সীমিত সীমাহীন প্রক্রিয়াটির প্রতিটি ধাপে 10 টি বলকে কলস রেখে দিন এবং এলোমেলোভাবে একটি সরিয়ে দিন। আর কত বল বাকি?

Question

প্রশ্নটি (কিছুটা সংশোধিত) নীচে চলেছে এবং শেলডন রস ' প্রবিলিটির প্রথম পাঠ্যক্রমের 6 এ, অধ্যায় 2 উদাহরণ হিসাবে এটি পরীক্ষা করার আগে আপনি যদি কখনও এর মুখোমুখি না হন :

মনে করুন যে আমাদের কাছে অসীম বৃহত কলস এবং বলের এক নম্বর লেবেলযুক্ত বলের অসীম সংগ্রহ, সংখ্যা 2, নম্বর 3, এবং আরও অনেক কিছু। নিম্নলিখিত হিসাবে সম্পাদিত একটি পরীক্ষা বিবেচনা করুন: 1 মিনিট থেকে 12 টা অবধি, 1 থেকে 10 নাম্বার বলগুলি কলকে রাখা হয় এবং একটি বল এলোমেলোভাবে সরানো হয়। (অনুমান যে প্রত্যাহারের কোনও সময় লাগে না।) ১/২ মিনিট থেকে রাত ১২ টা পর্যন্ত, ১১ থেকে ২০ নাম্বার বলগুলি কলকে স্থাপন করা হয় এবং অন্য একটি বল এলোমেলোভাবে সরানো হয়। 1/4 মিনিট থেকে 12PMM এ, 21 থেকে 30 নাম্বারযুক্ত বলগুলি কলকে স্থাপন করা হয় এবং অন্য একটি বল এলোমেলোভাবে মুছে ফেলা হয় ... ইত্যাদি। আগ্রহের প্রশ্নটি হল, 12 টা বেজে কতটা বল urn

এই প্রশ্নটি যেমন উত্থাপিত হয়েছে, মূলত সবাইকে এটি ভুল হতে বাধ্য করে --- সাধারণত অন্তর্নিহিত ভাষায় বলা হয় যে 12 টা বাজে এখানে অসীম অনেকগুলি বল থাকবে তবে রস প্রদত্ত উত্তরটি অবশ্য সম্ভাবনার সাথেই একটি ঝালটি ফাঁকা থাকবে is 12 টা বাজে

সম্ভাব্যতা তত্ত্ব পড়ানোর সময় এই সমস্যাটি তাদের মধ্যে একটি যার পক্ষে ভাল স্বজ্ঞাত ব্যাখ্যা দেওয়া খুব কঠিন।

একদিকে আপনি এটির মতো ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করতে পারেন: "অসীম এলোমেলো ড্রয়ের সময় আমি 12 টায় কোনও কোনও বলের পোড়াতে ছিলাম তার সম্ভাবনা সম্পর্কে ভাবুন, অবশেষে এটি সরানো হবে Since যেহেতু এটি সমস্ত বলের জন্য ধারণ করে, কোনওটিই নয় তাদের শেষে থাকতে পারে "।

যাইহোক, শিক্ষার্থীরা আপনার সাথে সঠিকভাবে তর্ক করবে: "তবে আমি প্রতিটি সময় 10 বল রেখেছি এবং 1 বার মুছে ফেলছি It's শেষ পর্যন্ত শূন্য বল থাকবে এটি অসম্ভব"।

এই বিবাদী অন্তর্দৃষ্টি সমাধানের জন্য আমরা তাদেরকে দিতে পারি সবচেয়ে ভাল ব্যাখ্যা কী?

আমি এই যুক্তিটি সম্পর্কেও উদ্বিগ্ন যে প্রশ্নটি উদাসীন এবং আমরা যদি এটি আরও ভালভাবে তৈরি করি তবে "প্যারাডক্স" অদৃশ্য হয়ে যায় বা এই প্যারাডক্সটি "খাঁটি গাণিতিক" (তবে দয়া করে এ সম্পর্কে সুনির্দিষ্ট হওয়ার চেষ্টা করুন)।

Comments

+1 টি। আমি সংস্করণটি পছন্দ করি যেখানে বল দিয়ে কলটি শুরু হয় (এবং একটি অপসারণ করা হয়), তার পরে আরও টি যুক্ত হয় (এবং একটি অপসারণ করা হয়), তার পরে আরও টি যুক্ত হয়, ইত্যাদি :-) @ নীল সেই যুক্তিটি কি, ঠিক কী? আপনি এটি স্কেচ করতে পারেন? 4 $2$$4$$8$

— whuber

সম্ভাব্যতা সম্পর্কে অনেকগুলি ভুল ধারণা এবং বিভ্রান্তি অনেকগুলি সীমাবদ্ধতা এবং অসীমের সমস্যা থেকে আসে। @ এনুমারিসের উত্তরটি ভালভাবে ব্যাখ্যা করার সাথে সাথে এটি এর একটি দুর্দান্ত উদাহরণ। এটি পাঠ্যপুস্তকের উদাহরণের একটি দুর্দান্ত উদাহরণ যা কেবল শিক্ষার্থীদের এই সিদ্ধান্তে নিয়ে যায় যে তারা এই বিষয়ে সফল হতে পারে না।

— মাইকেল লিউ

যদিও এটি স্পষ্ট যে প্রতিটি নির্দিষ্ট বলের মধ্যরাতে ইলনে থাকার সম্ভাবনা শূন্য থাকে, তবে আমার কাছে এটি স্পষ্ট নয় যে মাঝরাতে কোন বলগুলি রেখে গেছে তার নিদর্শনগুলির একটি সেটে একটি সংজ্ঞায়িত সম্ভাবনা বন্টন রয়েছে, বা একটি ভাল আছে "মধ্যরাতে কয়টি বল?" ভেরিয়েবলের উপর নির্ধারিত সম্ভাবনার বন্টন।

— বাদ পড়ে এবং

বা আরও স্পষ্টভাবে, এখানে নমুনা স্থানটি কোন সময় কোন বলটি সরানো হয় তার পছন্দগুলির অসীম ক্রম। এটি স্পষ্ট নয় যে নমুনা স্থানে একটি যুক্তিসঙ্গত ig পুরাতন রয়েছে যার জন্য "মধ্যরাতে কত বল?" একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশন। $\sigma$

— বাদ পড়েছে এবং

এতক্ষণে এই থ্রেডে 10+ উত্তর এবং সম্ভবত 100+ টি মন্তব্য রয়েছে, তবে মনে হয় বেশিরভাগ লোক রসের বইটি দেখার জন্য বিরক্ত করেনি (যখন আমি শিরোনামটি গুগল করি তখন আমি পিডিএফের সাথে সরাসরি লিঙ্ক পাই প্রথম কয়েকটি ফলাফল)। সেখানে উপস্থাপনাটি খুব স্পষ্ট। বিশেষত, রস দুটি অ-সম্ভাব্য প্রকরণের সাথে শুরু করে, যা মধ্যরাতে অসীম বা শূন্য বল হয়। এটি বোঝার আগে, সম্ভাব্য বৈকল্পিকের দিকে এগিয়ে যাওয়া কোনও অর্থবোধ করে না। তবে মনে হয় এখানকার অনেক বিতর্কিত এই দুটি প্রাথমিক মামলা সম্পর্কে একমত নন ।

— অ্যামিবা

Answer 1

রস তাঁর পাঠ্যপুস্তকের 6a উদাহরণে এই "প্যারাডক্স" এর তিনটি সংস্করণ বর্ণনা করেছেন । প্রতিটি সংস্করণে, 10 টি বলকে মর্গে যুক্ত করা হয় এবং প্রক্রিয়াটির প্রতিটি ধাপে 1 বল সরানো হয়।

1. প্রথম সংস্করণে, -th বল মুছে ফেলা হবে -th ধাপ। মধ্যরাতের পরে অসীম অনেকগুলি বল বাকি আছে কারণ শূন্যের শেষ না হওয়া সমস্ত বল এখনও সেখানে আছে।$10n$$n$

2. দ্বিতীয় সংস্করণে, তম বলটি তম ধাপে সরানো হয় । মধ্যরাতের পরে শূন্য বল বাকি রয়েছে কারণ প্রতিটি বল অবশেষে একই ধাপে সরানো হবে।$n$$n$

3. তৃতীয় সংস্করণে, বলগুলি এলোমেলোভাবে সমানভাবে সরানো হয়। রস প্রতিটি বলের ধাপ দ্বারা অপসারণের সম্ভাবনা গণনা করে এবং এটি দেখতে পেয়েছে যে এটি হিসাবে রূপান্তরিত হয় (নোট করুন যে এটি স্পষ্ট নয়! একটি গণনা সম্পাদন করতে হবে)। এর মানে হল, দ্বারা Boole এর বৈষম্য , যে শেষ শূন্য বাজে কথা থাকার সম্ভাবনা হয় ।1 n → ∞ $n$$1$$n\to\infty$$1$

আপনি বলছেন যে এই শেষ সিদ্ধান্তটি স্বজ্ঞাত এবং ব্যাখ্যা করা কঠিন নয়; এটি এই খুব থ্রেডে বিভ্রান্ত উত্তর এবং মন্তব্য দ্বারা আশ্চর্যজনকভাবে সমর্থিত। তবে দ্বিতীয় সংস্করণটির উপসংহারটি হুবহু অ-স্বজ্ঞাত! এবং এর সম্ভাব্যতা বা পরিসংখ্যানগুলির সাথে একেবারেই কোনও সম্পর্ক নেই । আমি মনে করি যে কেউ দ্বিতীয় সংস্করণ গ্রহণ করার পরে তৃতীয় সংস্করণটি সম্পর্কে বিশেষ অবাক হওয়ার মতো কিছু নেই।

সুতরাং "সম্ভাব্যতাবাদী" আলোচনাটি তৃতীয় সংস্করণ সম্পর্কে থাকতে হবে [@ পাউব৮৮৮৮, @ পল এবং @ কেভাল দ্বারা অত্যন্ত অন্তর্দৃষ্টিপূর্ণ উত্তর দেখুন], "দার্শনিক" আলোচনার পরিবর্তে দ্বিতীয় সংস্করণটির দিকে ফোকাস করা উচিত যা আরও সহজ এবং একইরকম হিলবার্ট হোটেল স্পিরিট ।

---

দ্বিতীয় সংস্করণটি রস-লিটলউড প্যারাডক্স হিসাবে পরিচিত । আমি উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠায় লিঙ্ক করেছি, তবে সেখানে আলোচনা মারাত্মক বিভ্রান্তিকর এবং আমি এটি পড়ার পরামর্শ দিই না। পরিবর্তে, বছর আগে এই ম্যাথওভারফ্লো থ্রেডটি একবার দেখুন । এটি এখনই বন্ধ হয়ে গেছে তবে বেশ কয়েকটি খুব উপলব্ধিযুক্ত উত্তর রয়েছে। আমি যে উত্তরগুলি সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ মনে করি তার একটি সংক্ষিপ্তসার নিম্নরূপ।

আমরা ধাপ পরে উপস্থিত একটি সেট সংজ্ঞায়িত করতে পারি । আমাদের কাছে , ইত্যাদি রয়েছে sets সেটগুলির ক্রমগুলির সীমাবদ্ধতার একটি গাণিতিকভাবে সু-সংজ্ঞায়িত ধারণা আছে এবং কেউ প্রমাণ করতে পারে এই ক্রমের সীমাটি বিদ্যমান এবং খালি সেট । আসলে, কোন বল সীমাবদ্ধতায় থাকতে পারে? কেবল সেগুলি যা কখনই সরানো হয় না। কিন্তু প্রতিটি বল অবশেষে অপসারণ করা হয়। সুতরাং সীমা খালি। আমরা লিখতে । এন এস 1 = { 2 , ... 10 } এস 2 = { 3 , ... 20 } ∅ S এন → $S_n$$n$$S_1=\{2,\ldots 10\}$$S_2=\{3,\ldots 20\}$$\varnothing$$S_n \to \varnothing$

একই সাথে, নম্বরসেটে বল , এছাড়াও এই সেট এর cardinality নামে পরিচিত, সমান । ক্রম স্পষ্টতই বিচ্যুত হয়, এর অর্থ হল যে কার্ডিনালিটিটি এর কার্ডিনালিতে রূপান্তরিত হয় , এটি -শূন্য নামেও পরিচিত । সুতরাং আমরা এটি লিখতে পারি ।এস এন 10 এন - এন = 9 এন 9 এন এন ℵ 0 | এস এন | । ℵ $|S_n|$$S_n$$10n-n=9n$$9n$$\mathbb N$ $\aleph_0$$|S_n|\to \aleph_0$

"প্যারাডক্স" এখন এই দুটি বিবৃতি একে অপরের বিরোধিতা বলে মনে হচ্ছে:

$$\begin{align} S_n &\to \varnothing \\ |S_n| &\to \aleph_0 \ne 0 \end{align}$$

তবে অবশ্যই কোনও বাস্তব প্যারাডক্স এবং কোনও বৈপরীত্য নেই। কেউ বলেনি যে কার্ডিনালিটি নেওয়া সেটগুলিতে "ক্রমাগত" অপারেশন, সুতরাং আমরা এটিকে সীমাবদ্ধতার সাথে বিনিময় করতে পারি না:অন্য কথায়, সমস্ত পূর্ণসংখ্যার জন্য আমরা যে সিদ্ধান্ত নিতে পারি না( প্রথম অর্ডিনালের মান ) সমান । পরিবর্তে,সরাসরি গণনা করতে হবে এবং শূন্য হতে দেখা যাচ্ছে।| এস এন | = 9 এন এন ∈ এন | এস ω | ∞ | এস ω

$$\lim |S_n| \ne |\lim S_n|.$$ $|S_n|=9n$$n\in \mathbb N$$|S_\omega|$$\infty$$|S_\omega|$

সুতরাং আমি মনে করি আমরা এর থেকে সত্যই কী বেরিয়ে আসছি তা এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছে যে কার্ডিনালিটি গ্রহণ করা একটি বিরল অপারেশন ... [@ হ্যারিআল্টম্যান]

সুতরাং আমি মনে করি এই প্যারাডক্সটি কেবল "সাধারণ" অপারেশনগুলি অবিচ্ছিন্ন বলে ধরে নেওয়ার মানুষের প্রবণতা। [@NateEldredge]

---

এটি সেটগুলির পরিবর্তে ফাংশনগুলির সাথে বোঝা সহজ। সেট একটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত (ওরফে সূচক) ফাংশন যা বিরতি এবং অন্য কোথাও শূন্যের সমান হিসাবে সংজ্ঞায়িত হয়েছে is প্রথম দশটি কার্যকারিতা দেখতে দেখতে (@ হুরকিলের উত্তর থেকে ASCII শিল্পের তুলনা করুন):এস এন [ এন , 10 এন $f_n(x)$$S_n$$[n, 10n]$

$\quad\quad\quad$

প্রত্যেকেই একমত হবে যে প্রতি পয়েন্ট আমাদের । এই সংজ্ঞা দ্বারা এর মানে হল যে ফাংশন ফাংশন মিলিত । আবার, সকলেই তাতে সম্মত হবেন। তবে, লক্ষ্য করুন যে এই ফাংশনগুলির ইন্টিগ্রালগুলি বড় এবং বৃহত্তর হয়ে যায় এবং ইন্টিগ্রালের ক্রমটি বিভক্ত হয়। অন্য কথায়, লিম চ এন ( একটি ) = 0 চ এন ( এক্স $a\in\mathbb R$$\lim f_n(a) = 0$$f_n(x)$∫ ∞ 0 চ ( এক্স ) ঘ এক্স = 9 $g(x)=0$$\int_0^\infty f(x)dx = 9n$

$$\lim\int f_n(x)dx \ne \int \lim f_n(x) dx.$$

এটি সম্পূর্ণ স্ট্যান্ডার্ড এবং পরিচিত বিশ্লেষণের ফলাফল। তবে এটি আমাদের প্যারাডক্সের একটি সঠিক সংস্কার!

সমস্যাটিকে আনুষ্ঠানিক করার একটি ভাল উপায় হ'ল জগের অবস্থাটি সেট ( উপসেট ) হিসাবে নয়, কারণ এটির সীমাবদ্ধতা নেওয়া শক্ত, তবে এর বৈশিষ্ট্যযুক্ত কার্য হিসাবে। প্রথম "প্যারাডক্স" হ'ল পয়েন্টওয়াইজ সীমাগুলি অভিন্ন সীমা হিসাবে একই নয়। [@ TheoJohnson-Freyd]$\mathbb N$

গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্ট যে, "এ মধ্যরাত্রি দুপুর" গোটা অসীম অনুক্রম করেছে ইতিমধ্যেই পেরিয়ে , অর্থাত্ আমরা একটি "trasfinite লাফ" তৈরি করুন এবং আগত transfinite রাষ্ট্র । " মধ্যরাতের দুপুরে" ইন্টিগ্রালের মানটি এর অবিচ্ছেদ্যের মান হতে হবে , অন্যভাবে নয়।lim f $f_\omega = \lim f_n(x)$$\lim f_n$

---

দয়া করে মনে রাখবেন যে এই থ্রেডের কয়েকটি উত্তর অত্যন্ত উচ্চারণের পরেও বিভ্রান্ত করছে।

বিশেষত, @ মাস্টার গণনা করুন যা প্রকৃতই অসীম, তবে এই প্যারাডক্সটি যা জিজ্ঞাসা করে তা নয় । প্যারাডক্সটি পুরো অসীম ক্রমের পরে পদক্ষেপগুলির পরে কী ঘটে সে সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করে; এটি একটি স্থানান্তরিত নির্মাণ এবং তাই আমাদের মত শূন্যের সমান গণনা করা দরকার ।ballCount ( এস ω$\lim_{n\to\infty} \operatorname{ballCount}(S_n)$$\operatorname{ballCount}(S_\omega)$

Comments

@ Paw88789 এর উত্তর সহ আপনার উত্তরটি বিতর্কিত অন্তর্দৃষ্টি সমাধান করার জন্য যথেষ্ট বলে মনে হচ্ছে। মূলত কেউ বলতে পারেন: (i) আপনার স্বজ্ঞাততা ব্যর্থ হবে কারণ কার্ডিনালিটি অবিচ্ছিন্ন নয়; এবং, (ii) শারীরিক সাদৃশ্য যদি আপনাকে বিরক্ত করে, নীচের প্রশ্নটি সম্পর্কে চিন্তা করুন: "অপসারণ" ফাংশনটি কি surjective? সম্ভাব্য সংস্করণে, আমরা একটি surjative মানচিত্র চয়ন সম্ভাবনা কি? অবশ্যই, এই বিষয়গুলি কোনও বাস্তব ঘটনার মডেল করতে পারে কিনা তা এখনও আছে তবে এটি একটি ভিন্ন সমস্যা। সামগ্রিকভাবে, আমি এখন আরও রস উদাহরণকে প্রশংসা করি। $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$

— কার্লোস সিনেলি

@ মিশেললিও গণিতে অনেকগুলি পাল্টা স্বজ্ঞাত ফলাফল রয়েছে এবং এটি তাদের মধ্যে একটি। S1 = {2, ... 10}, S2 = {3, ... 20} ইত্যাদি সেটগুলির একটি অনুক্রম খালি সেটটিতে রূপান্তর করে যদিও প্রতিটি পরবর্তী সেটটিতে আগেরটির তুলনায় আরও উপাদান থাকে। এটি ঠিক এভাবেই হয়। দয়া করে নোট করুন যে প্যারাডক্সের সূত্রটি অসীম সংখ্যক পদক্ষেপের পরে কী ঘটে তা জিজ্ঞাসা করে । স্পষ্টতই এই জাতীয় সেটআপটির দৈহিক জগতের সাথে কোনও সংযোগ নেই; এটি একটি গাণিতিক বিমূর্ততা, এবং এরকমভাবে যোগাযোগ করতে হবে। [অবিরত]

— অ্যামিবা

[অবিরত] ইনফিনিটিসগুলির সাথে আচরণ করার সময় অনুপ্রেরণাগুলি ব্যর্থ হতে পারে, সুতরাং কাউকে গাণিতিক কঠোরতার উপর নির্ভর করতে হবে। সম্ভবত এই সংস্কার আপনাকে সহায়তা করবে: ফাংশনগুলির একটি ক্রম বিবেচনা করুন যেখানে এন-থ ফাংশন একটি বিরতি [n + 1, 10n] বাদে সর্বত্র শূন্য। এই ক্রমটি এমন ক্রিয়ায় রূপান্তর করে যা ধ্রুব শূন্য হয়, যদিও পরবর্তী প্রতিটি কার্যক্রমে দীর্ঘ-শূন্য ব্যবধান থাকে। আমাদের মধ্যে বেশিরভাগ সেটের কনভার্জেন্সের চেয়ে ফাংশনের কনভার্সারের সাথে বেশি পরিচিত, তাই এই সংশোধনটি বুঝতে সহজ হতে পারে।

