দক্ষতার সাথে একটি চৌম্বক বিটা বিতরণ নমুনা

Question

নিম্নলিখিত বিতরণ থেকে কীভাবে দক্ষতার সাথে নমুনা করব?

$$x \sim B(\alpha, \beta),\space x > k$$

যদি খুব বেশি বড় না হয় তবে প্রত্যাখ্যানের নমুনা সেরা পদ্ধতির হতে পারে, তবে বড় হলে কীভাবে এগিয়ে যেতে হবে তা আমি নিশ্চিত নই । সম্ভবত কিছু অ্যাসিপটোটিক আনুমানিকতা রয়েছে যা প্রয়োগ করা যেতে পারে?$k$$k$

Comments

" " দ্বারা আপনি সেখানে কী চান তা নিস্পষ্টভাবে পরিষ্কার করা যায় না । আপনি যদি একটি মানে কি ছেঁটে ফেলা বিটা বন্টন (এ বাঁদিকে ছেঁটে ফেলা )? $x \sim B(\alpha, \beta),\space x > k$$k$

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

@ Glen_b ঠিক

— ব্যবহারকারী1502040

1 টিরও বেশি আকারের প্যারামিটারগুলির জন্য বিটা বিতরণটি লগ-অবতল হয়, সুতরাং ক্ষতিকারক খামগুলি প্রত্যাখ্যানের নমুনার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। অবিকৃত বিটা বৈচিত্রগুলি উত্পন্ন করতে আপনি ইতিমধ্যে ছাঁটা কাটা ঘটিত ঘন ঘন বিতরণগুলি (যা করা সহজ) থেকে নমুনা তৈরি করছেন এটি এই পদ্ধতিটি খাপ খাইয়ে নেওয়া সহজ হওয়া উচিত।

— Scortchi - পুনর্বহাল মনিকা

Answer 1

সবচেয়ে সহজ উপায় এবং সর্বাধিক সাধারণ উপায়, এটি কোনও কাটা বিতরণের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য (এটি উভয় পক্ষের কাটা কাটাতেও সাধারণীকরণ করা যেতে পারে), ইনভার্স ট্রান্সফর্ম নমুনা ব্যবহার করা । যদি হ'ল সুদের সম্মিলিত বিতরণ হয় তবে p 0 = F ( k ) সেট করে নিন take$F$$p_0 = F(k)$

$$U \sim \mathcal{U}(p_0, 1) \\ X = F^{-1}(U)$$

যেখানে থেকে একটি নমুনা এফ এ বাঁ-ছেঁটে ফেলা ট । সমাংশক ফাংশন এফ - 1 থেকে নমুনা সম্ভাব্যতা ম্যাপ করবে এফ । যেহেতু আমরা কেবলমাত্র "অঞ্চল" থেকে ইউ এর মান গ্রহণ করি যা অ-কাটা অঞ্চল থেকে বিটা বিতরণের মানগুলির সাথে মেলে, আপনি কেবল সেই মানগুলিকেই নমুনা করবেন।$X$$F$$k$$F^{-1}$$F$$U$

এই পদ্ধতিটি নীচের চিত্রটিতে চিত্রিত হয়েছে যেখানে কাটা অঞ্চলটি ধূসর আয়তক্ষেত্র দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে, লাল রঙের পয়েন্টগুলি বিতরণ থেকে অঙ্কিত হবে এবং তারপরে বি ( 2 , 8 ) নমুনায় রূপান্তরিত হবে ।$\mathcal{U}(p_0, 1)$$\mathcal{B}(2, 8)$

Comments

(+1) এটি উল্লেখ করার মতো যে কোয়ান্টাইল ফাংশনটি এত সহজে মূল্যায়ন করা যায় না।

— Scortchi - পুনর্বহাল মনিকা

@ স্কার্টচি যদি একটি বা বি হয় 1 বা কমপক্ষে একটি পূর্ণসংখ্যার হয় তবে খুব একটা খারাপ রূপ নেই ( উইকিপিডিয়া দেখুন )। পাইথনে scipy.special.betaincবিপরীতমুখী এবং আরে রয়েছে pbeta।

