এর সহজ প্রমাণ

যাক $Z_1,\cdots,Z_n$ স্বাধীন আদর্শ স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল হও। সেখানে অনেকগুলি (দীর্ঘ) প্রমাণ রয়েছে যা এটি দেখায়

\sum_{i = 1}^{n} {(Z_{i} - \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} Z_{j})}^{2} \sim χ_{n - 1}^{2}

$\sum_{i=1}^n \left(Z_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n Z_j \right)^2 \sim \chi^2_{n-1}$

অনেকগুলি প্রমাণ বেশ দীর্ঘ এবং তাদের মধ্যে কিছু অন্তর্ভুক্তি ব্যবহার করে (যেমন কেসেলা স্ট্যাটিস্টিকাল ইনফারেন্স)। আমি ভাবছি এই ফলাফলের কোনও সহজ প্রমাণ আছে কিনা।

mathematical-statistics sampling

— 3x89g2
সূত্র

একটি স্বজ্ঞাত জ্যামিতিক (স্থানাঙ্ক-মুক্ত) পদ্ধতির জন্য, মাইকেল জে উইচুরা রচিত লিনিয়ার মডেলগুলিতে দ্য সমন্বয়-মুক্ত পদ্ধতির বিভাগের 1.2 দেখুন (প্রযুক্তিগত বিবরণটি থিওরেম 8.2 তে পূরণ করা হয়েছে), যেখানে লেখক আসলে চিরাচরিত তুলনা করেছেন ম্যাট্রিক্স প্রুফ (whuber এর উত্তর দ্বারা সরবরাহিত) এবং তার অভিক্ষেত্র পদ্ধতির দেখায় যে তার জ্যামিতিক পদ্ধতির আরও প্রাকৃতিক এবং কম অস্পষ্ট। ব্যক্তিগতভাবে, আমি মনে করি এই প্রমাণটি অন্তর্দৃষ্টিপূর্ণ এবং সংক্ষিপ্ত।

— ঝাঁসশিওনগ

উত্তর:

জন্য , নির্ধারণ $k=1, 2, \ldots, n-1$

X_{k} = (Z_{1} + Z_{2} + \dots + Z_{k} - k Z_{k + 1}) / \sqrt{k + k^{2}} .

$X_k = (Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_k - kZ_{k+1})/\sqrt{k+k^2}.$

, multinormally বিতরণ র্যান্ডম ভেরিয়েবল রূপান্তরের রৈখিক হচ্ছে , এছাড়াও একটি multinormal বন্টন আছে। মনে রাখবেন যে $X_k$ $Z_i$

এর ভেরিয়েন্স-কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স হ'ল পরিচয় ম্যাট্রিক্স। $(X_1, X_2, \ldots, X_{n-1})$ $n-1\times n-1$
$X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_{n-1}^2 = \sum_{i=1}^n (Z_i-\bar Z)^2.$

যা যাচাই করা সহজ, সরাসরি বোঝায় সমস্ত পর্যবেক্ষণকরার পরে সাথে সমস্ত গণনা এই সিদ্ধান্তে নেমে আসে যে , যেখানে রয়েছে। $(1)$ $(2)$ $X_k$ $\bar Z.$ $1+1+\cdots+1 - k = 0$ $k$

একসাথে এগুলি দেখায় যে এর অসামঞ্জস্যিত ইউনিট-প্রকরণ সাধারণ ভেরিয়েবলের যোগফলের বিতরণ রয়েছে । সংজ্ঞা দ্বারা, এই হল বন্টন, Qed । $\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar Z)^2$ $n-1$ $\chi^2(n-1)$

তথ্যসূত্র

এর নির্মাণ কোথা থেকে এসেছে তার ব্যাখ্যার জন্য , হেলমার্ট ম্যাট্রিক্স সম্পর্কিত আইসোমেট্রিক লগ-রেশিও রূপান্তর কীভাবে সম্পাদন করবেন তা সম্পর্কে আমার উত্তরের সূচনা দেখুন । $X_k$
এটি আরএসএসকে চি বর্গ বার এনপি কেন বিতরণ করা হয় তা ওকরামের উত্তরে দেওয়া সাধারণ বিক্ষোভের সরলকরণ । এই উত্তরটি নির্মাণের জন্য "সেখানে একটি ম্যাট্রিক্স রয়েছে" বলে দাবি করেছে ; এখানে, আমি এই জাতীয় একটি ম্যাট্রিক্স প্রদর্শন করি। $X_k$

