প্রতিসম বিতরণের সংজ্ঞা কী?

প্রতিসম বিতরণের সংজ্ঞা কী? কেউ আমাকে বলেছিলেন যে একটি এলোপাতাড়ি ভেরিয়েবলের একটি প্রতিসম বিতরণ যদি এবং কেবল যদি থেকে এসেছিলেন এবং একই বন্টন হয়েছে। তবে আমি মনে করি এই সংজ্ঞাটি আংশিক সত্য। কারণ আমি একটি কাউন্টারে নমুনা এবং । একথাও ঠিক যে, এটি একটি প্রতিসম বিতরণ আছে, কিন্তু এবং বিভিন্ন বন্টন আছে! আমি কি সঠিক? আপনি কি এই প্রশ্নটি সম্পর্কে কখনও ভাবেন? প্রতিসম বিতরণের সঠিক সংজ্ঞা কী? $X$ $X$ $-X$ $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ $\mu\neq0$ $X$ $-X$

distributions definition symmetry

— শিজিং এসআই
সূত্র

যখন আপনি বলেন, "বিতরণ একটি প্রতিসম হয়", আপনাকে কী বিন্দুটি প্রতিসম বোঝার তা বিবেচনা করে নির্দিষ্ট করতে হবে। আপনি যে স্বাভাবিক বিতরণ উপস্থাপন করেন সে ক্ষেত্রে প্রায় দেওয়া হয় । এই ক্ষেত্রে এবং এর একই বিতরণ রয়েছে। ঘনত্বের নিরিখে এটিকে প্রকাশ করা যেতে পারে: সম্পর্কে প্রতিসম হয় যদি । বিটিডাব্লু, আপনি যখন কোনও একটিতে সন্তুষ্ট হন তবে উত্তরগুলি গ্রহণ করা ভাল আচরণ।

μ

$\mu$

X - μ

$X-\mu$

- (X - μ)

$-(X-\mu)$

f

$f$

μ

$\mu$

f (μ - x) = f (μ + x)

$f(\mu-x)=f(\mu+x)$

হ্যাঁ, আমরা ছেলেরা এই প্রশ্নটি সম্পর্কে চিন্তাভাবনা করেছি। প্রতিসম সাধারণত সম্পর্কে প্রতিসম মানে আরও counterexamples আটকানোর জন্য, এবং, প্রায় দাবি ডিস্ট্রিবিউশন প্রতিসম হচ্ছে এমন কিছু বিষয় যা সম্পর্কে সত্য নয় ক্রমসঞ্চিত সম্ভাব্যতা বিতরণের ফাংশন । আপনার "কাউন্টারেরেক্সাম্পল" এর বিন্দু সম্পর্কে নয়, point সম্পর্কে সমান্তরালতা রয়েছে ।

0

$0$

μ \neq 0

$\mu \neq 0$

0

$0$

— দিলীপ সরোতে

@Dilip একটি সংজ্ঞা কিছু বর্ণনা করার একটি পদ্ধতি উপর নির্ভর করে, কিন্তু যে সংজ্ঞা যে কিছু একটি স্বকীয় সম্পত্তি হতে দেখানো যেতে পারে, তখন এটা একটা করার সংজ্ঞা প্রয়োগ করতে কোন জ্ঞান করে তোলে বিভিন্ন বর্ণনার ফর্ম। এই ক্ষেত্রে, প্রতিসাম্যতা একটি বিতরণের একটি সম্পত্তি , তবে এটি বোঝায় না যে সেই বিতরণের সমস্ত বিবরণ (পিডিএফ এবং সিডিএফ সহ) অবশ্যই একই উপায়ে "প্রতিসামান্য" হওয়া উচিত। সিডিএফ-তে পিডিএফ এর প্রতিসাম্য প্রয়োগ করে, আপনার মন্তব্য প্রশ্নটি পরিষ্কার করার চেয়ে বিভ্রান্ত করে।

— শুক্র

শিজিং, @ প্রলাইনেটর লক্ষ্য করেছেন যে আপনি কোনও উত্তর গ্রহণ না করেই অনেক প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করেছেন। এটি প্রস্তাব দেয় যে এই সাইটটি কীভাবে কাজ করে তা সম্পর্কে আপনি অপরিচিত থাকতে পারেন। কোনো ভুল বোঝাবুঝি পরিষ্কার করার জন্য, আপনি কি দয়া করে পড়তে হবে আমাদের FAQ প্রাসঙ্গিক অংশ মাধ্যমে পথ সব ? এটি কয়েক মিনিট সময় নেয় এবং এর নির্দেশিকা অনুসরণ আপনার কাছে আমাদের সাইটের মূল্য বাড়িয়ে তুলবে।

