ধরুন । দেখান

কি সবচেয়ে সহজ পদ্ধিতি হল দেখতে নিম্নোক্ত বিবৃতি সত্য পথে?

ধরুন । দেখান । $Y_1, \dots, Y_n \overset{\text{iid}}{\sim} \text{Exp}(1)$ $\sum_{i=1}^{n}(Y_i - Y_{(1)}) \sim \text{Gamma}(n-1, 1)$

নোট করুন যে $Y_{(1)} = \min\limits_{1 \leq i \leq n}Y_i$ ।

দ্বারা $X \sim \text{Exp}(\beta)$ , এর অর্থ এই যে $f_{X}(x) = \dfrac{1}{\beta}e^{-x/\beta} \cdot \mathbf{1}_{\{x > 0\}}$ ।

এটি দেখতে সহজ যে $Y_{(1)} \sim \text{Exponential}(1/n)$ । তদ্ব্যতীত, আমাদের কাছে এটিও রয়েছে যে $\sum_{i=1}^{n}Y_i \sim \text{Gamma}(\alpha = n, \beta = 1)$ প্যারামিট্রাইজেশন under

f_{Y} (y) = \frac{1}{Γ (α) β^{α}} x^{α - 1} e^{- x / β} 1_{{x > 0}}, α, β > 0 .

$f_{Y}(y) =\dfrac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^{\alpha}}x^{\alpha-1}e^{-x/\beta}\mathbf{1}_{\{x > 0\}}\text{, }\qquad \alpha, \beta> 0\text{.}$

সিয়ানের উত্তর দেওয়া সমাধান : মূল প্রশ্নে স্বরলিপিটি ব্যবহার করে:

\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{n} [Y_{i} - Y_{(1)}] & = \sum_{i = 1}^{n} [Y_{(i)} - Y_{(1)}] \\ = \sum_{i = 1}^{n} Y_{(i)} - n Y_{(1)} \\ = \sum_{i = 1}^{n} {Y_{(i)} - Y_{(i - 1)} + Y_{(i - 1)} - \dots - Y_{(1)} + Y_{(1)}} - n Y_{(1)} \\ = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{i} {Y_{(j)} - Y_{(j - 1)}} - n Y_{(1)} where Y_{(0)} = 0 \\ = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = j}^{n} {Y_{(j)} - Y_{(j - 1)}} - n Y_{(1)} \\ = \sum_{j = 1}^{n} (n - j + 1) [Y_{(j)} - Y_{(j - 1)}] - n Y_{(1)} \\ = \sum_{i = 1}^{n} (n - i + 1) [Y_{(i)} - Y_{(i - 1)}] - n Y_{(1)} \\ = \sum_{i = 2}^{n} (n - i + 1) [Y_{(i)} - Y_{(i - 1)}] + n Y_{(1)} - n Y_{(1)} \\ = \sum_{i = 2}^{n} (n - i + 1) [Y_{(i)} - Y_{(i - 1)}] . \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{i=1}^{n}[Y_i - Y_{(1)}] &= \sum_{i=1}^{n}[Y_{(i)}-Y_{(1)}] \\ &= \sum_{i=1}^{n}Y_{(i)}-nY_{(1)}\\ &= \sum_{i=1}^{n}\{Y_{(i)}-Y_{(i-1)}+Y_{(i-1)}-\cdots-Y_{(1)}+Y_{(1)}\}-nY_{(1)}\\ &= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{i}\{Y_{(j)}-Y_{(j-1)}\}-nY_{(1)}\text{ where } Y_{(0)} = 0 \\ &= \sum_{j=1}^n\sum_{i=j}^{n}\{Y_{(j)}-Y_{(j-1)}\}-nY_{(1)}\\ &= \sum_{j=1}^{n}(n-j+1)[Y_{(j)}-Y_{(j-1)}]-nY_{(1)}\\ &= \sum_{i=1}^{n}(n-i+1)[Y_{(i)}-Y_{(i-1)}]-nY_{(1)}\\ &= \sum_{i=2}^{n}(n-i+1)[Y_{(i)}-Y_{(i-1)}]+nY_{(1)}-nY_{(1)} \\ &= \sum_{i=2}^{n}(n-i+1)[Y_{(i)}-Y_{(i-1)}]\text{.} \end{align}$ এখান থেকে আমরা পাই

