চতুষ্কোণ শব্দটি যুক্ত করা কি কোনও অর্থবোধ নয় তবে কোনও মডেলের লিনিয়ার টার্মটি নয়?

57

আমার একটি (মিশ্র) মডেল রয়েছে যার মধ্যে আমার ভবিষ্যদ্বাণীকারীদের একজনের পূর্ববর্তী কেবল চতুর্ভুজ সংক্রান্তভাবে ভবিষ্যদ্বাণী সম্পর্কিত (পরীক্ষামূলক কৌশলগত কারণে) সম্পর্কিত হওয়া উচিত। অতএব, আমি মডেলটিতে কেবল চতুর্ভুজ শব্দটি যুক্ত করতে চাই। দুটি জিনিস আমাকে তা করতে বাধা দেয়:

আমি মনে করি যে আমি আরও পড়েছি যে উচ্চতর অর্ডার বহুত্বগুলি ফিট করার সময় আপনার সর্বদা নিম্নতর অর্ডার বহুত্বযুক্ত হওয়া উচিত। আমি কোথায় পেয়েছি তা ভুলে গিয়েছিলাম এবং আমি যে সাহিত্যের দিকে তাকিয়েছিলাম (যেমন, ফারাওয়ে, ২০০২; ফক্স, ২০০২) আমি এর ভাল ব্যাখ্যা খুঁজে পাচ্ছি না।
আমি যখন উভয় যুক্ত করি, লিনিয়ার এবং চতুর্ভুজ শব্দটি উভয়ই তাৎপর্যপূর্ণ। আমি যখন তাদের মধ্যে কেবল একটি যুক্ত করি তখন সেগুলি উল্লেখযোগ্য নয়। তবে, ভবিষ্যদ্বাণীকারী এবং ডেটার একটি লিনিয়ার সম্পর্ক ব্যাখ্যামূলক নয়।

আমার প্রশ্নের প্রসঙ্গটি বিশেষত একটি মিশ্র মডেল ব্যবহার করে lme4, তবে আমি এমন উত্তর পেতে চাই যা এটি ব্যাখ্যা করতে পারে যে এটি কেন বা কেন উচ্চতর অর্ডার বহুত্ববহির্ভূত নয় এবং নিম্নতর অর্ডার বহুবচন নয় l

প্রয়োজনে আমি ডেটা সরবরাহ করতে পারি।

regression polynomial

— হেনরিক
সূত্র

5

আমি মনে করি এই প্রশ্নের উত্তরগুলি সহায়ক হতে পারে।

6

হ্যাঁ আমি প্রলিটিনেটরের সাথে একমত, এবং ইন্টারঅ্যাকশন প্রশ্নগুলি মূলত একই বিবেচ্য। আমরা একটি আছে কয়েক অত্যন্ত প্রশ্ন ভোট বিষয়ে। প্রো এর পরামর্শ ছাড়াও, আরও দেখুন সমস্ত মিথস্ক্রিয়া শর্তাদি কি রিগ্রেশন মডেলটিতে তাদের স্বতন্ত্র পদগুলির প্রয়োজন? এবং যদি ইন্টারঅ্যাকশনটি রিগ্রেশনটিতে আমার সরাসরি প্রভাবগুলি মুছে দেয়? ।

— অ্যান্ডি ডব্লিউ

এই প্রশ্নগুলির অনুস্মারকের জন্য ধন্যবাদ। সেখানে দেওয়া উত্তরগুলি থেকে দেখে মনে হয় যে এটি যদি ঠিক তত্ক্ষণিক শব্দটি অন্তর্ভুক্ত করার জন্য যথাযথ কারণ থাকে এবং প্রতি ভুল ভুল না করে তবে এটি একটি ঠিক কৌশল। যে প্রশ্নটি রয়ে গেছে তা হ'ল স্কেলিবিলিটি সম্পর্কে একটাই (দেখুন: stats.stackexchange.com/a/27726/442 )। কেবল চতুর্ভুজ শব্দটি ব্যবহার করার সময় কি আমার ফিটিংয়ের আগে আমার কেন্দ্রীভূত করা উচিত?

