ইউক্লিডিয়ান দূরত্ব সাধারণত বিরল ডেটার জন্য ভাল হয় না?

72

আমি কোথাও দেখেছি যে ক্লাসিকাল দূরত্বগুলি (ইউক্লিডিয়ান দূরত্বের মতো) দুর্বলভাবে বৈষম্যমূলক হয়ে ওঠে যখন আমাদের কাছে বহুমাত্রিক এবং বিরল ডেটা থাকে। কেন? ইউক্লিডিয়ান দূরত্ব ভাল সঞ্চালন করে না এমন দুটি স্পার ডেটা ভেক্টরের উদাহরণ রয়েছে কি? এক্ষেত্রে আমাদের কোন মিল খুঁজে পাওয়া উচিত?

— shn
সূত্র

1

এই নিবন্ধটিও সহায়ক হতে পারে। এই নিবন্ধে, লেখকরা উচ্চ মাত্রিক ডেটাতে কোসাইন মিলের সমস্যাটি ব্যাখ্যা করেছেন এবং এই সমস্যাটি দূর করার জন্য একটি নতুন মিলের পরিমাপের প্রস্তাব দিয়েছেন। জার্নালফবিগডাটা.স্প্রিংগারোপেন.ফার্টিকেল ১০/১১১186/২

— সাহার

33

এখানে একটি সাধারণ খেলনার উদাহরণ রয়েছে যে কোনও বৈষম্য সমস্যায় মাত্রাটির প্রভাব চিত্রিত করে উদাহরণস্বরূপ: আপনি যদি কিছু কিছু পর্যবেক্ষণ করা হয় বা যদি কেবল এলোমেলোভাবে প্রভাব লক্ষ্য করা যায় তা বলতে চাইলে আপনি যে সমস্যার মুখোমুখি হন (বিজ্ঞানের ক্ষেত্রে এই সমস্যাটি ক্লাসিক)।

অনুসন্ধানমূলক। এখানে মূল বিষয়টি হ'ল ইউক্লিডিয়ান রীতিটি যে কোনও দিকনির্দেশকে একই গুরুত্ব দেয়। এটি পূর্বের অভাবকে স্থিত করে তোলে এবং আপনি অবশ্যই উচ্চ মাত্রায় জানেন যে কোনও নিখরচায় মধ্যাহ্নভোজ নেই (যেমন আপনি যা সন্ধান করছেন সে সম্পর্কে যদি আপনার কোনও পূর্ব ধারণা না থাকে তবে কিছু শব্দ হ'ল আপনি যা করছেন তার মতো দেখাবে না এমন কারণ নেই) অনুসন্ধান করা হচ্ছে, এটি টাউটোলজি ...)।

আমি বলব যে কোনও সমস্যার জন্য তথ্যের সীমাবদ্ধতা আছে যা গোলমাল বাদে অন্য কিছু সন্ধান করা প্রয়োজন। এই সীমাটি কোনওভাবেই আপনি "শব্দ" স্তর (অর্থাত্ তথ্যহীন সামগ্রীর স্তর) সম্পর্কিত যে ক্ষেত্রটি অন্বেষণ করতে চেষ্টা করছেন তার "আকার" এর সাথে সম্পর্কিত।

উচ্চ মাত্রায় যদি আপনার সিগন্যালটি খুব কমই থাকে তবে তারপরে আপনি কোনও মেট্রিক দিয়ে স্পার্সহীন ভেক্টরকে সরিয়ে ফেলতে পারবেন (অর্থাত্ শাস্তি দিতে হবে) যা স্পার্স ভেক্টর দিয়ে বা একটি চৌম্বক কৌশল ব্যবহার করে স্থান পূরণ করে with

ফ্রেমওয়ার্কটি ধরে নিন যে একটি গাউসিয়ান ভেক্টর যার সাথে গড় এবং তির্যক কোভেরিয়েন্স ( পরিচিত) এবং আপনি সাধারণ অনুমানটি পরীক্ষা করতে চান $\xi$ $\nu$ $\sigma Id$ $\sigma$