— অ্যামিবা

@ মার্তিজন ফাংশনগুলি রূপান্তর করে কারণ প্রতিটি পয়েন্টের জন্য এ সত্য যে সকল , অর্থ সংজ্ঞা দ্বারা । একই সাথে, ক্রম ডাইভারেজ হয় কারণ because । এটি কোনও বৈপরীত্য নয় কারণ । একমাত্র তাদের বিনিময় করতে পারে যখন তথাকথিত ইউনিফর্ম কনভার্জেন্স ধারণ করে যা সরল (পয়েন্টওয়াইজ) রূপান্তর চেয়ে অনেক শক্তিশালী শর্ত is এটি mathoverflow.net/a/7113 এ ইঙ্গিত দেওয়া হয়েছে । g ( x ) = 0 a ∈ $f_n(x)=I([n+1, 10n])$$g(x) =0$$a\in\mathbb R$n > a ∫ f n ∫ f n = 9 n - 1 → ∞ lim ∫ ≠ ∫ $f_n(a)=0$$n>a$$\int f_n$$\int f_n=9n-1\to\infty$$\lim\int \ne \int\lim$

— অ্যামিবা

এটি ব্যাখ্যা করার আর একটি উপায়, নিম্নলিখিতগুলি জিজ্ঞাসা করা: আরও বেশি সংখ্যা বা প্রাকৃতিক সংখ্যা আছে কি? যদিও কোনও সীমাবদ্ধ ব্যবধানে আরও বেশি প্রাকৃতিক সংখ্যা রয়েছে, তবে তাদের প্রকৃতপক্ষে একই কার্ডিনালিটি রয়েছে। এর পরে, বা প্রাকৃতিক সংখ্যার আরও গুণক আছে ? আবার বেশিরভাগ লোকেরা সম্মত হন যে তাদের একই কার্ডিনালিটি রয়েছে। অতএব, আপনি বলগুলির একটি "প্রাকৃতিক সংখ্যা" পরিমাণ যুক্ত করেন, তবে আপনি একটি "বলের 10 পরিমাণের একাধিক" সরিয়ে ফেলেন - তাদের একই কার্ডিনালিটি থাকে, তাই শেষ পর্যন্ত কলুষটি খালি থাকে। (আমি জানি যে উপমাটি হ'ল রস ১ ম সংস্করণ শোয়ের মতো হ'ল না, তবে এটি কিছুটা স্বজ্ঞাততা দেয়)$10$

— এন্ট

Answer 2

হুরকিল (একটি উত্তরে) এবং দিলীপ সরওয়াতে (একটি মন্তব্যে) এই ধাঁধার দুটি সাধারণ ডিস্ট্রিমেন্টিক রূপ দেয়। উভয় ভেরিয়েন্টে, স্টেপ , বল মাধ্যমে কে পাইলের সাথে যুক্ত হয় ( )। 10 ট - 9 10 ট ট = 1 , 2 , । । $k$$10k-9$$10k$$k=1,2,...$

হার্কিলের পরিবর্তনে বল সরিয়ে ফেলা হয়। এই ভেরিয়েন্টে, ইনটি স্পষ্টভাবে যুক্তি দেওয়া যেতে পারে যে কোনও বল বাকি নেই কারণ বল ধাপে সরানো হয়েছে ।n $k$$n$$n$

দিলীপ সরওয়াতে তারতম্য অনুসারে, বল কে স্টেপ তে সরানো হয় , এবং এই রূপে, গুণক নয় এমন সমস্ত বল অবশিষ্ট থাকে। এই বৈকল্পিকের মধ্যে, শেষে কলটিতে অসীম অনেকগুলি বল রয়েছে।কে $10k$$k$$10$

প্রান্তের কেস হিসাবে এই দুটি বৈকল্পিকের সাথে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে এই প্রক্রিয়াটি করার সময় প্রচুর বিভিন্ন জিনিস ঘটতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, আপনি হার্কিলের প্রক্রিয়াটি চালিয়ে কিন্তু নির্দিষ্ট বলগুলি অপসারণের কাজটি বাদ দিয়ে শেষে বলের কোনও সীমাবদ্ধ সেট রাখার ব্যবস্থা করতে পারেন। কোনো সেট আসলে countably অসীম সম্পূরক ((ধনাত্মক) প্রাকৃতিক সংখ্যায়) সঙ্গে, আপনি প্রক্রিয়া শেষে অবশিষ্ট বল সেট থাকতে পারে।$B$

আমরা সমস্যার র্যান্ডম প্রকরণটি দেখতে পারি (মূল পোস্টে দেওয়া) একটি ফাংশন নির্বাচন করার ক্ষেত্রে the শর্তগুলির সাথে (i) এক থেকে এক এবং (২) জন্য সব । f f ( k ) ≤ 10 k k ∈ $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$$f$$f(k)\le 10k$$k\in \mathbb{N}$

শেল্ডন রস বইয়ে দেওয়া পোস্টটি (পোস্টে রেফারেন্স করা) দেখায় যে প্রায় সমস্ত (সম্ভাব্য অর্থে) এই জাতীয় ফাংশনগুলি আসলে ফাংশনগুলিতে (সমীক্ষায়) থাকে onto

আমি কিছুটা একটি সংখ্যা নির্বাচন পরিস্থিতি অনুরূপ হচ্ছে এই দেখুন, উপর একটি অভিন্ন বিতরণ থেকে এবং জিজ্ঞাসা কি সম্ভাব্যতা যে সংখ্যা ক্যান্টর সেট হয় (আমি ক্যান্টর ব্যবহার করছি বদলে সেট বলে যুক্তিযুক্ত সংখ্যাগুলি কারণ ক্যান্টর সেটটি অগণিত) সম্ভাব্যতা হলেও ক্যান্টর সেটে অনেকগুলি (অগণ্য) অনেকগুলি নম্বর রয়েছে যা বেছে নেওয়া যেতে পারে। বল অপসারণের সমস্যায়, যে বলের কোনও সিকোয়েন্স রয়েছে সেগুলির সেটটি ক্যান্টোর সেটের ভূমিকা পালন করছে।[ 0 , 1 ] $x$$[0,1]$$0$

---

সম্পাদনা: বেনমিলউড সঠিকভাবে উল্লেখ করেছেন যে কিছু বলের সীমাবদ্ধ সেট রয়েছে যা বাকি সেট হতে পারে না। উদাহরণস্বরূপ, অবশিষ্ট সেট হতে পারে না। আপনার কাছে সর্বাধিক থাকতে পারে প্রথম জন্য অবশিষ্ট বাজে কথা ।90 % 10 এন এন = 1 , 2 , 3 , । । $1,2,...,10$$90\%$$10n$$n=1,2,3,...$

Comments

আপনি থাকতে পারে না কোনো শেষে অবশিষ্ট বল সসীম সেট - যেমন আপনি সেট 1..10 থাকতে পারে না।

— বেন মিলউড

"শেল্ডন রস বইয়ে দেওয়া পোস্টে (পোস্টে রেফারেন্স করা) যুক্তি দেখায় যে প্রায় সমস্ত (সম্ভাব্য অর্থে) এই জাতীয় ফাংশন আসলে ফাংশনগুলিতে (সমীক্ষায়) হয়।" - (+1) সমস্যাটি দেখার জন্য এটি একটি খুব আকর্ষণীয় উপায় এবং এটি সম্ভবত কোনও কলুষের বলগুলির "শারীরিক গল্প" এর চেয়ে এটি উপস্থাপন করা সহজ এবং কম বিভ্রান্তিকর হতে পারে।

— কার্লোস সিনেলি

+1 টি। আমি মনে করি এটি বর্তমানে একমাত্র উত্তর যা সমস্যার আসলেই কোনও প্রভাব রয়েছে। এন-তম ধাপের বল যদি #n সরানো হয় তবে অন্য সবাই শূন্য বল বাকি থাকবে কিনা তা নিয়ে আলোচনা করছেন বলে মনে হচ্ছে। অন্য কথায়, আমি এই থ্রেডে যে বেশিরভাগ আলোচনা দেখি তা আসলে আপনার উত্তরের ২ য় অনুচ্ছেদ সম্পর্কে এবং এর চেয়ে আর কোনও পদক্ষেপ নেয় না। সিসি @ কার্লোসসাইনেলিতে।

— অ্যামিবা

কোনও ফলাফলের পেছনের যুক্তিটি কী তা আমাকে সত্যিই বোঝানোর জন্য এটি আসলে প্রথম উত্তর answer আমরা দেখি যে ফলাফল আমরা কীভাবে প্রযোজ্য তা পছন্দনীয় ফাংশনের সাথে সংযুক্ত থাকে - যা সঠিক ধারণা দেয় এবং কেবলমাত্র পরিমাণটি শূন্য হতে পারে তা গ্রহণ করার চেয়ে আরও অগ্রসর হতে সহায়তা করে কারণ কার্ডিনালিটিটি সংকীর্ণ না হওয়ার কারণে।

— সুখমেল

(+1) আমি এই উত্তরটি পছন্দ করি কারণ অনির্ধারিত ফর্মগুলির উপর ভিত্তি করে নির্দিষ্ট যুক্তিগুলির অনির্দিষ্ট প্রকৃতির আরও ভাল পরামর্শ দেওয়া হয়। এটিকে একটি অনির্দিষ্ট রূপ বলে এবং এটি দিয়ে কাজটি করে অনেক সহজ করা যায়। এছাড়াও, নীচে আমার উত্তর দেখুন যা এটি আরও সরাসরি যুক্তিযুক্ত। $0\times\infty$

— কার্ল 23

Answer 3

এনুমারিসের উত্তর ডাইভারিং সীমা সমস্যার ক্ষেত্রে পুরোপুরি সঠিক। তবুও, প্রশ্নের উত্তরটি দ্ব্যর্থহীন উপায়ে দেওয়া যেতে পারে। সুতরাং, আমার উত্তরটি আপনাকে নিখুঁতভাবে দেখাবে যে শূন্য বলগুলির সমাধানটি কোথায় ভুল হয় এবং কেন স্বজ্ঞাত সমাধানটি সঠিক।

---

এটি সত্য, যে কোনও বলের জন্য , এর শেষে মলটিতে থাকার সম্ভাবনা শূন্য। ভালো হবে, এটা একমাত্র সীমা যে শূন্য রয়েছে: ।পি ( এন ) পি ( এন ) = লিমি এন → ∞ পি ( এন , এন ) = $n$$P(n)$$P(n) = \lim_{N\to\infty} P(n, N) = 0$

এখন, আপনি যোগফলকে ভাঙা গণনা সেই অংশের ডানদিকে ঝাঁপিয়ে পড়ে বলেছে যে এটি সীমাতে শূন্য, সুতরাং যোগফলটি কেবল শূন্যের পদ ধারণ করে, তাই যোগফলটি নিজেই শূন্য: পি ( এন , এন ) লিম এন → ∞ ballCount ( এন

$$\lim_{N\to\infty} \operatorname{ballCount}(N) = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N).$$ $P(n,N)$ $$\begin{align} \lim_{N\to\infty}\operatorname{ballCount}(N) &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) \\ \text{broken step here }\longrightarrow &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} \lim_{N\to\infty} P(n,N) \\ &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n) \\ &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} 0 \\ &= \lim_{N\to\infty} 10 N\times 0 \\ &= 0 \end{align}$$

তবে এটি অবৈধভাবে দুটি স্বতন্ত্র অংশে বিভক্ত করছে । আপনি কেবল সরাতে পারবেন না সমষ্টি মধ্যে যদি সমষ্টি সীমার পরামিতি উপর নির্ভর করে । আপনাকে অবশ্যই সামগ্রিকভাবে সমাধান করতে হবে ।লিম লিম$\lim$$\lim$$\lim$$\lim$

সুতরাং, এই সমস্যা সমাধানের শুধুমাত্র বৈধ উপায় যে ব্যবহার করে, প্রথম সমষ্টি বিশ্লিষ্ট করা হল কোন সসীম জন্য । Σ এন ≤ 10 এন এন = 1 পি ( এন , এন ) = 9 এন এন লিম এন → ∞ ballCount ( এন $\lim$$\sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) = 9N$$N$

$$\begin{align} \lim_{N\to\infty} \operatorname{ballCount}(N) &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) \\ &= \lim_{N\to\infty} 9N \\ &= \infty \end{align}$$

স্বজ্ঞাত সমাধানটি সুনির্দিষ্টভাবে করেছিল যে এটি "চালাক" সমাধান যা মূলত ভেঙে গেছে।

Comments

এটি নিশ্চিতভাবে, প্যারাডক্স সূত্র। এটি এর পরিমাণে: অনন্তকাল ধরে অনেক বল বাকি রয়েছে তা প্রাকৃতিক প্রশ্ন উত্থাপন করে: কোন বল? আপনি কি একটি একক বলের নাম রাখতে পারেন যা একটি ননজারো বাকি আছে? যদি তা না হয় তবে মনে হয় এটি গণনাযোগ্য অ্যাডিটিভিটি অ্যাকোয়াম ইঙ্গিত দেয় যে কোনও বলই থাকবে না, কারণ এখানে কেবল অগণিত অনেকগুলি বল রয়েছে। সুতরাং, স্বজ্ঞাত সমাধানটি সঠিক বলে দাবি করে আপনি স্পষ্টতই সম্ভাবনার একটি মৌলিক স্বীকৃতি অস্বীকার করছেন।

— whuber

@ যেহেতু শূন্য-অভাবের সম্ভাবনা নিয়ে আমার কোনও বলের নাম রাখার দরকার নেই: আমার কাছে অসীম অনেকগুলি বল রয়েছে। এবং দুটি জিনিসের পন্যের সীমা, একটি শূন্যে এবং অন্যটি অনন্তে চলে যাওয়া, যে কোনও কিছু হতে পারে। এটি শূন্য হতে পারে, এটি অনন্ত হতে পারে, এটি এর মধ্যে যে কোনও কিছু হতে পারে (যেমন 42)। এটি সামগ্রিকভাবে কীভাবে আচরণ করে তার উপর নির্ভর করে depends এটি একই ধরণের "প্যারাডক্স" যা আর এর বিতরণের মধ্যে যে কোনও পয়েন্টকে শূন্য সম্ভাবনা দেয় - এটি কেবলমাত্র অসীম বহু পয়েন্টের বিরতি যাগুলির শূন্য-সম্ভাবনা হওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে। গাণিতিক অর্থে আসলেই কোনও প্যারাডক্স নেই।

— cmaster

কোনও প্যারাডক্স দাবি করার আগে আপনাকে গণিতটি সঠিকভাবে করতে হবে। আমাকে উদাহরণস্বরূপ। natural হল প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট। সেট যা পদে পদে ক্রম বিবেচনা করুন সব থেকে নম্বর মাধ্যমে সরানো হয়েছে। প্রতিটি পদক্ষেপে অসীম অসংখ্য সংখ্যা রয়ে যায়। সীমাতে কত নম্বর থাকবে? আপনার "একমাত্র বৈধ উপায়", যদি আমি এটি সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করি, তবে " " বলে "অসীম অনেকের" উত্তর দেবে । সীমাটি খালি থাকার বিষয়টি আপনার দৃ strong় প্রমাণ যে আপনার পদ্ধতির গাণিতিকভাবে সন্দেহ রয়েছে। i = 0 , 1 , 2 , … 0 আই লিম এন → ∞ ∞ = … = $\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}$$i=0,1,2,\ldots$$0$$i$$\lim_{n\to\infty}\infty=\ldots=\infty$

— হোয়বার

@ মিশেল দুর্ভাগ্যক্রমে, এটি একটি ভুল গণনা। সীমাতে থাকার প্রতিটি বলের সম্ভাবনা । $0$

— whuber

লোকেরা এই উত্তরটি ভুল বলে সচেতন তা নিশ্চিত করার জন্য এখানে আবার মন্তব্য করা। @ কেভেট করুন আপনার রসের যুক্তিটি পড়া উচিত, আপনার উত্তরটি তার উদ্ভূতিকে মোটেই সম্বোধন করে না।

— কার্লোস সিনেলি

Answer 4

এই যুক্তিটি অসীম সেট এবং ক্রমাগত এককভাবে আচরণ করার প্রবণতার দিকে দৃষ্টি নিবদ্ধ করে focused এটি হিলবার্ট হোটেল ছাড়া আর অবাক হওয়ার কিছু নয় । এরকম ক্ষেত্রে, আপনি সত্যিই অসীম সংখ্যক বল বের করেছেন, তবে আপনি একটি অসীম সংখ্যা রেখে দেবেন the উল্টে হিলবার্ট হোটেলটি বিবেচনা করুন। আপনি হোটেল থেকে সীমাহীন অতিথিদের মুছে ফেলতে পারেন এবং এখনও একটি অসীম সংখ্যা বাকি আছে।

এটি শারীরিকভাবে উপলব্ধিযোগ্য কিনা তা পুরোপুরি আরেকটি প্রশ্ন।

এই হিসাবে, আমি এটি অগত্যা অসুস্থ গঠনের নয়, বরং ভুল বইয়ে রেখেছি বলে বিবেচনা করব। এই ধরণের গণনা প্রশ্নটি কোনও সম্ভাব্য কোর্সের নয়, একটি সেট তত্ত্বের কোর্সে অন্তর্ভুক্ত।

Comments

0 টির একটি উত্তরকে সমর্থন করার জন্য যে যুক্তি দেওয়া হয়েছে তা কেবল "অসীম বিয়োগ শূন্য" এর চেয়ে বেশি পরিশীলিত তাই আমি এই উত্তরটি সত্যই এটির সাথে যুক্ত করে বলে মনে করি না। আপনি হোটেল থেকে সীমাহীন অতিথিদের অপসারণ করতে এবং শূন্য বাকী থাকতে পারেন, এবং কিছুটা অর্থে এখানে চ্যালেঞ্জ হ'ল আপনি যা করেছেন তা কাজ করা। এটি কোনও উপায়েই সুস্পষ্ট নয় যে সেট তত্ত্বের সেই প্রশ্নের উত্তর রয়েছে এবং সম্ভাবনা তত্ত্বটি নেই।

— বেন মিলউড

@ বেনমিলউড যা হ'ল কেন আমি যুক্তি দিচ্ছি যে এই ধাঁধাটি কোনও সম্ভাব্যতার বইয়ের পরিবর্তে একটি সেট থিওরি বইতে অন্তর্ভুক্ত।

— আম্মন কর্ট

Answer 5

আমি মনে করি এটি সমস্যার অতিরিক্ত অতিরিক্ত টেম্পোরাল উপাদান অপসারণ করতে সহায়তা করে।

এই প্যারাডক্সের আরও মূল বৈকল্পিক হ'ল সর্বদা সর্বনিম্ন সংখ্যাযুক্ত বলটি সরিয়ে ফেলা। অঙ্কন স্বাচ্ছন্দ্যের জন্য, আমি প্রতিটি ধাপে কেবল দুটি বল যোগ করব।

পদ্ধতিটি অসীম দ্বি-মাত্রিক গ্রিডটি কীভাবে পূরণ করবে তা বর্ণনা করে:

.*........
..**......
...***....  ....
....****..
.....*****

 :  :  :
 :  :  :

যেখানে প্রতিটি সারিটি ডানদিকে দুটি নক্ষত্র যুক্ত করে বামদিকটি সরিয়ে পূর্বের থেকে তৈরি হয়।

তারপরে যে প্রশ্নগুলি জিজ্ঞাসা করা হয় সেগুলি হ'ল:

পুনরাবৃত্ত বিন্দুগুলির পরিবর্তে কয়টি কলামের পুনরাবৃত্ত asterisks দিয়ে শেষ হয়?

