সম্পর্কযুক্ত বার্নৌল্লি ট্রায়ালস, মাল্টিভাটারে বের্নোল্লি বিতরণ?

আমি কাজ করে এমন একটি গবেষণা প্রশ্নকে সহজ করছি work কল্পনা করুন যে আমার কাছে 5 টি কয়েন রয়েছে এবং আসুন আমরা হেডকে সাফল্য বলি। এগুলি সাফল্যের সম্ভাব্যতার সাথে সম্ভাব্য পি = 0.1 রয়েছে এমন অনেকগুলি পক্ষপাতদুষ্ট মুদ্রা। এখন, যদি কয়েনগুলি স্বাধীন ছিল, তবে কমপক্ষে 1 টি মাথা বা তারও বেশি হওয়ার সম্ভাবনা পাওয়া খুব সহজ, । আমার দৃশ্যে, আমার বার্নোল্লি ট্রায়ালগুলি (কয়েন টসস) স্বতন্ত্র নয়। আমার কাছে কেবলমাত্র অ্যাক্সেস রয়েছে সেগুলি হ'ল সাফল্যের সম্ভাবনা (প্রতিটি এক পি =। 1) এবং বাইনারি ভেরিয়েবলগুলির মধ্যে তাত্ত্বিক পিয়ারসন পারস্পরিক সম্পর্ক। $1-(1-1/10)^5$

কেবলমাত্র এই তথ্য দিয়ে কোনও সাফল্যের সম্ভাবনা গণনা করার কোনও উপায় আছে? আমি সিমুলেশন-ভিত্তিক পদ্ধতির এড়াতে চেষ্টা করছি কারণ এই তাত্ত্বিক ফলাফলগুলি সিমুলেশন অধ্যয়নের নির্ভুলতা গাইড করতে ব্যবহৃত হবে। আমি মাল্টিভারিয়েট বার্নোল্লি বিতরণটি সন্ধান করছি তবে আমি মনে করি না যে আমি কেবল এটির সাথে সম্পর্কিত এবং সাফল্যের প্রান্তিক সম্ভাবনার সাথে সম্পূর্ণরূপে নির্দিষ্ট করতে পারি। আমার এক বন্ধু বার্নৌলি মার্জিনাল (আর প্যাকেজ ব্যবহার করে copula) দিয়ে একটি গাউসিয়ান কপুলা তৈরি করার পরামর্শ দিয়েছিল এবং তারপরে pMvdc()আমার যে সম্ভাবনা রয়েছে তা পেতে একটি বৃহত নমুনায় ফাংশনটি ব্যবহার করার চেষ্টা করেছি তবে এটি সম্পর্কে কীভাবে যেতে হবে তা সম্পর্কে আমি নিশ্চিত নই।

multivariate-analysis bernoulli-distribution copula

— এস পাঙ্কি
সূত্র

মাল্টিভিয়ারিয়েট বের্নোল্লি বিতরণটি এখানে বর্ণিত হয়েছে: arxiv.org/abs/1206.1874

— টিম

ট্রায়ালের মধ্যে কোনও অস্থায়ী উপাদান রয়েছে বা এগুলি কি সব সমান্তরালে রয়েছে? যদি প্রাক্তন থাকে তবে আপনি কি অনুমান করতে পারেন যার মাধ্যমে কেবলমাত্র উপর নির্ভরশীল , যেখানে আপনাকে আপনার মার্কভ মডেলের ক্রম দেয়?

t r i a l_{i}

$trial_i$

t r i a l_{i - n}

$trial_{i-n}$

n

$n$

— ঝুবার্ব

উত্তর:

না, যখনই আপনার কাছে তিন বা ততোধিক মুদ্রা থাকে এটি অসম্ভব।

দুটি মুদ্রার ক্ষেত্রে

আসুন প্রথমে দেখি কেন এটি দুটি কয়েনের জন্য কাজ করে কেননা এটি আরও কয়েনের ক্ষেত্রে কী ভাঙবে সে সম্পর্কে কিছুটা অন্তর্দৃষ্টি সরবরাহ করে।

যাক এবং বের্নুলির বিতরণ দুটি মামলা সংশ্লিষ্ট, ভেরিয়েবল বোঝাতে , । প্রথমত, প্রত্যাহার যে পারস্পরিক সম্পর্ক এবং হয় $X$ $Y$ $X \sim \mathrm{Ber}(p)$ $Y \sim \mathrm{Ber}(q)$ $X$ $Y$

c o r r (X, Y) = \frac{E [X Y] - E [X] E [Y]}{\sqrt{V a r (X) V a r (Y)}},

$\mathrm{corr}(X, Y) = \frac{E[XY] - E[X]E[Y]}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)\mathrm{Var}(Y)}},$

এবং যেহেতু আপনি প্রান্তিকগুলি জানেন, আপনি , , , এবং , সুতরাং পারস্পরিক সম্পর্ক জেনেও আপনি কেও জানেন । এখন, যদি এবং কেবল এবং উভয়ই তাই $E[X]$ $E[Y]$ $\mathrm{Var}(X)$ $\mathrm{Var}(Y)$ $E[XY]$ $XY = 1$ $X = 1$ $Y = 1$

E [X Y] = P (X = 1, Y = 1) .