H_{0} : ν = 0, V s H_{θ} : ν = θ

$H_0: \;\nu=0,\; Vs \; H_{\theta}: \; \nu=\theta$ (প্রদত্ত ) এর জন্য অগত্যা জানা যায় না।

θ \in R^{n}

$\theta\in \mathbb{R}^n$

θ

$\theta$

শক্তি দিয়ে পরিসংখ্যান পরীক্ষা করুন । আপনার অবশ্যই অন্তর্নিহিততা হ'ল আদর্শ / শক্তি মূল্যায়ন করা ভাল ধারণা আপনার পর্যবেক্ষণ পরীক্ষার পরিসংখ্যান তৈরি করতে to আসলে আপনি যদি একটি প্রমিত কেন্দ্রিক (অধীনে গঠন করা যেতে পারে ) সংস্করণ শক্তির। এটি একটি নির্বাচিত জন্য of ফর্মের স্তরের স্তরের একটি সমালোচনা অঞ্চল করে তোলে $\mathcal{E}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\xi_i^2$ $\xi$ $H_0$ $T_n$ $T_n=\frac{\sum_i\xi_i^2-\sigma^2}{\sqrt{2n\sigma^4}}$ $\alpha$ $\{T_n\geq v_{1-\alpha}\}$ $v_{1-\alpha}$

পরীক্ষা এবং মাত্রা শক্তি। এক্ষেত্রে আপনার পরীক্ষার শক্তির জন্য নিম্নলিখিত সূত্রটি দেখানো একটি সহজ সম্ভাবনা অনুশীলন:

$P_{θ} (T \leq v_{1 - α}) = P (Z \leq \frac{v_{1 - α}}{\sqrt{1 + 2 ‖ θ ‖_{2}^{2} / (n σ^{2})}} - \frac{‖ θ ‖_{2}^{2}}{\sqrt{2 n σ^{4} + 2 σ^{2} ‖ θ ‖_{2}^{2} / (n σ^{2})}})$ $P_{\theta}(T\leq v_{1-\alpha})=P\left (Z\leq \frac{v_{1-\alpha}}{\sqrt{1+2\|\theta\|_2^2/(n\sigma^2)}}-\frac{\|\theta\|^2_2}{\sqrt{2n\sigma^4+2\sigma^2\|\theta\|_2^2/(n\sigma^2)}}\right )$ সাথে যোগফল i এবং সাথে আইড র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল । $Z$ $n$ $\mathbb{E}[Z]=0$ $Var(Z)=1$

এর অর্থ হল যে আপনার পরীক্ষার শক্তিটি আপনার সিগন্যালের by শক্তি দ্বারা বৃদ্ধি পেয়েছে এবং দ্বারা হ্রাস পেয়েছে । কার্যকরীভাবে ভাষী এর অর্থ হল যে যখন আপনি আকার বৃদ্ধি যদি এটা একই সময়ে সংকেত শক্তি বাড়ে না আপনার সমস্যার তারপর আপনি আপনার পর্যবেক্ষণ Uninformative তথ্য যোগ করা হয় (অথবা আপনি তথ্য দরকারী তথ্য অনুপাত হ্রাস করা হয় আপনার কাছে রয়েছে): এটি গোলমাল যোগ করার মতো এবং পরীক্ষার শক্তি হ্রাস করার মতো (যেমন সম্ভবত আপনি কিছু বলছেন এমন কিছু আছে যা আসলে কিছু আছে সেদিকে লক্ষ্য করা যায় না)) $\|\theta\|^2_2$ $n$ $n$

