এলোমেলো পরিবর্তনশীল সর্বাধিক যে সম্ভাবনাটি আমরা কীভাবে আবদ্ধ করতে পারি?

$\newcommand{\P}{\mathbb{P}}$ ধরুন আমরা আছে $N$ স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল $X_1$ , $\ldots$ , $X_n$ সসীম উপায়ে সঙ্গে $\mu_1 \leq \ldots \leq \mu_N$ এবং ভেরিয়ানস $\sigma_1^2$ , $\ldots$ , $\sigma_N^2$ । আমি যে কোনও $X_i \neq X_N$ অন্যান্য সমস্ত $X_j$ , চেয়ে বড় তার সম্ভাব্যতার জন্য বিতরণ-মুক্ত সীমার সন্ধান $j \neq i$ ।

অন্য কথায়, যদি আমরা সরলতা জন্য অনুমান এর ডিস্ট্রিবিউশন $X_i$ একটানা হয় (যেমন যে $\P(X_i = X_j) = 0$ ), আমি সীমা একটি ভালো

P (X_{i} = max_{j} X_{j}) .

$\P( X_i = \max_j X_j ) \enspace.$ যদি

N = 2

$N=2$ , আমরা চেবিশেভের

ব্যবহার করতে পারি:

P (X_{1} = max_{j} X_{j}) = P (X_{1} > X_{2}) \leq \frac{σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}}{σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2} + (μ_{1} - μ_{2})^{2}} .

$\P(X_1 = \max_j X_j) = \P(X_1 > X_2) \leq \frac{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + (\mu_1 - \mu_2)^2} \enspace.$ আমি কিছু সহজ (অগত্যা টাইট না) সাধারণ জন্য বাউন্ড এটি চাই

N

$N$ , কিন্তু আমি (esthetically) সাধারণ জন্য আনন্দদায়ক ফলাফল খুঁজে নিতে সক্ষম হয়েছে না

N

$N$ ।

দয়া করে নোট করুন যে ভেরিয়েবলগুলি আইড হিসাবে ধরে নেওয়া হয় না। সম্পর্কিত কাজের জন্য কোনও পরামর্শ বা রেফারেন্স স্বাগত।

আপডেট: অনুমান দ্বারা এটি মনে করুন, $\mu_j \geq \mu_i$ । । তারপরে আমরা উপরের ব্যবহার করতে পারি:

P (X_{i} = max_{j} X_{j}) \leq min_{j > i} \frac{σ_{i}^{2} + σ_{j}^{2}}{σ_{i}^{2} + σ_{j}^{2} + (μ_{j} - μ_{i})^{2}} \leq \frac{σ_{i}^{2} + σ_{N}^{2}}{σ_{i}^{2} + σ_{N}^{2} + (μ_{N} - μ_{i})^{2}} .

$\P(X_i = \max_j X_j) \leq \min_{j > i} \frac{\sigma_i^2 + \sigma_j^2}{\sigma_i^2 + \sigma_j^2 + (\mu_j - \mu_i)^2} \leq \frac{\sigma_i^2 + \sigma_N^2}{\sigma_i^2 + \sigma_N^2 + (\mu_N - \mu_i)^2} \enspace.$ এর থেকে বোঝা যায়:

(μ_{N} - μ_{i}) P (X_{i} = max_{j} X_{j}) \leq (μ_{N} - μ_{i}) \frac{σ_{i}^{2} + σ_{N}^{2}}{σ_{i}^{2} + σ_{N}^{2} + (μ_{N} - μ_{i})^{2}} \leq \frac{1}{2} \sqrt{σ_{i}^{2} + σ_{N}^{2}} .

$( \mu_N - \mu_i ) \P( X_i = \max_j X_j ) \leq (\mu_N - \mu_i) \frac{\sigma_i^2 + \sigma_N^2}{\sigma_i^2 + \sigma_N^2 + (\mu_N - \mu_i)^2} \leq \frac{1}{2} \sqrt{ \sigma_i^2 + \sigma_N^2 } \enspace.$ এটি, পরিবর্তে, বোঝাচ্ছে:

\sum_{i = 1}^{N} μ_{i} P (X_{i} = max_{j} X_{j}) \geq μ_{N} - \frac{N}{2} \sqrt{\sum_{i = 1}^{N - 1} (σ_{i}^{2} + σ_{N}^{2})} .

