বহুগুণ কী?

Question

মাত্রা হ্রাস কৌশল যেমন অধ্যক্ষ উপাদান উপাদান বিশ্লেষণ, এলডিএ ইত্যাদি প্রায়শই বহুগুণ শব্দটি ব্যবহৃত হয়। নন-টেকনিক্যাল টার্মে বহুগুণ কী? যদি একটি বিন্দু এমন একটি গোলকের সাথে সম্পর্কিত যার মাত্রাটি আমি হ্রাস করতে চাই এবং যদি কোনও শব্দ এবং এবং এবং অপ্রস্তুত হয় তবে শব্দের কারণে প্রকৃত পয়েন্ট একে অপরের থেকে অনেক আলাদা হয়ে যায়। সুতরাং, শব্দ ফিল্টারিংয়ের প্রয়োজন হবে। সুতরাং, মাত্রা হ্রাস সঞ্চালিত হবে । সুতরাং, এখানে কি এবং বিভিন্ন ম্যানিফোল্ডের সাথে সম্পর্কিত?Y এক্স Y এক্স z- র = এক্স + + Y এক্স $x$$y$$x$$y$$x$$z = x+y$$x$$y$

আমি পয়েন্ট ক্লাউড ডেটা নিয়ে কাজ করছি যা প্রায়শই রোবোট দর্শনে ব্যবহৃত হয়; অধিগ্রহণের শব্দের কারণে পয়েন্ট মেঘগুলি গোলমাল এবং মাত্রা হ্রাসের আগে আমাকে গোলমাল কমিয়ে আনা দরকার। অন্যথায়, আমি ভুল মাত্রা হ্রাস পেতে হবে। সুতরাং, এখানে বহুগুণ কী এবং শব্দটি কোনও এর সাথে একই বহুগুণের একটি অংশ ?$x$

Comments

গাণিতিকভাবে নির্ভুল না হয়ে শব্দটি সঠিকভাবে ব্যবহার করা সম্ভব নয়

— Chill2Macht

Answer 1

প্রযুক্তিগত নয়, একটি বহুগুণ হ'ল একটানা জ্যামিতিক কাঠামো যার সীমাবদ্ধ মাত্রা থাকে: একটি লাইন, একটি বক্ররেখা, একটি বিমান, একটি পৃষ্ঠ, একটি গোলক, একটি বল, একটি সিলিন্ডার, একটি টরাস, একটি "ব্লাব" ... এর মতো কিছু :

গণিতবিদরা "একটি বক্ররেখা" (মাত্রা 1) বা "পৃষ্ঠ" (মাত্রা 2), বা একটি 3 ডি অবজেক্ট (মাত্রা 3) বলতে কোনও সাধারণ শব্দটি ব্যবহার করেন ... কোনও সম্ভাব্য সীমাবদ্ধ মাত্রার জন্য । একটি মাত্রিক বহুগুণ হ'ল একটি বক্ররেখা (রেখা, বৃত্ত ...)। একটি দ্বিমাত্রিক বহুগুণ সহজভাবে একটি পৃষ্ঠ (প্লেন, গোলক, টরাস, সিলিন্ডার ...)। ত্রি-মাত্রিক বহুগুণ হ'ল একটি "পূর্ণ বস্তু" (বল, পূর্ণ কিউব, আমাদের চারপাশে 3 ডি স্পেস ...)।$n$

একটি বহুগুণ প্রায়শই একটি সমীকরণ দ্বারা বর্ণিত হয়: মতো পয়েন্টগুলির সেট একটি এক মাত্রিক বহু গুণ (একটি বৃত্ত)।x 2 + y 2 = $(x,y)$$x^2+y^2=1$

একটি বহুগুণ সর্বত্র একই মাত্রা আছে। উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি একটি গোলকের (মাত্রা 2) একটি রেখা যুক্ত করেন (মাত্রা 2) তবে ফলাফলিত জ্যামিতিক কাঠামো বহুগুণ নয়।

মেট্রিক স্পেস বা টপোলজিকাল স্পেসের আরও সাধারণ ধারণার বিপরীতেও আমাদের প্রাকৃতিক অন্তর্নিহিতকে পয়েন্টের ক্রমাগত সেটটি বর্ণনা করার উদ্দেশ্যে, একটি বহুগুণ স্থানীয়ভাবে সাধারণ কিছু হতে পারে: সীমাবদ্ধ মাত্রার ভেক্টর স্পেসের মতো: । এটি বিমূর্ত স্পেসগুলি (অসীম মাত্রার জায়গার মতো) কে নিয়মিত করে দেয় যা প্রায়শই জ্যামিতিক কংক্রিটের অর্থ ব্যর্থ হয়।$\mathbb{R}^n$