— হোবার

@ ভুবার সিডিএফ হ'ল সেই কয়েকটি বর্ণনার মধ্যে একটি যা নামটিতে আসলে শব্দ বিতরণ ঘটে এবং আমি স্পষ্ট করে বলার চেষ্টা করছিলাম যে প্রতিসম সম্পত্তি সিডিএফের কাছে নেই।

— দিলীপ সরোতে

উত্তর:

সংক্ষেপে: প্রতিসম যখন এবং কিছু বাস্তব সংখ্যার জন্য একই ডিস্ট্রিবিউশন আছে । $X$ $X$ $2a-X$ $a$ তবে পুরোপুরি ন্যায়সঙ্গত উপায়ে এটি পৌঁছাতে কিছু বিচ্যুতি এবং সাধারণীকরণ প্রয়োজন, কারণ এটি অনেকগুলি অন্তর্নিহিত প্রশ্ন উত্থাপন করে: "প্রতিসম" এর এই সংজ্ঞা কেন ? অন্যান্য ধরণের প্রতিসাম্য থাকতে পারে? একটি বিতরণ এবং এর প্রতিসাম্যগুলির মধ্যে সম্পর্ক কী এবং বিপরীতভাবে, একটি "প্রতিসাম্য" এবং সেই বিতরণগুলির মধ্যে কী সম্পর্ক যা সেই প্রতিসাম্যতা থাকতে পারে?

প্রশ্নের মধ্যে প্রতিসাম্যগুলি হ'ল আসল লাইনের প্রতিচ্ছবি। সমস্ত ফর্ম হয়

x \to 2 a - x

$x \to 2a-x$

কিছু ধ্রুবক জন্য । $a$

সুতরাং, আমি অনুমান অন্তত একটি এই প্রতিসাম্য আছে । তারপরে প্রতিসম বোঝায় lies $X$ $a$

Pr [X \geq a] = Pr [2 a - X \geq a] = Pr [X \leq a]

$\Pr[X \ge a] = \Pr[2a-X \ge a] = \Pr[X \le a]$

দেখাচ্ছে যে একটি হল মধ্যমা এর । একইভাবে, যদি এর কোন প্রত্যাশা থাকে তবে তা অবিলম্বে অনুসরণ করে যে । সুতরাং আমরা সাধারণত সহজে পিন ডাউন করতে পারেন। যদি না হয় তবে (এবং তাই প্রতিসাম্য নিজেই) এখনও অনন্যভাবে নির্ধারিত হয় (যদি তা বিদ্যমান থাকে তবে)। $a$ $X$ $X$ $a = E[X]$ $a$ $a$

এই দেখার জন্য, দিন প্রতিসাম্য কোন কেন্দ্র হতে। তারপরে উভয় প্রতিসাম্য প্রয়োগ করে আমরা দেখতে পাই যে অনুবাদ অনুসারে অদম্য । যদি তবে এর অবশ্যই একটি সময়কাল থাকতে হবে যা অসম্ভব কারণ পর্যায়ক্রমিক বিতরণের মোট সম্ভাবনা বা অসীম হয়। সুতরাং , এটি দেখায় যে অনন্য। $b$ $X$ $x \to x + 2(b-a)$ $b-a \ne 0$ $X$ $b-a$ $0$ $b-a=0$ $a$

আরও সাধারণভাবে, যখন একটি গ্রুপ সত্যিকারের লাইনে বিশ্বস্ততার সাথে অভিনয় করে (এবং এর সমস্ত বোরেল সাবটেটগুলিতে এক্সটেনশন দ্বারা), আমরা বলতে পারি যে একটি ডিস্ট্রিবিউশন "প্রতিসামান্য" ( প্রতি সম্মানের সাথে ) হয় যখন $G$ $X$ $G$

Pr [X \in E] = Pr [X \in E^{g}]

$\Pr[X \in E] = \Pr[X \in E^g]$

সব পরিমাপযোগ্য সেটের জন্য এবং উপাদান , যেখানে ভাবমূর্তি উল্লেখ করে কর্ম অধীনে । $E$ $g \in G$ $E^g$ $E$ $g$

