জ্যামিতিক গড়টি কোন নিরবচ্ছিন্ন বিতরণের গড়ের একটি নিরপেক্ষ অনুমানক?

বদ্ধ আকারে কোনও অবিচ্ছিন্ন বিতরণ প্রকাশযোগ্য, যার অর্থটি এমন যে নমুনাগুলির জ্যামিতিক গড়টি সেই অর্থের জন্য একটি নিরপেক্ষ অনুমানক?

আপডেট: আমি কেবল বুঝতে পেরেছি যে আমার নমুনাগুলিগুলি ইতিবাচক হতে হবে (অন্যথায় জ্যামিতিক গড়ের অস্তিত্ব থাকতে পারে) তাই সম্ভবত ধারাবাহিকটি সঠিক শব্দ নয়। র্যান্ডম ভেরিয়েবলের নেতিবাচক মানের জন্য শূন্য এবং ধনাত্মক মানের জন্য অবিচ্ছিন্ন এমন বিতরণ সম্পর্কে কীভাবে বলা যায়। কাটা কাটা বিতরণের মতো কিছু।

distributions geometric-mean

— user53608
সূত্র

কঠোরভাবে ইতিবাচক নমুনা স্থান (যেমন গামা বিতরণ) থাকার সময় একটি বিতরণ অবিচ্ছিন্ন হতে পারে।

— গামার

এছাড়াও আপনি কি এমন একটি উদাহরণ বোঝাতে চান যেখানে নমুনা থেকে জ্যামিতিক মানে প্রথম মুহুর্তের একটি নিরপেক্ষ অনুমানক? আমি কেবল কখনও সংজ্ঞায়িত ডেটার বিচ্ছিন্ন সেটটির জ্যামিতিক গড় দেখেছি এবং একটি অনিশ্চিত কিভাবে "সত্য" (অর্থাত্ জনসংখ্যা-স্তর) জ্যামিতিক গড়কে একটি ধারাবাহিক বিতরণের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হবে ... হতে পারে ?

e x p (E (\log (X)))

${\rm exp}( E(\log(X)) )$

— গামার

এটি লগনারাল বিতরণের জন্য কাজ করে।

— মাইকেল আর চেরনিক

এটি ধারণ করে যদি র্যান্ডম ভেরিয়েবল কিছু ধনাত্মক স্কেলার ধ্রুবক প্রায় নিশ্চিতভাবে সমান হয় । অন্যথায় না।

X

$X$

c

$c$

— ম্যাথু গন

উত্তর:

আমি বিশ্বাস করি যে আপনি কোনও আরভি এর বিতরণ কী তা জিজ্ঞাসা করছেন , যেমন, যদি আমাদের সেই বিতরণ থেকে আকারের আইডির নমুনা থাকে তবে তা ধরে রাখবে $X$ $n>1$

E [G M] = E [{(\prod_{i = 1}^{n} X_{i})}^{1 / n}] = E (X)

$E[GM] = E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E(X)$

আইডি অনুমানের কারণে আমাদের রয়েছে

E [{(\prod_{i = 1}^{n} X_{i})}^{1 / n}] = E (X_{1}^{1 / n} \cdot . . . \cdot X_{n}^{1 / n}) = E (X_{1}^{1 / n}) \cdot . . . \cdot E (X_{n}^{1 / n}) = {[E (X^{1 / n})]}^{n}

$E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E\left(X_1^{1/n}\cdot ...\cdot X_n^{1/n}\right) = E\left (X_1^{1/n}\right)\cdot ...\cdot E\left(X_n^{1/n}\right) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n$

এবং তাই আমরা জিজ্ঞাসা করছি যে আমাদের থাকতে পারে কিনা

{[E (X^{1 / n})]}^{n} = E (X)

$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$

তবে জেনসেনের অসমতা এবং unityক্যের চেয়ে উচ্চতর শক্তির জন্য শক্তির কার্যকারিতা কঠোরভাবে উত্সাহিত হওয়ার দ্বারা, আমাদের কাছে প্রায় অবশ্যই একটি অবনমিত (অ-ধ্রুবক) এলোমেলো পরিবর্তনশীল,

{[E (X^{1 / n})]}^{n} < E {[(X^{1 / n})]}^{n} = E (X)

$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n < E\left[\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$

সুতরাং এই জাতীয় কোনও বিতরণ বিদ্যমান নেই।

একটি মন্তব্যে লগ-সাধারণ বিতরণের উল্লেখ সম্পর্কে, যা ধারণ করে তা হ'ল লগ-সাধারণ বিতরণ থেকে নমুনার জ্যামিতিক অর্থ ( ) হ'ল মধ্যমাটির পক্ষপাতদুষ্ট কিন্তু asympotically সুসংগত অনুমানকারী । এটি কারণ, লগনরমাল বিতরণের জন্য এটি ধরে রাখে $GM$

