বিপুল সংখ্যক আইন কখন ব্যর্থ হয়?

Question

প্রশ্নটি কেবল শিরোনামে যা বলা হয়েছে: বড় সংখ্যার আইন কখন ব্যর্থ হয়? আমার অর্থ হ'ল, কোন ক্ষেত্রে কোন ঘটনার ফ্রিকোয়েন্সি তাত্ত্বিক সম্ভাবনার দিকে ঝুঁকবে না?

Answer 1

এখানে দুটি উপপাদ্য রয়েছে (কোলমোগোরভের) এবং উভয়েরই প্রত্যাশিত মান সীমাবদ্ধ হওয়া প্রয়োজন। প্রথমটি হোল্ড করে যখন ভেরিয়েবলগুলি আইআইডি হয়, দ্বিতীয়টি যখন স্যাম্পলিং স্বতন্ত্র হয় এবং $X_n$ প্রকরণটি সন্তুষ্ট হয়

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{V(X_n)}{n^2} < \infty$$

বলুন যে সমস্ত মান 0 প্রত্যাশা করেছে তবে তাদের পার্থক্য n 2 যাতে শর্তটি স্পষ্টভাবে ব্যর্থ হয়। তাহলে কি হয়? আপনি এখনও একটি আনুমানিক গড় গণনা করতে পারেন, তবে আপনি গভীর এবং গভীরতর নমুনা হিসাবে এর মানে 0 হয় না। আপনি নমুনা রাখার সাথে সাথে এটি আরও বেশি করে বিচ্যুত হবে।$X_n$$n^2$

একটি উদাহরণ দেওয়া যাক। বলে যে অভিন্ন হয় ইউ ( - এন 2 এন , এন 2 এন ) যাতে শর্ত উপরে epically ব্যর্থ।$X_n$$U(-n2^n , n2^n)$

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{V(X_n)}{n^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2 2^{2n+2}}{12}\frac{1}{n^2} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^\infty 4^n = \infty.$$

তা লক্ষ করে

$$\bar{X}_n = \frac{X_n}{n} + \frac{n-1}{n}\bar{X}_{n-1},$$

আমরা আনয়ন দ্বারা দেখতে পাই যে গণনা করা গড় সর্বদা বিরতিতে থাকে ( - 2 এন , 2 এন ) । জন্য একই সূত্র ব্যবহারের এন + + 1 , আমরা দেখতে সবসময় তুলনায় সুযোগ বৃহত্তর নেই 1 / 8 যে ˉ এক্স এন + + 1 বাহিরে মিথ্যা ( - 2 এন , 2 এন ) । আসলে, এক্স এন + $\bar{X}_n$$(-2^n, 2^n)$$n+1$$1/8$$\bar{X}_{n+1}$$(-2^n, 2^n)$ অভিন্ন হয়ইউ(-2এন+ +1,2এন+ +1)এবং মিথ্যা বাহিরে(-2এন,2এন)সম্ভাব্যতা সঙ্গে1/4। অন্যদিকে,$\frac{X_{n+1}}{n+1}$$U(-2^{n+1},2^{n+1})$$(-2^n, 2^n)$$1/4$হয়(-2এন,2এন)আনয়ন দ্বারা, এবং প্রতিসাম্য দ্বারা এটি সম্ভাব্যতা সঙ্গে ইতিবাচক1/2। এই পর্যবেক্ষণ থেকে তা অবিলম্বে অনুসরণ করে যে ˉ এক্স এন+ +1হয় তার চেয়ে অনেক বেশী2এনবা চেয়ে ছোট-2এনপ্রতিটি সম্ভাব্যতা চেয়ে বড় সঙ্গে1/16। সম্ভাবনা যেহেতু| । এক্স এন+1| $\frac{n}{n+1}\bar{X}_n$$(-2^n, 2^n)$$1/2$$\bar{X}_{n+1}$$2^n$$-2^n$$1/16$ চেয়ে বেশী 1 / 8 , সেখানে অভিসৃতি 0 হতে পারে না যেমন এন অনন্ত চলে যায়।$|\bar{X}_{n+1}| > 2^n$$1/8$$n$

