আমরা থেকে এই উপসংহারে আসতে পারি যে স্বাধীন?

ওয়েল, আমরা দেখতে পাই না, উদাহরণস্বরূপ একটি আকর্ষণীয় কাউন্টারেরেক্স্যাম্পলটির জন্য https://en.wikedia.org/wiki/Subind dependence। তবে আসল প্রশ্নটি হল: স্বাধীনতা অনুসরণ করে শর্তটিকে আরও শক্তিশালী করার কোনও উপায় আছে? উদাহরণস্বরূপ, ফাংশনগুলির এমন কিছু সেট রয়েছে যাতে সমস্ত পরে স্বাধীনতা অনুসরণ করে? এবং, এ জাতীয় ফাংশনটির সেট কত বড় হতে হবে, অসীম? $g_1, \dotsc, g_n$ $\E g_i(X) g_j(Y) =\E g_i(X) \E g_j(Y)$ $i,j$

এবং, এছাড়াও, কিছু ভাল রেফারেন্স যা এই প্রশ্নের সাথে আচরণ করে?

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন en
সূত্র

তোমার কি ভাগ্য হয়েছে? আমি দেখতে আগ্রহী যে এখানে কোনও জোড় আরভি-র জন্য কাজ করে এমন একটি সীমাবদ্ধ সেট রয়েছে এবং বিশেষত ন্যায়সঙ্গততা সিডিএফ ফ্যাক্টেরাইজেশন

— বাদে

আমি এটা দেখব! আমি সন্দেহ করি যে সাধারণভাবে একটি সীমাবদ্ধ সেট রয়েছে, তবে যে কোনও সেট যা ফাংশনগুলির একটি রৈখিক সেটের ভিত্তি হয় তা করা উচিত (উদাহরণস্বরূপ, যদি উভয়ের মান তবে একটি সেট সুসংগত স্বাধীন polynomials (অথবা অন্যান্য) ফাংশন করা উচিত।

X, Y

$X, Y$

0, 1, 2, \dots, n

$0,1,2,\dotsc,n$

n + 1

$n+1$

— kjetil খ halvorsen

যাক একটি সম্ভাব্যতা স্থান হতে। সংজ্ঞা দুই র্যান্ডম ভেরিয়েবল দ্বারা স্বাধীন যদি তাদের -algebras এবং স্বাধীন, অর্থাৎ আমাদের । $(\Omega, \mathscr F, P)$ $X, Y :\Omega \to \mathbb R$ $\sigma$ $S_X := \sigma(X)$ $S_Y := \sigma(Y)$ $\forall A \in S_X, B \in S_Y$ $P(A \cap B) = P(A)P(B)$

আসুন এবং (gra ম্যাথবিবি যথেষ্ট হয়েছে তা নির্দেশ করার জন্য @ গ্রান্ড_চ্যাটকে ধন্যবাদ) take তারপরে আমাদের এবং $g_a(x) = I(x \leq a)$ $G = \{g_a : a \in \mathbb Q\}$ $\mathbb Q$

E (g_{a} (X) g_{b} (Y)) = E (I (X \leq a) I (Y \leq b)) = E (I (X \leq a, Y \leq b)) = P (X \leq a \cap Y \leq b)

$E\left(g_a(X)g_b(Y)\right) = E(I(X \leq a)I(Y \leq b)) = E(I(X \leq a, Y \leq b)) = P(X \leq a \cap Y \leq b)$

E (g_{a} (X)) E (g_{b} (Y)) = P (X \leq a) P (Y \leq b) .

$E(g_a(X))E(g_b(Y)) = P(X \leq a)P(Y \leq b).$

যদি আমরা ধরে নিই যে তবে আমরা তে আবেদন করতে পারি উপপাদ্যটি দেখানোর জন্য যে অর্থাৎ । $\forall a, b \in \mathbb Q$

P (X \leq a \cap Y \leq b) = P (X \leq a) P (Y \leq b)

$P(X \leq a \cap Y \leq b) = P(X \leq a)P(Y \leq b)$

π - λ

$\pi-\lambda$

P (A \cap B) = P (A) P (B) \forall A \in S_{X}, B \in S_{Y}

$P(A \cap B) = P(A)P(B) \hspace{5mm} \forall A \in S_X, B \in S_Y$

X ⊥ Y

$X \perp Y$

সুতরাং আমি যদি কোনও ভুল না করি তবে আমরা কমপক্ষে এই জাতীয় ফাংশনগুলির একটি গণনাযোগ্য সংগ্রহ পেয়েছি এবং এটি সাধারণ সম্ভাবনার জায়গার উপরে নির্ধারিত যেকোন জোড়া এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।

— jld
সূত্র

আপনি আসলে কি দেখিয়েছেন? যদিও আপনি কার্যের একটি অগণিত সংগ্রহ সংজ্ঞায়িত করেছেন, আপনি কোথায় দেখিয়েছেন সেগুলি সবগুলি প্রয়োজন? উদাহরণস্বরূপ, এবং প্রত্যেকেরই সুনির্দিষ্ট মানগুলির সীমাবদ্ধ সেট থাকে তবে এ জাতীয় পরিমাণে কার্যকারিতা কল্পনা করা শক্ত ।

X

$X$

Y

$Y$

— হোবার

@ হুবুহু আমি এই ধরণের কোনও কার্যকারিতা আদৌ আছে কি না তা এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার চেষ্টা করছিলাম। আমি সম্মত হই যে আরও আকর্ষণীয় দিকটি হ'ল একটি ন্যূনতম সেট (যা আমি এখনও কাজ করছি) সন্ধান করা

— jld

আপনি কমে যায় মাত্র মূলদ বিবেচনা করে একটি ধর্তব্য সেটে ।

G

$G$

a

$a$

— গ্র্যান্ড_চ্যাট

@ গ্র্যান্ড_চ্যাট দারুন পয়েন্ট, আমি আপডেট করেছি

— জেএলডি