আমার মতে, ভুল হিসাবে এই ফলাফলটিকে "প্রতিটি সারিতে নক্ষত্রের সংখ্যার সীমা" এর সাথে সমান করার ধারণাটি অনেক কম জোরালো।

Comments

@ লুকাসিটি: কোন বলটি কলসে? যেগুলি কলামগুলির সাথে সম্পর্কিত যা বারবার এ্যাস্টিস্কের সাথে শেষ হয়। পুনরাবৃত্তি জ্যোতিষে কতটি কলাম শেষ হয়? কোনটিই নয়।

— বাদ পড়ে এবং

কোন বল জিজ্ঞাসা করা কতটি জিজ্ঞাসা করার মত নয়।

— সেন্টিনেল

@ লুকাসিটি: কয়টি কলামগুলি নক্ষত্রের শেষ? কোনটিই নয়। রস এই ডায়াগ্রামটি জিজ্ঞাসা করার অর্থ সেই নির্দিষ্ট প্রশ্ন। (প্রকৃতপক্ষে, সমস্যাটিকে বোঝানোর পুরো পয়েন্টের একটি অংশটি এটি নির্দিষ্ট করে কোন নির্দিষ্ট প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা হচ্ছে তা পরিষ্কার করে

— দেওয়া

@ হার্কাইল যে প্রশ্নটির ব্যবহারিক প্রয়োগ রয়েছে এবং এটি আইএমএইচও অর্থবহ তা হল কতটি বল কোনটি নয়। একটি খোলা উইন্ডো সহ একটি ঘর বিবেচনা করুন। সর্বদা অক্সিজেনের অণু প্রবেশ করে ঘরটি ছেড়ে দেয়। সুনির্দিষ্ট সময় যে অণু প্রবেশ করেছিল তা ঘরে ঘরে এখনও রয়েছে এমন সম্ভাবনা হিসাবে শূন্যে চলে যায় । এর অর্থ এই নয় যে কক্ষটি অক্সিজেনকে হিসাবে । T T → $t$$T$$T\to\infty$$T\to\infty$

— লুকা সিটি

@ লুকাসিটি: আমি মনে করি এটি পরিষ্কার ছিল না তবে গ্রিডটি নিচের দিকে এবং ডানদিকে অসীম প্রসারিত। কোনও "শেষ" নেই। হ্যাঁ, হলুদ বাক্সের পাঠ্যটি এটাই বলে - আমি আমার পোস্টে যে আনুষ্ঠানিকতা দিই তা সেই পাঠ্যটি বোঝানো হয়েছিল। এটি একটি স্ট্যান্ডার্ড সমস্যা এবং রসের প্রকৃত বিশ্লেষণ আমার আনুষ্ঠানিককরণের সাথে একমত। আপনি একটি ভিন্ন প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করতে পারেন , তবে এটি একটি ভিন্ন সমস্যা হবে।

— বাদ পড়ে এবং

Answer 6

এই উত্তরের উদ্দেশ্য চারটি জিনিস করা:

1. সমস্যার সমাধানের ক্ষেত্রে রসের গাণিতিক গঠনের পর্যালোচনা করুন, এটি দেখায় যে এটি সমস্যার বর্ণনা থেকে সরাসরি এবং দ্ব্যর্থহীনভাবে কীভাবে অনুসরণ করে।

2. রস এর প্যারাডোক্সিক্যাল সমাধান উভয়ই গাণিতিকভাবে সুরক্ষিত এবং শারীরিকভাবে আমাদের উপলব্ধির সাথে প্রাসঙ্গিক যে অবস্থানটি 100% শারীরিকভাবে উপলব্ধিযোগ্য কিনা তা রক্ষা করুন।

3. শারীরিক স্বজ্ঞাততায় নিহিত কয়েকটি কল্পিত যুক্তি আলোচনা করুন এবং দেখান যে দুপুরের সময় অসীম বলের "শারীরিক" সমাধানটি কেবল গণিতের সাথে নয়, পাশাপাশি পদার্থবিজ্ঞানেরও বিরোধী in

4. সমস্যার শারীরিক বাস্তবায়ন বর্ণনা করুন যা রস এর সমাধানটিকে আরও স্বজ্ঞাত করে তুলতে পারে। কার্লোসের মূল প্রশ্নের উত্তরের জন্য এখানে শুরু করুন।

1. সমস্যাটি গাণিতিকভাবে কীভাবে বর্ণনা করবেন

আমরা রসের যুক্তির প্রথম "অসীম প্রক্রিয়া মডেলিং" পদক্ষেপটি আনপ্যাক করব (পৃষ্ঠা 46) । এখানে আমরা বিবৃতিটি ন্যায়সঙ্গত করতে ফোকাস করব:

প্রথম এন প্রত্যাহার করার পরে বল নম্বর 1 এখনও এমন ইভেন্টটি হতে সংজ্ঞায়িত করুন ... 12 নম্বরের বল 1 নম্বরে যে ইভেন্টটি ঘটেছে তা কেবল ইভেন্ট ।⋂ ∞ n = 1 ই $E_n$$\bigcap_{n=1}^\infty E_n$

রসের বক্তব্যটি আনপ্যাক করার আগে, আসুন বিবেচনা করা যাক অপারেশনগুলির একটি অসীম ক্রম পরে দুপুরের দিকে কীভাবে ইলনের বিষয়বস্তু বোঝা সম্ভব। আমরা কীভাবে সম্ভবত জানতে পারি যে এই কলটি কী আছে? ঠিক আছে, একটি নির্দিষ্ট বল সম্পর্কে চিন্তা করা যাক ; আপনি বা বা আপনি যা চান তা কল্পনা করতে পারেন। যদি দুপুরের আগে প্রক্রিয়াটির কোনও পর্যায়ে বল কে বাইরে নিয়ে যাওয়া হয়, অবশ্যই দুপুরের দিকে এটি কলসে থাকবে না। এবং বিপরীতক্রমে, যদি একটি প্রদত্ত বল ছিল (পরে এটি যোগ করা হয়েছিল) প্রক্রিয়া আপ দুপুর পর্যন্ত প্রতিটি একক পর্যায়ে ভস্মাধার মধ্যে, তাহলে এটি দুপুরে ভস্মাধার ছিল। আসুন এই বিবৃতিগুলি আনুষ্ঠানিকভাবে লিখুন:b = 1 1000 $b$$b=1$$1000$$b$

একটি বল দুপুরে থাকে যদি এবং কেবল যদি প্রতি পর্যায়ে এটি দুপুরের আগে, যেখানে হচ্ছে মঞ্চ বলটি কলমে যুক্ত হয়েছিল।এন ∈ { এন খ , এন বি + + 1 , এন বি + + 2 , । । । । n $b$$n \in \{n_b, n_b + 1, n_b + 2, ...\}$$n_b$

এবার রসের বক্তব্যটি আনপ্যাক করা যাক - এর সরল ইংরেজিতে কী বোঝায়? চলুন urn প্রক্রিয়াটির একক উপলব্ধি নিই এবং এর সাথে কথা বলি:$\bigcap_{n=1}^\infty E_n$ $x$

• $x \in E_1$ means এর অর্থ হল প্রক্রিয়াটির 1 ম পর্যায়ের পরে বল 1 টি কলুষের মধ্যে থাকে।
• $x \in E_1 \bigcap E_2$ অর্থ হল প্রক্রিয়াটির 1 এবং 2 পর্যায়ে বল 1 এর ।
• $x \in E_1 \bigcap E_2 \bigcap E_3$ অর্থ হল 1 বল প্রক্রিয়াটির 1, 2, এবং 3 পর্যায়ে পরে ।
• কোন , এর মানে হল যে বল পর্যায়ে পরে ভস্মাধার হয় পুরনো ।x ∈ ⋂ n কে = 1 ই কে 1 $k \in \{1, 2, 3, ...\}$$x \in \bigcap_{k=1}^n E_k$$1$$n$

এটা স্পষ্ট যে, এর মানে হল যে, আদায় এই শবাধার প্রক্রিয়ার, বল 1 পর্যায়ে 1, 2 পর ভস্মাধার হয়, 3, এট সিটিরা : সমস্ত সীমাবদ্ধ পর্যায়ের দুপুরের আগে। অসীম ছেদ কেবল লেখার অন্য একটি উপায় যা, তাই সেই প্রক্রিয়াটির যথাযথ উপলব্ধিগুলি রাখে যেখানে বল 1 ছিল urn দুপুরের আগে একটি ইভেন্ট একটি প্রক্রিয়া উপলব্ধির একটি সংজ্ঞায়িত সেট, সুতরাং শেষ বাক্যটি ঠিক বলা সমান যে equivalent সেই ইভেন্টটি যে 1 বলটি দুপুরের আগে সমস্ত পর্যায়ে ছিল, এই এলোমেলো প্রক্রিয়া জন্য। এক্সকে ⋂ ∞ n = $x \in \bigcap_{k \in \{1, 2, 3...\}} E_k$$x$$k$⋂ ∞ n = 1 ই এন ⋂ ∞ n = 1 ই $\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$

এখন, পাঞ্চলাইন: আমাদের "যদি এবং কেবল যদি" ​​উপরের বিবৃতি অনুসারে, ঠিক ঠিক বলার মতই যে 1 বলটি দুপুরের দিকে কলকে ছিল! সুতরাং হল সেই ঘটনাটি যা রস ১ প্রথম দিকে দুপুরের দিকে কলকে ছিল, যেমন রস মূলত বলেছিল। Qed$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$

উপরের ডেরাইভেশনটিতে, আমরা যা বলেছি সেগুলি উভয়ই সংজ্ঞাবাদী এবং সম্ভাবনাময় সংস্করণ উভয়ের জন্য সমানভাবে বৈধ, কারণ ডিস্ট্রিমেন্টিক মডেলিং সম্ভাব্য মডেলিংয়ের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে যেখানে নমুনা ব্যবস্থার একটি উপাদান থাকে। "ইভেন্ট" এবং "উপলব্ধি" (যা "সেট" এবং "উপাদান" এর জন্য কেবল জার্গন) এর বাইরেও কোনও পরিমাপ তাত্ত্বিক বা সম্ভাবনা ধারণাগুলি ব্যবহার করা হয়নি।

২. প্যারাডক্সিকাল সলিউশন গাণিতিকভাবে সাউন্ড এবং ফিজিক্সের সাথে সম্পর্কিত lev

এই সেটআপ পয়েন্টের পরে, ডিটারমিনিস্টিক এবং সম্ভাব্য রূপগুলি বিভক্ত হয়। ডিটারমিনিস্টিক ভেরিয়েন্টে (অ্যামিবার পোস্টের সংস্করণ 2), আমরা জানি প্রথম 1 টি প্রথম ধাপে নিয়ে গেছে, সুতরাং ফাঁকা সেট এবং অসীম ছেদ অবশ্যই, খালি। একইভাবে, অন্য কোন বল পর্যায়ে বাইরে নিয়ে যাওয়া হয় এবং দুপুরে উপস্থিত নেই। সুতরাং এই বার্নে দুপুরের সময় কোনও সংখ্যাযুক্ত থাকতে পারে না এবং তাই অবশ্যই খালি থাকতে হবে।b b $E_1 = \emptyset$$b$$b$$b$

সম্ভাব্য বৈকল্পিকের ক্ষেত্রে একই ঘটনা ঘটে, কেবলমাত্র একটি নরম "ইন-প্রত্যাশা" অর্থে। যে কোনও বলের উপস্থিত হওয়ার সম্ভাবনা শূন্যের সাথে ধীরে ধীরে কমার সাথে সাথে আমরা দুপুরের কাছাকাছি চলে এসেছি এবং দুপুরের সীমাবদ্ধ সময়ে বলটি প্রায় উপস্থিত নেই। যেহেতু প্রতিটি বল সম্ভাব্যতা শূন্যের সাথে উপস্থিত থাকে এবং অসীম বহু শূন্যের যোগফল এখনও শূন্য হয়, দুপুরের দিকে ইটপাটিতে প্রায় কোনও বল নেই। এই সমস্ত রস সম্পূর্ণ কঠোরভাবে দেখায়; @ একভাল এর উত্তর শো হিসাবে, বিশদগুলি স্নাতক-স্তরের পরিমাপ তত্ত্বের জ্ঞান দিয়ে পূরণ করা যেতে পারে।

আপনি যদি গাণিতিক বিষয়গুলি সম্পর্কে অসীম অনুক্রম হিসাবে প্রকাশিত স্ট্যান্ডার্ড আর্গুমেন্টগুলি গ্রহণ করেন, উদাহরণস্বরূপ , এখানে যুক্তিটি ঠিক তেমন গ্রহণযোগ্য হওয়া উচিত, কারণ এটি ঠিক একই নীতিগুলির উপর নির্ভর করে। বাকি প্রশ্নটিই হচ্ছে গাণিতিক সমাধানটি বাস্তব জগতের জন্য প্রযোজ্য, না কেবল গণিতের প্লাটোনিক ওয়ার্ল্ড। এই প্রশ্নটি জটিল এবং ধারা 4 এ আরও আলোচনা করা হয়েছে।$0.999... = 1$

এটি বলেছিল যে, অসীম কলুষের সমস্যাটি অবাস্তব নয়, বা এটি অপ্রয়োজনীয় হলেও এটিকে অপ্রাসঙ্গিক বলে প্রত্যাখ্যান করার কোনও কারণ নেই। অসীম কাঠামো এবং প্রক্রিয়াগুলি অধ্যয়ন করে অনেক শারীরিক অন্তর্দৃষ্টি অর্জন করা হয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, অসীম তারগুলি এবং পারকোলেশন জালাগুলি । এই সমস্ত সিস্টেম অগত্যা শারীরিকভাবে উপলব্ধিযোগ্য নয়, তবে তাদের তত্ত্বটি বাকি পদার্থবিজ্ঞানের আকার দেয়। ক্যালকুলাস নিজেই কিছু উপায়ে "অপ্রচলিত", কারণ আমরা জানি না যে শারীরিকভাবে নির্বিচারে ছোট দূরত্ব এবং সময়গুলি প্রায়ই পড়াশোনার বিষয় হিসাবে অনুধাবন করা সম্ভব কিনা। এটি আমাদের তাত্ত্বিক এবং প্রয়োগ বিজ্ঞানগুলিতে অবিশ্বাস্যরূপে ভাল ব্যবহারে ক্যালকুলাস স্থাপন থেকে বিরত রাখে না।

৩. "শারীরিক স্বীকৃতি" এর ভিত্তিতে সমাধানগুলির আনফিজিক্যালিটি

যারা এখনও বিশ্বাস করেন যে ডেসটিনিস্টিক বৈকল্পিক ক্ষেত্রে রসের গণিতটি ভুল বা শারীরিকভাবে ভুল নয় এবং সত্য শারীরিক সমাধান অসীম অনেকগুলি বল: দুপুরের দিকে আপনি যা মনে করেন তা নির্বিশেষে, পরিস্থিতি অস্বীকার করা অসম্ভব: প্রতিটি সংখ্যাযুক্ত বল কলস যোগ যোগ অবশেষে মুছে ফেলা হয়। সুতরাং আপনি যদি ভাবেন যে দুপুরে কোনও কোনওরকম এখনও অলসভাবে অনেকগুলি বল রয়েছে তবে আপনাকে অবশ্যই স্বীকার করতে হবে যে সেই বলগুলির মধ্যে একটিও দুপুরের আগে একটি বল যুক্ত হতে পারে না। সুতরাং সেই বলগুলি অবশ্যই অন্য কোথাও থেকে এসেছে: আপনি দৃser়ভাবে বলছেন যে মূল সমস্যা প্রক্রিয়াটির সাথে সম্পর্কিত নয় এমন অনেকগুলি বল হঠাৎ করে দুপুরে হঠাৎ অস্তিত্বের মধ্যে চলে যায় যাতে কার্ডিনালটির ধারাবাহিকতা লঙ্ঘন থেকে রক্ষা পেতে পারে।"খালি সেট" সমাধানটি স্বজ্ঞাতভাবে মনে হতে পারে, এই বিকল্পটি বস্তুনিষ্ঠভাবে এবং প্রদর্শনযোগ্যভাবে অপ্রচলিত। অসীম সম্পর্কে দরিদ্র মানুষের অন্তর্নিহিতকে সন্তুষ্ট করার জন্য অবজেক্টের অসীম সংগ্রহগুলি তাত্ক্ষণিকভাবে রূপান্তরিত হয় না।

এখানকার সাধারণ ত্রুটিটি মনে হয় যে সময়টি দুপুরের কাছাকাছি আসার সাথে সাথে আমরা কেবল বলের সংখ্যাটি দেখতে পারি এবং ধরে নিতে পারি যে ঠিক কোন বলটি নেওয়া হচ্ছে এবং বাইরে নিয়ে যাওয়া হচ্ছে তা বিবেচনা না করে দুপুরের দিকে বিবিধ প্রবণতা অসীম অনেকগুলি ফলন দেয়। এমনকি "উদাসীনতার নীতি" দিয়ে এটিকে ন্যায়সঙ্গত করারও চেষ্টা করা হয়েছে, যা বলে যে উত্তরগুলি বলের লেবেলযুক্ত কিনা তা নির্ভর করে না depend

আসলে, উত্তরগুলি লেবেলযুক্ত কিনা তা নির্ভর করে না, তবে এটি রসের সমাধানের পক্ষে যুক্তি, এটির বিরুদ্ধে নয়। শাস্ত্রীয় পদার্থবিজ্ঞানের দৃষ্টিকোণ থেকে বলগুলি কার্যকরভাবে লেবেল করা হয় আপনি তাদের লেবেলযুক্ত বলে মনে করেন বা না রাখুন। তাদের স্বতন্ত্র, স্থায়ী পরিচয় যা লেবেলের সমতুল্য, এবং একটি সত্যিকারের শারীরিক বিশ্লেষণের অবশ্যই এটির জন্য অ্যাকাউন্ট হওয়া উচিত, বলগুলিতে সংখ্যাগুলি আক্ষরিকভাবে লেখা আছে কি না। স্বয়ংক্রিয়ভাবে লেবেলগুলি সমাধানটি কীভাবে আসে তা সরাসরি প্রভাবিত করে না, তবে বলগুলি কীভাবে প্রায় সরানো হয় তা বর্ণনা করার জন্য তাদের প্রয়োজন। কিছু প্রক্রিয়া কলসকে চিরকালের জন্য রেখে দেয়, অন্যরা যুক্ত করা প্রতিটি বল মুছে ফেলে এবং এই পদ্ধতিগুলির মধ্যে পার্থক্য বর্ণনা করার জন্য লেবেলগুলিও প্রয়োজন।লেবেলগুলিকে উপেক্ষা করার চেষ্টা করা "শারীরিক" নয়, শারীরিক সমস্যাটি সমাধান করার জন্য যথেষ্ট সঠিকভাবে বোঝার জন্য এটি অবহেলা করা। (প্রতিটি জটিল পর্যায়ে লেবেলগুলিকে রদবদল করে এমন জটিল রূপগুলির ক্ষেত্রেও এটি একই রকম। একটি একক অপরিবর্তনীয় লেবেলিং স্কিম, রসের মূল সমস্যাগুলির মধ্যে একটি)

পার্থক্যটি সত্য হতে ব্যর্থ হওয়ার একমাত্র উপায় হ'ল "বলগুলি" কোয়ান্টাম মেকানিকাল কণা হলে। এই ক্ষেত্রে, উদাসীনতার নীতি দর্শনীয়ভাবে ব্যর্থ হয়। কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞান আমাদের জানায় যে অবিচ্ছেদ্য কণাগুলি আলাদা আলাদা আলাদা আলাদা আচরণ করে different এটি আমাদের মহাবিশ্বের কাঠামোর জন্য অবিশ্বাস্যরূপে মৌলিক পরিণতি অর্জন করেছে, যেমন পাওলি বর্জন নীতি, যা সম্ভবত রসায়নের একক গুরুত্বপূর্ণ নীতি। কেউ এই প্যারাডক্সের কোয়ান্টাম সংস্করণ বিশ্লেষণ করার চেষ্টা করেনি।

4. সমাধান শারীরিকভাবে বর্ণনা

আমরা দেখেছি যে অস্পষ্ট "শারীরিক" স্বজ্ঞাততা কীভাবে আমাদের এই সমস্যায় ভুল পথে চালিত করতে পারে। বিপরীতে, দেখা যাচ্ছে যে সমস্যার আরও শারীরিকভাবে নির্ভুল বিবরণ আমাদের বুঝতে সাহায্য করে যে গাণিতিক সমাধানটি আসলে সবচেয়ে বেশি শারীরিক অর্থে কেন তৈরি হয়।