— whuber
সূত্র

এই নির্মাণের একটি সহজ জ্যামিতিক ব্যাখ্যা রয়েছে। (1)

ভেরিয়েবলগুলি একটি n- মাত্রিক গোলাকার সমান্তরিত বিতরণে বিতরণ করা হয় (এইভাবে আমরা এটি আমাদের পছন্দমতো কোনওভাবে ঘুরিয়ে দিতে পারি)। (2)

রৈখিক সমস্যার একটি সমাধান হিসেবে পাওয়া যায়

, যা কার্যকরভাবে ভেক্টর একটি অভিক্ষেপ হয়

সম্মুখের

। (3) আমরা স্থানাঙ্ক স্থানটি এমনভাবে ঘোরান যদি স্থানাঙ্কগুলির মধ্যে একটি এই প্রক্ষেপণ ভেক্টর,

সাথে মিলে যায় , তবে অবশিষ্ট অংশটি একটি (এন-1) - অবশিষ্ট স্থানকে উপস্থাপন করে বহু-বিতরণ is

Z_{i}

$Z_i$

\bar{Z}

$\overline{Z}$

Z_{i} = \bar{Z} + ϵ_{i}

$Z_i = \overline{Z} + \epsilon_i$

Z

$\mathbf{Z}$

1

$\mathbf{1}$

1

$\mathbf{1}$

— সেক্সটাস এম্পেরিকাস

আপনি দেখান যে

একে অপরের সাথে সম্পর্কযুক্ত। তবে যতদূর আমি বুঝতে পেরেছি, বলতে বলতে যে বর্গক্ষেত্রের স্ট্যান্ডার্ড নরমাল ভেরিয়েবলের যোগফল

, আমাদের স্বাধীনতা প্রয়োজন যা নিরক্ষরিতের চেয়ে অনেক বেশি শক্তিশালী প্রয়োজন? সম্পাদনা করুন: ওহ অপেক্ষা করুন, আমরা যদি জানি যে দুটি ভেরিয়েবল সাধারণত বিতরণ করা হয়, তবে অসংরক্ষিত বলতে স্বাধীনতা বোঝায়।

X_{i}

$X_i$

χ^{2}

$\chi^2$

— user56834

এছাড়াও, আমি বুঝতে পারছি না, আপনি কিভাবে সত্য যে থেকে যান

's এর সাথে আনকোরিলেটেড

(যা আমি বুঝতে না), (2) জন্য। আপনি বিস্তারিত বলতে পারেন?

X_{i}

$X_i$

\bar{Z}

$\bar Z$

— ব্যবহারকারীর 686834

@ প্রোগ্রামার দুঃখিত! আমি বোঝাতে চাইনি এটি একটি যৌক্তিক ছাড় - - (1) এবং (2) দুটি পৃথক পর্যবেক্ষণ। (২) নিছক একটি (সোজা) বীজগণিত পরিচয়।

— হোবার

প্রোগ্রামার, হুবারের যে অন্য জবাব দিয়েছে তার লিঙ্কটি নোট করুন ( stats.stackexchange.com/questions/259208/… )

অরথোগোনাল সারি সহ একটি ম্যাট্রিক্স,

উপর ভিত্তি করে নির্মিত হয়েছে । তাই আপনি যদি একটি বিমূর্ত (কম ভ্রমপ্রবণ) ভাবে মূল্যায়ন করতে পারেন

যেমন

X_{k}

$X_k$

H

$H$

\sum K_{i}^{2}

$\sum K_i^2$

, (দ্রষ্টব্য নোটকে এন দিয়ে এন করার জন্য আমাদের ভেক্টর 1111 কে প্রসারিত করতে হবে নোট করুন)

K \cdot K = (H Z) \cdot (H Z) = (H Z)^{T} (H Z) = Z^{T} (H^{T} H) Z = Z^{T} I Z = Z \cdot Z

$K \cdot K = (H Z) \cdot (H Z) = (HZ)^T (HZ) = Z^T (H^TH) Z= Z^T I Z = Z \cdot Z$

