"একেবারে ধারাবাহিক এলোমেলো পরিবর্তনশীল" বনাম "কন্টিনিউস এলোমেলো ভেরিয়েবল"?

ভ্যালেন্টিন ভি পেট্রোভের "সীমিত তত্ত্বের প্রব্যাবিলিটি থিওরি" বইয়ে আমি বিতরণটির সংজ্ঞা "অবিচ্ছিন্ন" এবং "একেবারে অবিচ্ছিন্ন" হওয়ার মধ্যে একটি পার্থক্য দেখেছি, যা নীচে বর্ণিত হয়েছে:

"... দৈব চলক বিতরণের একটানা হতে যদি বলা হয় কোন সসীম বা ধর্তব্য সেট বাস্তব লাইনের পয়েন্ট। এটা একেবারে যদি ক্রমাগত মনে করা হয় সমস্ত বোরেলেরজন্য লেবেসগু পরিমাপ শূন্যের সেট করে"... $(*)$ $X$ $P\left(X \in B\right)=0$ $B$ $P\left(X \in B\right)=0$ $B$

আমি যে ধারণাটির সাথে পরিচিত সেগুলি হ'ল:

"যদি কোনও এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্রমাগত ক্রম বিতরণ ফাংশন থাকে তবে তা একেবারে অবিচ্ছিন্ন।" $(\#)$

এবং একই বিষয়ে কথা বলার ক্ষেত্রে $\textbf{My questions are:}$ "পরম ধারাবাহিকতা" সম্পর্কে দুটি বিবরণকি? যদি হ্যাঁ, আমি কীভাবে একটি ব্যাখ্যাটিকে অন্য একটিতে অনুবাদ করতে পারি? $(*)$ $(\#)$

ধন্যবাদ!

probability distributions random-variable

— টিয়ান
সূত্র

অবিচ্ছিন্ন তবে একেবারে অবিচ্ছিন্ন বিতরণের মানক উদাহরণটি stats.stackexchange.com/questions/229556/… এ আলোচনা করা হয়েছে , যেখানে এটি গ্রাফ করা হয়েছে এবং সেখান থেকে নমুনার জন্য কোড সরবরাহ করা হয়েছে।

— হোবার

বর্ণনাগুলি পৃথক: কেবলমাত্র প্রথমটি $(*)$ সঠিক। এই উত্তরটি ব্যাখ্যা করে যে কীভাবে এবং কেন।

অবিচ্ছিন্ন বিতরণ

একটি "ক্রমাগত" ডিস্ট্রিবিউশন $F$ একটি ক্রমাগত স্বাভাবিক অর্থে অবিচ্ছিন্ন ফাংশন । এক সংজ্ঞা (সাধারণত প্রথম এক মানুষ তাদের শিক্ষার সম্মুখীন) প্রতিটি জন্য $x$ এবং কোন সংখ্যার জন্য $\epsilon\gt 0$ একটি অস্তিত্ব আছে $\delta$ (তার উপর নির্ভর করে $x$ এবং $\epsilon$ , যার জন্য এর মান) $F$ উপর $\delta$ এর -neighborhood $x$ পরিবর্তিত হতে থেকে $\epsilon$ বেশি নয় । $F(x)$

$F$ $X$ $\Pr(X=x)=0$ $x$ $\delta$ $\Pr(X\in (x-\delta, x+\delta))$ $\epsilon \gt 0$ $\Pr(X=x)$ $\epsilon$ $\Pr(X=x)=0$ $B$

একেবারে অবিচ্ছিন্ন বিতরণ

সকল বন্টন ফাংশন ইতিবাচক, সসীম সংজ্ঞায়িত ব্যবস্থা দ্বারা নির্ধারিত $F$ $\mu_F$

μ_{F} ((a, b]) = F (b) - F (a) .

$\mu_F((a,b]) = F(b) - F(a).$

পরম ধারাবাহিকতা পরিমাপ তত্ত্বের ধারণা is এক পরিমাপ অন্য পরিমাপ থেকে সম্মান সঙ্গে একেবারে অবিচ্ছিন্ন (উভয় একই সিগমা বীজগণিত উপর সংজ্ঞায়িত) যখন, যে পরিমাপযোগ্য সেট , বোঝা । অন্য কথায়, , কোনও "ছোট" (পরিমাপ শূন্য) সেট নেই যা "বৃহত্তর" (ননজারো) সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করে। $\mu_F$ $\lambda$ $E$ $\lambda(E)=0$ $\mu_F(E)=0$ $\lambda$ $\mu_F$

আমরা সাধারণ লেবেসগু পরিমাপ হিসাবে গ্রহণ করব , যার জন্য একটি অন্তরালের দৈর্ঘ্য এর দ্বিতীয়ার্ধে বলা হয়েছে যে সম্ভাবনা পরিমাপ লেবেসগু পরিমাপের ক্ষেত্রে একেবারে অবিচ্ছিন্ন। $\lambda$ $\lambda((a,b]) = b-a$ $(*)$ $\mu_F(B)=\Pr(X\in B)$

নিরঙ্কুশ ধারাবাহিকতা পার্থক্যের সাথে সম্পর্কিত। (কিছু বিন্দু অন্য সম্মান সঙ্গে এক পরিমাপ ব্যুৎপন্ন ) একজন স্বজ্ঞাত ধারণা: এর পরিমাপযোগ্য এলাকাগুলোর একটি সেট নিতে কথা রাখলে সঙ্কুচিত এবং যারা এলাকাগুলোর দুই ব্যবস্থা তুলনা করুন। যদি তারা সর্বদা একই সীমাতে পৌঁছায়, আশেপাশের অঞ্চলগুলির যে অনুক্রমটি বেছে নেওয়া হয় তা বিবেচনা না করে তবে সেই সীমাটি ব্যুৎপন্ন। (এখানে একটি প্রযুক্তিগত সমস্যা রয়েছে: আপনার সেই অঞ্চলগুলি সীমাবদ্ধ করতে হবে যাতে তাদের "প্যাথলজিকাল" আকার না থাকে That এটি প্রতিটি অঞ্চলে যে অঞ্চলে রয়েছে তার একটি অবহেলিত অংশ দখল করার প্রয়োজনের মাধ্যমে এটি করা যেতে পারে)) $x$ $x$ $x$