$E[XY] = P(X = 1, Y = 1).$

প্রান্তিকগুলি জানার মাধ্যমে আপনি , এবং । যেহেতু আমরা সবেমাত্র পেয়েছি যে আপনি , তার অর্থ এই যে আপনি এবং তবে এখন আপনি ' পুনরায় সম্পন্ন, আপনি সম্ভবত হিসাবে সন্ধান করছেন $p = P(X = 1, Y = 0) + P(X = 1, Y = 1)$ $q = P(X = 0, Y = 1) + P(X = 1, Y = 1)$ $P(X = 1, Y = 1)$ $P(X = 1, Y = 0)$ $P(X = 0, Y = 0)$

P (X = 1, Y = 0) + P (X = 0, Y = 1) + P (X = 1, Y = 1) .

$P(X = 1, Y = 0) + P(X = 0, Y = 1) + P(X = 1, Y = 1).$

এখন, আমি ব্যক্তিগতভাবে একটি ছবি দিয়ে এই সব দেখতে সহজ। আসুন । তারপরে আমরা বর্গ গঠন হিসাবে বিভিন্ন সম্ভাবনার চিত্র দেখতে পারি: $P_{ij} = P(X = i, Y = j)$

এখানে আমরা দেখেছি যে সম্পর্কগুলি অর্থ হ'ল আপনি , লাল চিহ্নিত করে এবং প্রান্তিকগুলি জানতে পেরে আপনি প্রতিটি প্রান্তের যোগফল জানতেন (যার মধ্যে একটি নীল আয়তক্ষেত্রের সাথে নির্দেশিত)। $P_{11}$

তিনটি মুদ্রার ক্ষেত্রে

এটি তিনটি কয়েনের জন্য সহজে যায় না; intuitively, এটি দেখতে কেন কঠিন নয়: marginals এবং পারস্পরিক সম্পর্ক বুদ্ধিমান করার মাধ্যমে, আপনি একটি মোট জানেন পরামিতি, কিন্তু যৌথ ডিস্ট্রিবিউশন আছে ফলাফল, কিন্তু সম্ভাব্যতা বুদ্ধিমান দ্বারা যারা , আপনি শেষটি বের করতে পারেন; এখন, , সুতরাং এটি যুক্তিসঙ্গত বলে মনে হচ্ছে যে যার দুটি প্রান্তিক এবং পারস্পরিক সম্পর্ক একই রকম দুটি পৃথক যৌথ বন্টন রান্না করতে পারে এবং আপনি যেগুলি অনুসন্ধান করছেন তার মধ্যে পৃথক না হওয়া পর্যন্ত কোনও সম্ভাব্যতাগুলিকে অনুমতি দিতে পারে। $6 = 3 + 3$ $2^3 = 8$ $7$ $7 > 6$

যাক , , এবং তিনটি ভেরিয়েবল হবে | $X$ $Y$ $Z$

P_{i j k} = P (X = i, Y = j, Z = k) .

$P_{ijk} = P(X = i, Y = j, Z = k).$

এক্ষেত্রে উপরের ছবিটি নীচে পরিণত হয়:

মাত্রাগুলি একটিকে দিয়ে কাটা হয়েছে: লাল প্রান্তটি বেশ কয়েকটি রঙিন প্রান্তে পরিণত হয়েছে এবং নীল আয়তক্ষেত্র দ্বারা coveredাকা প্রান্তটি পুরো মুখ হয়ে গেছে। এখানে, নীল বিমানটি সূচিত করে যে প্রান্তিকটি জানতে পেরে আপনি তার মধ্যে সম্ভাব্যতার যোগফলটি জানেন; ছবিতে একজনের জন্য,

P (X = 0) = P_{000} + P_{010} + P_{001} + P_{011},

$P(X = 0) = P_{000} + P_{010} + P_{001} + P_{011},$

এবং একইভাবে কিউবের অন্যান্য সমস্ত মুখের জন্য। রঙিন প্রান্তগুলি বোঝায় যে পারস্পরিক সম্পর্কগুলি জেনে আপনি প্রান্ত দ্বারা সংযুক্ত দুটি সম্ভাবনার যোগফলটি জানেন। উদাহরণস্বরূপ, জেনে আপনি (ঠিক ঠিক উপরে উপরে) জানেন এবং $\mathrm{corr}(X, Y)$ $E[XY]$

E [X Y] = P (X = 1, Y = 1) = P_{110} + P_{111} .