— হেনরিক

1

@ হেনরিক - আপনার পোস্ট করা লিঙ্কে আমার উত্তরটি কীভাবে ভবিষ্যদ্বাণীমূলক মানগুলিতে স্বেচ্ছাসেবী শিফটগুলির উপর নির্ভরশীল মডেলের অনুক্রমের বিষয়ে ছিল (যেমন মধ্যস্থানের অর্থ) - এটির অনুনাসিকভাবে কোনও সিদ্ধান্তের উপর নির্ভর করে যা আপনার উত্তর আমার কাছে কেন প্রশ্ন একই কারণেই 'না'।

— ম্যাক্রো

2

চতুর্ভুজ বনাম লিনিয়ার ইস্যুটি ইন্টারঅ্যাকশন থেকে ধারণাগতভাবে যথেষ্ট পৃথক যে আমি মনে করি এটির একটি সদৃশ হিসাবে বিবেচনা করা উচিত নয়।

— গুং - মনিকা পুনরায়

66

1. কেন লিনিয়ার শব্দটি অন্তর্ভুক্ত করবেন?

চতুর্ভুজীয় সম্পর্ক দুটি উপায়ে লেখা যেতে পারে তা লক্ষ করে আলোকিত করা হয়:

y = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} = a_{2} (x - b)^{2} + c

$y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 = a_2(x - b)^2 + c$

(যেখানে, সহগের সমমান, আমরা এবং )। মান সম্পর্কের একটি বিশ্ব চূড়ান্ত সাথে সামঞ্জস্য করে (জ্যামিতিকভাবে, এটি একটি প্যারোবোলার শীর্ষকে চিহ্নিত করে)। $-2a_2 b = a_1$ $a_2 b^2 + c = a_0$ $x=b$

আপনি যদি রৈখিক শব্দ অন্তর্ভুক্ত না করেন তবে সম্ভাবনাগুলি হ্রাস পাবে $a_1 x$

y = a_{0} + a_{2} x^{2} = a_{2} (x - 0)^{2} + c

$y = a_0 + a_2 x^2 = a_2(x - 0)^2 + c$

(যেখানে এখন, স্পষ্টতই, এবং এটি ধরে নেওয়া হয় যে মডেলটিতে একটি ধ্রুবক শব্দ )। এটি হল, আপনি জোর করে । $c = a_0$ $a_0$ $b=0$

এর আলোকে, প্রশ্ন # 1 নীচে নেমে আসে যে আপনি নিশ্চিত যে বিশ্বব্যাপী চূড়ান্তটি এ হওয়া উচিত । আপনি যদি হন তবে আপনি রৈখিক শব্দটি নিরাপদে বাদ দিতে পারেন । অন্যথায়, আপনি এটি অবশ্যই অন্তর্ভুক্ত করবেন। $x=0$ $a_1 x$

২. পদগুলি অন্তর্ভুক্ত বা বাদ দেওয়া হিসাবে তাত্পর্যপূর্ণ পরিবর্তনগুলি কীভাবে বোঝবেন?

এটি https://stats.stackexchange.com/a/28493 এ সম্পর্কিত থ্রেডে দুর্দান্তভাবে আলোচনা করা হয়েছে ।

বর্তমান ক্ষেত্রে, তাৎপর্য ইঙ্গিত সেখানে সম্পর্ক বক্রতা নেই এবং তাৎপর্য ইঙ্গিত করে যে অশূন্য হল: মত আপনি উভয় শর্তাবলী (সেইসাথে ধ্রুবক, অবশ্যই) অন্তর্ভুক্ত করতে হবে শোনাচ্ছে। $a_2$ $a_1$ $b$

— whuber
সূত্র

1

ধন্যবাদ হুবুহু দুর্দান্ত উত্তর। সুতরাং যদি আমি 0-তে তাত্ত্বিক চূড়ান্ত কেন্দ্র করে থাকি (এটি আসলে সর্বনিম্ন হয়) তবে আমি রৈখিক শব্দটি বাদ দিয়ে ঠিক আছি। এটি তাত্পর্যপূর্ণভাবে একটি অত্যন্ত তাত্পর্যপূর্ণ চতুর্ভুজ পূর্বাভাসকে (রৈখিক ব্যতীত) দিকে নিয়ে যায়।

— হেনরিক

যদি কোনও ভেরিয়েবলের লিনিয়ার এবং চতুর্ভুজীয় পদ উভয়ই পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত হয় তবে আমি কি উভয়কে একটি মডেলে অন্তর্ভুক্ত করতে পারি, বা আমার একটিটিকে বাদ দিতে হবে (যা আমি মনে করি এটি চতুর্ভুজ হওয়া উচিত)?

