একটি যোগফলের ভেরিয়েন্সগুলি বৈকল্পগুলির সমষ্টিটির সমান?

Question

এটি কি (সর্বদা) সত্য যে

$$\mathrm{Var}\left(\sum\limits_{i=1}^m{X_i}\right) = \sum\limits_{i=1}^m{\mathrm{Var}(X_i)} \>?$$

Comments

নীচের উত্তরগুলি প্রমাণ দেয়। অন্তর্দৃষ্টিটি সাধারণ ক্ষেত্রে বর্ণে দেখা যায় (x + y): যদি x এবং y ইতিবাচকভাবে সম্পর্কিত হয় তবে উভয়ই একসাথে বড় / ছোট হতে থাকবে এবং মোট প্রকরণের বৃদ্ধি ঘটবে। যদি এগুলি নেতিবাচকভাবে সম্পর্কিত হয়, তবে তারা একে অপরকে বাতিল করার প্রবণতা পোষণ করবে, সম্পূর্ণ প্রকরণ হ্রাস পাবে।

— আসাদ ইব্রাহিম

Answer 1

আপনার প্রশ্নের উত্তর "কখনও কখনও, তবে সাধারণভাবে হয় না"।

এটি দেখতে এলোমেলো ভেরিয়েবল (সীমাবদ্ধ ভেরিয়েন্স সহ) হতে দিন। তারপর,$X_1, ..., X_n$

$${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) - \left[ E\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) \right]^2$$

এখন নোট করুন , যা আপনি যদি পরিষ্কার হন তবে আপনি যখন হাতে হাতে গণনা করছেন তখন আপনি কী করছেন তা ভাবুন । অতএব, ( একটি 1 + + । । । + + একটি এন ) ⋅ ( একটি 1 + + । । । + + একটি এন$(\sum_{i=1}^{n} a_i)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_i a_j$$(a_1+...+a_n) \cdot (a_1+...+a_n)$

$$E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) = E \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j)$$

একইভাবে,

$$\left[ E\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) \right]^2 = \left[ \sum_{i=1}^{n} E(X_i) \right]^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i) E(X_j)$$

সুতরাং

$${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \big( E(X_i X_j)-E(X_i) E(X_j) \big) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_j)$$

covariance সংজ্ঞা দ্বারা।

এখন সম্পর্কিত একটি সমষ্টিটির প্রকরণের বৈকল্পের সমষ্টিটির সমান? :

• ভেরিয়েবল, হ্যাঁ সম্পর্কহীন হন : যে, জন্য , তারপরআমি ≠ ঞ বনাম একটি দ ( এন Σ আমি = 1 এক্স আমি ) = ঢ Σ আমি = 1 এন Σ ঞ = 1 গ ণ বনাম ( এক্স আমি , এক্স ঞ ) = ঢ ∑ i = 1 সি ও ভি ( এক্স আই${\rm cov}(X_i,X_j)=0$$i\neq j$

  $${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_j) = \sum_{i=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_i) = \sum_{i=1}^{n} {\rm var}(X_i)$$

• যদি ভেরিয়েবলগুলি সংযুক্ত হয়, না, সাধারণভাবে নয় : উদাহরণস্বরূপ, ধরুন দুটি ভেরিয়েবল each এবং with যেখানে । তারপরে , সুতরাং পরিচয় ব্যর্থ।σ 2 সি ও ভি ( এক্স 1 , এক্স 2 ) = ρ 0 < ρ < σ 2 ভি এ আর ( এক্স 1 + এক্স 2 ) = 2 ( σ 2 + ρ ) ≠ 2 σ $X_1, X_2$$\sigma^2$${\rm cov}(X_1,X_2)=\rho$$0 < \rho <\sigma^2$${\rm var}(X_1 + X_2) = 2(\sigma^2 + \rho) \neq 2\sigma^2$

• তবে এটি নির্দিষ্ট উদাহরণগুলির জন্য সম্ভব : ধরুন কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স তারপরে( 1 0.4 - 0.6 0.4 1 0.2 - 0.6 0.2 1 ) বনাম একটি দ ( এক্স 1 + + এক্স 2 + + এক্স 3 ) = 3 = V একটি দ ( এক্স 1 ) + + V একটি দ ( এক্স 2 ) + ভি এ আর ( এক্স 3$X_1, X_2, X_3$

  $$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0.4 &-0.6 \\ 0.4 & 1 & 0.2 \\ -0.6 & 0.2 & 1 \\ \end{array} \right)$$ ${\rm var}(X_1+X_2+X_3) = 3 = {\rm var}(X_1) + {\rm var}(X_2) + {\rm var}(X_3)$

