-নিরপেক্ষ বলে উল্লেখ করে আমি যে সমস্ত নিবন্ধগুলি পেয়েছি (নীচে দেখুন) অ্যাংগ্রিস্ট এবং পিস্কে (২০০৯: পৃষ্ঠা 209, 213) একটি উল্লেখ করেছেন।
- জাকিয়েলা, পি।, মিগুয়েল, ই।, এবং তে ভেল্ড, ভিএল (2015)। আপনি এটি অর্জন করেছেন: সামাজিক পছন্দগুলিতে মানুষের মূলধনের প্রভাবের অনুমান। পরীক্ষামূলক অর্থনীতি , 18 (3), 385-407।
- আন, ডাব্লু। (2015)। ইনস্ট্রুমেন্টাল ভেরিয়েবলগুলি সামাজিক নেটওয়ার্কগুলিতে পিয়ার এফেক্টগুলির অনুমান করে। সামাজিক বিজ্ঞান গবেষণা , 50, 382-394।
- ভার্মুলেন, ডাব্লু।, এবং ভ্যান ওমমেরেন, জে। (২০০৯)। ভূমি কি পরিকল্পনা ব্যবহার করে আঞ্চলিক অর্থনীতিকে রূপ দেয়? আবাসন সরবরাহ, অভ্যন্তরীণ অভিবাসন এবং নেদারল্যান্ডসে স্থানীয় কর্মসংস্থান বৃদ্ধির একযোগে বিশ্লেষণ। হাউজিং অর্থনীতি জার্নাল , 18 (4), 294-310।
- সহায়তা, টিএস, এবং লিওন, জি। (2016)। সুযোগের গণতান্ত্রিক উইন্ডো: সাব-সাহারান আফ্রিকার দাঙ্গার প্রমাণ। সংঘাতের সমাধানের জার্নাল , 60 (4), 694-717।

— ইলিয়াস
সূত্র

আমি এর আনুষ্ঠানিক প্রমাণ দিয়ে উত্তর দিতে পারলাম না বরং কিছু সিমুলেশন অধ্যয়নের সাথে দেখিয়েছি যে এলআইএমএল মাঝারি নিরপেক্ষ (আরও সংজ্ঞা) এবং এলআইএমএল এবং 2 এসএলএসের একটি অন্তঃসত্ত্বা ভেরিয়েবল এবং একটি ইন্সট্রুমেন্টের একই ছোট নমুনা বিতরণ রয়েছে (সুতরাং এটিতে যদি LIML থাকে তবে কেসটি মাঝারি-পক্ষপাতহীন তবে 2SLS এর মতো)। এটি কি আপনার প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার পক্ষে যথেষ্ট হবে?

— অ্যান্ডি

@ অ্যান্ডি এটি সত্যিই ভাল উত্তর হবে! অন্যান্য ব্যবহারকারীরা যা বলতে পারে তার উপর নির্ভর করে যথেষ্ট। সম্ভবত এটি যথেষ্ট হিসাবে আমি মনে করি যে এই প্রস্তাবটির কোনও প্রমাণ নেই যে সুনির্দিষ্টভাবে চিহ্নিত 2 এসএলএস প্রায় মধ্য-পক্ষপাতহীন। একটি কাউন্টারেরেক্সাম্পলটি দিয়ে চমৎকার লাগবে যে সুনির্দিষ্টভাবে চিহ্নিত 2 এসএলএস যদিও মাঝারি-পক্ষপাতহীন নয়; তবে আমি মনে করি নিজের সাথে একটি পাল্টা নমুনা নিয়ে আসা সম্ভব (তবে সম্ভবত শক্ত)।

— ইলিয়াস

প্রায় পক্ষপাতহীন দ্বারা, আপনি কি বোঝাতে চেয়েছেন যে পক্ষপাতটি পর্যবেক্ষণ সংখ্যার কিছু ফাংশন হিসাবে শূন্যে চলে যায়, যেমন 1 / n বা 1 / n ^ 2, ইত্যাদি?