— mtao

@ টেরেসা রিগ্রেশনের সাথে সম্পর্কিত শর্তাদি সরিয়ে দেওয়ার কোনও সাধারণ কারণ নেই। (যদি তা হয়ে থাকে, তবে তৈরি হওয়া রিগ্রেশন মডেলের বিশাল সংখ্যাগরিষ্ঠতা সমস্যায় পড়তে পারে!) অত্যন্ত দৃ strongly ়ভাবে সংযুক্ত শর্তাদি যেগুলি এককভাবে কোনও পদটির তুলনায় মডেলের ফিটনে অর্থবহ কোনও অবদান রাখে না those শর্তগুলির একটি উপসেটে হ্রাস করা যায়।

— whuber

@ শুভেচ্ছা, আপনাকে অনেক ধন্যবাদ! এছাড়াও, একটি লজিস্টিক রিগ্রেশন মডেলটির জন্য, আমি প্রভাবের আকারটি অনুমান করার জন্য বিজোড় অনুপাত ব্যবহার করেছি, তবে কেবল লিনিয়ার পদ দিয়ে। আমার যখন লিনিয়ার এবং চতুর্ভুজ থাকে তখন আমি কি একই পন্থাটি ব্যবহার করতে পারি এবং ফলাফলগুলি একইভাবে ব্যাখ্যা করতে পারি?

— এমটিওও

বেশ না। কারণটি হ'ল আপনি পৃথকভাবে রৈখিক এবং চতুষ্কোণ শর্তাদি পরিবর্তন করতে পারবেন না। আপনি মূল ভেরিয়েবলটি কিছুটা পরিবর্তন করলে প্রতিক্রিয়া কীভাবে পরিবর্তন হবে তা আপনাকে বিবেচনা করতে হবে।

— whuber

22

@ শুভ এখানে একটি দুর্দান্ত উত্তর দিয়েছেন। আমি কেবল একটি ছোট প্রশংসা পয়েন্ট যুক্ত করতে চাই। প্রশ্নটিতে বলা হয়েছে যে "ভবিষ্যদ্বাণীকারী এবং ডেটার একটি লিনিয়ার সম্পর্ক ব্যাখ্যামূলক নয়"। এটি একটি সাধারণ ভুল বোঝাবুঝির ইঙ্গিত দেয়, যদিও আমি সাধারণত এটি অন্য প্রান্তে শুনতে পাই ('স্কোয়ার [কিউবিক, ইত্যাদি] শব্দটির ব্যাখ্যা কী?')।

যখন আমাদের কাছে একাধিক ভিন্ন covariates সহ একটি মডেল থাকে , প্রতিটি বিটা [শব্দ] সাধারণত তার নিজস্ব ব্যাখ্যা বহন করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি:

{\hat{GPA}}_{c o l l e g e} = β_{0} + β_{1} {GPA}_{h i g h s c h o o l} + β_{2} class rank + β_{3} SAT,

$\widehat{\text{GPA}}_{college}=\beta_0+\beta_1\text{GPA}_{highschool}+\beta_2\text{class rank}+\beta_3\text{SAT},$

(জিপিএ অর্থ গ্রেড পয়েন্ট গড়;
র‌্যাঙ্ক একই উচ্চ বিদ্যালয়ের অন্যান্য শিক্ষার্থীর তুলনায় শিক্ষার্থীর জিপিএর ক্রম;)
স্যাট মানে 'শিক্ষাবৃত্তির প্রবণতা পরীক্ষা' বিশ্ববিদ্যালয়গুলিতে যাওয়া শিক্ষার্থীদের জন্য একটি স্ট্যান্ডার্ড, দেশব্যাপী পরীক্ষা)

তারপরে আমরা প্রতিটি বিটা / টার্মের জন্য পৃথক ব্যাখ্যা নির্ধারণ করতে পারি। উদাহরণস্বরূপ, যদি কোনও শিক্ষার্থীর হাইস্কুলের জিপিএ 1 পয়েন্ট বেশি হয় - অন্য সকলের সমান হয় - আমরা তাদের কলেজের জিপিএ পয়েন্ট উচ্চতর আশা করব। $\beta_1$

