কলমন ফিল্টারের সম্ভাবনাটি কেন মসৃণ ফলাফলের পরিবর্তে ফিল্টার ফলাফল ব্যবহার করে গণনা করা হয়?

11

আমি কলমান ফিল্টারটি খুব স্ট্যান্ডার্ড উপায়ে ব্যবহার করছি। সিস্টেম রাষ্ট্র সমীকরণ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় এবং পর্যবেক্ষণ সমীকরণ । $x_{t+1}=Fx_{t}+v_{t+1}$ $y_{t}=Hx_{t}+Az_{t}+w_{t}$

পাঠ্যপুস্তকগুলি শিখিয়েছে যে কলম্যান ফিল্টার প্রয়োগ করার পরে এবং "এক-পদক্ষেপের পূর্বাভাস" (বা "ফিল্টার করা প্রাক্কলন") পাওয়ার পরে, আমাদের সেগুলি সম্ভাবনা ফাংশন গণনা করার জন্য ব্যবহার করা উচিত: $\hat{x}_{t|t-1}$

$f_{y_{t}|\mathcal{I}_{t-1},z_{t}}\left(y_{t}|\mathcal{I}_{t-1},z_{t}\right)=\det\left[2\pi\left(HP_{t|t-1}H^{\prime}+R\right)\right]^{-\frac{1}{2}}\exp\left\{ -\frac{1}{2}\left(y_{t}-H\hat{x}_{t|t-1}-Az_{t}\right)^{\prime}\left(HP_{t|t-1}H^{\prime}+R\right)^{-1}\left(y_{t}-H\hat{x}_{t|t-1}-Az_{t}\right)\right\}$

আমার প্রশ্ন: সম্ভাব্যতা ফাংশনটি কেন "ফিল্টার করা প্রাক্কলন" এবং "স্মুথড অনুমান" ? নয় রাষ্ট্র ভেক্টর একটি ভাল অনুমান? $\hat{x}_{t|t-1}$ $\hat{x}_{t|T}$ $\hat{x}_{t|T}$

likelihood kalman-filter

— গুস্তাভো আমরণতে
সূত্র

আমি আরও তথ্যবহুল হতে শিরোনাম সম্পাদনা করেছি।

— জুহো কোক্কালা

5

আপনার প্রশ্নের উত্তর দিতে: আপনি স্মুথিং ডেনসিটি ব্যবহার করতে পারেন। তবে আপনার দরকার নেই। জারলে টুফ্টোর উত্তরে আপনি যে পচন ব্যবহার করছেন তা রয়েছে। তবে অন্যরাও আছেন।

কলম্যান পুনরাবৃত্তি ব্যবহার করে

এখানে আপনি সম্ভাবনাটি

f (y_{1}, \dots, y_{n}) = f (y_{1}) \prod_{i = 2}^{n} f (y_{i} | y_{1}, \dots, y_{i - 1}) .

$f(y_1, \ldots, y_n) = f(y_1)\prod_{i=2}^nf(y_i|y_1, \ldots, y_{i-1}).$

তবে, উপায় এবং বৈকল্পগুলি সর্বদা সাধারণভাবে সম্ভাব্যতা বন্টনকে পুরোপুরি সংজ্ঞায়িত করে না। সম্ভাবনা to ফিল্টারিং বিতরণ থেকে ফিল্টারিং বিতরণ থেকে আপনি যে ব্যবহার করছেন তা নীচে নীচে রয়েছে : $f(x_{i-1}|y_1,\ldots,y_{i-1})$ $f(y_i|y_1,\ldots,y_{i-1})$

\begin{matrix} (1) & f (y_{i} | y_{1}, \dots, y_{i - 1}) = \iint f (y_{i} | x_{i}) f (x_{i} | x_{i - 1}) f (x_{i - 1} | y_{1}, \dots, y_{i - 1}) d x_{i} d x_{i - 1} . \end{matrix}

$f(y_i|y_1, \ldots, y_{i-1}) = \iint f(y_i|x_i)f(x_i|x_{i-1})f(x_{i-1}|y_1, \ldots, y_{i-1})dx_{i} dx_{i-1} \tag{1}.$

এখানে হল রাষ্ট্রীয় রূপান্তর ঘনত্ব ... মডেলের অংশ এবং হল পর্যবেক্ষণ ঘনত্ব ... আবার মডেলের অংশ। আপনার প্রশ্নে আপনি এগুলিকে এবং । ইহা একই জিনিস. $f(x_i|x_{i-1})$ $f(y_i|x_i)$ $x_{t+1}=Fx_{t}+v_{t+1}$ $y_{t}=Hx_{t}+Az_{t}+w_{t}$

আপনি যখন এক পদক্ষেপের পূর্বে রাষ্ট্রীয় পূর্বাভাস বিতরণ পাবেন, তখন । আপনি আবার সংহত করার সময়, আপনি সম্পূর্ণভাবে (1) পাবেন। আপনি আপনার প্রশ্নে সেই ঘনত্ব পুরোপুরি লিখেছেন এবং এটি একই জিনিস। $\int f(x_i|x_{i-1})f(x_{i-1}|y_1, \ldots, y_{i-1}) dx_{i-1}$