— ইগোর

@ ইগোর "প্রায় মধ্যম-পক্ষপাতহীন" শব্দটি আমার দ্বারা ব্যবহৃত হয় না। যেহেতু আমি "মিডিয়েন-নিরপেক্ষ" এর আনুষ্ঠানিক অর্থ কী তা আমি জানি না, তাই আমি আপনার প্রশ্নের উত্তর দিতে পারি না। তবে আপনি যা ভাবছেন বলে মনে করছেন তা হ'ল এক অনুমানকারীকে অ্যাসিপোটোটিকভাবে নিরপেক্ষ করা।

— ইলিয়াস

সিমুলেশন অধ্যয়নে মধ্যীয় পক্ষপাত শব্দটি কোনও প্রকৃত মান থেকে কোনও অনুমানকারীের বিচ্যুতির সম্পূর্ণ মূল্যকে বোঝায় (যা আপনি এই ক্ষেত্রে জানেন কারণ এটি একটি সিমুলেশন তাই আপনি প্রকৃত মানটি বেছে নেন)। আপনি ইয়ং (2017) এর একটি কার্যকরী কাগজ দেখতে পারেন যিনি টেবিল 15 এ এর মতো মধ্যম পক্ষপাত সংজ্ঞা দিয়েছেন, বা অ্যান্ড্রুজ এবং আর্মস্ট্রং (2016) যারা চিত্র 2-তে বিভিন্ন অনুমানের জন্য মিডিয়েন বায়াস গ্রাফ প্লট করেছেন।

বিভ্রান্তির একটি অংশ (সাহিত্যেও) মনে হয় যে দুটি পৃথক পৃথক অন্তর্নিহিত সমস্যা রয়েছে:

দুর্বল যন্ত্র
অনেকগুলি (সম্ভাব্য) দুর্বল যন্ত্রগুলি

একটি সুনির্দিষ্ট-সনাক্তকরণযুক্ত সেটিংয়ে একটি দুর্বল উপকরণ থাকার সমস্যা অনেকগুলি যন্ত্র থাকা যেখানে খুব দুর্বল রয়েছে তার থেকে অনেকটাই আলাদা, তবে দুটি বিষয় মাঝে মধ্যেই একসাথে ফেলে দেওয়া হয়।

$\kappa$

\hat{β} = {[X^{'} (I - κ M_{Z}) X]}^{- 1} [X^{'} (I - κ M_{Z})_{y})]

$\widehat{\beta} = \left[ X'(I-\kappa M_Z)X \right]^{-1}\left[ X'(I-\kappa M_Z)_y) \right]$

$M_Z = I-Z(Z'Z)^{-1}Z'$

\begin{aligned} y & = X β + u \\ X & = Z π + e . \end{aligned}

$\begin{align} y &= X\beta + u \\ X &= Z\pi + e. \end{align}$

$\kappa$ $\kappa = 0$ $\kappa = 1$ $\kappa$ $\det (X'X - \kappa X'M_ZX))=0$

অ্যাসিম্পটোটিক্যালি, এলআইএমএল এবং 2 এসএলএস একই বিতরণ রয়েছে, তবে ছোট নমুনায় এটি খুব আলাদা হতে পারে। এটি বিশেষত ক্ষেত্রে যখন আমাদের অনেক যন্ত্র থাকে এবং যদি কিছুগুলির দুর্বল থাকে। এই ক্ষেত্রে, এলআইএমএল 2 এসএলএসের চেয়ে আরও ভাল পারফর্ম করে। এখানে এলআইএমএলকে মিডিয়ান নিরপেক্ষ বলে দেখানো হয়েছে। এই ফলাফলটি একগুচ্ছ সিমুলেশন স্টাডি থেকে বেরিয়ে আসে। সাধারণত এই ফলাফলটি উল্লেখ করা কাগজপত্রগুলি রথবার্গ (1983) "স্ট্রাকচারাল মডেলগুলিতে কিছু অনুমানকারীদের অ্যাসিম্পটোটিক প্রপার্টি", সাওয়া (1972) , বা অ্যান্ডারসন এট আলকে উল্লেখ করে। (1982) ।