তবে এটি লক্ষণীয় গুরুত্বপূর্ণ যে এই পদ্ধতিতে কোনও মডেলের ব্যাখ্যা দেওয়া সর্বদা অনুমোদিত নয়। একটি সুস্পষ্ট কেস হ'ল যখন কিছু ভেরিয়েবলের মধ্যে ইন্টারঅ্যাকশন হয়, কারণ পৃথক শব্দটির পক্ষে পৃথক হওয়া এবং এখনও সবগুলি স্থির রাখা প্রয়োজন ছিল না - প্রয়োজনের সাথে, মিথস্ক্রিয়া শব্দটিও পরিবর্তিত হত। সুতরাং, যখন কোনও ইন্টারঅ্যাকশন হয়, আমরা মূল প্রভাবগুলি ব্যাখ্যা করি না তবে কেবল সহজ প্রভাবগুলি হিসাবে বোঝা যায়।

ক্ষমতার পদগুলির পরিস্থিতি সরাসরি উপমাযুক্ত, তবে দুর্ভাগ্যক্রমে, এটি ব্যাপকভাবে বোঝা যাচ্ছে বলে মনে হয় না। নিম্নলিখিত মডেলটি বিবেচনা করুন: (এই পরিস্থিতিতে, একটি প্রোটোটাইপিকাল অবিচ্ছিন্ন কোভারিয়েটকে উপস্থাপন করার উদ্দেশ্যে তৈরি করা হয়েছে ) changing পরিবর্তন না করে পক্ষে পরিবর্তন করাও সম্ভব নয় , এবং বিপরীতভাবে. সহজ কথায় বলতে গেলে, যখন কোনও মডেলটিতে বহুপদী শর্ত থাকে, একই অন্তর্নিহিত কোভেরিয়েটের উপর ভিত্তি করে বিভিন্ন পদ পৃথক ব্যাখ্যার সাধ্য হয় না। ( , , ইত্যাদি) শব্দটি কোন স্বাধীন অর্থ নেই। সত্য যে একটি

\hat{y} = β_{0} + β_{1} x + β_{2} x^{2}

$\hat{y}=\beta_0+\beta_1x+\beta_2x^2$

x

$x$

x

$x$

x^{2}

$x^2$ $x^2$ $x$ $x^{17}$

p

$p$ -পাওয়ারের বহুবর্ষীয় শব্দটি কোনও মডেলটিতে 'তাৎপর্যপূর্ণ' ইঙ্গিত দেয় যে এবং সম্পর্কিত ফাংশনে 'bend' রয়েছে । এটি দুর্ভাগ্যজনক, কিন্তু অনিবার্য, যে যখন বক্রতা উপস্থিত থাকে, ব্যাখ্যাটি আরও জটিল হয়, এবং সম্ভবত কম স্বজ্ঞাত হয়। পরিবর্তন হিসাবে in এর পরিবর্তন মূল্যায়ন করতে , আমাদের ক্যালকুলাস ব্যবহার করতে হবে। উপরে মডেলের ব্যুৎপন্ন হল: যার প্রত্যাশিত মান পরিবর্তনের ক্ষণিক হার যেমন পরিবর্তন, সব অন্য সমান হচ্ছে। এটি অত্যন্ত শীর্ষ মডেলের ব্যাখ্যার মতো পরিষ্কার নয়; গুরুত্বপূর্ণভাবে, পরিবর্তনের তাত্ক্ষণিক হার

p - 1

$p-1$

x

$x$

y

$y$

\hat{y}

$\hat{y}$

x

$x$

\frac{d y}{d x} = β_{1} + 2 β_{2} x

$\frac{dy}{dx}=\beta_1+2\beta_2x$

y

$y$

x

$x$

y

$y$ নির্ভর করে এর মাত্রার উপর যা থেকে পরিবর্তনটি মূল্যায়ন করা হয় $x$ । তদ্ব্যতীত, এর পরিবর্তনের হার তাত্ক্ষণিক হার; অর্থাৎ, এটি নিজে ক্রমাগত থেকে বিরতি সর্বত্র পরিবর্তন থেকে । এটি কেবল একটি বক্ররেখার সম্পর্কের প্রকৃতি।

y

$y$

x_{o l d}

$x_{old}$

x_{n e w}

$x_{new}$

— gung - মনিকা পুনরায় স্থাপন করুন
সূত্র

1

দুর্দান্ত সাড়া! এটি আমাকে ইন্টারফেস ইন্টারফেসের ব্যাখ্যা দেওয়ার জন্য কয়েকটি চমত্কার প্রতিক্রিয়া স্মরণ করিয়ে দেয় । তিনি এই প্রতিক্রিয়াতে নিবন্ধের রেফারেন্স দেন, ইন্টারঅ্যাকশন প্রভাবগুলি চিহ্নিত করার সর্বোত্তম অনুশীলনগুলি কী কী? । এবং এই প্রতিক্রিয়াতে ক্যাপলটগুলি ব্যবহার করে গ্রাফিক্যালি ইন্টারঅ্যাকশন প্রদর্শনের একটি দুর্দান্ত উদাহরণ দেয়, দুটি ক্রমাগত ভেরিয়েবলের মধ্যে মিথস্ক্রিয়া কি সম্ভব? ।