এখানে আপনি কেবল সম্ভাবনা বিতরণের পচন এবং মডেল সম্পর্কে অনুমানগুলি ব্যবহার করছেন। এই সম্ভাবনার গণনা একটি নির্ভুল গণনা। আপনি আরও ভাল বা আরও খারাপ করতে এটি ব্যবহার করতে পারেন এমন বিচক্ষণতার কিছু নেই।

ইএম অ্যালগরিদম ব্যবহার করে

আমার জ্ঞানের কাছে, এই জাতীয় রাজ্য স্পেস মডেলটিতে সরাসরি সম্ভাবনার মূল্যায়ন করার কোনও উপায় নেই। তবে, আপনি এখনও কোনও আলাদা ফাংশনটি মূল্যায়ন করে সর্বাধিক সম্ভাবনা অনুমান করতে পারেন: আপনি ইএম অ্যালগরিদম ব্যবহার করতে পারেন। প্রত্যাশা পদক্ষেপে (ই-পদক্ষেপ) আপনি এখানে

\int f (x_{1}, \dots, x_{n} | y_{1}, \dots y_{n}) \log f (y_{1}, \dots, y_{n}, x_{1}, \dots, x_{n}) d x_{1 : n} = E_{s m o o t h} [\log f (y_{1}, \dots, y_{n}, x_{1}, \dots, x_{n})] .

$\int f(x_1, \ldots, x_n|y_1,\ldots y_n) \log f(y_1,\ldots,y_n,x_1, \ldots,x_n) dx_{1:n} = E_{smooth}[\log f(y_1,\ldots,y_n,x_1, \ldots,x_n)].$

f (y_{1}, \dots, y_{n}, x_{1}, \dots, x_{n})

$f(y_1,\ldots,y_n,x_1, \ldots,x_n)$ এটি "সম্পূর্ণ ডেটা" সম্ভাবনা, এবং আপনি যৌথ স্মুথিং ডেনসিটির সম্মানের সাথে লগের প্রত্যাশাটি নিচ্ছেন। প্রায়শই যা ঘটে তা হ'ল, আপনি এই সম্পূর্ণ ডেটা সম্ভাবনার লগ নিচ্ছেন বলে শর্তগুলি অঙ্কে বিভক্ত হয়ে গেল, এবং প্রত্যাশা অপারেটরের লিনিয়ারির কারণে আপনি প্রান্তিক স্মুথ বিতরণগুলির বিষয়ে সম্মতি রেখে প্রত্যাশা নিচ্ছেন আপনি আপনার প্রশ্নের মধ্যে উল্লেখ)।

অন্য জিনিস

আমি এমন জায়গাগুলিতে পড়েছি যে সম্ভাবনা সর্বাধিকতর করার জন্য ইএম একটি "আরও স্থিতিশীল" উপায়, তবে আমি সত্যিই কখনও এই বিষয়টিকে ভালভাবে তর্ক করতে দেখিনি, বা এই শব্দটি "স্থিতিশীল" মোটেই সংজ্ঞায়িত করতে দেখিনি, তবে আমিও নিরাপদে নেই সত্যিই এটি আরও পরীক্ষা করা হবে না। এই অ্যালগরিদমগুলির কোনওটিই স্থানীয় / গ্লোবাল ম্যাক্সিমা অগ্নিপরীক্ষার কাছাকাছি পায় না। আমি ব্যক্তিগতভাবে কলম্যানকে প্রায়শই অভ্যাসের বাইরে ব্যবহার করার প্রবণতা রাখি।

এটি সত্য যে রাজ্যের স্মুথযুক্ত প্রাক্কলনগুলির তুলনায় সাধারণত ফিল্টারিংয়ের তুলনায় কিছুটা ভিন্নতা থাকে, তাই আমি অনুমান করি যে আপনি এই সম্পর্কে কিছুটা অন্তর্দৃষ্টি দিয়েছিলেন ঠিকই, তবে আপনি সত্যই রাজ্যগুলি ব্যবহার করছেন না। আপনি যে সম্ভাবনাটি সর্বোচ্চ করে তোলার চেষ্টা করছেন তা রাজ্যের কোনও কাজ নয়।

— টেলর
সূত্র

কেএফ এবং ইএম কতটা আলাদা? তারা অস্পষ্টভাবে অনুরূপ আচরণে একই কাজ করে doing

— মিচ 14 ই

1

@ মিচ এটি সম্ভবত এমন কিছু যা মন্তব্য করার চেয়ে বেশি প্রাপ্য। আপনি কেএফ এর সাথে কোন সাধারণ উদ্দেশ্য অপটিমাইজার ব্যবহার করেন এবং কোন ধরণের ইএম ব্যবহার করেন তা নির্ভর করে। আমি এটি না দেখে খুব বেশি নিশ্চিত হতে যাচ্ছি না।

— টেলর

7

সাধারণভাবে, পণ্য নিয়ম অনুসারে, সঠিক সম্ভাবনা রাষ্ট্রীয় স্থানের মডেলটির ধারণা থেকে, এটি অনুসরণ করে যে অতীতের পর্যবেক্ষণগুলিতে প্রতিটি শর্তসাপেক্ষে প্রত্যাশা ভেক্টর এবং বৈকল্পিক ম্যাট্রিক্সটি হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে এবং

f (y_{1}, \dots, y_{n}) = f (y_{1}) \prod_{i = 2}^{n} f (y_{i} | y_{1}, \dots, y_{i - 1}) .