একটি ভেক্টর স্পেসের বিপরীতে, ম্যানিফোল্ডগুলিতে বিভিন্ন আকার থাকতে পারে। কিছু ম্যানিফোল্ডগুলি সহজেই ভিজ্যুয়ালাইজ করা যায় (গোলক, বল ...), কারও কারও কল্পনা করা কঠিন, যেমন ক্লিন বোতল বা আসল অভিক্ষিপ্ত বিমান ।

পরিসংখ্যানগুলিতে, মেশিন লার্নিং, বা সাধারণত গণিত প্রয়োগ করা হয়, "ম্যানিফোল্ড" শব্দটি প্রায়শই "লিনিয়ার সাবস্পেসের মতো" বলতে ব্যবহৃত হয় তবে সম্ভবত বাঁকা থাকে। যে কোনও সময় আপনি যেমন রৈখিক সমীকরণ লিখুন: আপনি একটি রৈখিক ( ) সাবস্পেস পাবেন (এখানে একটি বিমান)। সাধারণত, যখন সমীকরণটি মতো নন লিনিয়ার হয় , এটি বহুগুণ (এখানে প্রসারিত গোলক)।x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = $3x+2y-4z=1$$x^2+2y^2+3z^2=7$

উদাহরণস্বরূপ , এমএল এর " বহুবিধ অনুমান " বলেছেন "উচ্চ মাত্রিক তথ্য হ'ল উচ্চ মাত্রিক গোলমাল যুক্ত একটি নিম্ন মাত্রিক বহুগুণে পয়েন্ট"। আপনি কিছু 2 ডি শব্দ যোগ করার সাথে 1D বৃত্তের পয়েন্টগুলি কল্পনা করতে পারেন। পয়েন্টগুলি ঠিক বৃত্তে না থাকলেও তারা পরিসংখ্যানগতভাবে সমীকরণটি পূরণ করে । চেনাশোনাটি অন্তর্নিহিত বহুগুণ: $x^2+y^2=1$

Comments

@ রিয়াজর্জে ছবিতে এটি এমন একটি পৃষ্ঠ যা বহুগুণ। কারণ আপনার বাধা ছাড়াই অবাধে এটি প্রায় স্থানান্তর করতে পারেন এবং তিড়িং লাফ করতে হবে না এটা ক্রমাগত এর বন্ধ কোন দুই স্থানের মাঝামাঝি পেতে পৃষ্ঠ। আপনি যেভাবে গর্তগুলি ইঙ্গিত করেছেন তা সহজ উপায়ে যে কোনও দুটি পয়েন্টের মধ্যে আপনি কীভাবে পৃষ্ঠের চারপাশে যেতে পারেন তা বর্ণনা করার জন্য গুরুত্বপূর্ণ এবং সেগুলি গণনা বহুগুণ অধ্যয়নের একটি গুরুত্বপূর্ণ কৌশল।

— ম্যাথু ড্রুরি

টপোলজি কী তা ব্যাখ্যা করা এই সাইটের পক্ষে খুব বিস্তৃত প্রশ্ন এবং কিছুটা বন্ধ বিষয়। আমি তথ্যের জন্য গণিতের স্ট্যাক এক্সচেঞ্জ অনুসন্ধান করব। ম্যানিফোল্ডস এবং টপোলজি সমার্থক শব্দ নয়: ম্যানিফোল্ডগুলি টপোলজির কৌশলগুলি নিয়ে অধ্যয়ন করা গাণিতিক বস্তু, টপোলজি গণিতের একটি সাব-সাবজেক্ট।

— ম্যাথু ড্রুরি

উত্তরটি সমস্ত মৌলিক পয়েন্টগুলি মিস করে যা বহুগুণকে এমন করে তোলে, আমি জানি না যে এটির এতগুলি উত্সাহ কীভাবে রয়েছে। টপোলজি, চার্ট এবং মসৃণতার কথাও বলা হয় না এবং উত্তরটি মূলত এমন ধারণা দেয় যে একটি বহুগুণ একটি পৃষ্ঠ যা এটি নয় ।

— জেনেট

প্রযুক্তিগত বিষয়, সমীকরণের একটি সিস্টেমের সমাধান সেটটি বহুগুণিত হওয়া উচিত নয়। এটি বিভিন্ন, তাই এটি বেশিরভাগ ক্ষেত্রে বহুগুণে থাকে তবে এতে স্ব মোড়ের পয়েন্ট থাকতে পারে যেখানে বহুগুণ সম্পত্তি ব্যর্থ হয়।

— ম্যাট স্যামুয়েল

আপনার বহুগুণ সংজ্ঞায় সীমাবদ্ধ মাত্রা হওয়া দরকার । তবে আপনি এমন উদাহরণ অন্তর্ভুক্ত করেছেন যা প্রয়োজনীয়তার সাথে মেলে না — যেমন লাইন, প্লেন, বক্ররেখা এবং পৃষ্ঠসমূহ। আপনি কি বলতে চেয়েছিলেন দয়া করে ব্যাখ্যা করতে পারেন?

