যদি এক্স এবং ওয়াই অপ্রাসঙ্গিক হয় তবে কি এক্স ^ 2 এবং ওয়াইও কি সম্পর্কহীন?

দুই র্যান্ডম ভেরিয়েবল যদি এবং সম্পর্কহীন, আমরা যে জানতে পারেন এবং সম্পর্কহীন? আমার অনুমান হ্যাঁ। $X$ $Y$ $X^2$ $Y$

$X, Y$ অসংরক্ষিত অর্থ , বা $E[XY]=E[X]E[Y]$

E [X Y] = \int x y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X] E [Y]

$E[XY]=\int xy f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int xf_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X]E[Y]$

তারও কি নিম্নলিখিতটি বোঝানো হচ্ছে?

E [X^{2} Y] = \int x^{2} y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x^{2} f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X^{2}] E [Y]

$E[X^2Y]=\int x^2y f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int x^2f_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X^2]E[Y]$

random-variable independence

— ভেগার্ড স্টিকবাককে
সূত্র

হ্যাঁ। এই প্রশ্নটি আগে জিজ্ঞাসা করা হয়েছে এবং উত্তর দেওয়া হয়েছে তবে আমি আমার মোবাইল ডিভাইস থেকে একটি নির্দিষ্ট রেফারেন্স পাই না।

— দিলীপ সরওতে

@ দিলিপ সরওয়াতে দেখে মনে হয় যে গ্রহণযোগ্য উত্তর ইতিমধ্যে একটি পাল্টা উদাহরণ দিয়েছে।

— Vim

@ দিলিপ সরওয়াতে আপনার মন্তব্যে "হ্যাঁ" এর পরিবর্তে আপনার অবশ্যই "না" বোঝানো উচিত!

— অ্যামিবা বলেছেন মোনিকা

@ অ্যামিবা স্বাধীনতার বিষয়ে জিজ্ঞাসিত প্রশ্নের মূল সংস্করণ যার উত্তর উত্তর হ্যাঁ। অসম্পৃক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবল সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করার জন্য এটি সম্পাদনা করা হয়েছে। আমি এখন আমার মন্তব্য পরিবর্তন করতে পারি না।

— দিলীপ সরোতে

মূল প্রশ্নটি বেশ বিভ্রান্ত হয়েছিল, কারণ এটি স্বাধীনতার একটি ভুল সংজ্ঞা ব্যবহার করেছিল। বর্তমান প্রশ্নটি এখনও বিভ্রান্ত, কারণ এটি থেকে অনুপযুক্ত ছাড়ের এটি ) বলে মনে করে। আমি আশা করি @ ওয়েগ্রার্ডটিকবাকেকে কয়েকটি উদাহরণ সহ স্বতন্ত্র এবং অসংরক্ষিত সম্পর্কিত সঠিক সংজ্ঞাটি পড়েছেন।

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

— মেনি

উত্তর:

নং একটি পাল্টা নমুনা:

, সমানভাবে বিতরণ করা যাক । $X$ $[-1, 1]$ $Y = X^2$

তারপরে এবং ( বিজোড় ফাংশন), সুতরাং অসংরক্ষিত। $E[X]=0$ $E[XY]=E[X^3]=0$ $X^3$ $X,Y$

তবে $E[X^2Y] = E[X^4] = E[{X^2}^2] > E[X^2]^2 = E[X^2]E[Y]$

জেনসেনের অসমতার পরে শেষ অসম্যতা। এটি এটিকেও অনুসরণ করে যে যেহেতু ধ্রুবক নয়। $E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 = Var(X) > 0$ $X$

আপনার যুক্তিযুক্ত সমস্যাটি এবং এর বিপরীতে নির্ভর করে , তাই আপনার পেনাল্টিমেট সমতা অবৈধ। $f_X$ $y$

— জাকুব বার্টকজুক
সূত্র

জেনসেনের অসমতার সাথে এটিকে আরও জটিল করার দরকার নেই; একটি অ-নেতিবাচক এলোমেলো পরিবর্তনশীল এবং এটি ডাব্লুপি 1 নয়, সুতরাং (বা আপনি কেবল করতে পারেন এবং সহজেই এর ইতিবাচক দেখতে পাচ্ছেন )।

X^{4}

$X^4$

0

$0$

E [X^{4}] > 0

$E[X^4] >0$

\int_{- 1}^{1} x^{4} d x

$\int_{-1}^1 x^4 dx$

— ব্যাটম্যান

আপনারও প্লট যুক্ত করা উচিত। আমি একটি অনুরূপ উদাহরণ বিবেচনা করে যাচ্ছিলাম (Y = | X | অন -1: +1) তবে দর্শনীয়ভাবে উপস্থাপন করতাম।

— অ্যানি-মৌসে

@ ব্যাটম্যান আমি সত্যিই এটি দেখতে পাচ্ছি না কারণ

E [{X^{2}}^{2}] - E [X^{2}]^{2} > 0

$E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 > 0$

— জাকুব বার্টকজুক

@ অ্যানি-মাউসিকে Y. Y = | এক্স | সীমাবদ্ধ করার দরকার নেই প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে

— লরেন পেচটেল

দেখার জন্য LorenPechtel। কারণ আইএমএইচএও কেন এটি ঘটতে পারে তা আরও ভাল , এবং কেবল এটিই নয় যে গণিতের ফলাফলটি পছন্দসই।

— অ্যানি-মউসেস

এমনকি যদি হয় তবে কেবল এটি সম্ভব নয় যে এবং পরস্পর সম্পর্কযুক্ত, তবে তারা এমনকি পুরোপুরি সম্পর্কযুক্ত হতে পারে, : $\operatorname{Corr}(X,Y)=0$ $X^2$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(1,0,1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 1

বা : $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=-1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(-1,0,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] -1

আপনি আর কোডটি পড়তে না পারলে প্রথম উদাহরণটি দুটি যৌথ বিতরণের সাথে এবং সাথে দুটি হিসাবে বিবেচনা করার সমতুল্য সমান সম্ভাবনা , বা । নিখুঁত নেতিবাচক সম্পর্কযুক্ত উদাহরণে, সমানভাবে , বা । $X$ $Y$ $(X,Y)$ $(-1,1)$ $(0,0)$ $(1,1)$ $(X,Y)$ $(-1,-1)$ $(0,0)$ $(1,-1)$

তবুও, আমরা এবং যেমন , সুতরাং সমস্ত চূড়ান্ত সম্ভাবনা রয়েছে: $X$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=0$

> x <- c(-1,-1,0,1,1); y <- c(1,-1,0,1,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 0

— Silverfish
সূত্র

আপনার যুক্তি ত্রুটিটি হ'ল আপনি সম্পর্কে নিম্নলিখিতটি লিখেছেন : যখন সাধারণ দুটি যদি , অর্থাৎ যদি এবং স্বতন্ত্র থাকে। নিরক্ষরিত হওয়া স্বাধীন হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় তবে পর্যাপ্ত শর্ত নয়। সুতরাং এবং দুটি ভেরিয়েবল যদি সম্পর্কহীন তবে নির্ভরশীল হয় তবে এবং পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত হতে পারে। $E[h(X,Y)]$

E [h (X, Y)] = \int h (x, y) f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_X(x)f_Y(y)dxdy$

E [h (X, Y)] = \int h (x, y) f_{X Y} (x, y) d x d y .

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_{XY}(x,y)dxdy.$

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

f (X)

$f(X)$

g (Y)

$g(Y)$

— লুকা সিটি
সূত্র