প্রান্তিক পরিসংখ্যান সহ একটি পরীক্ষার দিকে। আপনার সিগন্যালে যদি আপনার তেমন শক্তি না থাকে তবে আপনি যদি এমন একটি রৈখিক রূপান্তর জানেন যা আপনাকে আপনার সিগন্যালের একটি ছোট অংশে এই শক্তি কেন্দ্রীভূত করতে সহায়তা করতে পারে তবে আপনি একটি পরীক্ষা পরিসংখ্যান তৈরি করতে পারেন যা কেবলমাত্র ক্ষুদ্রের জন্য শক্তির মূল্যায়ন করবে আপনার সংকেতের অংশ আপনি আগাম পরিচিত এমন যেখানে এটি ঘনীভূত হয়েছে (উদাহরণস্বরূপ আপনি জ্ঞাত সেখানে আপনার সংকেত উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সি হতে পারে না) তাহলে আপনার সাথে পূর্ববর্তী পরীক্ষা একটি ক্ষমতা পেতে পারেন অল্প সংখ্যক দ্বারা প্রতিস্থাপিত এবং প্রায় একই ... আপনি যদি আগে থেকে এটি জানেন না তবে আপনাকে এটি অনুমান করতে হবে এটি সুপরিচিত থ্রোসোল্ডিং টেস্টগুলির দিকে পরিচালিত করে। $n$ $\|\theta\|^2_2$

মনে রাখবেন যে এই যুক্তিটি মূল কাগজের মতো অনেকগুলি কাগজপত্র হিসাবে রয়েছে

এ আন্তোনিয়াদিস, এফ আব্রামোভিচ, টি সাপাতিনা এবং বি বিদাকোভিচ। বৈকল্পিক মডেলগুলির কার্যকরী বিশ্লেষণে পরীক্ষার জন্য ওয়েভলেট পদ্ধতি। ওয়েভলেট এবং তার অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে আন্তর্জাতিক জার্নাল, 93: 1007–1021, 2004।
এমভি বার্নশেফ এবং বেগমাতোভ। স্থিতিশীল বিতরণে নেতৃত্বদানকারী সিগন্যাল সনাক্তকরণের একটি সমস্যায়। সম্ভাবনা এবং এর অ্যাপ্লিকেশনগুলির তত্ত্ব, 35 (3): 556–560, 1990।
ওয়াই বড়উড। সিগন্যাল সনাক্তকরণে অ্যাসিম্পটোটিক মিনিম্যাক্স হার পরীক্ষার নয়। বার্নোল্লি, 8: 577–606, 2002।
জে ফ্যান। ওয়েভলেট থ্রেশহোল্ডিং এবং নেইম্যানের কাটা অংশের উপর ভিত্তি করে তাত্পর্যপূর্ণতার পরীক্ষা। জাসা, 91: 674–688, 1996।
জে ফ্যান এবং এসকে লিন। ডেটা বক্ররেখা যখন তাত্পর্য পরীক্ষা। জাসা, 93: 1007–1021, 1998।
ভি স্পোকইনি ওয়েভলেট ব্যবহার করে অভিযোজিত হাইপোথিসিসের পরীক্ষা করা। পরিসংখ্যানগুলির বার্ষিকী, 24 (6): 247792498, ডিসেম্বর 1996।

— রবিন গিরার্ড
সূত্র

51

আমি বিশ্বাস করি যে এটি এতটা স্পারসিটি নয়, তবে উচ্চ মাত্রিকতা সাধারণত বিরল ডেটার সাথে সম্পর্কিত। ডেটা খুব বিরল যখন হতে পারে এটি আরও খারাপ হতে পারে। কারণ তারপরে যে কোনও দুটি বস্তুর দূরত্ব সম্ভবত তাদের দৈর্ঘ্যের চতুর্ভুজ হতে পারে, বা

lim_{d i m \to \infty} d (x, y) = | | x - y | | \to_{p} \sqrt{| | x | |^{2} + | | y | |^{2}}

$\lim_{dim\rightarrow\infty}d(x,y) = ||x-y|| \rightarrow_p \sqrt{||x||^2 + ||y||^2}$

হলে এই সমীকরণটি তুচ্ছভাবে ধারণ করে । আপনি যদি মাত্রিক মাত্রা এবং স্বল্পতা যথেষ্ট পরিমাণে বাড়ান যাতে এটি প্রায় সমস্ত বৈশিষ্ট্যের জন্য ধারণ করে তবে পার্থক্যটি ন্যূনতম হবে। $\forall_i x_i=0 \vee y_i=0$