— মাউজার

Answer 2

এ (টপোলজিকাল) বহুগুণ হল একটি স্পেস যা হ'ল:$M$

(1) "স্থানীয়ভাবে" "সমতুল্য" কিছু জন্য some ।$\mathbb{R}^n$$n$

"স্থানীয়ভাবে", "সমতুল্যতা" স্থানাংক ফাংশন, via এর মাধ্যমে প্রকাশ করা যেতে পারে , যা একত্রে একটি "কাঠামো-সংরক্ষণকারী" ফাংশন গঠন করে, যাকে বলা হয় একটি চার্ট ।গ i : এম → আর সি : এম → আর$n$$c_i: M \to \mathbb{R}$$c: M \to \mathbb{R}^n$

(2) কিছু জন্য structure উপসেট হিসাবে "কাঠামো সংরক্ষণ" উপায়ে উপলব্ধি করা যায় । (1) (2) এন≥$\mathbb{R}^N$$N \ge n$

নোট করুন যে এখানে "কাঠামো" যথাযথ করার জন্য, একজনকে টপোলজির ( ডিফ। ) প্রাথমিক ধারণাটি বুঝতে হবে , যা "স্থানীয়" আচরণের এবং " উপরে স্থানীয়ভাবে" উপরে সঠিকভাবে ধারণা দেওয়ার অনুমতি দেয় make আমি যখন "সমতুল্য" বলি, তখন আমার অর্থ সমতুল্য টপোলজিকাল কাঠামো ( হোমিওমোরফিক ) এবং যখন আমি "কাঠামো-সংরক্ষণ" বলি তখন একই জিনিসটি বোঝায় (সমতুল্য টপোলজিকাল কাঠামো তৈরি করে)।

আরও মনে রাখবেন যে বহুগুণে ক্যালকুলাস করার জন্য , একটি অতিরিক্ত শর্তের প্রয়োজন যা উপরের দুটি শর্তটি অনুসরণ করে না, যা মূলত "চার্টগুলি আমাদের সাথে ক্যালকুলাস করার অনুমতি দেওয়ার জন্য যথেষ্ট ভাল আচরণ করে" বলে বলে। এগুলি বহুবার ব্যবহারে ব্যবহার করা হয়। সাধারণ টপোলজিকাল ম্যানিফোল্ডগুলির বিপরীতে , ক্যালকুলাস ছাড়াও তারা ত্রিভুজগুলিও মঞ্জুর করে , যা আপনার মত পয়েন্ট ক্লাউড ডেটা জড়িত অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে খুব গুরুত্বপূর্ণ ।

মনে রাখবেন যে সমস্ত লোক এক (টপোলজিকাল) বহুবিধ জন্য একই সংজ্ঞা ব্যবহার করে না। বেশ কয়েকটি লেখক এটিকে উপরের একমাত্র শর্ত (1) হিসাবে সন্তোষজনক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করবেন , অগত্যা (2) নয়। তবে যে সংজ্ঞাটি (1) এবং (2) উভয়কেই সন্তুষ্ট করে সেগুলি আরও ভাল আচরণ করা হয়, তাই চিকিত্সকদের পক্ষে আরও কার্যকর। কেউ স্বজ্ঞাতভাবে আশা করতে পারে যা (1) বোঝায় (2), তবে বাস্তবে তা হয় না।

সম্পাদনা করুন: কি আপনি অবিকল একটি "টোপোলজি" হয় সম্পর্কে জানতে আগ্রহী হয়, বুঝতে একটি টপোলজি সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ ইউক্লিডিয় টপোলজি এর । এটি "আসল বিশ্লেষণ" সম্পর্কিত কোনও (ভাল) প্রবর্তনামূলক বইয়ে গভীরভাবে কভার করা হবে ।$\mathbb{R}^n$

