নেই

নেই $\mathbb{Cov} \left(f(X),Y\right) = 0 \; \forall \; f(.)$ স্বতন্ত্র স্বাধীনতা ইঙ্গিত $X$ এবং $Y$ ?

আমি কেবল এর মধ্যে স্বাধীনতার নিম্নলিখিত সংজ্ঞা দিয়ে পরিচিত with $X$ এবং $Y$ ।

f_{x, y} (x, y) = f_{x} (x) f_{y} (y)

$f_{x,y}(x,y) = f_x(x)f_y(y)$

random-variable independence

— stollenm
সূত্র

তোমার দরকার

C o v (f (X), g (Y)) = 0 for all (measurable) f (\cdot), g (\cdot)

$\mathbb{Cov} \left(f(X),g(Y)\right) = 0 ~\text{for all (measurable)} ~f(\cdot), g(\cdot)$ , শুধুই না

C o v (f (X), Y) = 0 \forall f (\cdot)

$\mathbb{Cov} \left(f(X),Y\right) = 0 \; \forall \; f(\cdot)$

— দিলিপ সরোতে

চলুন স্বজ্ঞাততা দিয়ে শুরু করা যাক। এর সর্বনিম্ন সর্বনিম্ন স্কোয়ারগুলির regাল reg $Y$ বিরুদ্ধে $h(X)$ , কোনও ফাংশনের জন্য $h$ , সমবায়ু সমানুপাতিক $h(X)$ এবং $Y$ । অনুমানটি হ'ল সমস্ত পদক্ষেপগুলি সমস্ত শূন্য (কেবল লিনিয়ারগুলি নয়)। যদি আপনি কল্পনা $(X,Y)$ বিন্দু মেঘের দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা (সত্যই, সম্ভাব্যতার ঘনত্বের মেঘ), তবে আপনি এটি উল্লম্বভাবে কীভাবে স্লাইস করেন এবং স্লাইসগুলি পুনরায় অর্ডার করুন (যা ম্যাপিংটি বহন করে) $h$ ), রিগ্রেশন শূন্য থাকে। এটি শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা বোঝায় $Y$ (যা রিগ্রেশন ফাংশন) সমস্ত ধ্রুবক। প্রত্যাশাগুলি অবিচ্ছিন্ন রেখে আমরা শর্তসাপেক্ষ বিতরণে ঘুরে বেড়াতে পারি , যার ফলে স্বাধীনতার কোনও সম্ভাবনা নষ্ট হয়। সুতরাং আমাদের আশা করা উচিত যে উপসংহারটি সবসময় ধারণ করে না।

সাধারণ পাল্টা উদাহরণ রয়েছে। নয়টি বিমূর্ত উপাদানগুলির একটি নমুনা স্থান বিবেচনা করুন

Ω = {ω_{i, j} ∣ - 1 \leq i, j, \leq 1}

$\Omega = \{\omega_{i,j}\mid -1 \le i,j,\le 1\}$ এবং সম্ভাব্যতা দ্বারা নির্ধারিত দ্বারা একটি পৃথক ব্যবস্থা

P (ω_{0, 0}) = 0; P (ω_{0, j}) = 1 / 5 (j = \pm 1); P (ω_{i, j} = 1 / 10) otherwise.

$\mathbb{P}(\omega_{0,0})=0;\ \mathbb{P}(\omega_{0,j})=1/5\,(j=\pm 1);\ \mathbb{P}(\omega_{i,j}=1/10)\text{ otherwise.}$

নির্ধারণ করা

X (ω_{i, j}) = j, Y (ω_{i, j}) = i .

$X(\omega_{i,j})=j,\ Y(\omega_{i,j})=i.$

আমরা এই সম্ভাবনাগুলি অ্যারে হিসাবে প্রদর্শন করতে পারি

(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix})

$\pmatrix{1&2&1\\1&0&1\\1&2&1}$

(সমস্ত এন্ট্রি দ্বারা গুণিত সঙ্গে $1/10$ ) মান অনুসারে উভয় দিকে সূচিকৃত $-1,0,1$ ।

প্রান্তিক সম্ভাবনা হ'ল

চ_{এক্স} (- 1) = চ_{এক্স} (1) = 3 / 10; চ_{এক্স} (0) = 4 / 10

$f_X(-1)=f_X(1)=3/10;\, f_X(0)=4/10$ এবং

চ_{ওয়াই} (- 1) = চ_{ওয়াই} (1) = 4 / 10; চ_{ওয়াই} (0) = 2 / 10,

$f_Y(-1)=f_Y(1)=4/10;\, f_Y(0)=2/10,$ যথাক্রমে অ্যারের কলামের যোগফল এবং সারি সংখ্যার দ্বারা গণনা করা। থেকে

চ_{এক্স} (0) চ_{ওয়াই} (0) = (4 / 10) (2 / 10) \neq 0 = পি (ω_{0, 0}) = চ_{এক্স ওয়াই} (0, 0),

$f_X(0)f_Y(0)=(4/10)(2/10)\ne 0=\mathbb{P}(\omega_{0,0})=f_{XY}(0,0),$ এই ভেরিয়েবলগুলি স্বাধীন নয়।

এটি শর্তাধীন বিতরণ করার জন্য নির্মিত হয়েছিল constructed $Y$ কখন $X=0$ অন্যান্য শর্তাধীন বিতরণ থেকে পৃথক $X=\pm 1$ । আপনি ম্যাট্রিক্সের মধ্য কলামটি অন্যান্য কলামগুলির সাথে তুলনা করে দেখতে পারেন। মধ্যে প্রতিসাম্য $Y$ স্থানাঙ্ক এবং সমস্ত শর্তাধীন সম্ভাবনাগুলি তাত্ক্ষণিকভাবে সমস্ত শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশা শূন্য দেখায়, যেহেতু সমস্ত সমবায়ু শূন্য হয়, এর সাথে সম্পর্কিত মানগুলি যেভাবেই হোক না কেন $X$ কলামগুলিতে পুনরায় নিয়োগ দেওয়া হতে পারে।

যারা আপত্তি না থেকে থাকতে পারে তাদের ক্ষেত্রে পাল্টা নমুনা সরাসরি গণনার মাধ্যমে প্রদর্শিত হতে পারে - কেবল আছে $27$ ফাংশনগুলি বিবেচনা করতে হবে এবং তাদের প্রত্যেকের জন্য সমবায় শূন্য।

— whuber
সূত্র