এক্স এবং এক্সওয়াইয়ের মধ্যে সম্পর্ক

11

আমার যদি দুটি স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াই থাকে তবে এক্স এবং পণ্য এক্সওয়াইয়ের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক কী? এটি যদি অজানা থাকে তবে এক্স এবং ওয়াইয়ের স্বাভাবিক ক্ষেত্রে শূন্যের সাথে স্বাভাবিক হওয়ার ক্ষেত্রে কী ঘটেছিল তা আমি কমপক্ষে জানার আগ্রহী, যদি এটি সমাধান করা সহজ হয়।

correlation

— রবার্তো
সূত্র

4

এই প্রশ্নটি কী প্রেরণা দেয়? আমি ভাবছি যদি আমরা এখানে অন্য কিছুকে সম্বোধন করি তবে এটি সবচেয়ে ভাল হবে। আপনি কি এমন অধ্যয়ন পরিচালনা করছেন যেখানে আপনি কোনও কারণে XY ভেরিয়েবল তৈরি করেছেন?

— গুং - মনিকা পুনরায়

13

সমাধান

আমি এটি গ্রহণ করি যে বৈধ সমাধানটি এমনটি হবে যা প্রকাশ করে - সম্ভব হলে - এবং ভেরিয়েবলের পৃথক বৈশিষ্ট্যের ক্ষেত্রে পারস্পরিক সম্পর্ক । পারস্পরিক সম্পর্ককে গণনা করাতে এবং মনোমালিকাগুলির কোভেরিয়ান্সগুলি গণনা করা জড়িত । একবারে এটি করা সব থেকে অর্থনৈতিক econom কেবল যে পর্যবেক্ষণ $X$ $Y$ $X$ $Y$

যখন এবং স্বতন্ত্র এবং এবং শক্তি, তখন এবং স্বতন্ত্র; $X$ $Y$ $i$ $j$ $X^i$ $Y^j$
স্বাধীন ভেরিয়েবলের একটি পণ্য প্রত্যাশা তাদের প্রত্যাশার পণ্য product

এটি এবং মুহুর্তগুলিতে সূত্র দেবে । $X$ $Y$

এখানেই শেষ এটা পেতে ওখানে যাও.

বিস্তারিত

লিখন , ইত্যাদি মুহূর্ত জন্য। সুতরাং, যে কোনও সংখ্যার জন্য গণনাগুলি অর্থবোধ করে এবং সীমাবদ্ধ সংখ্যা তৈরি করে, $\mu_i(X) = E(X^i)$ $i,j,k,l$

\begin{aligned} Cov (X^{i} Y^{j}, X^{k} Y^{l}) & = E (X^{i} Y^{j} X^{k} Y^{l}) - E (X^{i} Y^{j}) E (X^{k} Y^{l}) \\ = μ_{i + k} (X) μ_{j + l} (Y) - μ_{i} (X) μ_{k} (X) μ_{j} (Y) μ_{l} (Y) . \end{aligned}

$\eqalign{ \operatorname{Cov}\left(X^iY^j, X^kY^l\right) &= E\left(X^iY^j X^kY^l\right) - E\left(X^iY^j\right) E\left(X^kY^l\right) \\&= \mu_{i+k}(X)\mu_{j+l}(Y) - \mu_i(X)\mu_k(X)\mu_j(Y)\mu_l(Y).}$

নোট করুন যে কোনও র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বৈকল্পিকতা এটি নিজের সাথে covariance হয়, সুতরাং ভেরিয়েন্সগুলির জন্য আমাদের কোনও বিশেষ গণনা করতে হবে না।