$f(y_1,\dots,y_n)=f(y_1)\prod_{i=2}^n f(y_i|y_1,\dots,y_{i-1}).$

y_{i}

$y_i$

\begin{aligned} E (y_{i} | y_{1}, \dots, y_{i - 1}) & = E (H x_{t} + A z_{t} + w_{t} | y_{1}, \dots, y_{i - 1}) \\ = H E (x_{t} | y_{1}, \dots, y_{i - 1}) + A z_{t} + E w_{t} \\ = H {\hat{x}}_{t | t - 1} + A z_{t}, \end{aligned}

$\begin{align} E(y_i|y_1,\dots,y_{i-1}) &= E(Hx_{t}+Az_{t}+w_{t}|y_1,\dots,y_{i-1}) \\&= HE(x_{t}|y_1,\dots,y_{i-1})+Az_{t}+Ew_{t} \\&= H\hat x_{t|t-1}+Az_{t}, \end{align}$

\begin{aligned} V a r (y_{i} | y_{1}, \dots, y_{i - 1}) & = V a r (H x_{t} + A z_{t} + w_{t} | y_{1}, \dots, y_{i - 1}) \\ = H V a r (x_{t} | y_{1}, \dots, y_{i - 1}) H^{'} + V a r w_{t} \\ = H P_{t | t - 1} H^{'} + R . \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{Var}(y_i|y_1,\dots,y_{i-1}) &= \mathrm{Var}(Hx_{t}+Az_{t}+w_{t}|y_1,\dots,y_{i-1}) \\&= H\mathrm{Var}(x_{t}|y_1,\dots,y_{i-1})H'+ \mathrm{Var}w_t \\&= HP_{t|t-1}H'+R. \end{align}$ সুতরাং এটি কোনও ধীর গতির প্রাক্কলন গণনা না করে সঠিক সম্ভাবনা দেয়।

আপনি অবশ্যই স্মুটেড অনুমানগুলি ব্যবহার করতে পারবেন যা সত্যই অজানা রাজ্যের আরও ভাল অনুমান, এটি আপনাকে সম্ভাবনা কার্য দেয় না। আপনি এর পর্যবেক্ষণকৃত মানটি তার নিজস্ব প্রত্যাশিত মানটি অনুমান করতে ব্যবহার করবেন তাই সম্ভবত মনে হয় এটি ফলাফলের অনুমানগুলিতে কিছুটা পক্ষপাত ঘটায়। $y_i$

— জারলে টুফ্টো
সূত্র

0

আমি মনে করি যে স্মুথিং বিতরণটি (সাধারণত) ব্যবহৃত হয় না কেন "কেন" এর থেকে উত্তম উত্তর হ'ল দক্ষতা। নীচের দিক থেকে ছুটি-এক-আউট অর্থে (স্মুথিং) প্রান্তিক সম্ভাবনা গণনা করা নীতিগতভাবে সহজ। পর্যবেক্ষণ মুছে ফেলুন j, বাকী ডেটাতে কালম্যান স্মুথ চালান। তারপরে অদেখা y (জে) এর সম্ভাবনাটি মূল্যায়ন করুন। সমস্ত j এর জন্য এটি পুনরাবৃত্তি করুন। লগ-সম্ভাবনা যোগফল। এর দ্রুততম সংস্করণগুলি (র্যান্ডমাইজড) হোল্ড-আউট নমুনার ব্লক (যেমন কে-ফোল্ড সিভি) এর সাথে কাজ করে। লক্ষ্য করুন যে এই স্কিমটির জন্য কলমান ফিল্টার / স্মুথের আরও সাধারণ প্রয়োগের প্রয়োজন যা প্রয়োজনের ভিত্তিতে নির্বিচারে পরিমাপের আপডেটগুলি এড়িয়ে যেতে পারে। পিছনের / স্মুথিং পাসটি পরিমাপগুলি অ্যাক্সেস করে না (আরটিএস অ্যালগরিদম যাই হোক) এবং একই থাকে and

যদি টাইম-সিরিজটি "দীর্ঘ পর্যাপ্ত" হয় তবে এটি করার ক্ষেত্রে খুব সম্ভবত কার্যকর উপকার হয় কারণ ফিল্টারিংয়ের সম্ভাবনাটি তার প্রাথমিক ক্ষণস্থায়ী "বার্ন" হয়ে যায়। তবে যদি ডেটাসেটটি স্বল্প হয় তবে আরও ব্যয়বহুল স্মুথিংয়ের সম্ভাবনা এটির পক্ষে উপযুক্ত। একটি স্থির-লঘু মসৃণ একটি অন্তঃস্থরের সমাধান হতে পারে।

— threepwood
সূত্র