$E[XY] = P(X = 1, Y = 1) = P_{110} + P_{111}.$

সুতরাং, এটি সম্ভাব্য যৌথ বিতরণে কিছু সীমাবদ্ধতা রাখে, তবে এখন আমরা অনুশীলনটিকে একটি ঘনক্ষেত্রের শীর্ষে সংখ্যা রাখার মিশ্রণ অনুশীলনে কমিয়ে দিয়েছি। আরও অগ্রগতি ব্যতীত আসুন আমরা দুটি যৌথ বিতরণ সরবরাহ করি যার প্রান্তিক এবং পারস্পরিক সম্পর্ক একই:

সম্ভাব্যতা বন্টন পেতে এখানে সমস্ত সংখ্যাকে দ্বারা ভাগ করুন । এই কাজগুলি এবং একই প্রান্তিক / পারস্পরিক সম্পর্ক রয়েছে তা দেখতে, কেবল নোট করুন যে প্রতিটি মুখের সম্ভাবনার যোগফল (যার অর্থ হল ভেরিয়েবলগুলি ), এবং তার জন্য পরিমাণগুলি রঙিন প্রান্তের শীর্ষগুলি উভয় ক্ষেত্রেই একমত হয় (এই বিশেষ ক্ষেত্রে, সমস্ত পারস্পরিক সম্পর্ক আসলে একইরকম, তবে এটি সাধারণভাবে হওয়ার দরকার নেই)। $100$ $1/2$ $\mathrm{Ber}(1/2)$

অবশেষে, কমপক্ষে একটি মাথা পাওয়ার সম্ভাবনাগুলি, এবং দুটি ক্ষেত্রে আলাদা, যা আমরা প্রমাণ করতে চেয়েছিলাম। $1 - P_{000}$ $1 - P_{000}'$

আমার জন্য, এই উদাহরণগুলি নিয়ে এসে একটি উদাহরণ তৈরির জন্য কিউবে সংখ্যা রাখার জন্য নেমে এসেছিল এবং তারপরে কেবল পরিবর্তন করে এবং পরিবর্তনগুলি প্রচার করতে দেওয়া। $P_{111}$

সম্পাদনা করুন: এটি সেই বিন্দু যেখানে আমি বুঝতে পেরেছিলাম যে আপনি প্রকৃত প্রান্তিকের সাথেই কাজ করছেন এবং আপনি জানেন যে প্রতিটি চলকটি , তবে উপরের চিত্রটি যদি বোধগম্য হয় তবে এটি টুইট করা সম্ভব এটি আপনার পছন্দসই প্রান্তিক না হওয়া পর্যন্ত। $\mathrm{Ber}(1/10)$

চার বা ততোধিক মুদ্রা

শেষ অবধি, যখন আমাদের তিনটির বেশি মুদ্রা থাকবে তখন অবাক হওয়ার কিছু নেই যে আমরা ব্যর্থ হওয়া উদাহরণগুলি রান্না করতে পারি, কারণ এখন আমাদের কাছে যৌথ বন্টন বর্ণনা করার জন্য প্রয়োজনীয় পরামিতিগুলির সংখ্যা এবং প্রান্তিকের দ্বারা আমাদের সরবরাহ করা সংস্থাগুলির মধ্যে আরও বড় তাত্পর্য রয়েছে এবং সম্পর্কযুক্তরূপে।

কংক্রিটের সাথে, তিনটিরও বেশি সংখ্যক মুদ্রার জন্য, আপনি কেবল উদাহরণগুলি বিবেচনা করতে পারেন যার প্রথম তিনটি মুদ্রা উপরের দুটি উদাহরণগুলির মতো আচরণ করে এবং যার জন্য চূড়ান্ত দুটি মুদ্রার ফলাফলগুলি অন্য সমস্ত মুদ্রা থেকে স্বতন্ত্র।

— fuglede
সূত্র

সম্পর্কযুক্ত বার্নোল্লি ট্রায়ালগুলি গণনা করা ফলাফলের জন্য বিটা-বাইনোমিয়াল বিতরণের দিকে পরিচালিত করে। একটি নির্দিষ্ট সম্পর্ক সম্পর্কিত মান দেওয়ার জন্য এই বিতরণটিকে প্যারামিটারাইজ করা সম্ভব হবে এবং তারপরে আপনি যে সম্ভাবনাটি চান তা গণনা করুন।

— বেন - মনিকা পুনরায় স্থাপন করুন
সূত্র

একটি বিটা-বাইনোমিয়াল কি কেবল দ্বিপদী নয় যার সাফল্যের সম্ভাবনা পরামিতি একটি বিটা অনুসরণ করে এলোমেলো পরিবর্তনশীল? কীভাবে এটি ওপির সমস্যার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য?

— এজি

হ্যাঁ, এটি বিতরণের একটি বৈশিষ্ট্য। এটি সম্পর্কযুক্ত বার্নোল্লি ট্রায়ালের অন্যতম সমাধান (উদাহরণস্বরূপ, হিসাকাদো এট আল 2006 )

— বেন - মনিকা

সুতরাং এটাই! সম্মত।

— এজি

সম্পর্কিত: stats.stackexchange.com/questions/363129

— অ্যামিবা