\sum_{i = 2}^{n} (n - i + 1) [Y_{(i)} - Y_{(i - 1)}] \sim Gamma (n - 1, 1)

$\sum_{i=2}^{n}(n-i+1)[Y_{(i)}-Y_{(i-1)}] \sim \text{Gamma}(n-1, 1)$ 1) ।

— Clarinetist
সূত্র

@ মিশেল চের্নিক ১) আমার স্বাধীনতার প্রমাণ সঠিক কিনা তা আমি নিশ্চিত নই, এবং ২) গামা বিতরণের পার্থক্যের সাথে সম্পর্কিত যে ফলাফলটি আমি উপরে অনুমান করেছি তাও সঠিক কিনা তা আমি নিশ্চিত নই। এখানে যা দেওয়া হচ্ছে তা বিরোধী বলে মনে হচ্ছে , তবে সম্ভবত এই পরিস্থিতি আলাদা কারণ এই পার্থক্যের মধ্যে একটির অর্ডার পরিসংখ্যান অন্তর্ভুক্ত রয়েছে? আমি নিশ্চিত নই.

— ক্লারিনেটিস্ট

@ ক্লারিনেটিস্ট, আমি নিশ্চিত নই। সম্ভবত দিয়ে কাজ করার চেষ্টা করুন, যা আপনি পরিমানের যোগফলের সাথে পরিষ্কারভাবে সমান। : উত্তর এখানে সহায়ক হতে পারে math.stackexchange.com/questions/80475/...

\sum_{i = 2}^{n} (Y_{(i)} - Y_{(1)})

$\sum_{i = 2}^n (Y_{(i)} - Y_{(1)})$

— বুড়িমা

আপনি কি প্রমাণ করার চেষ্টা করেছেন যে প্রতিটি - একটি বাদ দিয়ে , যার জন্য এবং তারপরে, আইডি এক্সফেনশিয়াল পার্থক্যগুলির যোগফল গামা বিতরণ করা হবে তা ব্যবহার করে?

(Y_{i} - Y_{(1)}) \sim Expon (1)

$(Y_i - Y_{(1)}) \sim \text{Expon}(1)$

i

$i$

Y_{i} - Y_{(1)} = 0

$Y_i - Y_{(1)} = 0$

(n - 1)

$(n-1)$

— মার্সেলো ভেন্তুরা

@ জবোম্যান আমাদের এবং তে , আমরা এটিকে by দিয়ে ভাগ করব , , অতএব আমরা । এখন এখানে কি আমাকে এই প্রমাণ সম্পর্কে bugged: আমি গণ্য একটি ধ্রুবক হিসাবে। তবে a ধ্রুবক নয়। কেন এই কাজ করবে?

f_{Z_{i}} (z_{i}) = f_{Y_{i}} (z_{i} + a) = e^{- (z_{i} + a)}

$f_{Z_i}(z_i) = f_{Y_i}(z_i + a) = e^{-(z_i + a)}$

Y_{i} \geq a

$Y_i \geq a$

e^{- a}

$e^{-a}$

e^{- z_{i}}

$e^{-z_i}$

(Z_{i} ∣ Y_{i} \geq A) \sim Exp (1)

$(Z_i \mid Y_i \geq A) \sim \text{Exp}(1)$

A

$A$

Y_{(1)}

$Y_{(1)}$

— ক্লারিনেটিস্ট

বিন্দু এটা কোন ব্যাপার না এটা কী হয়! বিতরণ সর্বদা ! লক্ষণীয়, তাই না? আর এই থেকে উপসংহারে আসতে পারি যে বিতরণের সর্বদা জন্য , প্রকৃত মান নির্বিশেষে ।

a

$a$

Exp (1)

$\text{Exp}(1)$

Y_{i} - Y_{[1]}

$Y_i - Y_{[1]}$

Exp (1)

$\text{Exp}(1)$

i > 1

$i > 1$

Y_{[1]}

$Y_{[1]}$

— jboman

উত্তর:

প্রমাণটি মাদার অফ অল র্যান্ডম জেনারেশন বইয়ে দেওয়া হয়েছে, দেব্রয়ের অ-ইউনিফর্ম র‌্যান্ডম ভেরিয়েট জেনারেশন , পি ২২১ তে (এবং এটি একটি খুব মার্জিত!):

উপপাদ্য ২.৩ (সুখাত্মে, ১৯3737) যদি আমরা সংজ্ঞায়িত করি তবে সাধারণ ক্রমযুক্ত স্পেসিংস থেকে প্রাপ্ত অর্ডার পরিসংখ্যান size size আকার এর একটি আইআইডি ঘনিষ্ঠ নমুনা হ'ল তারা আইআইডি সূচকীয় পরিবর্তনশীল are $E_{(0)}=0$
$(n - i + 1) (E_{(i)} - E_{(i - 1)})$ $(n-i+1)(E_{(i)}-E_{(i-1)})$ $E_{(1)}\le\ldots\le E_{(n)}$ $n$

প্রুফ। যেহেতু অর্ডার পরিসংখ্যানের যৌথ ঘনত্ব হিসাবে লিখেছে সেট করা , থেকে ভেরিয়েবলের পরিবর্তন থেকে এর একটি ধ্রুব জ্যাকোবিয়ান রয়েছে [ঘটনাচক্রে সমানতবে এটি গণনা করার দরকার নেই] এবং তাই এর ঘনত্ব

\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{n} e_{i} & = \sum_{i = 1}^{n} e_{(i)} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{i} (e_{(j)} - e_{(j - 1)}) \\ = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = j}^{n} (e_{(j)} - e_{(j - 1)}) = \sum_{j = 1}^{n} (n - j + 1) (e_{(j)} - e_{(j - 1)}) \end{aligned}

$\begin{align*} \sum_{i=1}^n e_i &= \sum_{i=1}^n e_{(i)} =\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i(e_{(j)}-e_{(j-1)})\\ &=\sum_{j=1}^n \sum_{i=j}^n(e_{(j)}-e_{(j-1)}) =\sum_{j=1}^n (n-j+1)(e_{(j)}-e_{(j-1)}) \end{align*}$

(E_{(1)}, \dots, E_{(n)})

$(E_{(1)},\ldots,E_{(n)})$

f (e) = n! \exp {- \sum_{i = 1}^{n} e_{(i)}} = n! \exp {- \sum_{i = 1}^{n} (n - i + 1) (e_{(i)} - e_{(i - 1)})}

$f(\mathbf{e})=n!\,\exp\left\{-\sum_{i=1}^ne_{(i)}\right\}=n!\,\exp\left\{-\sum_{i=1}^n (n-i+1)(e_{(i)}-e_{(i-1)})\right\}$

Y_{i} = (E_{(i)} - E_{(i - 1)})

$Y_i=(E_{(i)}-E_{(i-1)})$

(E_{(1)}, \dots, E_{(n)})

$(E_{(1)},\ldots,E_{(n)})$

(Y_{1}, \dots, Y_{n})

$(Y_1,\ldots,Y_n)$

1 / n!

$1/n!$

(Y_{1}, \dots, Y_{n})

$(Y_1,\ldots,Y_n)$ to এর সমানুপাতিক ফলাফল যা প্রতিষ্ঠিত করে। Qed

\exp {- \sum_{i = 1}^{n} y_{i}}

$\exp\left\{-\sum_{i=1}^n y_i \right\}$

Gérard Letac আমাকে প্রস্তাব করা একটি বিকল্প চেক করতে হয় হিসাবে একই ডিস্ট্রিবিউশন আছে (স্মরণবিহীন সম্পত্তি অনুসারে), যা সোজা।

(E_{(1)}, \dots, E_{(n)})

$(E_{(1)},\ldots,E_{(n)})$

(\frac{E_{1}}{n}, \frac{E_{1}}{n} + \frac{E_{2}}{n - 1}, \dots, \frac{E_{1}}{n} + \frac{E_{2}}{n - 1} + \dots + \frac{E_{n}}{1})