শাস্ত্রীয় যান্ত্রিক আইন দ্বারা নিয়ন্ত্রিত একটি অসীম নিউটনিয়ান ইউনিভার্স বিবেচনা করুন। এই মহাবিশ্বে দুটি অবজেক্ট রয়েছে: একটি অসীম শেল্ফ এবং একটি অসীম উরন, যা মহাবিশ্বের উত্স থেকে শুরু হয় এবং একে অপরের সাথে চলে, এক পা দূরে, চিরকাল এবং সর্বদা। বালুচরটি ফুট রেখায় অবস্থিত , আর ইউরন লম্বায় ফুট। শেল্ফটি বরাবর সীমাহীনভাবে অনেকগুলি অভিন্ন বল রাখে, সমানভাবে এক ফুট আলাদা করে এক পা আলাদা করে রাখে, প্রথমটি হ'ল উত্স থেকে এক ফুট (তাই বল লম্বা ফুট)। উরন - যা সত্যই শেল্ফের মতো, তবে কিছুটা অলঙ্কৃত, বন্ধ, এবং সাধারণত উর্নিশ - খালি।y = 1 n x = $y = 0$$y = 1$$n$$x = n$

একটি আইজল নীচে শেল্ফ এবং উরনকে সংযুক্ত করে এবং আইজলের শীর্ষে, উত্সে, একটি অসীম বিদ্যুৎ সরবরাহ সহ একটি এন্ডেভার রোবট বসে s সকাল ১১ টা থেকে শুরু করে, এন্ডেভর রস-লিটলউডের প্রোগ্রামযুক্ত নির্দেশাবলী অনুসারে উর্ন এবং শেল্ফের মধ্যে বল স্থানান্তর করে আইসলে জুম এবং জুম শুরু করে:

• প্রোগ্রাম কমান্ড বল যখন ভস্মাধার, বল ঢোকানো করা ORIGIN থেকে ফুট ভস্মাধার করতে শেল্ফ থেকে স্থানান্তর করা হয়।$n$$n$
• প্রোগ্রাম কমান্ড যখন বল ভস্মাধার, বল থেকে সরিয়ে দেওয়ার ORIGIN থেকে ফুট শেল্ফে ভস্মাধার থেকে স্থানান্তর করা হয়।$n$$n$

উভয় ক্ষেত্রেই, স্থানান্তরটি সোজা জুড়ে তৈরি করা হয়, তাই বলটি মূল থেকে ফুট দূরে থাকে । রস-লিটলউড সমস্যায় উল্লিখিত প্রক্রিয়াটি উদ্ঘাটিত:$n$

• সকাল 11:00 টায়, এন্ডেভর 1-10 বলগুলিকে শেল্ফ থেকে উরনে স্থানান্তর করে, তারপরে একটি উর্ন বলটি শেল্ফে ফিরে যায়।
• সকাল সাড়ে ১১ টা নাগাদ এন্ডেভর শেল্ফ থেকে উরনে ১১-২০ বল স্থানান্তর করে, তারপরে একটি উর্ন বলটি শেল্ফে ফিরিয়ে দেয়।
• সকাল 11: 45 এ, এন্ডেভর 21-30 বলগুলি শেল্ফ থেকে উরনে স্থানান্তর করে, তারপরে একটি উর্ন বলটি শেল্ফে ফিরে যায়।
• ইত্যাদি

প্রক্রিয়াটি চলতে থাকায় প্রতিটি নতুন পদক্ষেপের জন্য আইজলে উপরে এবং নীচে দীর্ঘ ট্রিপগুলি প্রয়োজন হয় এবং ভ্রমণের জন্য কেবল অর্ধেক সময় প্রয়োজন। সুতরাং, এন্ডেভোরকে অবশ্যই দুপুরটি বন্ধ হওয়ার সাথে সাথে আইসলটিকে দ্রুত এবং তলিয়ে যেতে হবে But তবে এটি সর্বদা প্রোগ্রামের সাথে চালিয়ে যায়, কারণ এটির একটি অসীম বিদ্যুৎ সরবরাহ রয়েছে এবং এটি প্রয়োজন মতো দ্রুত গতিতে চলে যেতে পারে। অবশেষে, দুপুর আসে।

এই প্যারাডক্সটির আরও স্বচ্ছভাবে কল্পনা করা সংস্করণে কী ঘটে? উপর থেকে দেখেছি, দুপুরের দিকে যাওয়া সত্যিই দর্শনীয়। উরনের মধ্যে বলের একটি তরঙ্গ উত্স থেকে বাহ্যিক দিকে প্রচার করতে দেখা যায়। ওয়েভের আকার এবং গতি দুপুরের কাছাকাছি যাওয়ার সাথে আবদ্ধ না হয়ে বাড়তে থাকে। আমরা যদি প্রতিটি পদক্ষেপের সাথে সাথেই ছবি তুলি তবে বলগুলির লেআউটটি কেমন হবে? নির্বিচারক ক্ষেত্রে, তারা ঠিক অ্যামিবার উত্তরের পদক্ষেপের মতো দেখতে পাবেন like বলের অবস্থানগুলি তার ষড়যন্ত্র করা বাঁকগুলি যথাযথভাবে অনুসরণ করবে। $(x, y)$সম্ভাব্য ক্ষেত্রে এটি দেখতে প্রায় অনুরূপ দেখাবে, তবে উত্সের কাছে আরও স্ট্রাগলিংয়ের সাথে।

দুপুর এলে আমরা কী ঘটেছে তার স্টক নিয়ে থাকি। নির্বোধ সংস্করণে প্রতিটি বল শেল্ফ থেকে ঠিক একবার উরনে স্থানান্তরিত হয়েছিল, তারপরে পরবর্তী পদক্ষেপে ফিরে যায়, দুপুরের আগে উভয় স্থানান্তর ঘটেছিল। দুপুরে, মহাবিশ্বকে অবশ্যই তার মূল 11 AM অবস্থায় ফিরে আসতে হবে। ওয়েভ আর নেই is প্রতিটি বল যেখানে শুরু হয়েছিল ঠিক সেখানে ফিরে আসে। কিছুই পরিবর্তিত হয়েছে. অর্ন খালি আছে। সম্ভাব্য সংস্করণে একই জিনিস ঘটে, এখন বাদে ফলাফলটি প্রায় নিশ্চিত হওয়ার চেয়ে প্রায় নিশ্চিত।

উভয় ক্ষেত্রেই "শারীরিক আপত্তি" এবং অনন্ত সম্পর্কে অভিযোগগুলি পাতলা বাতাসে বিলীন হয়ে গেছে বলে মনে হয়। অবশ্যই দুপুরে উরন খালি আছে। অন্যথায় আমরা কীভাবে কল্পনা করতে পারি?

আর একমাত্র রহস্যই এন্ডেভরের ভাগ্য। এর উৎপত্তিস্থল থেকে স্থানান্তর এবং এর বেগ দুপুরের দিকে এগিয়ে যাওয়ার সাথে সাথে নির্বিচারে বিশাল আকার ধারণ করে, তাই দুপুরে এন্ডেভোর আমাদের অসীম নিউটনিয়ান ইউনিভার্সে কোথাও পাওয়া যায় না। প্রক্রিয়া চলাকালীন ঘটে যাওয়া পদার্থবিজ্ঞানের একমাত্র লঙ্ঘন এন্ডেভর এর ক্ষতি loss

এই মুহুর্তে, কেউ আপত্তি করতে পারে যে এন্ডেভোর শারীরিকভাবে সম্ভব নয়, কারণ এর গতি বেঁধে না দিয়ে বৃদ্ধি পায় এবং শেষ পর্যন্ত আপেক্ষিক সীমা, আলোর গতি লঙ্ঘন করে। তবে আমরা এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য পরিস্থিতিটি সামান্য পরিবর্তন করতে পারি। একটি একক রোবটের পরিবর্তে, আমাদের অসীম অনেক রোবট থাকতে পারে, প্রতিটিই একটি বলের জন্য দায়ী। রস নির্দেশাবলী অনুযায়ী নিখুঁত সমন্বয় এবং সময় নিশ্চিত করতে আমরা তাদের আগেই প্রোগ্রাম করতে পারতাম could

এই প্রকরণটি কি 100% শারীরিক? সম্ভবত তা নয়, কারণ রোবটগুলিকে নির্বিচারে সুনির্দিষ্ট সময় দিয়ে কাজ করতে হবে। আমরা দুপুরের কাছে যাওয়ার সাথে সাথে দাবি করা নির্ভুলতা অবশেষে প্ল্যাঙ্ক সময়ের নীচে নেমে যাবে এবং কোয়ান্টাম মেকানিকাল সমস্যা তৈরি করবে create তবে শেষ পর্যন্ত, একটি অসীম তার এবং একটি অসীম পারকোলেশন জালিকাগুলি সমস্ত শারীরিক নাও হতে পারে। এটি আমাদের অসীম সিস্টেম এবং প্রক্রিয়াগুলি অধ্যয়ন করতে বাধা দেয় না এবং যদি বাধা দেয় শারীরিক প্রতিবন্ধকতা স্থগিত করা হয় তবে কী হবে তা নির্ধারণ করে।

4a। গণনা একঘেয়েমি কেন লঙ্ঘন হয়

বেশ কয়েকজন রস সংশয়ীরা প্রশ্ন তুলেছেন যে কীভাবে সম্ভব যে আমরা দুপুরে যাওয়ার সাথে সাথে বাঁধ ছাড়াই কলসের বলের সংখ্যা বাড়তে থাকে, তারপরে দুপুরে শূন্য হয়। শেষ পর্যন্ত আমাদের অবশ্যই আমাদের নিজের স্বজ্ঞাততার উপর কঠোর বিশ্লেষণে বিশ্বাস করতে হবে, যা প্রায়শই ভুল, তবে প্যারাডক্সের বিভিন্নতা রয়েছে যা এই রহস্য আলোকিত করতে সহায়তা করে।

মনে করুন যে অসীম বহু বলের পরিবর্তে আমাদের কাছে বল রয়েছে 1, 2, 3, 10 পর্যন্ত এবং আমরা বল নিয়মের সাথে নিম্নলিখিত করেছি:10 $10N$$10N$

• যদি নির্দেশাবলী আপনাকে এমন একটি বল সরিয়ে নিতে বলবে যা অস্তিত্বহীন, তবে সেই নির্দেশটিকে উপেক্ষা করুন।

মনে রাখবেন যে আমরা যদি এই নির্দেশকে যুক্ত করি তবে মূল সমস্যাটি অপরিবর্তিত রয়েছে, যেহেতু নির্দেশটি অসীম বহু বল দিয়ে কখনই সক্রিয় হবে না। সুতরাং, আমরা একই নিয়ম সহ একই পরিবারের অংশ হতে আসল সমস্যা এবং সমস্যার এই নতুন পরিবারটিকে ভাবতে পারি। সীমাবদ্ধ পরিবার, বিশেষত খুব বড় জন্য পরীক্ষা করা আমাদের "এন = " কেস বুঝতে সাহায্য করতে পারে ।এন $N$$N$$\infty$

এই প্রকরণে, বলগুলি পূর্বের মতো ধাপে 9 টি জমা হয়, তবে কেবলমাত্র প্রক্রিয়াটির ধাপে । তারপরে বল যুক্ত করার জন্য সংখ্যাগুলি আর আসল বলের সাথে মিলে যায় না এবং আমরা কেবল বলগুলি সরিয়ে ফেলার নির্দেশনাটি মেনে চলতে পারি, এবং মোট পদক্ষেপের জন্য অতিরিক্ত পদক্ষেপের পরে প্রক্রিয়াটি বন্ধ হয়ে যায়। যদি খুব বড় হয় তবে অপসারণ-কেবলমাত্র পর্বটি দুপুরের খুব কাছাকাছি সময়ে ঘটে যখন কাজগুলি খুব দ্রুত সম্পন্ন করা হয় এবং খুব সহজেই মুরগিটি খালি হয়ে যায়।9 এন 10 এন $N$$9N$$10N$$N$

এখন আমরা প্রতিটি মানের জন্য পরীক্ষা এই প্রকরণ কি অনুমান করা এবং সময়ের সাথে বল গণনা, গ্রাফ , যেখানে 0 থেকে 11 টা পর 1 ঘন্টা (দুপুর থেকে অর্থাত 11 টা) রেঞ্জ। সাধারণত সময়ের জন্য বেড়ে যায়, তারপরে বা তার আগে শূন্যে ফিরে আসে । অসীমের কাছে যাওয়ার সাথে সাথে সীমাতে , গ্রাফটি আরও বেশি বৃদ্ধি পায় এবং পতনটি আরও দ্রুত হয়। দুপুরের মধ্যে সর্বদা খালি থাকে: । সীমাবদ্ধ গ্রাফে, , বক্ররেখা জন্য অনন্তের কাছে পৌঁছায় তবেচ এন ( টি ) টি এফ এন ( টি $N$$f_N(t)$$t$$f_N(t)$N f N ( 1 ) = 0 f ( t ) = $t=1$$N$$f_N(1) = 0$t<1f(1)=0N→$f(t) = \lim_{N \rightarrow \infty} f_N(t)$$t < 1$$f(1) = 0$। এটি রসের প্রুফের মধ্যে স্পষ্টতই ফলস্বরূপ: বল গণনা দুপুরের আগে অনন্তের দিকে চলে যায়, তবে দুপুরের দিকে শূন্য হয় is অন্য কথায়, রস এর সমাধান এন এর সাথে ধারাবাহিকতা রক্ষা করে: হিসাবে অসীম বলের ক্ষেত্রে বল গণনার সাথে মেলে বলের গণনাটির পয়েন্টওয়াইজ সীমা ।$N \rightarrow \infty$

আমি রসের সমাধানের এটিকে প্রাথমিক যুক্তি হিসাবে বিবেচনা করি না, তবে যারা দুজনে শূন্যের দিকে ক্রাশ না হয়ে বল গণনা কেন চিরতরে উপরে যায় তা নিয়ে যারা বিস্মিত তাদের পক্ষে এটি সহায়ক হতে পারে। অদ্ভুত হলেও, এটি হ'ল হিসাবে সমস্যার সীমাবদ্ধ সংস্করণ এবং এটি অসীম ক্ষেত্রে "আকস্মিক শক" হিসাবে আসে না।$N \rightarrow \infty$

একটি চূড়ান্ত প্রতিচ্ছবি

কেন এই সমস্যা এত লোকের জন্য এতটা টার-পিট হিসাবে প্রমাণিত হয়েছে? আমার অনুমান যে আমাদের শারীরিক স্বজ্ঞাততা আমাদের মনে হয় না তার চেয়ে অনেকটা অস্পষ্ট এবং আমরা প্রায়শই অসম্পূর্ণতা এবং অসম্পূর্ণ মানসিক ধারণার উপর ভিত্তি করে সিদ্ধান্তে পৌঁছে যাই। উদাহরণস্বরূপ, আমি যদি আপনাকে এমন একটি বর্গক্ষেত্রটিও একটি চেনাশোনা হিসাবে ভাবতে বলি, তবে আপনি কিছু স্কোয়ারিশ এবং চক্রাকার কল্পনা করতে পারেন, তবে এটি উভয়টিই স্পষ্টভাবে হবে না - এটি অসম্ভব হবে। মানব মন সহজেই একটি একক মানসিক ছবিতে অস্পষ্ট, বিপরীত ধারণাগুলি একত্রিত করতে পারে। যদি ধারণাগুলি অসীমের মতো কম পরিচিত হয় তবে আমরা নিজেকে বোঝাতে পারি যে এই অস্পষ্ট মানসিক ম্যাসআপগুলি আসলে রিয়েল থিংয়ের ধারণাগুলি।

এটি সম্ভবত সংঘটিত হওয়ার সমস্যাটি ঘটে। আমরা সত্যিই একবারে পুরো বিষয়টি কল্পনা করি না; আমরা বিট এবং এর টুকরোগুলি সম্পর্কে চিন্তা করি, যেমন সময়ের সাথে কতগুলি বল রয়েছে। সময়ের সাথে সাথে প্রতিটি নম্র ছোট্ট বলের কী ঘটে বা ঠিক কীভাবে "কলস" অসীম অনেকগুলি বল ধরে রাখতে পারে তার মতো আমরা অনুমিত অপ্রাসঙ্গিক প্রযুক্তিগুলি ত্যাগ করি। ফলাফলটি অসামঞ্জস্যপূর্ণ, বেমানান মানসিক মডেলগুলির একটি ম্যাশআপ যে তা বুঝতে না পেরে আমরা সমস্ত বিবরণ সুনির্দিষ্টভাবে সেট করতে অবহেলা করি।

গণিতটি আমাদের এই অবস্থা থেকে উদ্ধার করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে। এটি অচেনা এবং বহিরাগতদের সামনে আমাদের শাসন করে এবং চালিত করে। এটি দাবি করে যে আমরা "must" সত্য হতে হবে যে জিনিসগুলি সম্পর্কে দুটিবার চিন্তা করি ...? এটি আমাদের মনে করিয়ে দেয় যে অদ্ভুত জিনিসগুলি কীভাবেই পায়, এক এবং একজন এখনও দুটি, একটি বল হয় কলসে বা এটি হয় না এবং বিবৃতিটি সত্য বা মিথ্যা। যদি আমরা অধ্যবসায়ী হই তবে এই নীতিগুলি শেষ পর্যন্ত আমাদের বেশিরভাগ সমস্যার স্পষ্টতা এনে দেয়।

যারা গাণিতিক বিশ্লেষণকে "শারীরিক" বা "সাধারণ জ্ঞান" অন্তর্নিহিতকে অধীন করে দেন তারা তাদের বিপদে পড়ে থাকেন। অন্তর্নিহিত সম্পর্কে হ্যান্ড-ওয়েভিং কেবল পদার্থবিদ্যার শুরু। Icallyতিহাসিকভাবে, পদার্থবিজ্ঞানের সমস্ত সফল শাখা অবশেষে কঠোর গণিতে নিজেকে প্রতিষ্ঠিত করেছে, যা ভুল শারীরিক অন্তর্দৃষ্টি দূরে করে, সঠিককে শক্তিশালী করে, এবং অসীম কারেন্ট বহনকারী তারের মতো আদর্শ সিস্টেমগুলির কঠোর অধ্যয়ন সক্ষম করে, যা আচরণের আলোকিত করে আরও জটিল, অগোছালো বাস্তব পৃথিবী। রস-লিটলউড একটি শারীরিক সমস্যা,সাধারণত শাস্ত্রীয় যান্ত্রিকগুলির মধ্যে একটি হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয় এবং শাস্ত্রীয় যান্ত্রিকগুলির একটি সম্পূর্ণ পরিপক্ক এবং কঠোর গাণিতিক ভিত্তি রয়েছে। শাস্ত্রীয় পদার্থবিজ্ঞানের জগত সম্পর্কে আমাদের অন্তর্নিজ্ঞানের জন্য আমাদের গাণিতিক মডেলিং এবং বিশ্লেষণের উপর নির্ভর করা উচিত, অন্যভাবে নয়।

Comments

এই পথেই যেতে হবে। তবে, "সম্ভাবনার সাথে এর কোনও যোগসূত্র নেই" এর পুরো অর্থ পুরোপুরি পরিষ্কার নয়, কারণ সম্ভাবনার উপর প্রয়োজনীয় অনুমান রয়েছে: সেগুলি ছাড়াই, সিদ্ধান্তগুলি পরিবর্তিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি বল প্রত্যাহার করার সুযোগটিতে প্রতিটি পর্যায়ে শূন্য সম্ভাবনা বরাদ্দ করেন তবে বল মাঝরাতের পরে থাকবে। $1$$1$

— whuber

মন্তব্যগুলি বর্ধিত আলোচনার জন্য নয়; এই কথোপকথন চ্যাটে সরানো হয়েছে ।

— whuber

Answer 7

বেশ কয়েকটি পোস্টার উদ্বেগ প্রকাশ করেছেন যে রসের গণনাগুলি কঠোর নাও হতে পারে। এই উত্তরটি সম্বোধন করে যে কোনও সম্ভাবনার জায়গার অস্তিত্ব প্রমাণ করে যেখানে রস বিবেচিত সমস্ত ফলাফলের প্রকৃতপক্ষে পরিমাপযোগ্য এবং তারপরে রসের গণনার গুরুত্বপূর্ণ অংশগুলি পুনরাবৃত্তি করে।

একটি উপযুক্ত সম্ভাবনার স্থান সন্ধান করা

বার্স টায় বার্নের কোনও বল নেই বলে রসের এই সিদ্ধান্তে পৌঁছানোর জন্য, প্রায় অবশ্যই, কঠোর, আমাদের সম্ভাবনার জায়গার অস্তিত্ব প্রয়োজন যেখানে ইভেন্ট "বার্নে কোনও বল নেই প্রধানমন্ত্রী "আনুষ্ঠানিকভাবে নির্মিত এবং পরিমাপযোগ্য হিসাবে দেখানো যেতে পারে। সে লক্ষ্যে, আমরা এই বক্তৃতা নোটগুলিতে থিওরেম ৩৩ [আইনেস্কু - তুলসিয়া] ব্যবহার করব , কিছুটা পুনরায় বানানো হবে এবং প্রশ্নের একটি মন্তব্যে @ নেটএলড্রেজ প্রস্তাবিত একটি নির্মাণ করবে।$(\Omega, \mathcal F, P)$