এই অর্থে পার্থক্য হ'ল একটানা বিতরণে সম্ভাবনার সংজ্ঞা কী? সম্বোধন করছে

আসুন লেখ ডেরিভেটিভ জন্য থেকে সম্মান সঙ্গে । প্রাসঙ্গিক উপপাদ্য - এটি ক্যালকুলাসের মূল তত্ত্বের একটি পরিমাপ-তাত্ত্বিক সংস্করণ - অ্যাসেসর্টস $D_\lambda(\mu_F)$ $\mu_F$ $\lambda$

$\mu_F$ থেকে সম্মান সঙ্গে একেবারে অবিচ্ছিন্ন যদি এবং কেবল যদি যে পরিমাপযোগ্য সেট । [রুডিন, উপপাদ্য ৮..6] $\lambda$
$μ_{F} (E) = \int_{E} (D_{λ} μ_{F}) (x) d λ$ $\mu_F(E) = \int_E \left(D_\lambda \mu_F\right)(x)\,\mathrm{d}\lambda$ $E$

অন্য কথায়, (পরম ধারাবাহিকতা থেকে সম্মান সঙ্গে ) একটি অস্তিত্ব সমতূল্য ঘনত্ব ফাংশন । $\mu_F$ $\lambda$ $D_\lambda(\mu_F)$

সারসংক্ষেপ

ডিস্ট্রিবিউশন অবিচ্ছিন্ন থাকে যখন ফাংশন হিসাবে ক্রমাগত থাকে: স্বজ্ঞাতভাবে, এর কোনও "জাম্প" থাকে না। $F$ $F$
ডিস্ট্রিবিউশন একেবারে অবিচ্ছিন্ন থাকে যখন এর ঘনত্বের কার্য থাকে (লেবেসগু পরিমাপের ক্ষেত্রে)। $F$

যে দুটি ধরণের ধারাবাহিকতা সমতুল্য নয় তা উদাহরণ দ্বারা প্রদর্শিত হয় যেমন https://stats.stackexchange.com/a/229561/919 তে রেকর্ড করা হয়েছে । এটি বিখ্যাত ক্যান্টর ফাংশন । এই ফাংশনের জন্য, প্রায় সর্বত্র অনুভূমিক (যেমন এর গ্রাফটি সরল করে তোলে), যেহেতু প্রায় সর্বত্র শূন্য, এবং তাই । এটি স্পষ্টতই এর সঠিক মান দেয় না (মোট সম্ভাব্যতার অক্ষ অনুসারে)। $F$ $D_\lambda(\mu_F)$ $\int_{\mathbb{R}} D_\lambda(\mu_F)(x)d\lambda = \int_{\mathbb{R}}0 d\lambda = 0$ $1$

কার্যত পরিসংখ্যান অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে ব্যবহৃত সমস্ত বিতরণ একেবারে অবিচ্ছিন্ন, কোথাও অবিচ্ছিন্ন (বিচ্ছিন্ন) বা এর মিশ্রণ নয়, তাই ধারাবাহিকতা এবং পরম ধারাবাহিকতার পার্থক্য প্রায়শই উপেক্ষা করা হয়। যাইহোক, এই পার্থক্যটির প্রশংসা করতে ব্যর্থ হওয়ার কারণে গন্ধযুক্ত যুক্তি এবং খারাপ স্বজ্ঞাততা দেখা দিতে পারে, বিশেষত এমন ক্ষেত্রে যেখানে কঠোরতার সর্বাধিক প্রয়োজন হয়: যথা যখন কোনও পরিস্থিতি বিভ্রান্তিকর বা অদ্বিতীয় হয়, তাই আমরা সঠিক ফলাফলের দিকে এগিয়ে চলার জন্য আমরা গণিতে নির্ভর করি। এজন্য আমরা সাধারণত অনুশীলনে এই জিনিসগুলির একটি বড় চুক্তি করি না, তবে এটি সম্পর্কে প্রত্যেকেরই জানা উচিত।

উল্লেখ

রুডিন, ওয়াল্টার বাস্তব এবং জটিল বিশ্লেষণ । ম্যাকগ্রা-হিল, 1974: বিভাগ 6.2 (নিরঙ্কুশ ধারাবাহিকতা) এবং 8.1 (পরিমাপের ডেরিভেটিভস)।

— whuber
সূত্র

অন্যান্য অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে সম্পূর্ণরূপে বিতরণ অব্যাহত থাকে। এর উদাহরণ (কিছু) গতিশীল সিস্টেমে রয়েছে, যেখানে স্যামেরের ঘোড়াওয়ালা প্রচুর পরিমাণে রয়েছে, যা ক্যান্টোরের বিতরণের মতো সম্পত্তি সহ বিতরণকে উত্সাহ দেয়।

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন

"একেবারে ধারাবাহিক এলোমেলো পরিবর্তনশীল" বনাম "কন্টিনিউস এলোমেলো ভেরিয়েবল"?

অবিচ্ছিন্ন বিতরণ

একেবারে অবিচ্ছিন্ন বিতরণ

সারসংক্ষেপ

মন্তব্য

উল্লেখ