$\left(\frac{E_1}{n},\frac{E_1}{n}+\frac{E_2}{n-1},\ldots,\frac{E_1}{n}+\frac{E_2}{n-1}+\ldots+\frac{E_n}{1}\right)$

\sum_{k = 1}^{n} (E_{k} - E_{(1)}) \sim \sum_{k = 1}^{n - 1} E_{k}

$\sum_{k=1}^n(E_k-E_{(1)})\sim \sum_{k=1}^{n-1}E_k$

— সিয়ান
সূত্র

এই উত্তরের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ! আমি কাউকে যারা ভবিষ্যতে এই পড়া হয় কিছু বিবরণ পূরণ করতে চাই: পর্যবেক্ষিত মান , এবং দেখুন সবচেয়ে সহজ পদ্ধিতি হল উপায় যে হ'ল লিখতে হবে term টার্ম-টু-টার্ম। কারণ ঘনত্ব হয় সমানুপাতিক করতে পৃথক ঘনত্ব দেখতে হয় সমানুপাতিক করতে , অতএব ।

e_{i}

$e_i$

E_{i}

$E_i$

\sum_{i = 1}^{n} e_{(i)} = \sum_{i = 1}^{n} (n - i + 1) (e_{(i)} - e_{(i - 1)}) = \sum_{i = 1}^{n} e_{(i)}

$\sum_{i=1}^{n}e_{(i)} = \sum_{i=1}^{n}(n-i+1)(e_{(i)} - e_{(i-1)}) = \sum_{i=1}^{n}e_{(i)}$

\sum_{i = 1}^{n} (n - i + 1) (e_{(i)} - e_{(i - 1)})

$\sum_{i=1}^{n}(n-i+1)(e_{(i)} - e_{(i-1)})$

(Y_{1}, \dots, Y_{n})

$(Y_1, \dots, Y_n)$

\exp (- \sum_{i = 1}^{n} y_{i})

$\exp\left(-\sum_{i=1}^{n}y_i \right)$

y_{i}

$y_i$

\prod_{i = 1}^{n} e^{- y_{i}}

$\prod_{i=1}^{n}e^{-y_i}$

Y_{1}, \dots, Y_{n} \overset{iid}{\sim} Exp (1)

$Y_1, \dots, Y_n \overset{\text{iid}}{\sim} \text{Exp}(1)$

— ক্লারিনেটিস্ট

@ জবোম্যান দ্বারা মন্তব্যে কী পরামর্শ দেওয়া হয়েছে আমি তা এখানেই রেখেছি।

একটি ধ্রুবক । যাক একটি অনুসরণ এবং বিবেচনা । তারপর $a\geq 0$ $Y_i$ $\text{Exp(1)}$ $Z_i = Y_i-a$

Pr (Z_{i} \leq z_{i} ∣ Y_{i} \geq a) = Pr (Y_{i} - a \leq z_{i} ∣ Y_{i} \geq a)

$\Pr(Z_i\leq z_i \mid Y_i \geq a) = \Pr(Y_i-a\leq z_i \mid Y_i \geq a)$

⟹ Pr (Y_{i} \leq z_{i} + a ∣ Y_{i} \geq a) = \frac{Pr (Y_{i} \leq z_{i} + a, Y_{i} \geq a)}{1 - Pr (Y_{i} \leq a)}

$\implies \Pr(Y_i\leq z_i+a \mid Y_i \geq a) = \frac {\Pr(Y_i\leq z_i+a,Y_i \geq a)}{1-\Pr(Y_i\leq a)}$

⟹ \frac{Pr (a \leq Y_{i} \leq z_{i} + a)}{1 - Pr (Y_{i} \leq a)} = \frac{1 - e^{- z_{i} - a} - 1 + e^{- a}}{e^{- a}} = 1 - e^{- z_{i}}

$\implies \frac {\Pr(a\leq Y_i\leq z_i+a)}{1-\Pr(Y_i\leq a)} = \frac {1-e^{-z_i-a}-1+e^{-a}}{e^{-a}}=1-e^{-z_i}$