Comments

আপনার উত্তরের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ: আপনি কি দয়া করে ব্যাখ্যা করতে পারবেন যে টপোলজি নন-টেকনিক্যাল টার্মেও কী? টোপোলজি এবং বহুবিধ শব্দটি কি বিনিময়যোগ্য হিসাবে ব্যবহৃত হয়? মাত্রাটি কি কোনও পূর্ণসংখ্যার সংখ্যা হতে পারে? এটি একটি আসল সংখ্যাটি কী, তবে আমি মনে করি যে কাঠামোটি ফ্র্যাক্টাল হিসাবে পরিচিত যদি পুরো কাঠামোটি প্রতিটি উপ-অংশকে সমন্বিত করে স্ব-পুনরাবৃত্তি করে।

— রিয়া জর্জ

@RiaGeorge একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা ঘোরা (পূর্ণসংখ্যা ), যেমন করে । ভগ্নাংশ / বাস্তব-মূল্যবান মাত্রার জন্য আরও উন্নত তত্ত্ব থাকতে পারে, তবে এটি প্রায়শই আসে না doesn't "টপোলজি" এবং "বহুবিধ" অর্থ দুটি খুব স্বতন্ত্র জিনিস, তাই এগুলি বিনিময়যোগ্য পদ নয়। একটি "বহুগুণ" এর একটি "টপোলজি" থাকে। টপোলজির ক্ষেত্রগুলি "টপোলজিস" রয়েছে এমন স্পেসগুলি অধ্যয়ন করে যা তিনটি নিয়ম / শর্ত পূরণ করে সেটগুলির সংগ্রহ। "টোপোলজিস" অধ্যয়নের একটি লক্ষ্য হ'ল "স্থানীয়" আচরণের ধারাবাহিক এবং প্রজননযোগ্য উপায়ে বর্ণনা করা। ≥ 1 $n$$\ge 1$$N$

— চিল

একটি "টোপোলজি" জন্য উপপাদ্য ব্যবহার @RiaGeorge উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠাতে পাওয়া যাবে: en.wikipedia.org/wiki/General_topology#A_topology_on_a_set - নোট এছাড়াও যে লিঙ্ক আমি (সমতুল্য) পদ "টোপোলজি" এর সংজ্ঞা জন্য আপনার দেওয়া আশেপাশের বিষয়গুলি সম্পর্কিত কোনও দিকে নির্দেশিত তবে একই নয়, আমি আমার উত্তরটি এটিকে প্রতিবিম্বিত করার জন্য সম্পাদনা করেছি: en.wikiki.org/wiki/… তবে উল্লেখ্য যে পাড়ার দিক থেকে সংজ্ঞাটি বোঝা আরও কঠিন (আমি ধারণা করি আমি এটি বুঝতে পারি) ভাল, তবে আমি খুব একটা মাথা

— ঘামাই

যাইহোক যাইহোক এটি আমার ব্যক্তিগত পক্ষপাতদুষ্ট মতামত যে টপোলজির পাড়ার সংজ্ঞাটি আপনার জানা দরকার না - কেবলমাত্র জেনে থাকুন যে সরল সংজ্ঞা আপনাকে স্থানীয় আচরণের কঠোরভাবে বর্ণনা করার ক্ষেত্রে পাড়ার সংজ্ঞাটির একই শক্তি প্রদান করে, যেহেতু তারা সমতুল্য). যাইহোক, আপনি যদি ফ্র্যাক্টালগুলিতে আগ্রহী হন, তবে আপনি এই উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠাগুলি আকর্ষণীয় দেখতে পাবেন - তবে আপনাকে এটির সাহায্যে আরও কিছু করতে পারি না, কারণ আমি তত্ত্বের সাথে গভীরভাবে পরিচিত নই এবং বেশিরভাগটিই জানি বা বুঝতে পারি না সংজ্ঞা - আমি শুধুমাত্র কিছু শুনেছি

— চিল

এটি এখন পর্যন্ত একমাত্র উত্তর যা স্থানীয় তথ্য থেকে বিশ্বব্যাপী একত্রিত করার আধুনিক গাণিতিক ধারণার দিকে মনোযোগ দেয়। দুর্ভাগ্যক্রমে, এটি "নন-টেকনিক্যাল" অ্যাকাউন্টের প্রয়োজনীয় সরলতা এবং স্পষ্টতার স্তরে একে একে তৈরি করে না।

— হোবল

Answer 3

এই প্রসঙ্গে, বহুগুণ শব্দটি সঠিক, তবে অযথা হাইফালিউটিন। প্রযুক্তিগতভাবে, বহুগুণ হ'ল এমন কোনও স্থান (টপোলজির সাথে পয়েন্টগুলির সেট) যা যথেষ্ট পরিমাণে মসৃণ এবং অবিচ্ছিন্ন থাকে (এমন কোনও উপায়ে, কোনও প্রচেষ্টা দিয়ে, গাণিতিকভাবে সু-সংজ্ঞায়িত করা যায়)।