এটি এখন স্পষ্ট হওয়া উচিত যে কীভাবে কোনও স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবলের কোনও সীমাবদ্ধ সংখ্যাসমূহকে, কোনও শক্তিগুলির সাথে জড়িত মুহুর্তগুলি গণনা করা যায়। অ্যাপ্লিকেশন হিসাবে, এই ফলাফলটি পরস্পর সম্পর্কিত সংজ্ঞাতে প্রয়োগ করুন, যা বৈকল্পিকের বর্গমূলের দ্বারা বিভক্ত সমবায়ু:

\begin{aligned} Cor (X, X Y) & = \frac{Cov (X^{1} Y^{0}, X^{1} Y^{1})}{\sqrt{Cov (X^{1} Y^{0}, X^{1} Y^{0}) Cov (X^{1} Y^{1}, X^{1} Y^{1})}} \\ = \frac{μ_{2} (X) μ_{1} (Y) - μ_{1} (X)^{2} μ_{1} (Y)}{\sqrt{(μ_{2} (X) - μ_{1} (X)^{2}) (μ_{2} (X) μ_{2} (Y) - μ_{1} (X)^{2} μ_{2} (Y)^{2})}} . \end{aligned}

$\eqalign{\operatorname{Cor}(X,XY) &= \frac{\operatorname{Cov}(X^1Y^0, X^1Y^1)}{\sqrt{\operatorname{Cov}(X^1Y^0, X^1Y^0)\ \operatorname{Cov}(X^1Y^1, X^1Y^1)}} \\ &=\frac{\mu_2(X)\mu_1(Y) - \mu_1(X)^2\mu_1(Y)}{\sqrt{\left(\mu_2(X)-\mu_1(X)^2\right)\left(\mu_2(X)\mu_2(Y)-\mu_1(X)^2\mu_2(Y)^2\right)}} . }$

এখানে বিভিন্ন বীজগণিত সরলকরণ রয়েছে যা আপনি যদি চয়ন করতে পারেন তবে আপনি যদি এটির মূল ভেরিয়েবলগুলির প্রত্যাশা, রূপগুলি এবং সমবায়ুগুলির সাথে সম্পর্কিত করতে চান তবে এগুলি এখানে চালিয়ে যাওয়া আর কোনও অন্তর্দৃষ্টি দেয় না।

— whuber
সূত্র

14

এর সম্পূর্ণ সমবায়তা এবং স্বাধীনতার আইন ব্যবহার করে $X$ $Y$

\begin{aligned} Cov (X, X Y) & = E Cov (X, X Y | Y) + Cov (E X | Y, E X Y | Y) \\ = E (Y Cov (X, X)) + Cov (E X, Y E X) \\ = E (Y Var X) + Cov (E X, Y E X) \\ = E Y Var X . \end{aligned}

$\begin{align} \mbox{Cov}(X,XY) &=E\mbox{Cov}(X,XY|Y)+\mbox{Cov}(EX|Y,EXY|Y) \\&=E(Y\mbox{Cov}(X,X)) +\mbox{Cov}(EX,YEX) \\&=E(Y\mbox{Var}X) +\mbox{Cov}(EX,YEX) \\&=EY\mbox{Var}X. \end{align}$

\begin{aligned} Var (X Y) & = E Var (X Y | Y) + Var E (X Y | Y) \\ = E (Y^{2} (Var X | Y)) + Var (Y (E X | Y)) \\ = E (Y^{2} Var X) + Var (Y E X) \\ = E (Y^{2}) Var X + (E X)^{2} Var Y \\ = Var X Var Y + (E Y)^{2} Var X + (E X)^{2} Var Y . \end{aligned}

$\begin{align} \mbox{Var}(XY) &= E\mbox{Var}(XY|Y) + \mbox{Var} E(XY|Y) \\&= E(Y^2 (\mbox{Var}X|Y)) + \mbox{Var} (Y (EX|Y)) \\&= E(Y^2 \mbox{Var}X) + \mbox{Var} (Y EX) \\&= E(Y^2) \mbox{Var}X + (EX)^2\mbox{Var} Y \\&= \mbox{Var}X\mbox{Var}Y+(EY)^2 \mbox{Var}X + (EX)^2\mbox{Var} Y . \end{align}$