— গ্রিফার

@ গ্রিফার: আমার উচিত "সস্তা, সাধারণভাবে" বলতে হবে - সম্ভব হলে নিউটন-রাফসন বা অন্যান্য পুনরাবৃত্ত সমাধানগুলি এড়ানো ভাল better (BTW এটা qbetaআর এ সমাংশক ফাংশন জন্য)

— পুনর্বহাল মনিকা - Scortchi

@ স্কোর্টচি আপনি ঠিক বলেছেন, তবে বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই আধুনিক সময়ের কম্পিউটারগুলির ক্ষেত্রে এটি একটি বড় সমস্যা হওয়া উচিত নয়। আমি এই পদ্ধতিরও সুপারিশ করি যেহেতু এটি বেশিরভাগ সফ্টওয়্যারে সরাসরি উপলব্ধ এবং কোনও ছাঁটাই বিতরণে সাধারণীকরণ করা যায় , কেবল যদি কারও কোয়ান্টাইল ফাংশনে অ্যাক্সেস থাকে।

— টিম

নিঃসন্দেহে একটি সাধারণ প্রয়োগযোগ্য, সহজেই প্রয়োগ করা পদ্ধতি হ'ল যার রান-টাইম দিয়ে বাড়বে না তা হ'ল ভাল ; & বদ্ধ-ফর্ম কোয়ান্টাইল ফাংশনগুলির সাথে বিতরণের জন্য, যেমন ওয়েবুল, এটি যেমনটা পায় ততটাই ভাল হতে হবে। তবুও আমার সন্দেহ হয় কে সর্বাধিক সফ্টওয়্যারগুলিতে উপলব্ধ দক্ষ প্রত্যাখ্যান-নমুনা অ্যালগরিদমগুলিকে মারধর করার আগে বিটা বিতরণের একটি বড় অংশ কেটে ফেলতে হবে এবং এটি কেবল বিটার সম্ভাব্যতা ঘনত্বের গণনায় নির্ভর করে। $k$$k$

— স্কর্চচি - মনিকা পুনরায় ইনস্টল করুন

Answer 2

@ টিমের উত্তরটি দেখায় যে কীভাবে বিপরীতে ট্রান্সফর্ম স্যাম্পলিং কাটা কাটা বিতরণগুলির জন্য অভিযোজিত হতে পারে, প্রান্তিকের উপর নির্ভরতার রান-টাইম মুক্ত করে । বিটা কোয়ান্টাইল ফাংশনের ব্যয়বহুল সংখ্যাগত মূল্যায়ন এড়ানো এবং প্রত্যাখ্যানের নমুনার অংশ হিসাবে বিপরীত ট্রান্সফর্ম স্যাম্পলিং ব্যবহার করে আরও দক্ষতা পাওয়া যায়।$k$

আকারের পরামিতিগুলির সাথে বিটা বিতরণের ঘনত্বের ফাংশন & β কে 1 < কে 2 (আরও কিছু সাধারণতার জন্য) দ্বিগুণভাবে কেটে গেছে$\alpha$$\beta$$k_1<k_2$

$$f(x) = \frac{x^{(\alpha-1)}(1-x)^{(\beta-1)}}{\operatorname{B}(k2, \alpha, \beta) - \operatorname{B}(k_1, \alpha, \beta)}$$