যার বন্টন ফাংশন । $\text{Exp(1)}$

আসুন এটি বর্ণনা করুন: কোনও rv একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে (শেষ রেখার সংখ্যায় পড়বে এমন সম্ভাবনাটি প্রদত্ত যে এটি ব্যবধানের নীচের গণ্ডির (ডিনোমিনেটর) অতিক্রম করবে কেবলমাত্র তার উপর নির্ভর করে ব্যবধানটির দৈর্ঘ্য এবং এই ব্যবধানটি আসল লাইনে কোথায় স্থাপন করা হয়েছে তা নয়। $\text{Exp(1)}$ এটি এক্সফেনশিয়াল বিতরণের " স্মরণহীনতা " সম্পত্তিটির অবতার , এখানে আরও সাধারণ বিন্যাসে, সময়-ব্যাখ্যা ছাড়াই (এবং এটি সাধারণভাবে তাত্পর্যপূর্ণ বিতরণকে ধারণ করে)

এখন, conditioning কন্ডিশনার দ্বারা আমরা কে অ-নেতিবাচক হতে বাধ্য এবং গুরুত্বপূর্ণভাবে, প্রাপ্ত ফলাফলটি holds ধারণ করে । সুতরাং আমরা নিম্নলিখিতটি বলতে পারি: $\{Y_i \geq a\}$ $Z_i$ $\forall a\in \mathbb R^+$

তাহলে , তারপর । $Y_i\sim \text{Exp(1)}$ $\forall Q\geq 0 : Z_i = Y_i-Q \geq 0$ $\implies$ $Z_i\sim \text{Exp(1)}$

আমরা কি এমন কোনও খুঁজে পেতে পারি যা সমস্ত অ-নেতিবাচক বাস্তব মান গ্রহণের জন্য নিখরচায় এবং যার জন্য প্রয়োজনীয় অসমতা সর্বদা ধারণ করে (প্রায় অবশ্যই)? আমরা যদি পারি তবে কন্ডিশনার যুক্তি দিয়ে আমরা তা সরবরাহ করতে পারি। $Q\geq 0$

এবং প্রকৃতপক্ষে আমরা পারি। এটি সর্বনিম্ন-অর্ডার পরিসংখ্যান , , । সুতরাং আমরা পেয়েছি $Q=Y_{(1)}$ $\Pr(Y_i \geq Y_{(1)})=1$

Y_{i} \sim Exp(1) ⟹ Y_{i} - Y_{(1)} \sim Exp(1)

$Y_i\sim \text{Exp(1)} \implies Y_i-Y_{(1)} \sim \text{Exp(1)}$

এই যে মানে

Pr (Y_{i} - Y_{(1)} \leq y_{i} - y_{(1)}) = Pr (Y_{i} \leq y_{i})

$\Pr(Y_i-Y_{(1)} \leq y_i-y_{(1)}) = \Pr(Y_i \leq y_i)$

সুতরাং যদি আমরা ন্যূনতম আদেশের পরিসংখ্যান বিয়োগ করে যদি এর সম্ভাব্য কাঠামো অপরিবর্তিত থাকে তবে এটি এবং যেখানে স্বতন্ত্র, তাদের মধ্যে সম্ভাব্য সংযোগের পরেও স্বতন্ত্র, the সম্ভাব্য কাঠামোর উপর কোনও প্রভাব রাখে না। $Y_i$ $Z_i=Y_i-Y_{(1)}$ $Z_j=Y_j-Y_{(1)}$ $Y_i, Y_j$ $Y_{(1)}$

তারপরে যোগফল মধ্যে iid এলোমেলো ভেরিয়েবল (এবং একটি শূন্য) রয়েছে এবং তাই $\sum_{i=1}^{n}(Y_i - Y_{(1)})$ $n-1$ $\text{Exp(1)}$

\sum_{i = 1}^{n} (Y_{i} - Y_{(1)}) \sim Gamma (n - 1, 1)

$\sum_{i=1}^{n}(Y_i - Y_{(1)}) \sim \text{Gamma}(n-1, 1)$

— আলেকোস পাপাদোপ্লোস
সূত্র