আরও খারাপ: আপনি যদি আপনার ভেক্টরগুলির দৈর্ঘ্যকে স্বাভাবিক করে তোলেন , তবে যে কোনও দুটি বস্তুর ইউক্লিডিয়ান দূরত্ব উচ্চ সম্ভাবনার সাথে। be হবে । $||x||=1$ $\sqrt{2}$

সুতরাং থাম্বের নিয়ম হিসাবে, ইউক্লিডিয়ান দূরত্ব ব্যবহারের উপযোগী হওয়ার জন্য (আমি দরকারী বা অর্থবোধক দাবি করছি না) গুণাবলীতে শূন্য নয় । তারপরে যেখানে যুক্তিযুক্ত সংখ্যার যুক্তিসঙ্গত সংখ্যা থাকতে হবে সুতরাং ভেক্টর পার্থক্য দরকারী হয়ে ওঠে। এটি অন্যান্য যে কোনও আদর্শ-প্ররোচিত পার্থক্যের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। কারণ উপরের পরিস্থিতিতে $3/4$ $|y_i| \neq |x_i-y_i| \neq |x_i|$ $|x-y| \rightarrow_p |x + y|$

আমি মনে করি না দূরত্বের ক্রিয়াগুলি আসল পার্থক্যের থেকে মূলত স্বাধীন হওয়ার জন্য বা পরম পার্থক্যকে পরম সংখ্যায় রূপান্তরিত করার জন্য এটি আকাঙ্ক্ষিত আচরণ বলে মনে হয় না!

একটি সাধারণ সমাধান হ'ল দূরত্ব যেমন কোসিন দূরত্ব ব্যবহার করা। কিছু তথ্য তারা খুব ভাল কাজ। মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, তারা কেবল এমন বৈশিষ্ট্যগুলি দেখায় যেখানে উভয় ভেক্টর শূন্য নয়। নীচের রেফারেন্সে একটি আকর্ষণীয় পদ্ধতির আলোচনা করা হয়েছে (তারা এটি আবিষ্কার করেনি, তবে আমি তাদের সম্পত্তি সম্পর্কিত পরীক্ষামূলক মূল্যায়ন পছন্দ করি) ভাগ করে নেওয়া নিকটবর্তী প্রতিবেশীদের ব্যবহার করা is সুতরাং এমনকি যখন ভেক্টর x এবং y এর কোনও বৈশিষ্ট্য অভিন্ন নয়, তাদের কিছু সাধারণ প্রতিবেশী থাকতে পারে। দুটি বস্তুর সংযোগকারী বস্তুর সংখ্যা গণনা গ্রাফ দূরত্বের সাথে নিবিড়ভাবে সম্পর্কিত।

এতে দূরত্বের কার্যগুলি নিয়ে প্রচুর আলোচনা রয়েছে:

ভাগ করা-প্রতিবেশী দূরত্বগুলি কি মাত্রার অভিশাপকে হারাতে পারে?
এমই হোল, এইচ.পি. ক্রিগেল, পি। ক্রুগার, ই। শুবার্ট এবং এ। জিমেক
এসএসডিবিএম 2010

এবং যদি আপনি বৈজ্ঞানিক নিবন্ধগুলি পছন্দ করেন না, তবে উইকিপিডিয়ায়: মাত্রাটির অভিশাপ

— Anony-হেয়ার ক্রিম
সূত্র

2

আকর্ষণীয় কাগজ। এই মিলটি পরিমাপের সাথে একটি ক্লাস্টারিং অ্যালগরিদমও যুক্ত। ভাগ করা নিকটতম প্রতিবেশী কোনওভাবে কোনও বৈধ Mercer কার্নেলে প্রকাশ করা যেতে পারে?