— অ্যান্ডি ডব্লিউ

1

গুংয়ের উত্তরে আমি কেবল এটিই বলতে চাই যে স্ট্যাটিস্টিকাল মডেলিংয়ে শব্দের সাথে জড়িত যা বহুভিত্তিক রিগ্রেশন মডেলের বিবরণ ছদ্মবেশ ধারণ করতে পারে। আমি মনে করি যে বিল হুবার যে কেন্দ্রিক ইস্যুটি উত্থাপন করেছিলেন তা হ'ল একটি গ্রেটা কারণ কারণ এক সূত্রে একটি রৈখিক পদটি অনুপস্থিত এবং অন্যটিতে এটি চতুর্ভুজ শব্দটির সাথে ঘটে। সিগন্যালে বক্রতার শক্তি প্রথম অর্ডার শর্তের চেয়ে উচ্চতর প্রয়োজনের জন্য নির্দেশ দেয় তবে সত্যই আমাদের একটি রৈখিক শর্তের প্রয়োজনীয়তা সম্পর্কে কিছুই জানায় না।

— মাইকেল চের্নিক

7

@ উপরের হোবারের উত্তরটি সঠিক দিকে লক্ষ্য করে সঠিক যে লিনিয়ার শব্দটি বাদ দেওয়াটাই "স্বাভাবিক" চতুর্ভুজীয় মডেল এই বলে সমান, "আমি একেবারে নিশ্চিত যে চূড়ান্তটি ।" $x=0$

তবে, আপনি যে সফ্টওয়্যারটি ব্যবহার করছেন তা "গোটচা" আছে কিনা তাও আপনাকে পরীক্ষা করতে হবে। আপনি যদি বহুভুজ কেন্দ্রিয়করণ বন্ধ না করেন তবে কোনও পলিনমিয়াল ফিট করার সময় এবং এর সহগগুলি পরীক্ষা করার সময় কিছু সফ্টওয়্যার স্বয়ংক্রিয়ভাবে ডেটা কেন্দ্র করে। এটি হ'ল এটি কোনও সমীকরণের সাথে মাপসই হতে পারে যা মতো দেখতে লাগে যেখানে আপনার এস এর গড় । যে এক্সট্রিমাম এ হতে জোর দেবে । $Y = b_0 + b_2(x - \bar{x})^2$ $\bar{x}$ $x$ $x=\bar{x}$

আপনার বিবৃতি যে লিনিয়ার এবং চতুর্ভুজ উভয় পদই উল্লেখযোগ্য যখন উভয় প্রবেশ করানো হয় কিছু স্পষ্টতা প্রয়োজন। উদাহরণস্বরূপ, এসএএস উদাহরণের জন্য টাইপ আই এবং / অথবা একটি টাইপ তৃতীয় পরীক্ষার রিপোর্ট করতে পারে। চতুর্ভুজটি পূর্বে রৈখিক পরীক্ষা করার আগে টাইপ করুন I প্রকারের তৃতীয়টি মডেলের চতুষ্কোণের সাথে লিনিয়ার পরীক্ষা করে।

— এমিল ফ্রেডম্যান
সূত্র

2

এটি একটি যুক্তিসঙ্গত পয়েন্ট, তবে মাত্র খ / সি তৈরির আগে ডেটা কেন্দ্রিক ছিল তার অর্থ এই নয় যে আপনি "একেবারে নিশ্চিত হতে পারবেন যে এক্সটামটি "। এই বলে যে এখন বলে সমতূল্য "এক্সট্রিমাম এ " সামনে । উভয় ক্ষেত্রেই আপনি চূড়ান্ত ডাব্লু / অসীম নির্ভুলতার এক্স-মান নির্দিষ্ট করার ক্ষেত্রে আপনার মডেলের নিরপেক্ষতা বাজি ধরছেন। টাইপ আই এবং টাইপ তৃতীয় পরীক্ষাগুলি পার্থক্যটিও একটি সম্ভাব্য আকর্ষণীয় সংযোজন, তবে এনবি, এবং এর সাথে যদি সম্পর্ক থাকে, তবে যদি কেন্দ্রিং না ঘটে থাকে তবে এগুলি কেবল আলাদা হবে ।