$\sum_{i=1}^N \mu_i \P( X_i = \max_j X_j ) \geq \mu_N - \frac{N}{2} \sqrt{ \sum_{i=1}^{N-1} (\sigma_i^2 + \sigma_N^2) } \enspace.$ আমি এখন ভাবছি যে এই সীমাটি এমন কিছুতে উন্নত করা যায় যা

উপর রৈখিকভাবে নির্ভর করে না

N

$N$ । উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিতটি কি হোল্ড করে:

\sum_{i = 1}^{N} μ_{i} P (X_{i} = max_{j} X_{j}) \geq μ_{N} - \sqrt{\sum_{i = 1}^{N} σ_{i}^{2}} ?

$\sum_{i=1}^N \mu_i \P( X_i = \max_j X_j ) \geq \mu_N - \sqrt{ \sum_{i=1}^N \sigma_i^2 } \enspace?$ এবং যদি না হয় তবে একটি পাল্টা নমুনা কী হতে পারে?

probability bounds maximum

— এমএলএস
সূত্র

আপনি যদি সূচক ব্যবহার করেন যা আপনাকে পরিবর্তে ছোট ছোট উপরের সীমাটি দেয় তবে এই সীমাটি আরও কঠোর হতে পারে । নোট করুন যে এই মানটি উভয়টির গড় এবং প্রকরণের উপর নির্ভর করে।

j

$j$

N

$N$

@ মিশেল চের্নিক: আমি বিশ্বাস করি না যে এটি সঠিক। ধরুন উদাহরণস্বরূপ আমাদের তিনটি অভিন্ন বিতরণ রয়েছে । তারপরে, আমি যদি ভুল না হয়ে থাকি তবে , যেখানে । আপনি যদি লিখতে চেয়েছিলেন তবে আমি জানি না , তবে একই উদাহরণটি দেখায় যে এটি এখনও বৈধ নয়।

[0, 1]

$[0,1]$

P (X_{1} < max_{j} X_{j}) = 2 / 3

$P( X_1 < \max_j X_j ) = 2/3$

P (X_{1} < X_{2}) = P (X_{1} < X_{3}) = 1 / 2

$P(X_1 < X_2) = P(X_1 < X_3) = 1/2$

P (X_{i} > max_{j} X_{j})

$P( X_i > \max_j X_j )$

— এমএলএস

@ মিশেল: দুর্ভাগ্যক্রমে এটি এখনও সত্য নয়। ঘটনা জন্য সংশোধন করা হয়েছে স্বাধীন নই।

A_{j} = {X_{i} > X_{j}}

$A_j = \{X_i > X_j\}$

i

$i$

— কার্ডিনাল

@ কার্ডিনাল: অন্যান্য বিষয়ের মধ্যে এটি বহু-সশস্ত্র ডাকাতদের সাথে সম্পর্কিত। আপনি যদি পূর্ববর্তী পুরষ্কারের ভিত্তিতে একটি বাহু বেছে নেন, তবে আপনি সর্বোত্তম হাতটি বেছে নেওয়ার সম্ভাবনাটি কত বড় (এটি উপরের স্বরলিপিতে ) এবং আমরা কোনও উপকরণ বাছাইয়ের জন্য প্রত্যাশিত ক্ষতির সীমাবদ্ধ করতে পারি? -পটিমাল আর্ম?

P (X_{N} = max_{j} X_{j})

$P(X_N = \max_j X_j)$

— এমএলএস

ম্যাথওভারফ্লোতে ক্রসপোস্ট করা হয়েছে: mathoverflow.net/questions/99313

— কার্ডিনাল

উত্তর:

আপনি মালবিয়ারিয়েট চেবিশেভের অসমতা ব্যবহার করতে পারেন।

দুটি ভেরিয়েবল কেস

একক পরিস্থিতিতে, বনাম , আমি 4 নভেম্বর 2016-তে জোচেনের মন্তব্যে একই পরিস্থিতিতে পৌঁছেছি $X_1$ $X_2$

1) যদি তবে $\mu_1 < \mu_2$ $P(X_1>X_2) \leq (\sigma_1^2 + \sigma_2^2)/(\mu_1-\mu_2)^2$