উপপাদ্য। ( এক্সটেনশন উপপাদ্য) পরিমাপযোগ্য স্পেসগুলির একটি ক্রম বিবেচনা করুন । ধরুন প্রত্যেকের জন্য যে , একটি সম্ভাব্যতা কার্নেল বিদ্যমান থেকে করতে ( কে তার প্রথম তর্ক হিসাবে অর্থাত্ একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপের প্রতি সংবেদনশীল কার্নেল হিসাবে গ্রহণ করা )। তারপরে এলোমেলো ভেরিয়েবলের সাথে সম্পর্কিত মান গ্রহণের ক্রম বিদ্যমান , যেমন প্রতিটি জন্য যৌথ বিতরণn κ n ( Ξ 1 , $(\Xi_n, \mathcal X_n), n = 1, 2, \dots$$n$$\kappa_n$( Ξ n , এক্স এন ) κ 1 এক্স এন , এন = 1 , 2 , … Ξ n$(\Xi_1, \mathcal X_1) \times \dots \times(\Xi_{n-1}, \mathcal X_{n-1})$$(\Xi_n, \mathcal X_n)$$\kappa_1$$X_n, n = 1, 2, \dots$$\Xi_n$$n$κ 1 , … , κ $(X_1, \dots, X_n)$এটি কি কার্নেলগুলি দ্বারা বোঝানো হয়েছে ।$\kappa_1, \dots, \kappa_n$

আমরা কে সরিয়ে নেওয়ার সময় মুছে ফেলা বলের লেবেল চিহ্নিত করতে পারি । এটি পরিষ্কার যে (অসীম) প্রক্রিয়া যদি বিদ্যমান থাকে তবে রসের যুক্তিগুলি অনুকরণ করার জন্য আমাদের যা জানা দরকার তা আমাদের জানান। উদাহরণস্বরূপ, বুদ্ধিমান কিছু পূর্ণসংখ্যা জন্য প্রত্যাহারের পর ভস্মাধার মধ্যে বল সংখ্যা বুদ্ধিমান হিসাবে একই : তারা অবিকল লেবেল সহ যোগ বাজে কথা হয় , বিয়োগ সরানো বাজে কথা । আরও সাধারণভাবে, কোনও প্রদত্ত প্রত্যাহারের পরে কোনটি এবং কতটি বলগুলি কলসে রয়েছে তা বর্ণনা করার প্রক্রিয়াটি প্রক্রিয়ার ক্ষেত্রে বলা যেতে পারে । এন এক্স = ( এক্স $X_n$$n$এক্স 1 , … , এক্স এম এম ≥ 0 $X = (X_1, X_2, \dots)$$X_1, \dots, X_m$$m \geq 0$$m${ এক্স 1 , ... , এক্স মি } $\{1, 2, \dots, 10m\}$$\{X_1, \dots, X_m\}$$X$

রসের পরীক্ষার সাথে সামঞ্জস্য করার জন্য আমাদের প্রতিটি জন্য of এর বন্টন uniform এ একরকম। আমরা বিতরণের প্রয়োজন উপর অভিন্ন হতে । এই সীমাবদ্ধ-মাত্রিক বিতরণ সহ একটি অসীম প্রক্রিয়া প্রকৃতপক্ষে রয়েছে তা প্রমাণ করার জন্য , আমরা আয়নস্কু-তুলসিয়া এক্সটেনশন উপপাদনের শর্তাদি পরীক্ষা করি। কোন পূর্ণসংখ্যা জন্য যাক এবং পরিমাপযোগ্য স্পেস সংজ্ঞায়িত , যেখানেএক্স এন ∣ এক্স এন - 1 , … , এক্স 1 { 1 , 2 , … , 10 এন } ∖ এক্স 1 , … , এক্স এন - 1 এক্স 1 { 1 , … , 10 } এক্স = ( এক্স 1 , এক্স 2 , … ) n আমি n = { $n\geq 2$$X_n \mid X_{n-1}, \dots, X_{1}$$\{1, 2, \dots, 10n\} \setminus {X_1, \dots, X_{n-1}}$$X_1$$\{1,\dots, 10\}$$X = (X_1, X_2, \dots)$$n$( Ξ n , এক্স এন ) = ( আমি 10 এন , 2 $\mathcal I_n = \{1, 2, \dots, n\}$2$(\Xi_n, \mathcal X_n) = (\mathcal I_{10n}, 2^{\mathcal I_{10n}})$$2^B$ সেট এর পাওয়ার সেটটি বোঝায় । পরিমাপ নির্ধারণ উপর এক যে ভর রাখে হতে সব উপাদানে । যে কোনও , এবং সংজ্ঞায়িত করুন সম্ভাব্যতা কার্নেল যা এবং সমস্ত পয়েন্টগুলিতে ভর শূন্যের সমান ভর রাখে এ পূর্ণসংখ্যাκ 1 ( Ξ 1 , এক্স 1 ) 1 $B$$\kappa_1$$(\Xi_1, \mathcal X_1)$Ξ 1 এন ≥ 2 ( x এর 1 , ... , এক্স এন - 1 ) ∈ Ξ 1 × $1/10$$\Xi_1$$n \geq 2$ κ n ( এক্স 1 , … , এক্স এন - 1 , ⋅ ) Ξ n ∖ { এক্স 1 , … , এক্স এন - 1 } এক্স আই ∈ Ξ এন , i = 1 , … , এন - 1 এক্স ( Ω , এফ , পি $(x_1, \dots, x_{n-1}) \in \Xi_1 \times \dots \times \Xi_{n-1}$$\kappa_n(x_1, \dots, x_{n-1}, \cdot)$$\Xi_n \setminus \{x_1, \dots, x_{n-1}\}$$x_i \in \Xi_n, i = 1, \dots, n - 1$। নির্মাণ করে, সম্ভাব্য কার্নেলগুলি রস দ্বারা নির্দিষ্ট করা অভিন্ন অপসারণ সম্ভাবনার সাথে একমত হয়। সুতরাং, অসীম প্রক্রিয়া এবং সম্ভাবনার স্থান , এর অস্তিত্ব যা উপপাদ্য দ্বারা প্রদত্ত হয়, আমাদেরকে রসের যুক্তিটি আনুষ্ঠানিকভাবে চালিত করার একটি উপায় দেয়।$X$$(\Omega, \mathcal F, P)$

যাক ফলাফল সেট বোঝাতে যেমন যে বল প্রত্যাহারের পর ভস্মাধার হয় । আমাদের সম্ভাব্যতার সূত্রাবলি প্রক্রিয়া নিরিখে এর মানে হল যে, সব এবং যেমন যে আমরা সংজ্ঞায়িত , অর্থাত্ বল কোন সরানো হয়নি এবং সহ স্বপক্ষে ম। জন্য আমরা স্পষ্টতই বর্ণনা করতে পারেন বল যেহেতু এখনো ঘুরে যোগ করা হয়নি। প্রতিটি এবং , সেট i n X i n i $E_{in}$$i$$n$$X$$i$$n$E i n = ∩ n j = 1 { ω : X j ( ω ) ≠ $i \leq 10n$i n i > 10 n E i n = $E_{in} = \cap_{j = 1}^n\{\omega: X_j(\omega) \neq i\}$$i$$n$$i > 10n$$E_{in} = \emptyset$j i { ω : X j ( ω ) ≠ i } X j E $i$$j$$i$$\{\omega: X_j(\omega) \neq i\}$ পরিমাপযোগ্য কারণ একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল (পরিমাপযোগ্য)। সুতরাং, meas পরিমাপযোগ্য সেটগুলির সীমাবদ্ধ স্বীকৃতি হিসাবে পরিমাপযোগ্য।$X_j$$E_{in}$

আমরা ফলাফলের সেটে আগ্রহী যে 12 pm এ বার্নে কোনও বল নেই যে, ফলাফলের সেট যেমন প্রতিটি পূর্ণসংখ্যার জন্য , বল 12 টায় কলকে নেই প্রতিটি , ফলাফলের সেট করা উচিত ( ) যেমন যে বলটি আছি 12 টায় নীচে আমরা আনুষ্ঠানিকভাবে আমাদের using ব্যবহার করে তৈরি করতে পারি । যেটি বার্মে 12 টায় যুক্ত হওয়ার পরে প্রতি প্রত্যাহার করার পরে এটি , সুতরাংi i E $i = 1, 2\dots$$i$$i$$E_i$i E i E i n i E i = ∩ n : i ≤ 10 n E i n E i$\omega \in \Omega$$i$$E_i$$E_{in}$$i$$E_i = \cap_{n:i\leq 10n}E_{in}$। ফলাফলগুলির সেট এখন প্রতিটি জন্য পরিমাপযোগ্য সেটগুলির গণনাযোগ্য ছেদ হিসাবে পরিমাপযোগ্য ।$E_i$$i$

ফলাফল, যার জন্য আছে অন্তত একটি এ 12 PM তে পোস্ট ভস্মাধার বল ঐ যার জন্য অন্তত এক ঘটতে, অর্থাত্ । ফলাফল সেট পরিমাপযোগ্য সেট ধর্তব্য ইউনিয়ন হিসেবে পরিমাপযোগ্য নয়। এখন, হল এমন ঘটনা যা 12 টায় বার্নে কোনও বল নেই, যা পরিমাপযোগ্য সেটটির পরিপূরক হিসাবে প্রকৃতপক্ষে পরিমাপযোগ্য। আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে ফলাফলগুলির সমস্ত পছন্দসই সেট পরিমাপযোগ্য এবং রস যেমন করে তাদের সম্ভাবনাগুলি গণনা করতে আমরা এগিয়ে যেতে পারি। E = ∪ ∞ i = 1 E i E Ω ∖ $E_i$$E = \cup_{i = 1}^\infty E_i$$E$$\Omega \setminus E$

সম্ভাব্যতা$P(\Omega \setminus E)$

পরিবারের পরিবার হিসাবে হওয়ার পরে আমরা প্রথমে নোট , আমাদের পরিমাপের গণনার উপ-সংবেদনশীলতা রয়েছে যা$E_i, i = 1, 2, \dots$

পি( ই

$$P(E) \leq \sum_{i = 1}^\infty P(E_i) = \lim_{N\to \infty}\sum_{i = 1}^N P(E_i).$$ স্বরলিপিটি স্বাচ্ছন্দ্যের জন্য আসুন জন্য আসল সংখ্যা বোঝাতে পারি । স্পষ্টতই, দেখানোর জন্য এটি সমস্ত জন্য দেখানো যথেষ্ট । এটি প্রতি জন্য দেখানোর সমতুল্য , যা আমরা এখন করব। আই পি ( ই ) = 0 ∑ $P(E_i) = a_i$$i$$P(E) = 0$এনএকটিআমি=0$\sum_{i = 1}^N a_i = 0$$N$$a_i = 0$$i$

তা করার জন্য, মনে রাখবেন সব জন্য যে যেমন যে বল ভস্মাধার, অর্থাত্ যোগ করা হয়েছে , । এই এত কারন যদি বল পদে পদে ভস্মাধার হয় , এটা পদে পদে ভস্মাধার রয়েছেন । অন্য কথায়, সেট , সমস্ত জন্য হ্রাস অনুক্রম তৈরি করে যেমন । স্বরলিপি স্বাচ্ছন্দ্যের জন্য, । রস প্রমাণ করেছে যে কে হিসাবে উল্লেখ করেছে এবং এটি অন্য সমস্ত জন্যও প্রদর্শিত হতে পারেi 10 n ≥ i E i n ⊇ E i ( n + 1 ) i n + 1 n E i n n 10 n ≥ i $n$$i$$10n \geq i$$E_{in} \supseteq E_{i(n + 1)}$$i$$n + 1$$n$$E_{in}$$n$$10n \geq i$ a 1 n →0n / (9k+1)] লিমি এন → $a_{in} = P(E_{in})$$a_{1n} \to 0$i a i n = ∏ n k = i [ 9 $n \to \infty$$i$, যা আমি সত্য হিসাবে গ্রহণ করব। প্রমাণটিতে showing এবং all সমস্ত , প্রাথমিক তবে দৈর্ঘ্য গণনা আমি এখানে পুনরাবৃত্তি করব না। এই ফলাফলটি নিয়ে , এবং ঘটনাটি যে , 10 এর পরিবারের পরিবার প্রতিটি আইয়ের জন্য , ব্যবস্থাগুলির ধারাবাহিকতা দেয়$a_{in} = \prod_{k = i}^n[9k / (9k + 1)]$আমি E আমি এন 10 এন > $\lim_{n \to \infty}a_{in} = 0$$i$$E_{in}$$10n > i$

$$a_i = P(\cap_{n: 10n > i}E_{in}) = \lim_{n \to \infty} P(E_{in}) = \lim_{n \to \infty}a_{in} = 0.$$

আমরা দাবি করেছি যে , এবং এইভাবে সমাপ্ত । Qed।পি ( Ω ∖ ই ) = $P(E) = 0$$P(\Omega\setminus E) = 1$

---

কিছু সাধারণ ভুল বোঝাবুঝি:

1. একটি উত্তর এই বিষয়টির সাথে সম্পর্কিত যে (আমার ) । এটি অবশ্য সমাধানের বৈধতার উপর নির্ভর করে না ডান দিকে পরিমাণটি প্রদত্ত যুক্তি অনুসারে আগ্রহের এক নয়।$\lim_{N \to \infty}\sum_{i = 1}^N \lim_{n \to \infty }a_{in} \neq \lim_{N \to \infty}\sum_{i = 1}^N a_{iN}$
2. কিছুটা উদ্বেগ রয়েছে যে এই সীমাটি যোগফলের অভ্যন্তরে স্থানান্তরিত করা যায় না, বা অন্য কথায় অর্থের যোগফলের সাথে এই অর্থবিনিময় করা যায় না যে এটি এমন ঘটনা হতে পারে যে । পূর্ববর্তী মন্তব্যের মতো, এটি সমাধানের সাথে অপ্রাসঙ্গিক কারণ ডানদিকে পরিমাণ পরিমাণ আগ্রহের এক নয়।$\sum_{i = 1}^\infty \lim_{n \to \infty}a_{in} \neq \lim_{n \to \infty}\sum_{i = 1}^\infty a_{in}$

Comments

এই অকৃতজ্ঞ কাজটি করার জন্য @ কেভল কুডোস। লোকেরা সাধারণত যা বোঝে তা হ'ল, যদি আপনি কিছু ইভেন্টগুলি সংজ্ঞায়িত করেন এবং সেই ইভেন্টগুলিতে গণনাযোগ্য সেট অপারেশন করেন, ফলস্বরূপ সেটগুলি সেই ইভেন্টগুলির দ্বারা উত্পন্ন সিগমা বীজগণিতের মধ্যে পরিমাপযোগ্য। এটি হ'ল সিগমা বীজগণিতগুলি এমন কি করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে: আমাদের এমন একটি মহাবিশ্ব দিন যেখানে আমরা পরিমাপের বিষয়ে কোনও উদ্বেগ ছাড়াই গণনাযোগ্য সেট অপারেশন করতে পারি।

— পল

মন্তব্যগুলি বর্ধিত আলোচনার জন্য নয়; এই কথোপকথন চ্যাটে সরানো হয়েছে ।

— whuber

Answer 8

একদিকে আপনি এটির মতো ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করতে পারেন: "অসীম এলোমেলো ড্রয়ের সময় আমি 12 টায় কোনও কোনও বলের পোড়াতে ছিলাম তার সম্ভাবনা সম্পর্কে ভাবুন, অবশেষে এটি সরানো হবে Since যেহেতু এটি সমস্ত বলের জন্য ধারণ করে, কোনওটিই নয় তাদের শেষে থাকতে পারে "।

আমি এই যুক্তি বিশ্বাসযোগ্য মনে হয় না। যদি এই যুক্তিটি কাজ করে, তবে নিম্নলিখিত যুক্তিগুলি কার্য করে: প্রতি বছর কিছু লোক জন্মগ্রহণ করে (মোট জনসংখ্যার একটি ধ্রুবক ভগ্নাংশ বলে) এবং কিছু লোক মারা যায় (মনে করুন একটি ধ্রুবক ভগ্নাংশ)। তারপরে, যেহেতু সীমাতে কোনও নির্দিষ্ট ব্যক্তি প্রায় মৃত, তাই মানব জাতি অবশ্যই বিলুপ্ত হতে হবে! এখন, মানবজাতি অন্যান্য কারণে বিলুপ্ত হতে পারে, তবে এই যুক্তিটি আবর্জনা।

বলগুলি যখন নাম্বার করা হয় তখন এই সমস্যার সমাধান করার কোনও সমাধান হয় না এবং বলগুলি বেনামে রাখার সময় একেবারে আলাদা উত্তর পাওয়া যায়। প্রতিসাম্য দ্বারা, ইচ্ছামত লেবেলগুলি সমাধানটিকে প্রভাবিত করবে না। জেনেস এই যুক্তিটিকে উদাসীনতার নীতি বলেছেন , যা আমি মেনে নিই।

অন্য কথায়, যদি কেউ আপনাকে বলে যে তারা দশটি বলটিকে কলসে ফেলে এবং একটি বারবার সরিয়ে দেয়, এবং সেই ভল সীমাতে কতটা পরিপূর্ণ, আপনার উত্তর কি "বলগুলি সংখ্যাযুক্ত কিনা তার উপর নির্ভর করে"? অবশ্যই না. এই কলসের বিষয়বস্তুগুলি এই সমস্যার মতো কলুষের মতোই বিভক্ত হয়।

অতএব, আমি মনে করি যে সমাধানটি কীভাবে আমরা সমস্যাটিকে আনুষ্ঠানিকভাবে প্রবর্তন করি in সেট-তাত্ত্বিক সীমাটির স্বাভাবিক সংজ্ঞা থেকে আমাদের রয়েছে

লিম সুপার এন → ∞ এসএন= ⋂ n ≥ 1 ⋃ জে ≥ n এস

$$\liminf_{n \to \infty} S_n = \bigcup_{n \ge 1} \bigcap_{j \geq n} S_j.$$ $$\limsup_{n \to \infty} S_n = \bigcap_{n \ge 1} \bigcup_{j \geq n} S_j$$

সেটটির কার্ডিনালিটির সীমা হতে দিন

$$k\triangleq \lim_{n\to\infty}|S_n|$$

এবং সেটটির কার্ডিনালিটি লিমিনেফ-ফিমিট হতে হবে$\liminf$

$$l \triangleq \left|\liminf_{n\to\infty} (S_n)\right|.$$

আমি প্রস্তাব করি যে সেট-তাত্ত্বিক সীমাটি পুনরায় সংজ্ঞায়িত করা উচিত যাতে:

$$\begin{align} \lim_{n\to\infty} S_n &\triangleq \begin{cases} \liminf_{n\to\infty} (S_n) &\text{if } \liminf_{n\to\infty} (S_n) = \limsup_{n\to\infty} (S_n), k \text{ exists, and }k=l \\ \alpha_k &\text{if }\liminf_{n\to\infty} (S_n) = \limsup_{n\to\infty} (S_n), k\text{ exists, and }k \ne l \\ \text{undefined} &\text{otherwise.} \end{cases} \end{align}$$

এই বিশেষ "বেনামে সেট" কে অসীমে কী ঘটে তা বর্ণনা করে। সংখ্যার সীমিত আচরণের জন্য যেমন দাঁড়ায়, তেমনি সেটগুলির সীমিত আচরণের পক্ষে দাঁড়ায়। যথা, আমাদের কাছে , এবং । এই আনুষ্ঠানিকতার সুবিধা হ'ল এটি আমাদের উদাসীনতার নীতির সাথে কার্ডিনালিটির ধারাবাহিকতা এবং ধারাবাহিকতা দেয় । ∞ α আমি $\alpha_k$$\infty$$\alpha$| α কে | = $i \notin \alpha_k \forall i$$|\alpha_k| = k$