x^{2}

$x^2$

x = 0

$x=0$

x = \bar{x}

$x=\bar{x}$

x

$x$

x^{2}

$x^2$

— গুং - মনিকা পুনরায় স্থাপন করুন

অন্য একটি নোটে, আপনি ব্যবহারকারীর ব্যবহারকারীর নাম উল্লেখ করে অবদানগুলি উল্লেখ করতে পারেন, এটি 'এট' প্রতীক দিয়ে সম্ভব। উদাহরণস্বরূপ, এই ক্ষেত্রে, '@ ঝুঁকির উত্তর ঠিক টার্গেটে ...' (একটি অনুভূতি যার সাথে আমি সম্মত।)

— গং - মনিকা পুনরায়

1

আপনাকে ধন্যবাদ, এমিল, সেই অনুস্মারকগুলিকে অবদান রাখার জন্য: তারা উভয়ই মনে রাখার মতো।

— whuber

3

ব্র্যাম্বোর, ক্লার্ক এবং গোল্ডার (২০০)) (যা একটি ইন্টারনেট অ্যাপেন্ডিক্স নিয়ে আসে ) ইন্টারঅ্যাকশন মডেলগুলি কীভাবে বোঝা যায় এবং কীভাবে সাধারণ ক্ষতিগুলি এড়াতে হবে সে সম্পর্কে খুব স্পষ্টভাবে বিবেচনা করা হয়েছে, কেন আপনার কেন (প্রায়) সর্বদা নিম্ন-আদেশের শর্তাদি অন্তর্ভুক্ত করা উচিত ( মিথস্ক্রিয়া মডেলগুলিতে "গঠনমূলক পদ"।

খুব বিরল পরিস্থিতিতে ব্যতীত গুণগত ইন্টারঅ্যাকশন মডেলগুলি নির্দিষ্ট করার সময় বিশ্লেষকদের সমস্ত গঠনমূলক শর্তাদি অন্তর্ভুক্ত করা উচিত। গঠনমূলক শর্তাবলী দ্বারা, আমরা ইন্টারঅ্যাকশন শব্দটি গঠন করে এমন প্রতিটি উপাদানকে বোঝায়। [..]

পাঠকের মনে রাখা উচিত, যদিও, গুণগত ইন্টারঅ্যাকশন মডেলগুলি বিভিন্ন ধরণের রূপ নিতে পারে এবং মতো চতুর্ভুজ পদগুলি বা মতো উচ্চতর অর্ডার ইন্টারঅ্যাকশন শর্তাদি জড়িত থাকতে পারে । মিথস্ক্রিয়া শব্দটি যা রূপ নেয় তা বিবেচনা না করেই সমস্ত গঠনমূলক শর্তাদি অন্তর্ভুক্ত করা উচিত। সুতরাং, যখন মিথষ্ক্রিয়া শব্দ অন্তর্ভুক্ত করা উচিত এবং , , , , এবং যখন মিথষ্ক্রিয়া শব্দ অন্তর্ভুক্ত করা উচিত । $X^2$ $XZJ$ $X$ $X^2$ $X$ $Z$ $J$ $XZ$ $XJ$ $ZJ$ $XZJ$

এটি করতে ব্যর্থ হওয়ার ফলে একটি অপ্রকাশিত মডেল হতে পারে যা পক্ষপাতদুষ্ট অনুমানের দিকে পরিচালিত করে। এটি অনুমানমূলক ত্রুটি হতে পারে।

যদি এটি হয় এবং কার্যত যে কোনও সামাজিক বিজ্ঞানের পরিস্থিতিতে যেমন (বা ) এর সাথে সম্পর্কিত হয় , তবে গঠনমূলক পদটি বাদ , , এবং পক্ষপাতদুষ্ট (এবং অসামঞ্জস্যপূর্ণ) অনুমান হবে । যদিও সর্বদা এটিরূপে স্বীকৃতি না পাওয়া গেলেও এটি বাদ দেওয়া পরিবর্তনশীল পক্ষপাতিত্বের একটি সোজাসাপ্টা মামলা (গ্রীন 2003, পৃষ্ঠা 148–149)। $Z$ $XZ$ $X$ $Z$ $\beta_0$ $\beta_1$ $\beta_3$

— landroni
সূত্র