— সেক্সটাস এম্পিরিকাস

দ্রষ্টব্য আপনি বলছেন যে মান সাধারণ সাথে , with এবং $Z_is$ $N(0,1)$ $\mu=0$ $\sigma=1$

তারপরে $Z_i^2\sim \chi^2_{(1)}$

তারপরে

\begin{aligned} Σ_{আমি = 1}^{এন} {জেড}_{আমি}^{2} & = Σ_{আমি = 1}^{এন} ({জেড}_{আমি} - \bar{জেড} + + \bar{জেড})^{2} = Σ_{আমি = 1}^{এন} ({জেড}_{আমি} - \bar{জেড})^{2} + + এন {\bar{জেড}}^{2} \\ (1) & = Σ_{আমি = 1}^{এন} ({জেড}_{আমি} - \bar{জেড})^{2} + + {[\frac{\sqrt{এন} (\bar{জেড} - 0)}{1}]}^{2} \end{aligned}

$\begin{align}\sum_{i=1}^n Z_i^2&=\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z}+\bar{Z})^2=\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2+n\bar{Z}^2\\&=\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2+\left[\frac{\sqrt{n}(\bar{Z}-0)}{1}\right ]^2 \tag{1} \end{align}$

নোট যে বাম দিকে (1), এবং যে ডান দিকে দ্বিতীয় মেয়াদে

\sum_{আমি = 1}^{এন} {জেড}_{আমি}^{2} ~ χ_{(এন)}^{2}

$\sum_{i=1}^n Z_i^2\sim\chi^2_{(n)}$

{[\frac{\sqrt{এন} (\bar{জেড} - 0)}{1}]}^{2} ~ χ_{(1)}^{2} ।

$\left[\frac{\sqrt{n}(\bar{Z}-0)}{1}\right ]^2 \sim\chi^2_{(1)}.$

উপরন্তু যেমন যে এবং স্বাধীন। সুতরাং (১) এ শেষ দুটি পদ ( এবং ফাংশন ) এছাড়াও স্বতন্ত্র। তাদের mgfs অতএব মাধ্যমে (1) বাম দিকের এর mgf সাথে সম্পর্কিত হয় $\operatorname{Cov}(Z_i-\bar Z,\bar Z)=0$ $Z_i-\bar Z$ $\bar Z$ $Z_i-\bar Z$ $Z_i$ যেখানে এবং । এর mgf তাই হয়

{এম}_{এন} (টি) = {এম}_{এন - 1} (টি) {এম}_{1} (টি)

$M_n(t) = M_{n-1}(t)M_1(t)$

M_{n} (t) = (1 - 2 t)^{- n / 2}

$M_n(t)=(1-2t)^{-n/2}$

M_{1} (t) = (1 - 2 t)^{- 1 / 2}

$M_1(t)=(1-2t)^{-1/2}$

\sum_{i = 1}^{n} (Z_{i} - \bar{Z})^{2}

$\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2$

। সুতরাং,

হ'ল চি - বর্গক্ষেত্রের সাথে

ডিগ্রি স্বাধীনতা।

M_{n - 1} (t) = M_{n} (t) / M_{1} (t) = (1 - 2 t)^{- (n - 1) / 2}

$M_{n-1}(t)=M_n(t)/M_1(t)=(1-2t)^{-(n-1)/2}$

\sum_{i = 1}^{n} (Z_{i} - \bar{Z})^{2}

$\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2$

n - 1

$n-1$

— গভীর উত্তর
সূত্র

শেষ "অতএব" খুব

— গাফিল

স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি থেকে স্বতন্ত্র দেখা যায়

\bar{X}

$\bar{X}$

— ডিপ নর্থ

\bar{X}

$\bar{X}$

\sum Z_{i}^{2}

$\sum Z_i^2$

\bar{Z}

$\bar{Z}$

\sum (Z_{i} - \bar{Z})^{2}

$\sum (Z_i - \bar{Z})^2$

\bar{Z}

$\bar{Z}$

আমি মনে করি আমি কোচরানের উপপাদ্যটি ব্যবহার করেছি

— ডিপ নর্থ

@ প্রদীপ নর্থ যদি আপনার প্রুফের কিছু হারিয়ে যাওয়া টুকরো ভরে রাখেন

— জারলে টুফ্টো