উদাহরণস্বরূপ, যাক এখনো অর্ডার একদল হতে , কিন্তু এখন তার কর্ম একটি বাস্তব সংখ্যার পারস্পরিক নেওয়া হোক (এবং এটা ঠিক দিন )। স্ট্যান্ডার্ড লগনরমাল ডিস্ট্রিবিউশন এই গ্রুপের সাথে সম্মিলিত । এই উদাহরণটি একটি প্রতিচ্ছবি প্রতিসাম্যের উদাহরণ হিসাবে বোঝা যায় যেখানে স্থানাঙ্কগুলির একটি ননরেখা পুনরায় প্রকাশ ঘটে। এটি এমন রূপান্তরগুলিতে ফোকাস করার পরামর্শ দেয় যা প্রকৃত লাইনের "কাঠামো" কে সম্মান করে। সম্ভাবনার প্রয়োজনীয় কাঠামো অবশ্যই বোরেল সেট এবং লেবেসগু পরিমাপের সাথে সম্পর্কিত হতে হবে, উভয়ই দুটি পয়েন্টের মধ্যে (ইউক্লিডিয়ান) দূরত্বের ক্ষেত্রে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে । $G$ $2$ $0$

একটি দূরত্ব-সংরক্ষণের মানচিত্রটি সংজ্ঞা অনুসারে একটি আইসোমেট্রি। এটি সত্যই জানা (এবং সহজভাবে কিছুটা হলেও জড়িত, এটি প্রদর্শন করার জন্য) যে বাস্তব লাইনের সমস্ত আইসোমেট্রিগুলি প্রতিচ্ছবি দ্বারা উত্পন্ন হয়। যেহেতু, যখন এটি বোঝা গেল যে "প্রতিসাম্য" বলতে কিছু আইসমেট্রিজের সাথে সম্মিলিত প্রতিসাম্য রয়েছে , তখন গ্রুপটি সর্বাধিক এক প্রতিবিম্ব দ্বারা উত্পন্ন করা উচিত এবং আমরা দেখেছি যে প্রতিবিম্বটি স্বতন্ত্রভাবে কোনও প্রতিসাম্য বন্টন দ্বারা নির্ধারিত হয়েছে এর সাথে সম্মতি রেখে with এই অর্থে, পূর্ববর্তী বিশ্লেষণ সম্পূর্ণরূপে এবং "প্রতিসম" বিতরণের স্বাভাবিক পরিভাষাকে ন্যায়সঙ্গত করে তোলে।

ঘটনাক্রমে, আইসোমেট্রিগুলির গোষ্ঠীগুলির অধীনে বিতরণকারীদের বহু বিতরণের উদাহরণ রয়েছে যা "গোলাকার" বিতরণ বিবেচনা করে সরবরাহ করা হয়। এগুলি সমস্ত আবর্তনের অধীনে আক্রমণকারী (কিছু নির্দিষ্ট কেন্দ্রের তুলনায়)। এগুলি দ্বিমাত্রিক ক্ষেত্রেটিকে সাধারণীকরণ করে: আসল লাইনের "আবর্তন" কেবল প্রতিচ্ছবি।

পরিশেষে, এটি উল্লেখ করার মতো যে একটি আদর্শ নির্মাণ - গ্রুপের উপরে গড় - সংশ্লেষের বিতরণগুলির প্রচুর পরিমাণে উত্পাদন করার একটি উপায় দেয়। বাস্তব লাইনের ক্ষেত্রে, যাক একটি বিন্দু সম্পর্কে প্রতিফলন দ্বারা উত্পন্ন করা যাতে এটি পরিচয় উপাদান সম্বলিত এবং এই প্রতিফলন, । কোনও বিতরণ করা যাক । সেট করে বিতরণ সংজ্ঞা দিন $G$ $a$ $e$ $g$ $X$ $Y$

{Pr}_{Y} [E] = \frac{1}{| G |} \sum_{g \in G} {Pr}_{X} [E^{g}] = ({Pr}_{X} [E] + {Pr}_{X} [E^{g}]) / 2

${\Pr}_Y[E] = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} {\Pr}_X[E^g] = ({\Pr}_X[E] + {\Pr}_X[E^g])/2$

সমস্ত বোরেল সেট করে । এটি সুস্পষ্টভাবে প্রতিসম এবং এটি পরীক্ষা করা সহজ যে এটি কোনও বিতরণ হিসাবে রয়ে গেছে (সমস্ত সম্ভাবনা অবৈজ্ঞানিক থেকে যায় এবং মোট সম্ভাব্যতা )। $E$ $1$

গ্রীক বর্ণমালার তৃতীয় বর্ণ

গোষ্ঠী গড় প্রক্রিয়াটির চিত্রণ দিয়ে, প্রতিসম গামা বিতরণের পিডিএফ ( তে কেন্দ্রীভূত ) সোনায় প্রদর্শিত হয়। আসল গামা নীল এবং এর প্রতিবিম্ব লাল red $a=2$