E (X^{s}) = \exp {s μ + \frac{s^{2} σ^{2}}{2}}

$E(X^s) = \exp\left\{s\mu + \frac {s^2\sigma^2}{2}\right \}$

(যেখানে এবং অন্তর্নিহিত স্বাভাবিকের প্যারামিটার, লগ-স্বাভাবিকের গড় এবং ভিন্নতা নয়)। $\mu$ $\sigma$

আমাদের ক্ষেত্রে, তাই আমরা পাই $s = 1/n$

E (G M) = {[E (X^{1 / n})]}^{n} = {[\exp {(μ / n) + \frac{σ^{2}}{2 n^{2}}}]}^{n} = \exp {μ + \frac{σ^{2}}{2 n}}

$E(GM) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \left[\exp\left\{(\mu/n) + \frac {\sigma^2}{2n^2}\right \}\right]^n = \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \}$

(যা আমাদের জানায় যে এটি মধ্যকের পক্ষপাতদুষ্ট অনুমানকারী)। কিন্তু

lim {[E (X^{1 / n})]}^{n} = lim \exp {μ + \frac{σ^{2}}{2 n}} = e^{μ}

$\lim \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \lim \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \} = e^{\mu}$

যা বিতরণের মধ্যস্থতা। একজন এটিও দেখাতে পারেন যে নমুনার জ্যামিতিক গড়ের বৈচিত্রটি শূন্যে রূপান্তরিত হয়, এবং এই দুটি শর্তটি এই অনুমানকারীকে তাত্পর্যপূর্ণভাবে সামঞ্জস্যপূর্ণ হওয়ার জন্য যথেষ্ট - মধ্যস্থদের জন্য,

G M \to_{p} e^{μ}

$GM \to_p e^{\mu}$

— আলেকোস পাপাদোপল্লোস
সূত্র

সম্ভবত এটি যুক্ত করা উচিত যে জেনসেনের অসমতা, কঠোরভাবে উত্তল ফাংশন সহ প্রয়োগ করা, হিসাবে যদি ধ্রুবক হয় তবেই এটি একটি সমতা ।

X

$X$

— অলিভিয়ার

@ অলিভিয়ার: আমি মনে করি এটি যথেষ্ট পরিমাণে পরিচিত সম্পত্তি এটি এটির জন্য কেবল বিশৃঙ্খলা যুক্ত করতে পারে। যাই হোক , জেনসেন এর বৈষম্য ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যেহেতু সত্যিই এমনকি প্রয়োজন নেই ইতিমধ্যে যথেষ্ট সত্য সঙ্গে মিলিত হয় বোঝা একটি এমনকি আরো প্রাথমিক যুক্তি প্রায় নিশ্চয়।

n = 2

$n = 2$

V a r (X) = 0

$\mathrm{Var}(X) = 0$

X = 0

$X = 0$

— কার্ডিনাল

পাটিগণিত গড়, জ্যামিতিক গড় বৈষম্য জেনসেনের অসমতার পরিণতি হিসাবে এটি আলেকোসের দুর্দান্ত উত্তরের অনুরূপ যুক্তি।

কে পাটিগণিতের অর্থ হতে দিন : $A_n$ $A_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$
জ্যামিতিক গড় হিসাবে যাক : $G_n$ $G_n = \left( \prod_{i=1} X_i \right) ^ \frac{1}{n}$

গাণিতিক গড়, জ্যামিতিক গড় বৈষম্য বলে যে সমতা সঙ্গে যদি এবং কেবল যদি প্রত্যেক পর্যবেক্ষণ সমান: । (এএমজিএম বৈষম্য জেনসেনের অসমতার পরিণতি ।) $A_n \geq G_n$ $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

কেস 1: প্রায় অবশ্যই $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

তারপরে । $\operatorname{E}[G_n] = \operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$

এক অর্থে, এটি সম্পূর্ণরূপে অধঃপতিত একটি মামলা।

কেস 2: জন্য $P(X_i \neq X_j) > 0$ $i\neq j$

তবে ইতিবাচক সম্ভাবনা আছে যে জ্যামিতিক গড়টি পাটিগণিত গড়ের চেয়ে ছোট। যেহেতু সমস্ত ফলাফলের জন্য এবং , আমাদের তখন । $G_n \leq A_n$ $\operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$ $\operatorname{E}[G_n] < \operatorname{E}[X]$

— ম্যাথু গন
সূত্র

জ্যামিতিক গড়টি কোন নিরবচ্ছিন্ন বিতরণের গড়ের একটি নিরপেক্ষ অনুমানক?

কেস 1: প্রায় অবশ্যইX1=X2=…=XnX1=X2=…=XnX_1 = X_2 = \ldots = X_n

কেস 2: জন্যআমি ≠ ঞP(Xi≠Xj)>0P(Xi≠Xj)>0P(X_i \neq X_j) > 0i≠ji≠ji\neq j

কেস 1: প্রায় অবশ্যই $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

কেস 2: জন্য $P(X_i \neq X_j) > 0$ $i\neq j$