— সিদা

যদি আমার মনে থাকে তবে তারা কোনও স্পেসে ইউক্লিডিয়ানের সাথে মিল রাখে । তাহলে হ্যাঁ, এগুলি একটি দুর্দান্ত কার্নেল দেয় yield

R^{n}

$R^{n}$

— অ্যানি-মৌসে

44

আমি বেশিরভাগ ভেক্টরগুলির সাথে প্রায় অর্থোগোনাল, 0 সম্পর্কিত কোনও ডেটার জন্য ইউস্লিডিয়ান নয়, কোসিন দূরত্ব দিয়ে শুরু করার পরামর্শ দেব why কেন । যদি 0 হয় তবে এটি : : অ্যাননি-মৌসে উল্লেখ করার সাথে সাথে দূরত্বের একটি ক্রমযুক্ত পরিমাপকে হ্রাস করে। $x \cdot y \approx$
$|x - y|^2 = |x|^2 + |y|^2 - 2\ x \cdot y$
$x \cdot y \approx$ $|x|^2 + |y|^2$

ব্যবহারের মতো কোসিনের দূরত্ব amounts , বা একক গোলকের পৃষ্ঠের উপরে ডেটা প্রজেক্ট করা, সুতরাং সমস্ত= 1. তারপরে একটি সাধারণ এবং ইউক্লিডিয়ান তুলনায় সাধারণত মেট্রিক better ছোট হতে পারে তবে এটি শোরগোলের দ্বারা মুখোশযুক্ত নয় । । $x / |x|$ $|x|$ $|x - y|^2 = 2 - 2\ x \cdot y$
$x \cdot y$ $|x|^2 + |y|^2$

$x \cdot y$ স্পার্স ডেটার জন্য বেশিরভাগ ক্ষেত্রে 0 এর কাছাকাছি। উদাহরণস্বরূপ, যদি এবং প্রত্যেকের 100 টি শূন্য এবং 900 জিরো থাকে তবে তারা উভয়ই কেবলমাত্র 10 টি শর্তে শূন্য হবে (যদি শূন্য-বিহীন শর্তগুলি এলোমেলোভাবে ছড়িয়ে যায়)। $x$ $y$

/ = স্বাভাবিক করা হচ্ছে বিরল ডেটার জন্য ধীর হতে পারে; এটি সাইকিট শিখতে দ্রুত । $x$ $|x|$

সংক্ষিপ্তসার: কোসাইন দূরত্ব দিয়ে শুরু করুন, তবে কোনও পুরানো ডেটাতে বিস্ময়ের আশা করবেন না।
সফল মেট্রিকগুলির জন্য মূল্যায়ন, সুর, ডোমেন জ্ঞান প্রয়োজন।

— ডেনিস
সূত্র

1

+1 এটি অন্যান্য উত্তরগুলিতে চিন্তাশীল এবং দরকারী বিশ্লেষণ যুক্ত করে।

— হোয়বার

1

এলোমেলোভাবে স্থাপন পয়েন্টগুলির গড় কোণ big সর্বদা বড় জন্য 90 to এর কাছাকাছি থাকে ( প্লটগুলি এখানে দেখুন )

[- 1, 1]^{n}

$[-1, 1]^n$

n

$n$

— মার্টিন থোমা

10

মাত্রিকতার অভিশাপের অংশটি হ'ল ডেটাটি কেন্দ্র থেকে দূরে ছড়িয়ে পড়তে শুরু করে। এটি মাল্টিভারিয়েট স্বাভাবিকের জন্য সত্য এবং এমনকি উপাদানগুলি আইআইডি (গোলাকার স্বাভাবিক) থাকা অবস্থায়ও সত্য। তবে আপনি যদি ইউক্লিডিয়ান দূরত্ব সম্পর্কে কঠোরভাবে কথা বলতে চান এমনকি নিম্ন মাত্রিক স্থানেও যদি ডেটাটির কোনও সম্পর্কযুক্ত কাঠামো থাকে তবে ইউক্লিডিয়ান দূরত্ব যথাযথ মেট্রিক নয়। আমরা যদি মনে করি যে ডেটাগুলি কিছু নানজারো কোভেরিয়েন্সের সাথে স্বাভাবিকভাবে স্বাভাবিক হয় এবং যুক্তির জন্য ধরে নেওয়া যায় যে কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সটি জানা গেছে। তারপরে মহালানোবিস দূরত্বটি যথাযথ দূরত্বের পরিমাপ এবং এটি ইউক্লিডিয়ান দূরত্বের মতো নয় যা এটি কেবল হ্রাস পাবে যদি কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স পরিচয় ম্যাট্রিক্সের সাথে আনুপাতিক হয়।