আপনার মূল কারণগুলির সমস্ত সম্ভাব্য মানের স্থানটি কল্পনা করুন। একটি মাত্রিক হ্রাস প্রযুক্তির পরে, সেই জায়গার সমস্ত পয়েন্ট অর্জনযোগ্য নয়। পরিবর্তে, কেবলমাত্র সেই জায়গার ভিতরে কিছু এম্বেড থাকা উপ-স্থানের পয়েন্টগুলি অর্জনযোগ্য হবে। এম্বেড থাকা উপ-স্থানটি বহুগুণে গাণিতিক সংজ্ঞা পূরণ করতে ঘটে। পিসিএর মতো লিনিয়ার মাত্রিক মাত্রা হ্রাস প্রযুক্তির জন্য, সেই উপ-স্থানটি কেবল একটি লিনিয়ার সাব-স্পেস (যেমন একটি হাইপার-প্লেন), যা অপেক্ষাকৃত তুচ্ছ বহুগুণ। তবে অ-রৈখিক মাত্রিক কমানোর কৌশলগুলির জন্য, সেই উপ-স্থানটি আরও জটিল হতে পারে (যেমন একটি বাঁকা হাইপার-সারফেস)। ডেটা বিশ্লেষণের উদ্দেশ্যে, এগুলি সাব-স্পেসগুলি বোঝা যে তারা যে বহুগুণ সংজ্ঞা নির্ধারণ করে তা আপনি জেনে নেওয়া যে কোনও অনুমানের চেয়ে অনেক বেশি গুরুত্বপূর্ণ।

Comments

"হাইফালুটিন" ... আজ একটি নতুন শব্দ শিখেছে!

— মেহরদাদ

গাণিতিকভাবে, বহুগুণ যে কোনও স্থানীয়ভাবে ক্রমাগত টপোলজিকাল স্পেস। আমি সরল ভাষায় জিনিসগুলি ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করার ধারণাটি পছন্দ করি তবে এই বৈশিষ্ট্যটি বাস্তবে কার্যকর হয় না। প্রথমত, ধারাবাহিকতা সর্বদা একটি স্থানীয় সম্পত্তি, তাই স্থানীয়ভাবে অবিচ্ছিন্ন বলতে কী বোঝায় তা আমি নিশ্চিত নই। এছাড়াও, আপনার সংজ্ঞা প্রচুর পরিমাণে রায় দিতে ব্যর্থ হয়েছে যা বহুগুণ নয় যেমন যুক্তিযুক্ত নম্বর লাইন, বা ইউক্যালিডিয়ান বিমানের দুটি ছেদযুক্ত রেখার মিলন।

— বেন ক্রোয়েল

আমি বেনের সাথে একমত, প্রযুক্তিগতভাবে এটি "স্থানীয়ভাবে ইউক্যালিডিয়ান"। আমি নিশ্চিত নই যে এটিকে সহজ ইংলিশে সেদ্ধ করার ভাল উপায় আছে।

— ম্যাথু ড্রুরি

উপরের দুটি মন্তব্যেও আমাকে দৃ strongly়ভাবে একমত হতে হবে। আসলে, আমি নীচে যে উত্তরটি লিখেছিলাম তা মূলত এই উত্তরের একটি স্পষ্ট মন্তব্য ছিল যা খুব দীর্ঘ হয়ে গেল। কোনও "অবিচ্ছিন্ন" টপোলজিকাল স্পেস সম্পর্কে কোনও সঠিক ধারণা নেই (এখানে দেখুন: math.stackexchange.com/questions/1822769/… )। অস্তিত্বহীন ধারণাগুলির ক্ষেত্রে বহুগুণ সংজ্ঞায়িত করা আমার মতে, দীর্ঘমেয়াদে স্পষ্ট করার চেয়ে বিভ্রান্ত হওয়ার সম্ভাবনা বেশি। খুব কমপক্ষে, আমি প্রথম বাক্যে "গাণিতিক" শব্দটি অন্য কোনও কিছুর সাথে প্রতিস্থাপনের পরামর্শ দেব।

— চিল

আমি এই মন্তব্যটিকে একটি সামান্য প্রশ্ন জিজ্ঞাসার সুযোগ হিসাবে ব্যবহার করব ... আমি (মনে করি) আমি বহুগুণ সম্পর্কে ধারণা পেয়েছি, তবে কেন এটি "স্থানীয়ভাবে" প্রয়োজন? একটি স্থান কি "স্থানীয়ভাবে" অবিচ্ছিন্ন ... পুরোপুরি ধারাবাহিক নয়?

— Paul92