এখন, আপনার প্রশ্নের সুনির্দিষ্টভাবে উত্তর দিতে, একটি ইভেন্ট বিবেচনা করুন । যদি আমি ভাল করে বুঝতে পারি তবে আপনি জিজ্ঞাসা করবেন "নিম্নলিখিত বিবৃতিটি কোন পরিস্থিতিতে ভুল?"$A$

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n} 1_A(X_k) = P(X \in A), \; [P]\;a.s.$$

যেখানে হ'ল ইভেন্ট এর সূচক ফাংশন , অর্থাৎ যদি এবং অন্যথায় এবং অভিন্নভাবে বিতরণ করা হয় (এবং মতো বিতরণ করা হয় )। এ 1 এ ( এক্স কে ) = 1 এক্স কে ∈ এ $1_A$$A$ $1_A(X_k) = 1$$X_k \in A$$0$$X_k$$X$

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে উপরের শর্তটি ধরে রাখবে, কারণ একটি সূচক ফাংশনের বৈকল্পিকটি উপরে 1/4 দ্বারা আবদ্ধ হয়, যা একটি বের্নিলি 0-1 ভেরিয়েবলের সর্বাধিক বৈকল্পিক। তবুও, যেটি ভুল হতে পারে তা হ'ল বিপুল সংখ্যার শক্তিশালী আইন, যা স্বাধীন নমুনা গ্রহণের দ্বিতীয় ধারণা । যদি এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি স্বতন্ত্রভাবে নমুনা না থাকে তবে নিশ্চিত হয় না।$X_k$

উদাহরণস্বরূপ, যদি সমস্ত জন্য = হয় তবে অনুপাত 1 বা 0 হবে, এর মান যাই হোক না কেন , রূপান্তর ঘটবে না (যদি না এর সম্ভাব্যতা 0 বা 1 থাকে তবে )। এটি একটি জাল এবং চরম উদাহরণ। আমি ব্যবহারিক ক্ষেত্রে সচেতন নই যেখানে তাত্ত্বিক সম্ভাবনার সাথে সংমিশ্রণ ঘটবে না। এখনও, নমুনা স্বাধীন না হলে সম্ভাবনা বিদ্যমান existsএক্স 1 কে এন $X_k$$X_1$$k$$n$$A$

Comments

একটি মন্তব্য. উইকিপিডিয়ায় (lnl পৃষ্ঠায়) আমি পড়েছি যে বৈকল্পিকতার অ-চূড়ান্ততা কেবলমাত্র গড়ের সংমিশ্রণকে হ্রাস করে। আপনি যা বলেছেন তা থেকে আলাদা?

— ইমানুয়েল

আপনি কি একই আইন নিয়ে আলোচনা করছেন? প্রশ্নটি ইভেন্টগুলির ফ্রিকোয়েন্সি সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করে যখন এই উত্তরটি কোনও গড়ের নমুনা বিতরণকে কেন্দ্র করে । যদিও সেখানে একটি সংযোগ রয়েছে, এটি এখনও পর্যন্ত এখানে স্পষ্টভাবে উপস্থিত হয়নি যতদূর আমি বলতে পারি।

— হোবার

@ শুভ সত্য আমি প্রশ্নের শিরোনামে খুব বেশি মনোযোগ দিয়েছি। নির্দেশ করার জন্য ধন্যবাদ। আমি উত্তর আপডেট।

— gui11aume

@ gui11aume আমি বুঝতে পারি না "আমরা দেখতে পেলাম উপরের শর্তটি ধরে রাখা হবে, কারণ একটি সূচক ফাংশনের বৈকল্পিকটি উপরে 1/4 দ্বারা আবদ্ধ হয়।" এটার মানে কি?

— ইমানুয়েল

যদি সেগুলি স্বতন্ত্রভাবে বিতরণ করা হয় তবে স্বতন্ত্র না হয় তবে প্রশ্নের সীমাটি একেবারেই নাও থাকতে পারে।

— কার্ডিনাল