অতএব যদি ভেরিয়েবলগুলি অসংরক্ষিত হয় তবে যোগফলের বৈকল্পিকটি হল রূপগুলির যোগফল, তবে কনভার্স সাধারণভাবে সত্য নয় ।

Comments

কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের উদাহরণ সম্পর্কে, নিম্নলিখিতটি সঠিক: উপরের ডান এবং নীচের বাম ত্রিভুজগুলির মধ্যে প্রতিসাম্যটি প্রতিফলিত করে যে , তবে প্রতিসাম্য উপরের বাম এবং নীচের ডানদিকে (এই ক্ষেত্রে যে উদাহরণের কেবল একটি অংশ, তবে দুটি পৃথক দিয়ে প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে নম্বরে যে সমষ্টি যেমন, এবং আবার ধন্যবাদ।$\text{cov}(X_i,X_j)=\text{cov}(X_j,X_i)$$\text{cov}(X_1, X_2) = \text{cov}(X_2,X_3) = 0.3$$0.6$$\text{cov}(X_1, X_2) = a$$\text{cov}(X_2,X,3) = 0.6 -a$

— আবে

Answer 2

$$\text{Var}\bigg(\sum_{i=1}^m X_i\bigg) = \sum_{i=1}^m \text{Var}(X_i) + 2\sum_{i\lt j} \text{Cov}(X_i,X_j).$$

সুতরাং, যদি সমবায়ুদের গড় গড় হয় , যা পরিণতি হতে পারে যদি ভেরিয়েবলগুলি যুগলভাবে অসম্পর্কিত হয় বা যদি তারা স্বতন্ত্র থাকে, তবে যোগফলের প্রকরণটি বৈকল্পগুলির যোগফল।$0$

উদাহরণ যেখানে এটি সত্য নয়: আসুন । যাক । তারপরে ।$\text{Var}(X_1)=1$$X_2 = X_1$$\text{Var}(X_1 + X_2) = \text{Var}(2X_1)=4$

Comments

এটি নমুনা বৈকল্পিকের জন্য খুব কমই সত্য হবে।

— ডিউইন

@ ডিউইন, "বিরল" একটি সংক্ষিপ্ত বিবরণ - যদি এর অবিচ্ছিন্ন বিতরণ থাকে তবে সম্ভাব্যতার যোগফলের নমুনার বৈকল্পিকটি ঠিক 0 :) তে নমুনার পরিবর্তনের যোগফলের সমান$X$

— ম্যাক্রো

Answer 3

আমি ম্যাক্রোর দেওয়া প্রুফের আরও সুসংগত সংস্করণ যুক্ত করতে চেয়েছিলাম, তাই কী চলছে তা দেখতে আরও সহজ। $\newcommand{\Cov}{\text{Cov}}\newcommand{\Var}{\text{Var}}$

লক্ষ্য করুন যে যেহেতু$\Var(X) = \Cov(X,X)$

কোনও দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবল আমাদের রয়েছে:$X,Y$

$$\begin{align} \Var(X+Y) &= \Cov(X+Y,X+Y) \\ &= E((X+Y)^2)-E(X+Y)E(X+Y) \\ &\text{by expanding,} \\ &= E(X^2) - (E(X))^2 + E(Y^2) - (E(Y))^2 + 2(E(XY) - E(X)E(Y)) \\ &= \Var(X) + \Var(Y) + 2(E(XY)) - E(X)E(Y)) \\ \end{align}$$ সুতরাং সাধারণভাবে, দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলের বৈকল্পিকের যোগফল নয়। তবে, স্বতন্ত্র হলে , এবং আমাদের ।$X,Y$$E(XY) = E(X)E(Y)$$\Var(X+Y) = \Var(X) + \Var(Y)$

লক্ষ্য করুন যে আমরা একটি সাধারণ ইন্ডাকশন দ্বারা এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলের জন্য ফলাফল তৈরি করতে পারি ।$n$

Answer 4

হ্যাঁ, এর প্রতিটি জুটি যদি সম্পর্কহীন হয় তবে এটি সত্য।$X_i$

উইকিপিডিয়ায় ব্যাখ্যা দেখুন

Comments

আমি রাজী. অন্তর্দৃষ্টি বিষয়গুলিতে আপনি একটি সহজ (আরবি) ব্যাখ্যাও পাবেন ।

— জান রোথগেল