— whuber
সূত্র

(+1 টি) আমি যে যোগ করতে বহুচলকীয় সেটিং চাই, সংজ্ঞা প্রতিসাম্য অনন্য নয়। এই বইটিতে প্রতিসম বহুত্বপূর্ণ বিতরণের 8 টি সম্ভাব্য সংজ্ঞা রয়েছে।

@ প্রচ্ছন্নতা আপনার সম্পর্কে "অনন্য নয়" বলতে কী বোঝায় তা সম্পর্কে আমি আগ্রহী। আফাইক, "প্রতিসাম্য" নামটিকে ন্যায্য প্রমাণিত কোনও কিছুই শেষ পর্যন্ত কোনও স্থানের একটি গ্রুপ ক্রিয়াকে বোঝায়। পরিসংখ্যানবিদরা বিভিন্ন ধরণের কী কী পদক্ষেপগুলি দরকারী বলে খুঁজে পেয়েছেন তা আকর্ষণীয় হবে। যেহেতু সেই বইটি মুদ্রণের বাইরে এবং ওয়েবে উপলভ্য নয়, আপনি কি সেই বইটিতে বিবেচিত দুটি সত্যই ভিন্ন ধরণের প্রতিসাম্যগুলির একটি দ্রুত উদাহরণ দিতে পারেন?

— হোবার

আপনার অন্তর্দৃষ্টি সঠিক, এটি পরিসংখ্যানগত বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে সম্পর্কিত: কেন্দ্রীয় প্রতিসাম্য ; স্ফেরিক্যাল প্রতিসাম্য সব লম্ব ম্যাট্রিক্স জন্য । আমি বাকিটা মনে করতে পারি না, তবে এই দিনগুলিতে বইটি ধার করার চেষ্টা করব। এই লিঙ্কে আপনি তাদের কিছু খুঁজে পেতে পারেন।

X - μ \overset{d}{=} - (X - μ)

${\bf X}-\mu\stackrel{d}{=}-({\bf X}-\mu)$

X - μ \overset{d}{=} O (X - μ)

$X-\mu\stackrel{d}{=}{\bf O}({\bf X}-\mu)$

O

${\bf O}$

@ প্রলিনেটর ধন্যবাদ আপনি যে দুটি উদাহরণ সরবরাহ করেছেন তা উভয়ই আমার সরবরাহিত সাধারণ সংজ্ঞার দুটি বিশেষ ক্ষেত্রে: কেন্দ্রীয় প্রতিসাম্যতা isometries একটি দ্বি-উপাদান গ্রুপ তৈরি করে এবং গোলাকার প্রতিসাম্যগুলিও সমস্ত আইসোমেট্রির একটি উপগোষ্ঠী। লিঙ্কের "উপবৃত্তাকার প্রতিসাম্য" কোনও অ্যাফাইন রূপান্তরের পরে গোলাকার প্রতিসাম্য এবং তাই লগমনোরাল উদাহরণ দিয়ে আমি যে ঘটনাটি দেখিয়েছিলাম তার উদাহরণ দেয়। "কৌণিক প্রতিসাম্য" আবার আইসোমেট্রিগুলির একটি গ্রুপ গঠন করে। "অর্ধ-স্থানের প্রতিসাম্য" [sic] একটি প্রতিসাম্য নয়, তবে সেখান থেকে পৃথক প্রস্থানের অনুমতি দেয়: এটি নতুন।

— হোবার

উত্তরটি প্রতিসাম্য দ্বারা আপনি কী বোঝাতে চান তার উপর নির্ভর করবে। পদার্থবিজ্ঞানে প্রতিসাম্যের ধারণাটি মৌলিক এবং খুব সাধারণ হয়ে উঠেছে। প্রতিসাম্যতা হ'ল কোনও অপারেশন যা সিস্টেমটি অপরিবর্তিত রাখে। সম্ভাব্য বন্টনের ক্ষেত্রে এটি অপারেশনটিতে অনুবাদ করা যেতে পারে যা একই সম্ভাবনা । $X \to X'$ $P(X) = P(X')$

প্রথম উদাহরণের সাধারণ ক্ষেত্রে আপনি সর্বাধিক সম্পর্কে প্রতিবিম্ব প্রতিসাম্য উল্লেখ করছেন। যদি বিতরণটি সাইনোসয়েডাল হয় তবে আপনার শর্ত থাকতে পারে , যেখানে তরঙ্গদৈর্ঘ্য বা সময়কাল। তারপরে এবং তবুও প্রতিসমের আরও সাধারণ সংজ্ঞা মাপসই হবে। $X \to X + \lambda$ $\lambda$ $P(X) = P(X + \lambda)$

— মাইকেল হফম্যান
সূত্র