সমস্যাটির জন্য, আমাদের কাছে the এটি সেট। এবং সুতরাং, উপাদানগুলি অনন্ত সময়ে "একটি ঝাঁকুনিতে পড়ে না", যা কেবল কোনও মানুষই অমর নয় বলে মানবতার পক্ষে বিলুপ্ত হওয়া বোধ করার চেয়ে বেশি বোঝায় না।$S_n = \{n+1, \dotsc, 10n\}$

$$\lim_{n\to\infty} S_n = \alpha_{\infty}.$$

একইভাবে, ধরুন আমরা সমস্যাটি সংশোধন করি যাতে প্রতিটি ধাপে একটি বল যুক্ত হয় এবং সর্বনিম্ন-নম্বরযুক্ত বলটি সরানো হয়। তারপরে, কত বল সীমাতে কলস হয়? বেনামে সেটগুলি স্বজ্ঞাত উত্তর দেয়:

$$\lim_{n\to\infty}\{n\} = \alpha_1.$$

আমি স্বীকৃত যে গণিতবিদরা এই প্যারাডক্সের রেজোলিউশনগুলির সাথে একমত হতে পারেন না, তবে আমার কাছে এটি সবচেয়ে স্বজ্ঞাত রেজোলিউশন।

Comments

গণিতটি ঠিক করা দরকার এমন যে কেউ যুক্তি দেখিয়েছেন তার অবশ্যই একটি দৃ conv়প্রত্যয়ী বিক্ষোভ প্রদর্শন করা উচিত । অন্যথায়, ডিফল্ট অবস্থানটি হ'ল কারও অন্তর্দৃষ্টি সংশোধনের দাবি রাখে। যদি তা না হয় তবে আমরা গত 2500 বছর ধরে খুব কমই জেনো ছাড়িয়ে এগিয়ে যাওয়ার দাবি করতে পারি।

— whuber

আপনি যদি নিয়মিত সম্ভাবনার অক্ষগুলি স্বীকার করেন এবং আপনি যদি আরও মেনে নেন যে কোনও নির্দিষ্ট বলের ভলতে থাকার সম্ভাবনা শূন্য, তবে বুলের অসমতা দ্বারা আপনি মেনে নিতে বাধ্য হবেন যে বলের কোনওটিই কলসের মধ্যে নেই।

— কার্লোস সিনেলি

মানব যুক্তি আপনার যুক্তি দ্বারা বিলুপ্ত হওয়ার জন্য ডুবেনি কারণ আমরা এমন এক পর্যায়ে পৌঁছাতে পারব না যেখানে অসীম বহু জন্ম / মৃত্যু ঘটেছে - সীমা গ্রহণ করার দরকার নেই। এই বিষয়টি যে 12 টা 12 মিনিটে, অসীম অনেক কিছুই ঘটেছিল, এটি সমস্যার মূল উত্স।

— বেন মিলউড

-1। এই প্যারাডক্সটির পরিবর্তনটি বিবেচনা করুন যখন বল #n এন-তম ধাপে সরানো হয় (এলোমেলো বলের পরিবর্তে)। এটি স্পষ্ট যে শূন্য বল মাঝরাতে ছেড়ে যাবে (কারণ প্রতিটি বলটি একই ধাপে সরানো হবে) তবে আমরা এখনও 10 টি বল যোগ করছি এবং প্রতিটি পদক্ষেপে মাত্র 1 বল সরিয়ে দিচ্ছি, তাই আমি বলব যে এটি অতটা স্বজ্ঞাত। তবে এই সংশোধনটির সম্ভাবনা বা পরিসংখ্যানের কোনও সম্পর্ক নেই do সুতরাং এখানে কোনও "আধুনিক পরিসংখ্যানের ব্যর্থতা" হতে পারে না।

— অ্যামিবা

@ নীলজি এই পয়েন্টটি ম্যাথওভারফ্লো পোস্টে এবং আমোবার জবাবে স্পষ্টভাবে তৈরি করা হয়েছিল। কার্ডিনালিটি কোনও অবিচ্ছিন্ন ক্রিয়াকলাপ নয়, সুতরাং কেবলমাত্র মানেই নয় । । ক্যালকুলাস ভাঙা হয়নি, বরং আপনি সীমাবদ্ধতার নিয়ম আবিষ্কার করেছেন যা বিদ্যমান নেই। | এস আই | → $S_i\to\emptyset$$|S_i|\to 0$

— মারিও কার্নেইরো

Answer 9

সমস্যাটি হয় দুর্বৃত্ত বা প্রথম-আদেশের যুক্তিতে নয়।

মূল কারণ: "শেষ" পদক্ষেপটি কার্যকর করা একটি বলের উপর একটি অসীম সংখ্যা লিখবে, যার ফলে সেই পদক্ষেপটি কার্যকর করতে অসীম সময় নেয়।

অসীম পদক্ষেপ সহ একটি অসীম প্রক্রিয়া সম্পাদন করার ক্ষমতাটি নিম্নোক্ত ক্রম এইচ (উপপাদ্য এক্স এর জন্য) প্রয়োগ করে সমস্ত প্রথম-ক্রমের যুক্তি সমস্যাগুলি ( গডেল তাই মিথ্যা) সমাধান করার ক্ষমতা বোঝায় :

Z = asymptotic_coroutine(
  FOR N = 1...∞
    FOR P = 1...N
      Convert number P to string S by characters.
      IF S is a proof for theorem X
      THEN
        OUTPUT "yes" and HALT
) + asymptotic_coroutine(
  FOR N = 1...∞
    FOR P = 1...N
      Convert number P to string S by characters.
      IF S is a proof for theorem ¬X
      THEN
        OUTPUT "no" and HALT
)
IF Z = "" 
THEN Z = "independent"
IF Z = "yesno" ∨ Z = "noyes"
THEN Z = "paradox"
OUTPUT Z

যেখানে অসীম পদক্ষেপটি আউটপুটকে ছড়িয়ে দিচ্ছে

অ্যাসিপটোটিক_কৌরোটিনের ভিতরে থাকা প্রোগ্রামটি কেবলমাত্র একটি উপপাদ্য যা প্রমাণ করে (বা অস্বীকার করে) এক্স এর বিস্তৃত অনুসন্ধান যা পি। এস তে "এএ", "আব", "এসি", ... "আ", ... এর ফলাফল রূপান্তরিত করে ... যেখানে উপপাদ্যে প্রদর্শিত হতে পারে এমন প্রতিটি প্রতীক তৈরি করা হয়েছে। ফলস্বরূপ দৈর্ঘ্য লগ _{অক্ষর} N এর সমস্ত উপপাদ তৈরি করার ফলস্বরূপ । যেহেতু এন বাইরের লুপে সীমা ছাড়াই বৃদ্ধি পায় এটি শেষ পর্যন্ত সমস্ত উপপাদ্য তৈরি করে।

যে দিকটি মিথ্যা তা কখনই শেষ হবে না তবে আমাদের সে বিষয়ে যত্ন নেওয়ার দরকার নেই কারণ আমাদের অসীম পদক্ষেপগুলি কার্যকর করার অনুমতি দেওয়া হয়েছে। প্রকৃতপক্ষে আমরা স্বাধীনতা সনাক্ত করতে এটি করতে সক্ষম হওয়ার উপর নির্ভর করি কারণ উভয় পক্ষই কখনই শেষ করতে পারে না। একটা জিনিস বাদে। কার্যকর করার গতিতে অ্যাসিম্পটোটিক বৃদ্ধির মাধ্যমে আমরা একটি সীমিত সময়ে কার্যকর করার জন্য অসীম সংখ্যক পদক্ষেপের অনুমতি দিয়েছি। এটি অবাক করা অংশ। অ্যাসিপটোটিক_কোআরোটাইন যেটি কখনই শেষ হয় না এবং আউটপুট কখনই দেয় না অ্যাসিপটোটিক সময়ের পরে "সমাপ্ত" * হয়েছে এবং এখনও কোনও আউটপুট তৈরি করে নি।

* যদি আমরা ফর এন = 1 এর পরে একটি আউটপুট রাখি ... reached এটি পৌঁছাতে পারে না তবে আমরা এটি করতে যাচ্ছি না।

গডেলের অসম্পূর্ণতা উপপাদ্যটির শক্তিশালী রূপটি বলা যেতে পারে "প্রতিটি প্রথম-আদেশের যুক্তি সিস্টেমের জন্য F একটি বিবৃতি আছে যা _F এ সত্য তবে এটি F তে সত্য প্রমাণিত হতে পারে না।" তবে প্রমাণ পদ্ধতি এইচ এফ (এইচ) এর সমস্ত সত্য-সত্য বিবৃতি প্রমাণ করতে ব্যর্থ হতে পারে না।

দ্বিধা: öGödel ∨ ¬ (অসীম পদক্ষেপ অনুমোদিত)
সুতরাং
: দ্বিধা: ¬জিডেল ¬ ¬ (315502 প্রথম অর্ডার যুক্তিতে ভালভাবে গঠিত)

Comments

ভাল পয়েন্ট (+1)। নোট করুন যে অসীম-সময় ট্যুরিং মেশিনে গবেষণা রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ দেখুন arxiv.org/abs/math/0212047v1 এবং mathoverflow.net/a/22038 । এটি অবশ্যই প্রথম অর্ডার নয়।

— অ্যামিবা

জোশুয়া, আপনার উত্তরটি জ্ঞান ধরেছে যে এখানকার বেশিরভাগ লোকের সাথে পরিচিত নয় তাই তারা এটি বিচার করতে পারবেন না। আপনি যদি আরও বিস্তারিত বলতে পারেন তবে দুর্দান্ত great

— কার্লোস সিনেলি

যে কোনও সীমাবদ্ধ সংখ্যাটির জন্য দৈর্ঘ্য সীমাবদ্ধ। যে কোনও অসীম (ওরফে ট্রান্সফাইন্ট) নাম্বারটির জন্য এটির ক্যান্টর নরমাল ফর্মে লেখা যেতে পারে, এটি দৈর্ঘ্যের সীমাবদ্ধ। এটিকে "বেস ইনফিনিটি" বলা যেতে পারে। সুতরাং অঙ্কগুলি লেখার সীমাবদ্ধতা নয়।

— ক্রেগ হিক্স

@ ক্রেইগহিক্স: আপনি যখন মধ্যবর্তী সমস্ত সংখ্যার মধ্যে লিখতে হত তখন এটি কার্যকর হয় না। ইঙ্গিত: লুপটি যখন থামিয়ে দেয় 10 বেজ 10 থেকে পূর্ণ আকার থেকে ক্যান্টরের নরমাল ফর্ম আউটপুটে স্যুইচ করে তখন লুপটিতে থামার বাধা কী।

— জোশুয়া 0

এটি কেবলমাত্র এমন কোনও মেশিনের প্রতিবন্ধকতা যা এর প্রতীক টেবিলের মধ্যে নয় । সসীম সময়ে বিশ্লেষণের জন্য রস দ্বারা বর্ণিত অসীম +10 -1 প্রক্রিয়াটি সম্পূর্ণ প্রক্রিয়াটি অনুকরণ করার প্রয়োজন হয় না। একটি স্মার্ট প্রোগ্রাম ম্যাথমেটিকার সাথে সংযুক্ত হবে এবং এটি আরও দ্রুত সম্পন্ন করবে। $\infty$

— ক্রেগ হিক্স

Answer 10

এক্সকে সরানো হয়েছে এমন বলের সংখ্যা হতে দাও এবং y টি বলের বাকী সংখ্যা হোক। প্রতিটি চক্রের পরে y = 9x। এক্স> 0, y> 0 হিসাবে। বার্নে 12PM তে অসীম অনেকগুলি বল থাকবে।

সম্ভাব্যতার উপর ভিত্তি করে সমাধানগুলি অসুবিধার দিকে পরিচালিত করার কারণটি হ'ল অসীম সিরিজ থেকে সম্ভাব্যতা জটিল। ইটি Jaynes সম্ভাব্যতা কয়েক বিভিন্ন আপাত কূটাভাস লিখেছে, এই এক মত, তাঁর পুস্তক সম্ভাবনা তত্ত্ব: বিজ্ঞানের লজিক । আমার কাছে আমার অনুলিপি নেই, তবে বইটির প্রথম অংশটি ল্যারি ব্রেথার্স্ট থেকে অনলাইনে এখানে পাওয়া যায় । নিম্নলিখিত উদ্ধৃতিটি উপস্থাপিকা থেকে এসেছে।

তবুও যখন সমস্ত বলা হয় এবং হয়ে যায় তবে আমরা আমাদের নিজের আশ্চর্যরূপে খুঁজে পাই, aিলে ;ালা দার্শনিক চুক্তির চেয়ে সামান্য কিছু বাকি আছে; অনেক প্রযুক্তিগত বিষয়ে আমরা ডি ফিনেটির সাথে দৃti়ভাবে একমত নই। আমাদের কাছে প্রতীয়মান হয় যে অসীম সেটগুলির চিকিত্সার তার উপায়টি একটি পান্ডোরার অকেজো এবং অপ্রয়োজনীয় প্যারাডক্সের বাক্স খুলেছে; অবিচ্ছিন্নতা এবং সীমাবদ্ধ সংযোজন হ'ল উদাহরণ 15 examples

অসীম সেট প্যারাডোক্সিং একটি রোগব্যাধি সংক্রমণে পরিণত হয়েছে যা আজ এমনভাবে ছড়িয়ে পড়ছে যা সম্ভাবনা তত্ত্বের খুব জীবনকে হুমকির মধ্যে ফেলেছে এবং অবিলম্বে অস্ত্রোপচার অপসারণের প্রয়োজন। আমাদের সিস্টেমে, এই সার্জারির পরে, এই জাতীয় প্যারাডক্সগুলি স্বয়ংক্রিয়ভাবে এড়ানো যায়; তারা আমাদের বেসিক নিয়মগুলির সঠিক প্রয়োগ থেকে উত্থাপিত হতে পারে না, কারণ এই বিধিগুলি সীমাবদ্ধ সেটগুলির সুনির্দিষ্ট সংজ্ঞা এবং সুনির্দিষ্ট আচরণের সীমা হিসাবে উত্থিত সীমিত সেট এবং অসীম সেটগুলিকেই স্বীকার করে। এই প্যারাডোক্সিংটি (1) এর বৈশিষ্ট্যগুলি সংজ্ঞায়িত করার জন্য কোনও সীমাবদ্ধ প্রক্রিয়া নির্দিষ্ট না করে সরাসরি অসীম সেটে ঝাঁপিয়ে পড়েছিল; এবং তারপরে (২) যাদের উত্তরগুলি সীমাটি কীভাবে পৌঁছেছিল তার উপর নির্ভর করে এমন প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা।

উদাহরণস্বরূপ, প্রশ্ন: "পূর্ণসংখ্যার সমান হওয়ার সম্ভাবনা কী?" আমাদের দয়া করে যে কোনও উত্তর দিতে পারে (0, 1), সীমাবদ্ধকরণ প্রক্রিয়াটি "সমস্ত সংখ্যার সেট" সংজ্ঞায়িত করার উপর নির্ভর করে (ঠিক যেমন একটি শর্তসাপেক্ষে আমরা যে কোনও শর্তাবলী সাজিয়ে থাকি তার উপর নির্ভর করে আমরা দয়া করে যে কোনও সংখ্যায় রূপান্তর করতে সিরিজটি তৈরি করতে পারি।

আমাদের দৃষ্টিতে, অসীম সেটটিকে কোনও "অস্তিত্ব" এবং গাণিতিক প্রোপ্রেটিস - কমপক্ষে, সম্ভাবনার তত্ত্বে - রাখার কথা বলা যায় না যতক্ষণ না আমরা সীমাবদ্ধ প্রক্রিয়াটি সীমাবদ্ধ সেট থেকে উত্পন্ন করার জন্য নির্দিষ্ট করে রেখেছি। অন্য কথায়, আমরা ক্যান্টর, হিলবার্ট এবং বাউরবাকির পরিবর্তে গাউস, ক্রোনেকার এবং পইনকার-এর ব্যানারে যাত্রা করি। আমরা আশা করি যে পাঠকরা এতে হতবাক হয়েছিলেন তারা গণিতবিদ মরিস ক্লাইন (১৯৮০) কর্তৃক বোর্বাাকিজমের অভিযুক্তি অধ্যয়ন করবেন এবং তারপরে আমাদের পদ্ধতির সুবিধাগুলি দেখার জন্য দীর্ঘ সময় ধরে আমাদের সহ্য করবেন। উদাহরণগুলি প্রায় প্রতিটি অধ্যায়ে উপস্থিত হয়।

@ ইউনুমারিসের উত্তরের সীমাবদ্ধতার ব্যবহার (+1) সম্ভাব্যতাগুলিতে অসম্পূর্ণতার কৌশল সম্পর্কে একটি উপায় সরবরাহ করে।

Comments

প্রথম অনুচ্ছেদে সম্ভাব্যতার কোন আইনগুলি আপনার উপসংহারকে ন্যায্যতা জানায় দয়া করে আমাদের তা দেখান । তা ছাড়া, আপনি কেবল একটি ভিত্তিহীন দৃser়তা করছেন।

— whuber

সমস্যাটি সম্ভাবনার আইনগুলি থেকে নয়, তবে যখন লোকেরা সম্ভাবনার আইনগুলি সঠিকভাবে স্বীকৃতি জানাতে বা ব্যবহার করতে ব্যর্থ হয়। অন্যান্য পরিস্থিতিতে তর্ক করার জন্য অন্যটি যে অজানা এবং কৌশলগুলি ব্যবহার করে তা অস্বীকার করা কোনও প্যারাডক্সের সমাধান নয়।

— whuber

প্রশ্নের "এলোমেলোভাবে" শব্দটি সম্ভাব্যতার বিবেচনার দাবি করে । অন্যথায়, আপনি "এলোমেলো" মানে কী বোঝেন ??

— হোয়বার

আপনার উত্তরগুলি বিন্দু মিস করে। আমি শুধু আপনাকে জিজ্ঞাসা করি যে আপনি সম্ভবত "এলোমেলো" বলতে চাইলে এলোমেলোভাবে অভিন্নভাবে (স্পষ্টতই উদ্দেশ্যপ্রণোদিত) বলতে কী বোঝাতে পারেন এবং নির্বিশেষে আপনি যদি এলোমেলোভাবে কিছু তত্ত্ব না দিয়ে সুস্পষ্টভাবে বর্ণিত এলোমেলো প্রক্রিয়া সম্পর্কে যুক্তির প্রস্তাব দেন কীভাবে?

— whuber

মাইকেল, আপনার পোস্টে আমি এখনও কোনও বৈধ সম্ভাব্য যুক্তি দেখতে পাইনি।

— whuber

Answer 11

এই বিবাদী অন্তর্দৃষ্টি সমাধানের জন্য আমরা তাদেরকে দিতে পারি সবচেয়ে ভাল ব্যাখ্যা কী?