স্টিভ পিসচে তার স্লাইড 17 এর নোটগুলিতে এই ফলাফলটির জন্য একটি সিমুলেশন সরবরাহ করে, যেখানে 20 টি যন্ত্রের সাথে ওএলএস, এলআইএমএল এবং 2 এসএলএস বিতরণ দেখানো হয়েছে যার মধ্যে কেবলমাত্র একটি কার্যকরভাবে কার্যকর one আসল সহগের মানটি হল ১। আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে এলআইএমএল সত্য মানের উপর ভিত্তি করে যেখানে 2 এসএলএস ওএলএসের প্রতি পক্ষপাতদুষ্ট থাকে।

এখন যুক্তিটি নিম্নোক্ত বলে মনে হচ্ছে: এলআইএমএলকে মধ্য পক্ষপাতহীন দেখানো যেতে পারে এবং সুনির্দিষ্ট ক্ষেত্রে (একটি অন্তঃসত্ত্বা ভেরিয়েবল, একটি উপকরণ) এলআইএমএল এবং 2 এসএলএস সমতুল্য, 2 এসএলএসকে অবশ্যই মাঝারি নিরপেক্ষ থাকতে হবে।

তবে, মনে হয় যে লোকেরা আবার "দুর্বল উপকরণ" এবং "অনেক দুর্বল যন্ত্র" কেস মিশ্রিত করছে কারণ সুনির্দিষ্টভাবে সনাক্তকরণে LIML এবং 2SLS উভয়ই পক্ষপাতিত্ব করতে চলেছে যখন যন্ত্রটি দুর্বল হবে। আমি কোনও ফলাফল দেখি নি যেখানে উপস্থাপন করা হয়েছিল যে উপকরণ দুর্বল হওয়ার সময় LIML কেবলমাত্র চিহ্নিত ক্ষেত্রে নিরপেক্ষ রয়েছে এবং আমি মনে করি না এটি সত্য। অ্যাগ্রিস্ট এবং পিস্কের (২০০৯) পৃষ্ঠার ২ নং গ্যারি সোলোর প্রতিক্রিয়া থেকে একইরকম উপসংহার এসেছে যেখানে যন্ত্রটির শক্তি পরিবর্তনের সময় তারা ওএলএস, 2 এসএলএস এবং এলআইএমএল এর পক্ষপাত অনুকরণ করে।

<0.1 এর খুব ছোট প্রথম স্তরের সহগের জন্য (স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিটি স্থির করে রাখা), অর্থাৎ নিম্ন উপকরণের শক্তি, সুনির্দিষ্ট 2SLS (এবং কেবলমাত্র চিহ্নিত LIML) এর তুলনায় ওএলএস অনুমানের সম্ভাবনার সীমাটির অনেক কাছাকাছি 1 এর সত্য সহগের মান।

একবার প্রথম পর্যায়ের সহগ 0.1 এবং 0.2 এর মধ্যে হয়ে গেলে তারা লক্ষ করে যে প্রথম পর্যায়ে F পরিসংখ্যান 10 এর উপরে এবং সুতরাং স্টক এবং ইয়োগো (2005) দ্বারা এফ> 10 এর থাম্বের নিয়ম অনুসারে আর কোনও দুর্বল উপকরণের সমস্যা নেই। এই অর্থে, আমি দেখতে ব্যর্থ হয়েছি যে এলআইএমএলকে কীভাবে সুনির্দিষ্টভাবে চিহ্নিত ক্ষেত্রে একটি দুর্বল যন্ত্র সমস্যার সমাধান করা হবে বলে মনে করা হচ্ছে। এছাড়াও লক্ষ করুন যে i) এলআইএমএল আরও বেশি ছত্রভঙ্গ হয়ে গেছে এবং এর স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলির সংশোধন প্রয়োজন (বেকার দেখুন, 1994) এবং ii) যদি আপনার উপকরণটি আসলে দুর্বল হয় তবে আপনি দ্বিতীয় পর্যায়ে 2SLS বা LIML সহ কিছুই পাবেন না কারণ স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলি কেবল খুব বড় হতে চলেছে।

— অ্যান্ডি
সূত্র

উত্তর করার জন্য ধন্যবাদ! এটি আমার কাছে সবকিছু পরিষ্কার করে দিয়েছে।

— ইলিয়াস