— মাইকেল চেরনিক
সূত্র

1

ডেটা পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত হলে ইউক্লিডিয়ান দূরত্বের পরিবর্তে মহালানোবিস দূরত্বের পরামর্শের জন্য ধন্যবাদ। ইউক্লিডিয়ান দূরত্ব কেন মহামানোবিস দূরত্বের সাথে সম্পর্কিত সম্পর্কযুক্ত ডেটা পরিচালনা করে না তা আপনি বিশদ দিয়ে বলতে পারেন?

— জুবলস

5

আমি বিশ্বাস করি এটি পরিমাপের ঘনত্ব / ঘনত্বের অভিশাপের সাথে সম্পর্কিত তবে আমি আর এই মন্তব্যটি প্রেরণা করে আলোচনার সন্ধান পাচ্ছি না। আমি বিশ্বাস করি মেটাওপিটিমাইজ করার জন্য একটি থ্রেড ছিল তবে আমি এটি গুগলে ব্যর্থ করেছি ...

পাঠ্য তথ্যের জন্য, টিএফ-আইডিএফ ব্যবহার করে ভেক্টরগুলিকে সাধারণকরণ এবং তারপরে কোসাইন অনুরূপতা প্রয়োগ করা সম্ভবত সম্ভবত ইউক্যালিডিয়ান দূরত্বের চেয়ে ভাল ফলাফল অর্জন করতে পারে কারণ দীর্ঘ দস্তাবেজগুলি (অনেক শব্দের সাথে) একই বিষয়গুলি ভাগ করতে পারে তাই সংখ্যক উচ্চ সংখ্যক ভাগ করে নেওয়া সংক্ষিপ্ত নথির সাথে একই রকম হতে পারে শব্দ। ভেক্টরগুলির আদর্শ বাতিল করা সেই বিশেষ ক্ষেত্রে সহায়তা করে।

— ogrisel
সূত্র

4

পরিমাপ হ'ল তথাকথিত গণনা, যা কোনও ভেক্টরটিতে শূন্য-শূন্য এন্ট্রিগুলির (সসীম) সংখ্যা গণনা করে। এই পরিমাপের সাথে, ভেক্টরগুলি এবং একই অধিকারী। এবং একেবারে একই নয় - আদর্শ আদর্শ। এবং (খুব বিরল) এর as এর মত একই আদর্শ রয়েছে , একটি খুব ফ্ল্যাট, স্পার্সহীন ভেক্টর। এবং একেবারে একই count গণনা। $\ell_0$ $(1,0,0,0)$ $(0,21,0,0)$ $\ell_2$ $(1,0,0,0)$ $\ell_2$ $\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$ $\ell_0$

এই ফাংশনটি, কোনও আদর্শ বা কোসিনর্ম নয়, এটি অননমূথ এবং ননকোনভেক্স। ডোমেনের উপর নির্ভর করে এর নামগুলি হল্দ্দীকরণ, উদাহরণস্বরূপ: কার্ডিনালিটি ফাংশন, সংখ্যার পরিমাপ, বা কেবল পার্সিমনি বা স্পারসিটি। এটি প্রায়শই ব্যবহারিক উদ্দেশ্যে অযৌক্তিক হিসাবে বিবেচিত হয় যেহেতু এর ব্যবহার এনপি কঠিন সমস্যার দিকে পরিচালিত করে ।

মানক দূরত্ব বা নিয়মগুলি (যেমন দূরত্বের মতো) বেশি ট্র্যাকটেবল হলেও তাদের সমস্যাগুলির মধ্যে একটি হ'ল তাদের সমজাতীয়তা:জন্য । এই অ-স্বজ্ঞাত দেখা যেতে পারে স্কালে পণ্য ডেটা মধ্যে নাল এন্ট্রি অনুপাত (পরিবর্তন করে না হয় -homogeneneous)। $\ell_2$ $1$

