নন-আইড বার্নোল্লি ভেরিয়েবলের এলোমেলো যোগফলের সম্ভাব্যতা বন্টন কী?

9

আমি এলোমেলোভাবে বিতরণ করা হয়নি এমন এলোমেলো সংখ্যক ভেরিয়েবলের যোগফলের সম্ভাব্য বন্টন সন্ধান করার চেষ্টা করছি। এখানে একটি উদাহরণ:

জন একটি গ্রাহক পরিষেবা কল সেন্টারে কাজ করে। তিনি সমস্যার সাথে কল পেয়ে থাকেন এবং সেগুলি সমাধান করার চেষ্টা করেন। তিনি যেগুলি সমাধান করতে পারবেন না, সেগুলি তাদের উন্নত করতে এগিয়ে পাঠায়। আসুন ধরে নেওয়া যাক যে তিনি যে দিনে কল পান তার নম্বরটি একটি পইসন বিতরণ অনুসরণ করে $\mu$ । প্রতিটি সমস্যার অসুবিধে খুব সহজ স্টাফ (যা সে অবশ্যই মোকাবেলা করতে পারে) থেকে খুব বিশেষীকরণিত প্রশ্নগুলির মধ্যে পরিবর্তিত হয় যা কীভাবে সমাধান করা যায় তা তিনি জানেন না। অনুমান যে সম্ভাবনা $p_i$ তিনি i -th সমস্যার সমাধান করতে সক্ষম হবেন পরামিতিগুলির সাথে একটি বিটা বিতরণ অনুসরণ করে $\alpha$ এবং $\beta$ এবং পূর্ববর্তী সমস্যাগুলি থেকে স্বতন্ত্র। তিনি একদিনে কল করার সংখ্যার বিতরণ কী?

আরও আনুষ্ঠানিকভাবে, আমার কাছে রয়েছে:

$Y = I(N > 0)\sum_{i = 0}^{N} X_i$ জন্য $i = 0, 1, 2, ..., N$

কোথায় $N \sim \mathrm{Poisson}(\mu)$ , $(X_i | p_i) \sim \mathrm{Bernoulli}(p_i)$ এবং $p_i \sim \mathrm{Beta}(\alpha, \beta)$

মনে রাখবেন, আপাতত, আমি ধরে নিলাম যে খুশি $X_i$ এর স্বাধীনতা আছে। আমি যে পরামিতি গ্রহণ করব $\mu, \alpha$ এবং $\beta$ একে অপরকে প্রভাবিত করবেন না যদিও এর বাস্তব জীবনের উদাহরণে $\mu$ বড়, পরামিতি $\alpha$ এবং $\beta$ এমনটি যাতে বিটা বিতরণে কম সাফল্যের হারের পরিমাণ বেশি থাকে $p$ । তবে আপাতত এটিকে উপেক্ষা করা যাক।

আমি হিসাব করতে পারি $P(Y = 0)$ কিন্তু এটি সম্পর্কে। কী কী বিতরণ করা যায় তার একটি ধারণা পেতে আমি মানগুলিও অনুকরণ করতে পারি $Y$ দেখতে দেখতে (এটি পোয়েসনের মতো দেখাচ্ছে তবে আমি জানি না যে এটি সংখ্যায় কম রয়েছে $\mu, \alpha$ এবং $\beta$ আমি চেষ্টা করেছি বা এটি জেনারালাইজ করে কিনা এবং কীভাবে এটি বিভিন্ন প্যারামিটার মানগুলির জন্য পরিবর্তিত হতে পারে)। এই বিতরণটি কী তা সম্পর্কে কোনও ধারণা বা আমি কীভাবে এটি অর্জন করতে পারি?

দয়া করে নোট করুন যে আমি এই প্রশ্নটি টকস্ট্যাটস ফোরামেও পোস্ট করেছি তবে আমি ভেবেছিলাম যে এটি এখানে আরও মনোযোগ পেতে পারে। ক্রস পোস্ট করার জন্য ক্ষমা এবং আপনার সময়ের জন্য অগ্রিম অনেক ধন্যবাদ।

সম্পাদনা : এটি পরিণত হয়েছে (নীচে খুব সহায়ক উত্তর দেখুন - এবং তাদের জন্য ধন্যবাদ!), এটি সত্যিই একটি $\mathrm{Poisson}(\frac{\mu\alpha}{\alpha + \beta})$ বিতরণ, এমন কিছু যা আমি আমার স্বজ্ঞাত এবং কিছু সিমুলেশনগুলির উপর ভিত্তি করে অনুমান করছিলাম তবে প্রমাণ করতে সক্ষম হইনি। আমি এখন যা অবাক করে দেখছি তা হ'ল পোইসন বিতরণ কেবলমাত্র এর গড়ের উপর নির্ভর করে $\mathrm{Beta}$ বিতরণ কিন্তু তার বৈকল্পিকতা দ্বারা প্রভাবিত হয় না।

উদাহরণ হিসাবে, নিম্নলিখিত দুটি বিটা বিতরণের ক্ষেত্রে একই গড় কিন্তু ভিন্ন ভিন্নতা রয়েছে। স্বচ্ছতার জন্য, নীল পিডিএফ একটি প্রতিনিধিত্ব করে $\mathrm{Beta}(2, 2)$ এবং লাল একটি $\mathrm{Beta}(0.75, 0.75)$ ।

যাইহোক, তারা উভয় একই ফলাফল হবে $\mathrm{Poisson}(0.5\mu)$ বিতরণ, যা আমার কাছে কিছুটা স্বতঃস্ফূর্ত মনে হয়। (ফলাফলটি ভুল, এটি অবাক করে দিয়ে বলছি না!)