(এবং আমি আপনার উদ্ভূত সম্পর্কেও বিস্মিত হই)

সমীকরণের ব্যয় 1

নতুন ভেরিয়েবল ব্যবহার করে $X_1-X_2$
এটিকে এমন রূপান্তর করা যে এর শূন্যের গড় রয়েছে
পরম মান গ্রহণ
চেবিশেভের অসমতা প্রয়োগ করা

\begin{matrix} P (X_{1} > X_{2}) & = P (X_{1} - X_{2} > 0) \\ = P (X_{1} - X_{2} - (μ_{1} - μ_{2}) > - (μ_{1} - μ_{2})) \\ \leq P (| X_{1} - X_{2} - (μ_{1} - μ_{2}) | > μ_{2} - μ_{1}) \\ \leq \frac{σ_{(X_{1} - X_{2} - (μ_{1} - μ_{2}))}^{2}}{(μ_{2} - μ_{1})^{2}} = \frac{σ_{X_{1}}^{2} + σ_{X_{2}}^{2}}{(μ_{2} - μ_{1})^{2}} \end{matrix}

$\begin{array} \\ P \left( X_1 > X_2 \right) &= P \left( X_1 - X_2 > 0 \right)\\ &= P\left( X_1 - X_2 - (\mu_1 - \mu_2) > - (\mu_1 - \mu_2)\right) \\ &\leq P\left( \vert X_1 - X_2 - (\mu_1 - \mu_2) \vert > \mu_2 - \mu_1\right) \\ &\leq \frac{\sigma_{(X_1-X_2- (\mu_1 - \mu_2))}^2}{(\mu_2 - \mu_1)^2} = \frac{\sigma_{X_1}^2+\sigma_{X_2}^2}{(\mu_2 - \mu_1)^2}\\ \end{array}$

মাল্টিভাইয়ারেট কেস

সমীকরণের (in) বৈষম্যকে প্রতিটি জন্য একাধিক ট্রান্সফর্মড ভেরিয়েবল প্রয়োগ করে একটি মাল্টিভিয়ারেট কেস হিসাবে রূপান্তর করা যেতে পারে (নোট করুন যে এগুলি সম্পর্কযুক্ত)। $(X_n-X_i)$ $i<n$

এই সমস্যার একটি সমাধান (মাল্টিভারিয়েট এবং পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত) I. অলকিন এবং জেডাব্লু প্র্যাট দ্বারা বর্ণিত হয়েছে। গাণিতিক পরিসংখ্যানের অ্যানালসগুলিতে 'একটি মাল্টিভিয়ারেট টেবিচেইফ অসাম্যতা', খণ্ড ২৯ পৃষ্ঠা 226-234 http://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177706720

উপপাদ্য 2.3 নোট করুন

$P(\vert y_i \vert \geq k_i \sigma_i \text{ for some } i) = P(\vert x_i \vert \geq 1 \text{ for some } i) \leq \frac{(\sqrt{u} + \sqrt{(pt-u)(p-1)})^2}{p^2}$

যা ভেরিয়েবল নম্বর, , এবং । $p$ $t=\sum k_i^{-2}$ $u=\sum \rho_{ij}/(k_ik_j)$

উপপাদ্য 3.6 একটি শক্ত বাউন্ড সরবরাহ করে তবে গণনা করা সহজ নয় less

সম্পাদন করা

মাল্টিভারিয়েট ক্যান্তেলির অসমতা ব্যবহার করে একটি তীক্ষ্ণ আবদ্ধ সন্ধান করা যেতে পারে । সেই বৈষম্য হ'ল সেই ধরণের যা আপনি আগে ব্যবহার করেছিলেন এবং আপনাকে সীমানা সরবরাহ করেছিলেন যা অপেক্ষা তীক্ষ্ণ । $(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)/(\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + (\mu_1-\mu_2)^2)$ $(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)/(\mu_1-\mu_2)^2$

আমি পুরো নিবন্ধটি অধ্যয়নের জন্য সময় নিই নি, তবে যাইহোক, আপনি এখানে একটি সমাধান খুঁজে পেতে পারেন:

এডাব্লু মার্শাল এবং আই। ওলকিন গাণিতিক পরিসংখ্যান খণ্ডের অ্যানালিকায় 31 শে চবিশেভ প্রকারের একতরফা বৈষম্য 31 পিপি। 488-491 https://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177705913

(পরে দ্রষ্টব্য: এই বৈষম্যটি সমান পারস্পরিক সম্পর্কের জন্য এবং পর্যাপ্ত সহায়তার জন্য নয় But তবে যাইহোক আপনার সমস্যাটি, তীব্রতম সীমাবদ্ধতা খুঁজে পেতে, আরও সাধারণ, বহুবিধ ক্যান্তেলি অসমতার সমান। সমাধানটি উপস্থিত না থাকলে আমি অবাক হব)

— সেক্সটাস এম্পেরিকাস
সূত্র

আপনি বহুবিধ চেবিশেভ বৈষম্যের একটি স্পষ্ট বিবৃতি প্রদান করতে পারেন?

— হোয়বার

আমি সম্পূর্ণ উপপাদ্য সরবরাহ সমাধান সম্পাদনা করেছি।

— সেক্সটাস এম্পেরিকাস

-1

আমি একটি উপপাদ্য খুঁজে পেয়েছি যা আপনাকে সাহায্য করতে পারে এবং এটি আপনার প্রয়োজনের জন্য সামঞ্জস্য করার চেষ্টা করব। ধরুন আপনার কাছে রয়েছে:

e x p (t \cdot E (\underset{1 \leq i \leq n}{m a x} X_{i}))

$exp(t \cdot \mathbf{E}(\underset{1 \leq i \leq n}{max}X_{i}))$

তারপরে জেনসেনের অসমতার দ্বারা (যেহেতু এক্সপ্রেস (।) একটি উত্তল ফাংশন), আমরা পাই:

e x p (t \cdot E (\underset{1 \leq i \leq n}{m a x} X_{i})) \leq E (e x p (t \cdot \underset{1 \leq i \leq n}{m a x} X_{i})) = E (\underset{1 \leq i \leq n}{m a x} e x p (t \cdot X_{i})) \leq \sum_{i = 1}^{n} E (e x p (t \cdot X_{i})

$exp(t \cdot \mathbf{E}(\underset{1 \leq i \leq n}{max}X_{i})) \leq \mathbf{E}(exp( t \cdot \underset{1 \leq i \leq n}{max}X_{i})) = \mathbf{E}( \underset{1 \leq i \leq n}{max} \text{ }exp( t \cdot X_{i})) \leq \sum_{i=1}^{n} \mathbf{E} (exp(t \cdot X_{i})$

এখন জন্য আপনার র্যান্ডম ভেরিয়েবল এর মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশনটি যে কোনও ক্ষেত্রেই প্লাগ করতে হবে (যেহেতু এটি কেবলমাত্র এমজিএফের সংজ্ঞা)) তারপরে, (এবং সম্ভাব্যভাবে আপনার পদটি সরল করে), আপনি এই পদটি গ্রহণ করেন এবং লগটি নিয়ে যান এবং এটির দ্বারা ভাগ করে নিন যাতে আপনি term শব্দটি সম্পর্কে একটি বিবৃতি পান তারপরে আপনি কিছু স্বেচ্ছাসেবী মানের সাথে টি চয়ন করতে পারেন (সেরা যাতে শব্দটি ছোট হয় যাতে সীমাটি শক্ত থাকে)। $exp(t \cdot X_{i}$ $X_{i}$ $\mathbf{E}(\underset{1 \leq i \leq n}{max}X_{i})$

তারপরে, সর্বাধিক এন আরভিএসের প্রত্যাশিত মান সম্পর্কে আপনার কাছে একটি বিবৃতি রয়েছে। আপনার আরভি'র সর্বাধিক এই প্রত্যাশিত মান থেকে বিচ্যুত হওয়ার সম্ভাব্যতা সম্পর্কে একটি বিবৃতি পেতে এখনই আপনি কেবল মার্কভের অসমতা (আপনার আরভি অ-নেতিবাচক বলে ধরে নিচ্ছেন) বা অন্য নির্দিষ্ট আরভি ব্যবহার করে আপনার বিশেষ আরভিতে প্রয়োগ করতে পারেন।

— ফ্যাবিয়ান ফ্যালক
সূত্র