Y

$Y$

উপরোক্ত সমবায়তা এবং বৈকল্পিকতা থেকে, কিছুটা বীজগণিত হেরফেরের পরে পারস্পরিক সম্পর্কটি হিসাবে পরিবর্তনের দুটি সহগ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে

\begin{aligned} corr (X, X Y) & = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{Var Y}{(E Y)^{2}} (1 + \frac{(E X)^{2}}{Var X})}} . \end{aligned}

$\begin{align} \mbox{corr}(X,XY) &=\frac1{\sqrt{ 1 + \frac{\text{Var}Y}{(EY)^2}\left(1 + \frac{(EX)^2}{\text{Var}X}\right) }}. \end{align}$

সিমুলেশন দ্বারা এই ফলাফলের একটি চেক:

> n <- 1e+6
> x <- rexp(n,2)-2
> y <- rnorm(n,mean=5)
> cv2 <- function(x) var(x)/mean(x)^2
> 1/sqrt(1+cv2(y)*(1+1/cv2(x)))
[1] 0.844882
> cor(x,x*y)
[1] 0.8445373

— জারলে টুফ্টো
সূত্র

E (Y^{2} Var X) + Var (Y E X)

$E(Y^2\text{Var}X)+\text{Var}(YEX)$

E Cov (X, X Y | Y) = E Y Cov (X, X)

$E\text{Cov}(X, XY|Y)=EY\text{Cov}(X,X)$

Y

$Y$ একটি দেওয়া হয়। আমি কয়েকটি পদক্ষেপের জন্য ন্যূনতম ব্যাখ্যা প্রস্তাব করব।

— আন্তনি পরল্লদা

1

হ্যাঁ, আমি কিছু বন্ধনী যুক্ত করেছি যা অনুপস্থিত ছিল এবং কিছু ব্যাখ্যা ছিল। আমি স্বীকার করতে হবে যে আমি @ শুভর উত্তরটি পছন্দ করি।

— জারলে টুফ্টো

5

$\rho(XY,X) = 0$ $\mathbb{E}(X^2Y) = \mathbb{E}[\mathbb{E}[ X^2Y | X]] = \mathbb{E}[X^2\mathbb{E}[Y|X]] = 0$ $cov(XY,X) = \mathbb{E}(X^2Y) - \mathbb{E}(XY).\mathbb{E}(X) = 0$

— Kledou
সূত্র

-2

এক্স এবং এক্সওয়াইয়ের মধ্যে লিনিয়ার সমঝোতা হবে,

কর্নার (এক্স, এক্সওয়াই) = কোভ (এক্স, এক্সওয়াই) / স্কয়ার্ট (ভ্যার (এক্স) * ভার (এক্সওয়াই))

কোভ (এক্স, এক্সওয়াই) = সংমিশ্রণ ((এক্স-গড় (এক্স)) (এক্সওয়াই-মানে (এক্সওয়াই)) / এন

n - নমুনার আকার; var (এক্স) = এক্স এর রূপ; var (XY) = XY এর প্রকরণ

— স্যাম গ্লাডিও
সূত্র

1

প্রশ্নটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল সম্পর্কে, ডেটা সম্পর্কে নয়।

— whuber

2 টি এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত কিনা তা আমরা কীভাবে খুঁজে পাব? কেবলমাত্র তথ্য দিয়ে। আমি ভুল হলে শুধরে. দুঃক্ষিত।

— স্যাম গ্ল্যাডিও

র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে একটি তাত্ত্বিকভাবে পারস্পরিক সম্পর্ককে গণনা করে। এটি অনেকটা একই কথা, যেমন বলুন, ব্রিজ তৈরির পরীক্ষা এবং তাদের পরীক্ষার তুলনায় নিউটনীয় যান্ত্রিকের নীতিগুলি ব্যবহার করে একটি ব্রিজ ডিজাইনের শক্তি গণনা: তত্ত্ব এবং উপাত্তের জন্য পৃথক ভূমিকা রয়েছে এবং তাদের একে অপরের সাথে বিভ্রান্ত হওয়া উচিত নয় ।

— হোবার