probability distributions random-variable

— Constantinos
সূত্র

স্থির জন্য

N

$N$ এখানে পয়সন-দ্বিপদী বিতরণ রয়েছে তবে আপনার সমস্যাটি আরও জটিল this

— টিম

ধন্যবাদ, আমি পয়সন-দ্বিপদী বিতরণ সম্পর্কে জানি কিন্তু

N

$N$ এখানে এলোমেলো।

— কনস্টান্টিনো

আপনি যৌগিক পোইসনটি একবার দেখে নিতে পারেন , তবে আপনাকে এটি কার্যকর করতে 0 এর সাথে কিছু কাজ করতে হবে

— Glen_b -Rininstate Monica

6

কলগুলি (তা হ'ল $X_i$ ) একটি পইসন প্রক্রিয়া অনুসারে পৌঁছান। মোট কল সংখ্যা $N$ একটি Poisson বিতরণ অনুসরণ। কলগুলি দুটি প্রকারে ভাগ করুন, যেমন কিনা $X_i = 1$ অথবা $X_i = 0$ । লক্ষ্যটি প্রক্রিয়াটি নির্ধারণ করে যা উত্পন্ন করে $1$ গুলি। এটি যদি তুচ্ছ হয় $X_i = 1$ একটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনা সহ $p$ : পইসন প্রক্রিয়াগুলির সুপারপজিশন নীতি অনুসারে, সম্পূর্ণ প্রক্রিয়াটি কেবলমাত্র পাতলা হয়ে যায় $1$ গুলি হারের সাথে একটি পয়সন প্রক্রিয়াও হবে $p\mu$ । প্রকৃতপক্ষে এটি ক্ষেত্রে, সেখানে পৌঁছানোর জন্য আমাদের কেবলমাত্র একটি অতিরিক্ত পদক্ষেপ প্রয়োজন।

প্রান্তিককরণ $p_i$ , তাই যে

P r (X_{i} | α, β) = \int_{0}^{1} p_{i}^{X_{i}} (1 - p_{i})^{1 - X_{i}} \frac{p_{i}^{α - 1} (1 - p_{i})^{β - 1}}{B (α, β)} d p_{i} = \frac{B (X_{i} + α, 1 - X_{i} + β)}{B (α, β)}

$\mathrm{Pr}(X_i|\alpha, \beta) = \int_0^1 p_i^{X_i} (1-p_i)^{1-X_i} \frac{p_i^{\alpha-1} (1-p_i)^{\beta-1}}{\mathcal{B}(\alpha, \beta)} dp_i = \frac{\mathcal{B}(X_i + \alpha, 1 - X_i + \beta)}{\mathcal{B}(\alpha, \beta)}$

কোথায় $\mathcal{B}(a, b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a + b)}$ বিটা ফাংশন। যে সত্য ব্যবহার করে $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$ , উপরেরটি সরল করে;

P r (X_{i} = 1 | α, β) = \frac{Γ (1 + α) Γ (β)}{Γ (1 + α + β)} \frac{Γ (α + β)}{Γ (α) Γ (β)} = \frac{α}{α + β}

$\mathrm{Pr}(X_i = 1|\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(1+\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(1+\alpha+\beta)} \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}$ অন্য কথায়,

X_{i} \sim B e r n o u l l i (\frac{α}{α + β})

$X_i \sim \mathrm{Bernoulli}(\frac{\alpha}{\alpha+\beta})$ । সুপারপজিশন সম্পত্তি দ্বারা,

Y

$Y$ পোইসন হার সহ বিতরণ করা হয়

\frac{α μ}{α + β}

$\frac{\alpha \mu}{\alpha+\beta}$ ।

অঙ্কের একটি উদাহরণ (আর সহ) ... চিত্রটিতে উল্লম্ব রেখাগুলি সিমুলেশন থেকে এবং লাল পয়েন্টগুলি উপরের উত্পন্ন পিএমএফ থেকে:

draw <- function(alpha, beta, mu) 
{ N <- rpois(1, mu); p = rbeta(N, alpha, beta); sum(rbinom(N, size=1, prob=p)) }

pmf <- function(y, alpha, beta, mu)
  dpois(y, alpha*mu/(alpha+beta))

y <- replicate(30000,draw(4,5,10))
tb <- table(y)

# simulated pmf
plot(tb/sum(tb), type="h", xlab="Y", ylab="Probability")
# analytic pmf
points(0:max(y), pmf(0:max(y), 4, 5, 10), col="red")

— নাট পোপ
সূত্র

3

থেকে $p_i$ একটি সঙ্গে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল $\operatorname{Beta}(\alpha,\beta)$ তোমার আছে $\mathbb{E}[p_i]= \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}$ এবং এটি আসলে সেই সম্ভাবনা যা জন আসলে সমাধান করে $i$ অন্য সকলের থেকে স্বতন্ত্রভাবে সমস্যা।
যেহেতু একদিনে মোট সমস্যার সংখ্যা প্যারামিটার সহ পোইসন বিতরণ করে $\mu$ এবং প্রতিটি সম্ভাব্যতার সাথে সমাধান করা হবে $\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}$ , জন প্রতিদিন সমাধান করে এমন সংখ্যাটির প্যারামিটার সহ একটি পয়সন বিতরণ রয়েছে $\dfrac{\mu\alpha}{\alpha+\beta}$
তিনি কোনও সমস্যার সমাধান করেন না এমন সম্ভাবনা সম্পর্কে আপনার গণনা হওয়া উচিত $\mathbb{P}(Y=0) = e^{-{\mu\alpha}/({\alpha+\beta})}$

— হেনরি
সূত্র