এখানে সর্বোত্তম উত্তরটি দেওয়া হয়েছে এবং এটির সম্ভাবনার সাথে খুব কম সম্পর্ক রয়েছে। সমস্ত বলের নম্বর রয়েছে, আসুন তাদের জন্মের নম্বর বলুন। জন্ম সংখ্যাগুলি বি 1, বি 2, বি 3 থেকে শুরু হয় ... এবং অনন্তে চলে যায়, কারণ আমরা সত্যই কখনও থামি না। আমরা সকাল 12:00 টার কাছাকাছি যাই তবে বলগুলি যোগ এবং মুছে ফেলতে থাকি, এ কারণেই কোনও বলের চূড়ান্ত সংখ্যা নেই। এটি একটি খুব গুরুত্বপূর্ণ বিবেচনা, বিটিডব্লিউ।

আমরা বলগুলিকে 10 বল ব্যাচে একটি বাক্সে রাখি, যেমন ব্যাচ # 7: বি 71, বি 72, ..., বি 80। আসুন এক মিনিটের জন্য এগুলি সম্পর্কে ভুলে যাই, এবং বাক্সগুলি যে বাক্স থেকে সরানো হয় সেগুলিতে ফোকাস করি। এরা এলোমেলোভাবে আসে । পরে আমি এলোমেলো হওয়া কেন গুরুত্বপূর্ণ তা আমি ব্যাখ্যা করব, তবে এখনকার অর্থ এর অর্থ হ'ল বি 1 থেকে বি 10 কে পর্যন্ত ব্রিট নাম্বার সহ যে কোনও বল এখনও ধাপে কেতে থাকা বাক্সে রয়েছে তা আঁকতে পারে। আমরা যে বলগুলি সরিয়ে দিয়েছি সেগুলি অনুসারে আমরা সরিয়ে আনতে যাচ্ছি, আসুন তাদের মৃত্যুর নম্বরগুলি কল করুন: ডি 1, ডি 2, ডি 3 ... ডি কে।

সকাল 12:00 নাগাদ আমরা একটি বাক্সে সীমাহীন অসংখ্য বল putুকিয়ে দিয়েছি এবং এটি থেকে সরাতে আমরা কখনও বলের বাইরে দৌড়ালাম না। কেন? কারণ আমরা প্রথমে 10 টি বল রেখেছি, তারপরে কেবল একটিটি সরান। সুতরাং, সরাতে একটি বল সবসময় আছে। এর অর্থ হ'ল আমরাও সকাল 12:00 নাগাদ অসীম সংখ্যক বল সরিয়ে নিয়েছি।

এর অর্থ হ'ল প্রতিটি সরানো বল 1 থেকে অনন্তের দিকে সূচিত হয়, অর্থাৎ আমরা প্রতিটি অপসারণ বলকে একটি বলের সাথে জোড়া দিতে পারি যা বাক্সে রাখা হয়েছিল: বি 1 থেকে ডি 1, বি 2 থেকে ডি 2 ইত্যাদি। এর অর্থ আমরা যতগুলি বল সরিয়েছি আমরা রেখেছি, কারণ প্রতিটি জন্মের সংখ্যা প্রতিটি মৃত্যুর সংখ্যার সাথে যুক্ত করা হয়েছিল।

এখন সেটাই ছিল সমাধান। কেন এটি আমাদের স্বজ্ঞাতাকে পরাভূত করে? এটি প্রাথমিক, ডাঃ ওয়াটসন। কারণটি আমরা অবশ্যই জানি যে সমস্ত কে এটি ধারণ করে: কে এই কারণেই কে পদক্ষেপ নেওয়ার পরে, আমাদের সমস্ত বল বাক্স থেকে সরাতে সক্ষম হওয়া উচিত নয়, কারণ আমরা 10 কে বল রেখেছিলাম এবং কেবলমাত্র কে কে সরিয়ে রেখেছি। রাইট?

$$K<10K$$

একটু সমস্যা আছে। বিষয়টি হ'ল যখন , এটি আর সত্য হয় না: সে কারণেই অন্তর্দৃষ্টিটি ভেঙে যায়।10 × ∞ ≮ $K=\infty$

$$10\times\infty\nless\infty$$

এখন, যদি বলগুলি এলোমেলোভাবে সরানো না হয়। @ অ্যামিবার ক্যানোনিকাল উত্তর হিসাবে দুটি জিনিস ঘটতে পারে। প্রথমে ধরা যাক আমরা 10 টি বল রেখেছিলাম এবং ততক্ষণে শেষটি সরিয়ে ফেলি। এটি মনে হচ্ছে আমরা কেবল নয়টি বল রেখেছি This এটি আমাদের অন্তর্দৃষ্টির সাথে মিলবে এবং সকাল 12:00 এ অসীম সংখ্যক বল থাকবে। কিভাবে? যেহেতু আমরা বলগুলি এলোমেলোভাবে মুছে না, আমরা সেই অ্যালগরিদম অনুসরণ করছিলাম যেখানে অপসারণের সময় জন্মের সংখ্যাগুলি হিসাবে মৃত্যুর সংখ্যায় যুক্ত করা হয়েছিল । সুতরাং, আমরা যে একটিতে আমরা প্রতিটি সরানো বল জোড়া দিয়েছি: , এর অর্থ এক টন বল কখনই বি 1, বি 2, তৈরি হয় নি ,. .., বি 9, বি 11, ... ইত্যাদিবি 10 → ডি 1 , বি 20 → ডি 2 , বি 30 → ডি 3 , $B10K=DK$ $B10\to D1,B20\to D2,B30\to D3,\dots$

দ্বিতীয় জিনিসটি যা অযৌক্তিকভাবে বল অপসারণের সাথে ঘটতে পারে তা অপসারণের সময় জুড়ি দেওয়ার সাথে সম্পর্কিত: আমরা বিকে = ডি কে সংযুক্ত করি। আমরা প্রতি ধাপে কে-কে দিয়ে একটি বল সরিয়ে এটি করতে পারি, যা নিশ্চিত করে যে বিকে ডিজিকে যুক্ত করা হয়েছে। এইভাবে প্রতিটি মুছে ফেলা বলটি প্রতিটি বলের সাথে জুড়ে দেওয়া হয় যা আমরা রেখেছিলাম, যেমন সমাপ্তি ফলাফলটি সরানো বলগুলির এলোমেলো ড্রয়ের মতো। স্পষ্টতই, এর অর্থ হল যে সকাল 12:00 টার পরে বাক্সে কোনও বল বাকি নেই।

আমি কেবল দেখিয়েছি যে সমস্যাটির প্রতি সম্ভাব্যতার সাথে খুব কম সম্পর্ক রয়েছে। এটি অসীম গণনাযোগ্য (?) সেটগুলির ক্ষমতাগুলির সাথে সম্পর্কিত everything একমাত্র আসল সমস্যা যা আমি আলোচনা এড়িয়ে চলা তা হ'ল সেটগুলি সত্যই গণনাযোগ্য কিনা। আপনি যখন দেখেন যে আপনি যখন সকাল 12:00 টার কাছাকাছি আসেন তখন আপনার বল serোকানোর হারগুলি খুব দ্রুত বাড়ছে, এটিকে হালকাভাবে রাখার জন্য। সুতরাং, আমরা বাক্সে যে বলটি রেখেছিলাম তা আসলে গণনাযোগ্য কিনা তা নির্ধারণ করা এতটা তুচ্ছ নয়।

unraveling

এখন, আমি এই প্যারাডক্সের এই মূল সমাধানটি উন্মোচন করতে যাচ্ছি, এবং আমাদের স্বজ্ঞাতে ফিরে আসব।

কীভাবে সম্ভব হয় যে আমরা 10 টি বল রেখেছি, একটি সরিয়ে ফেলতে পারি এবং 12 ঘন্টা পরে সমস্ত বল থেকে রান আউট হয়ে যায়? সত্যিই কি ঘটছে তা এখানে। 12 ঘন্টা অ্যাক্সেসযোগ্য ।

সমস্যা হিসাবে সংস্কার করা যাক। আমরা আর সময়ের ব্যবধান অর্ধেক রাখি না। আমরা প্রতি মিনিটে বল রাখি এবং সরিয়ে ফেলি। এটি কি আসল সমস্যার মতো নয়? হ্যা এবং না.

হ্যাঁ, কারণ উপরে আমার প্রকাশের কোথাও আমি স্পষ্টভাবে সময়ের সাথে উল্লেখ করেছি তবে একেবারে শেষে। আমি পদক্ষেপগুলি গণনা করছিলাম কে। সুতরাং, আমরা পদক্ষেপগুলি এবং মৃত বলগুলি কে দ্বারা গণনা করতে পারি।

না, কারণ এখন আমরা কখনই থামব না । সময় শেষ না হওয়া পর্যন্ত আমরা বলগুলি যোগ এবং সরিয়ে রাখব, যা কখনই আসে না। মূল সমস্যাটি শেষ হওয়ার সময় 12 ঘন্টা হয়।

এটি ব্যাখ্যা করে যে কীভাবে আমাদের অন্তর্দৃষ্টি ব্যর্থ হয়। যদিও আমরা বলগুলিকে অপসারণের 9 এক্স হারে রেখেছি, কারণ সময় কখনই শেষ হয় না, আমরা যে প্রতিটি বল রেখেছি তা শেষ পর্যন্ত সরানো হবে! এটি অসীম সংখ্যক মিনিট সময় নিতে পারে, তবে এটি ঠিক আছে, কারণ আমাদের কাছে অসীম সংখ্যক মিনিট বাকি রয়েছে। এটাই সমস্যার আসল সমাধান।

এই সূচনায় আপনি জিজ্ঞাসা করবেন "অনন্ত শেষ হওয়ার পরে বাক্সে কতটি বল রয়েছে?" না! কারণ এটি একটি অযৌক্তিক প্রশ্ন। এজন্য মূল প্রশ্নটিও অযৌক্তিক। অথবা আপনি এটিকে অসুবিধায়িত বলতে পারেন।

এখন, আপনি যদি মূল সমস্যার দিকে ফিরে যান তবে স্পষ্টতই সময়ের সমাপ্তি ঘটে। এটি ১২. এ পৌঁছেছে যে আমরা বল puttingালানো বন্ধ করে দিয়েছি তার মানে এই যে সময়টি কেবলমাত্র শেষ হয়েছে, এবং আমরা এর শেষের বাইরে চলে এসেছি। সুতরাং, প্রশ্নের সঠিক উত্তরটি হল 12 টা বাজে কখনই ঘটবে না। এটি নাগালের বাইরে।

Comments

@ মার্তিজন ওয়েটারিংস, আমি সম্ভাবনাগুলি করিনি কারণ প্যারাডক্সটি বিশেষত সম্ভাবনার তাত্ত্বিক ভিত্তি পরিমাপের জন্য তৈরি করা হয়েছিল। যে প্যারাডক্সটি তৈরি করেছে সে অবশ্যই বুঝতে পারে যে এটি অসীম গণনাযোগ্য সেটগুলির শক্তি সম্পর্কে। এ কারণেই এটি অ্যামিবার জবাব মতো বইটিতে তিনটি সংস্করণে পূর্বরূপযুক্ত। প্রথম সংস্করণটি দেখায় যে কীভাবে প্রতিটি দশম প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি সেট সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটের সমান শক্তি রাখে, উদাহরণস্বরূপ। দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সংস্করণগুলি মূলত একই। এখানে সম্ভাবনা কেবল আড়াআড়ি, সমস্ত ক্রিয়া সেট।

— আকসকল

এই যুক্তি রস বইয়ের # 1 এবং # 2 সংস্করণগুলির মধ্যে পার্থক্য করতে সক্ষম বলে মনে হচ্ছে না (আমার উত্তর দেখুন), যদিও এই সংস্করণগুলি বিপরীত ফলাফলের দিকে পরিচালিত করে: এক ক্ষেত্রে কল্যাণ খালি হয়ে যায় এবং অন্য ক্ষেত্রে এটি হয় না ।

— অ্যামিবা

আমি মনে করি সত্য যে আপনি 12 এ পৌঁছাতে পারবেন না এটিই আসল সমাধান। একই সমস্যাটি বিবেচনা করুন তবে প্রতিটি ধাপে সময় অর্ধেক পরিবর্তনের পরিবর্তে আপনি সময়মতো সমান সময়কালের পদক্ষেপ তৈরি করেন, 1 মিনিট বলুন। এটি চিরকাল চলবে। এটি কখনও থামবে না। তবে প্রশ্নটি হবে "আপনি যখন বাক্সে থাকা জিনিসটি থামবেন?" সুতরাং আপনার উত্তরটি হবে এটি একটি অযৌক্তিক প্রশ্ন কারণ সময় কখনই শেষ হয় না।

— আকসকল 14

না এটি কোনও সাধারণ সময় নয়। যে পয়েন্ট। এই সমস্যাটি সময়টিকে সাধারণ শারীরিক সময়ের চেয়ে খুব আলাদা উপায়ে সেট করে। কলস অসীম এবং এটি ঠিক

— আকসাকাল

আপনি কি পদার্থবিদ? আপনি কী শারীরিক প্রক্রিয়া জানেন যে দূরবর্তী দিক থেকেও এটির সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ?

— আকসকল

Answer 12

অ্যামিবার উত্তরটি পড়া খুব উপযুক্ত যা কেবল দুর্দান্ত এবং সমস্যাটি খুব স্পষ্ট করে দেয়। আমি তার উত্তরের সাথে একমত নই, তবে এটি উল্লেখ করতে চাই যে সমস্যার সমাধানটি একটি নির্দিষ্ট সম্মেলনের উপর ভিত্তি করে। মজার বিষয় হ'ল এই ধরণের সমস্যাটি দেখায় যে এই সম্মেলনটি প্রায়শই ব্যবহৃত হয়, তবে প্রশ্নবিদ্ধ।

ঠিক যেমনটি তিনি বলেছেন যে এটি প্রমাণ করার বিষয়ে একটি প্রযুক্তিগত বিষয় রয়েছে যে প্রতিটি বলের জন্য চিরতরে কলসে থাকার সম্ভাবনা 0 থাকে। এই বিন্দুটি ছাড়াও সমস্যাটি সম্ভাবনার বিষয়ে নয়। একটি নির্বিচারক সমতুল্য দেওয়া যেতে পারে। এটি বোঝা অনেক সহজ। মূল ধারণাটি হ'ল: যেহেতু প্রতিটি বল সময়ে কোনও কোনও সময় থেকে কলস থেকে অনুপস্থিত থাকে, তাই প্রান্তটি খালি থাকে। আপনি যদি প্রতিটি বলের ভেরিতে শূন্য এবং একের ক্রম দ্বারা উপস্থিতির প্রতিনিধিত্ব করেন তবে প্রতিটি অনুক্রমটি একটি নির্দিষ্ট পরিসীমা থেকে 0 হয়, সুতরাং এর সীমা 0 হয়।

এখন সমস্যা আরও সহজ করা যেতে পারে। আমি মুহুর্তগুলিকে 1, 2, 3 .... সরলতার জন্য ডাকি:

• মুহূর্ত 1: কলস 1 বল রাখুন
• মুহূর্ত 2: এটি সরান
• মুহূর্ত 3: কলস 2 বল রাখুন
• মুহূর্ত 4: এটি সরান
• মুহূর্ত 5: কলস 3 বল রাখুন
• ...

কোন বল শেষে (দুপুর)? একই ধারণা, একই উত্তর: কিছুই নেই।

তবে মৌলিকভাবে, জানার উপায় নেই, কারণ সমস্যাটি দুপুরের দিকে কী ঘটে তা বলে না। আসলে, এটা সম্ভব যে শেষের দিকে, পিকাচু হঠাৎ করেই কলসটিতে আসে। বা সম্ভবত বলগুলি সমস্ত হঠাৎ ধসে পড়ে এবং একটি বড় বলের সাথে মিশে যায়। এর অর্থ এই নয় যে এটি বাস্তববাদী হতে বোঝায়, এটি কেবল নির্দিষ্ট করা হয়নি।

সমস্যার কেবল তখনই উত্তর দেওয়া যেতে পারে যখন কোনও নির্দিষ্ট সম্মেলন আমাদের সীমাতে কীভাবে যেতে হবে তা বলে দেয়: একটি ধারাবাহিকতা অনুমান। দুপুরে কলস রাজ্য এর আগে এর রাজ্যগুলির সীমাবদ্ধতা। এমন প্রশ্নের ধারাবাহিকতায় আমাদের এমন একটি ধারাবাহিকতা অনুমানের সন্ধান কোথায় করা উচিত যা আমাদের প্রশ্নের উত্তর দিতে সহায়তা করবে?

শারীরিক আইন আছে? শারীরিক আইন একটি নির্দিষ্ট ধারাবাহিকতা নিশ্চিত করে। আমি একটি সরলবাদী ধ্রুপদী মডেলের কথা ভাবি, বাস্তব আধুনিক পদার্থবিজ্ঞানের দিকে আহ্বান জানাই না। তবে মৌলিকভাবে, শারীরিক আইনগুলি গাণিতিক প্রশ্নগুলির মতো একই প্রশ্ন আনবে: শারীরিক আইনগুলির জন্য আমরা যেভাবে ধারাবাহিকতা বর্ণনা করতে বেছে নিই তা গাণিতিকভাবে প্রশ্ন জিজ্ঞাসার উপর নির্ভর করে: ধারাবাহিকটি কী, কীভাবে?

আমাদের আরও বিমূর্ত পদ্ধতিতে ধারাবাহিকতা অনুমানের সন্ধান করতে হবে। স্বাভাবিক ধারণা মধ্যে বল সেট থেকে একটি ফাংশন হিসাবে ভস্মাধার রাজ্যের সংজ্ঞায়িত হয় । 0 অর্থ অনুপস্থিত, 1 এর অর্থ উপস্থিত। এবং ধারাবাহিকতা সংজ্ঞায়িত করতে, আমরা পণ্য টোপোলজি, ওরফে পয়েন্টওয়াসাই রূপান্তর ব্যবহার করি। আমরা বলি যে এই টপোলজি অনুসারে দুপুরের দিকে রাজ্য হ'ল রাজ্যের সীমাবদ্ধতা। এই টপোলজির সাথে একটি সীমা রয়েছে এবং এটি 0: খালি কলস।$\{0;1\}$

তবে এখন আমরা এই টপোলজিকে চ্যালেঞ্জ করার জন্য সমস্যাটিকে কিছুটা সংশোধন করছি:

• মুহূর্ত 1: কলস 1 বল রাখুন
• মুহূর্ত 2: এটি সরান
• মুহূর্ত 3: কলস 1 বল রাখুন
• মুহূর্ত 4: এটি সরান
• মুহূর্ত 5: কলস 1 বল রাখুন
• ...

একই টপোলজির জন্য, রাজ্যের ক্রমগুলির কোনও সীমা নেই। এখান থেকেই আমি প্যারাডক্সটিকে সত্য প্যারাডক্স হিসাবে দেখতে শুরু করি। আমার জন্য এই পরিবর্তিত সমস্যাটি মূলত একই। কল্পনা করুন আপনি কলুষ আপনি বল আসতে এবং যেতে দেখেন। যদি আপনি এটির নম্বরটি না পড়তে পারেন তবে তা একই বল বা অন্য কোনওটি আপনার কাছে যা ঘটছে তা পরিবর্তন করে না। বলগুলিকে স্বতন্ত্র স্বতন্ত্র উপাদান হিসাবে দেখার পরিবর্তে আপনি এগুলি দেখতে পান যে পরিমাণে পদার্থ আসছে out ধারাবাহিকতা স্বাভাবিকভাবে পদার্থের পরিমাণের তারতম্য দেখে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। এবং সত্যিই কোন সীমা নেই। এই সমস্যাটি হ'ল মূল সমস্যাটির সমান, যেখানে আপনি বল পরিচয় উপেক্ষা করার সিদ্ধান্ত নেন, এইভাবে ভিন্ন মেট্রিক এবং একত্রিত হওয়ার ভিন্ন ধারণা তৈরির দিকে পরিচালিত করে। এমনকি আপনি যদি বলগুলিতে সংখ্যাটি দেখতে পান,

একটি ক্ষেত্রে, আপনার রাজ্যের ক্রম সীমাটি "খালি", অন্য ক্ষেত্রে সীমাটি অপরিজ্ঞাত।

প্রোডাক্ট টপোলজির সাথে সমস্যার আনুষ্ঠানিককরণ মৌলিকভাবে প্রতিটি আলাদা বলের ক্ষেত্রে কী ঘটে তা পৃথক করার উপর নির্ভর করে এবং এইভাবে "ডিফারিশাবলিটিকে" প্রতিবিম্বিত একটি মেট্রিক তৈরি করে। শুধুমাত্র এই বিচ্ছেদ কারণে, একটি সীমা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। এই বিচ্ছেদটি উত্তরের পক্ষে এতটা মৌলিক তবে এটি "কল্পনা চলছে" ইঙ্গিতটিতে "কী ঘটছে" বর্ণনা করার জন্য মৌলিক নয় (এমন একটি বিন্দু যা অন্তহীনভাবে তর্কযোগ্য)

আমার জন্য সমস্যাটি যখন বিশুদ্ধ বিমূর্ত হিসাবে বিবেচিত হয় ততক্ষণ নিখোঁজ তথ্য সরবরাহ করা হয়: দুপুরে রাষ্ট্রটি পূর্বের রাজ্যের সীমা এবং কোন অর্থে সীমাবদ্ধ। তবে, এই সমস্যাটি স্বজ্ঞাতভাবে চিন্তা করার সময়, রাজ্যের ক্রম সীমাবদ্ধতা এমন কিছু নয় যা আপনি এককভাবে ভাবতে পারেন। মৌলিকভাবে, আমি মনে করি উত্তর দেওয়ার কোনও উপায় নেই।

Comments

মূল সমস্যার উত্তর আনুষ্ঠানিককরণের উপর নির্ভর করে না। আপনার প্রস্তাবিত সমস্যার প্রকরণগুলি একই সমস্যার আলাদা আনুষ্ঠানিকতা নয়, এগুলি বিভিন্ন সমস্যা।

— পল

আমি @ পল এর সাথে একমত তবে কেবল এখানে মন্তব্য করার জন্য যে আমি 1 বলকে বিজোড় পদক্ষেপে রাখার উদাহরণটি পেয়েছি এবং এটি আকর্ষণীয় পদক্ষেপেও গ্রহণ করেছি find এই সিরিজ কালক্রমে স্পষ্টভাবে কোনও সীমা নেই যা আইএমএইচওর অর্থ এই " সুপারটাস্ক " খারাপ সংজ্ঞায়িত এবং এটি সম্পন্ন হতে পারে না। এটি আমরা এখানে যে সুপারটাস্কটির সাথে আলোচনা করছি তার বিপরীতে।

— অ্যামিবা

মজার পুনর্লিখন বেনোইট! এটি অবশ্যই সুপারটাস্কগুলির মধ্যে একটি চিন্তার উদ্দীপক জুটি। @ পল, সম্পাদনাটি মিস করবেন না।

— অ্যামিবা

আমার কাছে বলের সংখ্যাগুলি বেনোইটের দুটি নতুন কলস সমস্যার মধ্যে বিশ্বের সমস্ত পার্থক্য তৈরি করে। এটি একটি খুব ধ্রুবক পুনরাবৃত্তি দর্শনার্থী এবং একটি স্ট্যাম্পেড দেখার মধ্যে পার্থক্য। দুপুরে বারে বারে আসা দর্শনার্থীর কী হয় তা বলা শক্ত, তবে ডাকটিকিটের সাহায্যে খুব সহজেই দেখা যায় যে এটি কিছুই বাদ না দিয়ে চলে যাবে। আপনি যখন বলগুলির স্বতন্ত্র পরিচয়ের সমালোচনামূলক সত্যটি উপেক্ষা করেন তখনই আপনি দৃষ্টিভঙ্গি হারাবেন এবং সবকিছু বিভ্রান্তিকরভাবে একই দেখায়। নম্বরগুলি সেই পরিচয়গুলির স্মরণ করিয়ে দেওয়ার জন্য রয়েছে। এগুলি উপেক্ষা করা অবাস্তব is

— পল

হ্যাঁ, আমি বার বার একক বল সংস্করণের জন্য সম্মত। ক্রমিক সংখ্যাযুক্ত বল স্ট্যাম্পেডের জন্য, এটি প্রমাণ করা সহজ যে কোনও বল দুপুরের দিকে কলকে নেই।

— পল

Answer 13

আমি একটি reformulation উত্তর করতে যতটা সম্ভব সহজ যে করতে চাই 0 আরও বেশি ধারণাসম্পন্ন, সরলীকৃত উদাহরণ বাজে কথা এলোমেলোভাবে সরানো হয়নি, কিন্তু বল থেকে শুরু এ মুছে ফেলা হবে -th ধাপ।$n$$n$

এটি বিবেচনা করুন: আমি শুরুতে সমস্ত বলটি কলকে রেখেছিলাম । পদক্ষেপ 1 এ, আমি 1 বলটি বের করি। ধাপ 2 তে, আমি বল 2 আউট করি এবং আরও। অসন্তোষের পদক্ষেপের পরে মুরগীটি খালি হয়ে যাবে কি সন্দেহ?