‖ a . x ‖ = | a | ‖ x ‖

$\| a.x\| = |a|\| x\|$

a \neq 0

$a\neq 0$

ℓ_{0}

$\ell_0$

0

$0$

সুতরাং , কিছু পদ ( ) যেমন লাসো, রিজ বা ইলাস্টিক নেট নিয়মিতকরণ। আদর্শ (ম্যানহাটান বা ট্যাক্সিক্যাব দূরত্ব), অথবা তার মসৃণ অবতার, বিশেষত দরকারী। ই Candès এবং অন্যদের কাজ থেকে, এক ব্যাখ্যা করতে পারেন কেন একটি গুড পড়তা হয় : একটি জ্যামিতিক ব্যাখ্যা । অন্যরা করেছেন মধ্যে অ ন্যুব্জতা বিষয় মূল্যে। $\ell_p(x)$ $p \ge1$ $\ell_1$ $\ell_1$ $\ell_0$ $p < 1$ $\ell_p(x)$

আর একটি আকর্ষণীয় পথ হল স্পারসিটির ধারণাটিকে পুনরায় স্বাক্ষর করা। সাম্প্রতিক উল্লেখযোগ্য রচনাগুলির মধ্যে একটি হ'ল এন। হার্লি এট আল দ্বারা বিতরণ ব্যবস্থার সাথে কথা বলার সাথে তুলনামূলক পরিমাপের তুলনা করা । ছয়টি অ্যালিয়োম থেকে (রবিন হুড, স্কেলিং, রাইজিং টাইড, ক্লোনিং, বিল গেটস এবং বাবিসের মতো মজার নাম সহ) কয়েকটি স্পারসিটি সূচক উদ্ভূত: একটি জিনির সূচকের উপর ভিত্তি করে, অন্যটি আদর্শ অনুপাতের ভিত্তিতে, বিশেষত ওভার-ওভার- দুটি আদর্শ-অনুপাত, নীচে দেখানো হয়েছে: $\frac{\ell_1}{\ell_2}$

উত্তল না হলেও, অভিজাতকরণের কিছু প্রমাণ এবং কিছু historical ট্যাক্সিক্যাবে ইউক্লিডে $\frac{\ell _1}{\ell_2}$ বিশদ : নিয়মিতকরণ নিয়মিতকরণের সাথে স্পারস ব্লাইন্ড ।

— লরেন্ট ডুভাল
সূত্র

4

হাই ডাইমেনশনাল স্পেসে দূরত্বের মেট্রিকগুলির বিস্ময়কর আচরণ সম্পর্কিত কাগজটি উচ্চ মাত্রিক স্থানগুলিতে দূরত্বের মেট্রিকগুলির আচরণ নিয়ে আলোচনা করে।

তারা আদর্শ গ্রহণ করে এবং হাই ডাইমেনশনাল স্পেসে সবচেয়ে কার্যকর হিসাবে আদর্শকে প্রস্তাব দেয় । তারা একটি পরিচয় করিয়ে ভগ্ন আদর্শ অনুরূপ আদর্শ কিন্তু । $L_k$ $L_1$ $L_f$ $L_k$ $f \in (0..1)$

সংক্ষেপে, তারা দেখায় যে উচ্চ মাত্রিক স্থানগুলির জন্য ইউক্যালিডিয়ান আদর্শকে ডিফল্ট হিসাবে ব্যবহার করা সম্ভবত কোনও ভাল ধারণা নয়; এই জাতীয় ফাঁকা জায়গাগুলিতে আমাদের সাধারণত স্বল্প অনুভূতি হয় এবং মাত্রা সংখ্যার কারণে ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘনত্বের সাথে ইউক্লিডিয়ান দূরত্ব বিবেচনায় নেওয়া শক্ত।

— facuq
সূত্র

1

ভাল. জন্য নিয়ম পরিবর্তে আপাতদৃষ্টিতে নিয়ম আছে।

L_{f}

$L_f$

0 < f < 1

$0<f<1$

— লরেন্ট ডুভাল