ও এক্স ইউ এর মধ্যে ঘনত্বের যে কোনও ঘনত্বের বাড়তি অংশ নিন : α , β > 1 এর জন্য এটি লগ-অবতল, যাতে আপনি এটির সাথে যে কোনও বিন্দুতে ট্যানজেন্টে আঁকা একটি ক্ষতিকারক ক্রিয়াকলাপটি এটিকে খাম করতে পারেন:$x_\mathrm{L}$$x_\mathrm{U}$$\alpha,\beta>1$

$$g(x) = c \cdot \lambda \mathrm{e}^{-\lambda (x-x_\mathrm{L})}$$

এই লগ ঘনত্বের গ্রেডিয়েন্ট সমান সেট করে$\lambda$

এবংসিঅনুসন্ধান করুনযে ঘনত্বটি পূরণের জন্য ঘনিষ্ঠতা কত ঘন ঘনত্বকে বাড়ানো দরকার c=f(x

$$-\lambda = \frac{a-1}{x} - \frac{b-1}{1-x}$$ $c$ $$c = \frac{f(x)}{\lambda\mathrm{e}^{-\lambda(x-x_\mathrm{L})}}$$

$$A = c \cdot (1 - \mathrm{e}^{-\lambda(x_\mathrm{U}-x_\mathrm{L})})$$ $x$$\lambda$$c$

$$\begin{align} Q(x)= & \frac{x^a (1-x)^b}{(a+b-2)x - a+1} \cdot\\ & \left[\exp\left(\frac{(b-1)(x-x_L)}{1-x} + \frac{x_L (a-1)}{x} - (a-1)\right) - \right.\\ & \left. \exp\left(\frac{(b-1)(x-x_U)}{1-x} + \frac{x_U(a-1)}{x} - (a-1)\right)\right]\\ \end{align}$$

$\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} x}$$x$$\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} x} = 0$

$k_1$$k_2$$U$$\frac{- \log(1-U)}{\lambda}$$\lambda$

এই পদ্ধতির সৌন্দর্য হ'ল সমস্ত কঠোর পরিশ্রম সেট আপের মধ্যে। খামের ক্রিয়াটি সংজ্ঞায়িত হয়ে গেলে, কাটা বিটা ঘনত্ব গণনা করার জন্য ধ্রুবককে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে নামিয়ে আনার জন্য বাকিগুলি অভিন্ন র্যান্ডম বৈচিত্র তৈরি করা এবং কয়েকটি সাধারণ গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ, লগ এবং শক্তি এবং তুলনা করা। খামের ক্রিয়াকলাপটি - অনুভূমিক রেখা বা আরও তাত্পর্যপূর্ণ কার্ভগুলির সাথে শক্ত করা - অবশ্যই প্রত্যাখ্যানের সংখ্যা হ্রাস করতে পারে।

Comments

+1 দুর্দান্ত ধারণা। যেহেতু বিটা তার পরামিতিগুলির মাঝারি থেকে বড় মানেরগুলির জন্য প্রায় স্বাভাবিক, তারা একে অপরের কতটা কাছাকাছি তার উপর নির্ভর করে, গাউসিয়ান খামটি ব্যবহার করা সম্ভবত খানিকটা বেশি দক্ষ হতে পারে।

— whuber

$\alpha<1$$\beta<1$

$\alpha$$\beta$

@ হুইবার: (১) খামগুলি তৈরির জন্য আমি যে পদ্ধতিটি এখানে নিয়েছি তা কার্যকর হবে না কারণ ঘনত্বগুলি লগ-অবতল নয়। (২) (ক) আমি অবশ্যই বীজগণিত ফাংশন + লগ এবং ক্ষমতা, ট্রিগল বলতে চাইছিলাম। ফাংশন যদি আমাকে জিজ্ঞাসা করা হত, এবং এমনকি গামা ফাংশন - আমি স্বীকার করি আমার একটি সঠিক ধারণা ছিল না। (খ) গৃহীত পয়েন্ট - দ্রুত ফাংশন মূল্যায়নগুলি বদ্ধ ফর্মগুলির মধ্যে সীমাবদ্ধ নয়।

— Scortchi - পুনর্বহাল মনিকা

$\alpha\lt 1$$\beta \lt 1$