ঠিক আছে. তবে আমি যদি প্রথমে সমস্ত বলটিকে কলসটিতে রাখি না, তবে কেবল কয়েকটি বল রাখি, তবে শেষ পর্যন্ত এই পোড়াটি কীভাবে পূর্ণ হতে পারে?

Comments

+1 টি। খুশী হলাম। এটি সম্পূর্ণরূপে দখলকৃত হিলবার্টের হোটেল থেকে বের হয়ে প্রতিটি লোকের মতো ; হোটেল খালি ছেড়ে দেওয়া হবে।

— অ্যামিবা

প্রতিটি সীমাবদ্ধ পদক্ষেপ এন এর পরে, কলটি খালি হয় না। লেনদেন তবে সীমাবদ্ধ পদক্ষেপেই ঘটতে পারে। দ্বন্দ্ব।

— উইলহেলেম

@ উইলহেলম আপনি কি সে সম্পর্কে বিস্তারিত বলতে পারবেন? আমি পয়েন্ট পাই না।

— Thern

@ থার: একটি সীমাবদ্ধ পদক্ষেপে কেবল একটি বল সরানো যেতে পারে। তবে প্রতিটি সসীম পদক্ষেপের পরে কলসটিতে বল রয়েছে (মূল উদাহরণে এবং আপনার মধ্যে)। সুতরাং সীমাটি খালি থাকতে পারে না। অন্যথায় সমস্ত সীমাবদ্ধ পদক্ষেপ এবং সীমাটির মধ্যে অবশ্যই কিছু ঘটেছিল। দ্বন্দ্ব।

— উইলহেলেম

দ্বন্দ্বটি নীতির নীতির প্রতি আপনার বিশ্বাসের দ্বারা তৈরি করা হয়েছে: "যখন সিক্যুয়েন্সের সদস্যরা আমার পছন্দমতো একটি সম্পত্তি রাখেন, সিকোয়েন্সের সীমাটি গ্রহণ করে সেই সম্পত্তি সংরক্ষণ করা হয়।" এটি গণিতের কোনও বৈধ নীতি নয় (বা সেই বিষয়ে পদার্থবিজ্ঞান)।

— পল

Answer 14

এই পোস্টের লক্ষ্যটি হ'ল ওপিএসের সর্বশেষ বিকল্পটির পক্ষে তর্ক করা যা আমাদের আরও ভাল গঠনের প্রয়োজন। বা কমপক্ষে, রস প্রমাণটি যতটা স্পষ্টভাবে কাটতে পারে তা প্রথমে মনে হতে পারে না এবং অবশ্যই প্রমাণটি এতটা স্বজ্ঞাত নয় যে সম্ভাবনার তত্ত্বের জন্য একটি পরিচিতি কোর্সে থাকার পক্ষে ভাল অবস্থানে রয়েছে। বিপরীত দিকগুলি বোঝার জন্য এটি উভয়েরই অনেক বেশি ব্যাখ্যা প্রয়োজন, এবং রসের প্রমাণটি খুব তাড়াতাড়ি যে পর্যায়ে চলে যায় তার ব্যাখ্যাটি পরিষ্কার হয়ে গেলে, কোন প্রমাণ, উপপাদ্য এবং অন্তর্নিহিত ব্যাখ্যার পক্ষে প্রমাণটি নির্ভর করে তা কঠিন করে তোলে।

এই দিকের সাথে সম্পর্কিত, "ডিডাটিকের সাথে দেখা পেলেন পিংপংবলেন?"

আমরা 'বিভ্রান্তির জন্য একটি উইন্ডোকে প্যারাডোক্সে ফেলেছি' এই শব্দটিকেও সমর্থন করে না।

অনুবাদিত "যদি আমরা যত্নশীল না হই তবে এটি 'বিভ্রান্তির জন্য একটি উইন্ডোকে প্যারাডক্স করে তোলে" "

নীচে "নিয়মিত" যুক্তিগুলির বিবরণ দেওয়া হয়েছে যা সুপারটাস্কগুলিতে আলোচনায় যেতে পারে এবং আরও নির্দিষ্ট করে নির্বাহী রস-লিটলউড প্যারাডক্স। এর পরে, যখন আমরা এই সমস্ত আলোচনা আলাদা করে রাখি তখন সম্ভাব্য রস-লিটলউড প্যারাডক্সের অতিরিক্ত উপাদান সরবরাহ করার ক্ষেত্রে বিশেষ দৃষ্টিভঙ্গি দেওয়া হয় , যা সুপারটাস্কগুলির সাথে বিস্তৃত সেটিংয়ে হারিয়ে যায় এবং বিভ্রান্ত হয়।

সুপারটাস্কে তিনটি নির্বিচার মামলা এবং আলোচনা

রস-লিটলউড প্যারাডক্সটি কলকে যেভাবে বলগুলি স্থানচ্যুত করে তার উপর নির্ভর করে অনেকগুলি বিভিন্ন ফলাফল জানে। এগুলি তদন্ত করার জন্য, লিটলউড তাঁর 1953 এর পান্ডুলিপিতে 5 ম সমস্যা হিসাবে বর্ণনা করেছেন বলে সঠিক সমস্যার বিবরণটি ব্যবহার করে শুরু করি

সংস্করণ 1 কলসটিতে থাকা বলের সেটটি খালি

রস-লিটলউড প্যারাডক্স বা লিটলউড-রস প্যারাডক্স প্রথমবারের মতো লিটলউডের ১৯৫৩-এর পাণ্ডুলিপি "গণিতের বিবিধ" মধ্যে পঞ্চম সমস্যা হিসাবে উপস্থিত হয়েছিল

একটি অনন্ত প্যারাডক্স। 1, 2, ... নম্বরযুক্ত বলগুলি ... (বা কোনও গণিতজ্ঞের জন্য নম্বরগুলি নিজেরাই) নীচে একটি বাক্সে রেখে দেওয়া হয়েছে। 1 মিনিট থেকে দুপুরে 1 থেকে 10 নম্বরগুলি দেওয়া হয় এবং 1 নম্বরটি বের করা হয়। 1/2 মিনিট থেকে দুপুরে 11 থেকে 20 নম্বরগুলিতে রাখা হয় এবং 2 নম্বরটি বের করে আনা হয়। দুপুরে বাক্সে কয়জন?

লিটলউড এই সমস্যাটি সম্পর্কে সংক্ষিপ্ত, তবে পয়েন্টগুলির সেট হিসাবে একটি দুর্দান্ত উপস্থাপনা দেয়:

$P_{1} + P_{2}+ ... + P_{10} - P_1 + P_{11} + ... + P_{20} - P_2 + ...$

যার জন্য এটি সহজেই লক্ষ্য করা যায় যে এটি 'নাল'।

সংস্করণ 2 কলসের মধ্যে থাকা বলের সেটটির আকার অসীম

রস (1976) এই প্যারাডক্সটিতে আরও দুটি সংস্করণ যুক্ত করেছে। প্রথমে আমরা প্রথম সংযোজনটি লক্ষ্য করি:

মনে করুন যে আমাদের কাছে অসীম বৃহত কলস এবং বলের এক নম্বর লেবেলযুক্ত বলের অসীম সংগ্রহ, সংখ্যা 2, নম্বর 3 এবং আরও অনেক কিছু। নিম্নলিখিত হিসাবে সম্পাদিত একটি পরীক্ষা বিবেচনা করুন: 1 মিনিট থেকে 12 টা অবধি, 1 থেকে 10 নম্বরের বলগুলি কলকে রাখা হয় এবং 10 নম্বর বলটি প্রত্যাহার করা হয়। (ধরুন প্রত্যাহারের কোনও সময় লাগে না।) 12 মিনিট থেকে 12 টা পর্যন্ত, 11 থেকে 20 নম্বরযুক্ত বলগুলি কলকে রাখা হয় এবং 20 নম্বর বলটি প্রত্যাহার করা হয়। 14 মিনিট থেকে 12 টা অবধি, 21 থেকে 30 নাম্বারযুক্ত বলগুলি কলকে স্থাপন করা হয় এবং 30 নম্বর বলটি প্রত্যাহার করা হয়। 18 মিনিট থেকে 12 টা অবধি এবং আরও অনেক কিছু। আগ্রহের প্রশ্নটি হল, 12 টা বেজে কতটা বল urn

স্পষ্টতই উত্তরটি অনন্ত, যেহেতু এই প্রক্রিয়াটি সমস্ত বলকে রেখে দেয়, যা অসীম অনেক many$x \mod 10 \neq 0$

আমরা রস 'এর দ্বিতীয় সংযোজন, যেখানে সম্ভাব্যতাগুলি অন্তর্ভুক্ত করার দিকে এগিয়ে যাওয়ার আগে আমরা অন্য মামলায় চলে যাই।

সংস্করণ 3 কলসের মধ্যে থাকা বলের সেটটি স্বেচ্ছাসেবী আকারের একটি সীমাবদ্ধ সেট

বলগুলি স্থানচ্যুত করার পদ্ধতির উপর নির্ভর করে বার্নটি 12 টায় কয়েকটি সংখ্যক বল থাকতে পারে। এই প্রকরণটি টেমোকজকো এবং হেনেল (1995) টেনিস বল সমস্যা হিসাবে বর্ণনা করেছেন ।

টম একটি বড় বাক্সে আছে, নিজেকে ছাড়া খালি। জিম বক্সের বাইরে অসীম সংখ্যক টেনিস বল (সংখ্যা 1, 2, 3, ....) নিয়ে দাঁড়িয়ে আছে। জিম 1 এবং 2 বলগুলিতে ফেলে দেয়। টম টেনিস বল তুলে এনে ফেলে দেয়। পরের জিম 3 এবং 4 বল ছুঁড়ে মারে টম একটি বল তুলে এনে ফেলে দেয়। পরবর্তী জিম 5 এবং 6 বল ছুঁড়ে ফেলেছে টম একটি বল তুলে এনে ফেলে দেয়। জিম সমস্ত বল inোকা না করা পর্যন্ত এই প্রক্রিয়াটি অসংখ্যবার চলে। এখানে প্রশ্নটি রয়েছে: অ্যাকশন শেষ হলে টমের সাথে বাক্সে কতটি বল রয়েছে?

উত্তরটি কিছুটা বিরক্তিকর: এটি নির্ভর করে। প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য পর্যাপ্ত তথ্য দেওয়া হয়নি। অসীম বল বাকি থাকতে পারে, বা নাও থাকতে পারে।

পাঠ্যপুস্তকের উদাহরণে তারা দুটি ক্ষেত্রে তর্ক করেছেন, হয় অসীম বা সীমাবদ্ধ (টিমোকজকো এবং হেনেল, মধ্যবর্তী ক্ষেত্রে একটি অনুশীলন হিসাবে ছেড়ে দিন) তবে সমস্যাটি বেশ কয়েকটি জার্নাল নিবন্ধে আরও নেওয়া হয়েছে যেখানে সমস্যাটি সাধারণীকরণ করা হয়েছে যা আমরা পেতে পারি পদ্ধতি অনুসরণ করে যে কোনও নম্বর।

সমস্যার আকর্ষণীয় দিকগুলি সম্পর্কে নিবন্ধগুলি বিশেষত আকর্ষণীয় (যেখানে মনোযোগ কেন্দ্রীভূত হওয়ার দিকগুলিতে নয়) are উদাহরণস্বরূপ আমরা যে কোনও সময় থাকতে পারে এমন সম্ভাব্য সেটগুলির সংখ্যা গণনা করা। 2 টি বল যোগ করার এবং প্রতি পদক্ষেপে 1 টি সরানোর ক্ষেত্রে ফলাফলগুলি সহজ এবং সেখানে এন-তম ধাপে সম্ভাব্য সেটগুলির সংখ্যা হ'ল এন + 1-তম স্থির সংখ্যা। উদাহরণস্বরূপ 2 সম্ভাব্যতা {1}, প্রথম ধাপে {2,, 5 সম্ভাব্যতা {1,3} {1,4 {{2,3} {2,4} এবং দ্বিতীয় ধাপে {3,4,, 14 ইন তৃতীয়, ৪ র্থ চতুর্থ , এসটেরা (দেখুন মেরিলিন, স্প্রাগনোলি এবং ভেরি ২০০২, টেনিস বল সমস্যা )। এই ফলাফলটি বিভিন্ন সংখ্যক বল যোগ এবং বিয়োগ করার জন্য সাধারণীকরণ করা হয়েছে তবে এটি এখন এই পোস্টের পক্ষে অনেক বেশি যায়।

সুপারটাস্কের ধারণার ভিত্তিতে যুক্তিগুলি

সম্ভাবনার তত্ত্বটি পাওয়ার আগে, ইতিমধ্যে ডিস্ট্রিমেন্টিক কেস এবং সুপারটাস্ক সম্পন্ন করার সম্ভাবনার বিরুদ্ধে অনেক যুক্তি দেওয়া যেতে পারে। এছাড়াও, কেউ জিজ্ঞাসা করতে পারে যে সেট তাত্ত্বিক চিকিত্সা সুপারটাস্কের গতিযুক্ত উপস্থাপনার বৈধ উপস্থাপনা কিনা। এই যুক্তিগুলি ভাল না খারাপ সে বিষয়ে আমি তর্ক করতে চাই না। আমি এগুলি হাইলাইট করার জন্য তাদের উল্লেখ করছি যে সম্ভাব্য কেসগুলি এই 'সুপারটাস্ক'-যুক্তিগুলির সাথে বিপরীত হতে পারে এবং এমন অতিরিক্ত উপাদান রয়েছে যা সুপারটাস্কের সাথে কোনও সম্পর্কযুক্ত না হিসাবে দেখা যেতে পারে। সম্ভাব্য কেসটির একটি অনন্য এবং পৃথক উপাদান রয়েছে (সম্ভাবনার তত্ত্বের সাথে যুক্তি) যা সুপারটাস্কের বিরুদ্ধে বা তার পক্ষে যুক্তি দিয়ে প্রমাণিত বা খণ্ডিত নয়।

• ধারাবাহিকতা যুক্তি : এই যুক্তি প্রায়শই বেশি ধারণাগত হয়। উদাহরণস্বরূপ এই ধারণাটি যে সুপারস্যাকটি শেষ করা যায় না যেমন আকসকল এবং জোশুয়া তাদের উত্তরে তর্ক করে, এবং এই ধারণাগুলির একটি স্পষ্ট প্রদর্শন হ'ল থমসনের প্রদীপ , যা রস লিটলউডের প্যারাডক্সের ক্ষেত্রে জিজ্ঞাসার মতো হবে, শেষটি সরিয়ে দেওয়া হয়েছিল? সংখ্যা বা বিজোড়?

• শারীরিক যুক্তি: গাণিতিক নির্মাণকে সমস্যার শারীরিক উপলব্ধির সাথে সম্পর্কিত বলে চ্যালেঞ্জ জানাতে এমন যুক্তিও রয়েছে। আমাদের একটি সমস্যার কঠোর গাণিতিক ট্রিটমেন্ট থাকতে পারে, তবে একটি প্রশ্ন এখনও অব্যাহত রয়েছে যে এই কার্যটির কোনও যান্ত্রিক বাস্তবায়নের উপর নির্ভর করে কিনা (গতি সীমা বা শক্তি / স্থানের প্রয়োজনীয়তা হিসাবে শারীরিক জগতের কিছু বাধা ভঙ্গ করার সরল ধারণাগুলির বাইরেও) ।

  • একটি যুক্তি হতে পারে যে সেট-তাত্ত্বিক সীমাটি একটি গাণিতিক ধারণা যা অগত্যা শারীরিক বাস্তবতা বর্ণনা করে না

    উদাহরণস্বরূপ নিম্নলিখিত বিভিন্ন সমস্যা বিবেচনা করুন: কলসটির একটি বল রয়েছে যার ভিতরে আমরা নড়াচড়া করি না । প্রতিটি পদক্ষেপে আমরা বলটিতে পূর্বে লেখা নম্বরটি মুছে ফেলি এবং তার উপর একটি নতুন, নিম্ন, সংখ্যাটি আবার লিখি। অসীম বহু পদক্ষেপের পরে কি এই কলটি খালি থাকবে? সেক্ষেত্রে সেট তাত্ত্বিক সীমাটি খালি সেটটি ব্যবহার করা কিছুটা বেশি অযৌক্তিক বলে মনে হচ্ছে। এই সীমাটি একটি গাণিতিক যুক্তি হিসাবে দুর্দান্ত, তবে এটি সমস্যার শারীরিক প্রকৃতির প্রতিনিধিত্ব করে? যদি আমরা বিমূর্ত গাণিতিক যুক্তি (যা সম্ভবত একটি ভিন্ন সমস্যা হিসাবে বিবেচনা করা উচিত ) কারণে কলগুলি থেকে অদৃশ্য হয়ে যাওয়ার অনুমতি দেয় তবে ঠিক তেমনি আমরা পুরো কলটি অদৃশ্য হয়ে যেতে পারি?

  • এছাড়াও, বলগুলির পার্থক্য এবং তাদের অর্ডার প্রদানের বিষয়টি "অদিকল্পিত" বলে মনে হয় (এটি সেটগুলির গাণিতিক চিকিত্সার সাথে প্রাসঙ্গিক, তবে কি কলসের বলগুলি সেই সেটগুলির মতো আচরণ করে?) যদি আমরা প্রতিটি পদক্ষেপে বলগুলি পুনর্বিবেচনা করতে পারি (উদাহরণস্বরূপ প্রতিটি পদক্ষেপটি অসীম বলের অবশিষ্ট স্তূপ থেকে একটি বলের সাথে ফেলে দেওয়া গাদা থেকে একটি বল এলোমেলোভাবে স্যুইচ করে), সুতরাং তারা কলসটি প্রবেশ করার সময় বা তার যে নম্বর পেয়েছিল তার উপর ভিত্তি করে নম্বরটি ভুলে যান শুরু থেকে, তারপরে সেট তাত্ত্বিক সীমাগুলির উপর ভিত্তি করে যুক্তিগুলি আর কোনও বোঝায় না কারণ সেটগুলি একত্রিত হয় না (কোনও বার ইট থেকে বল ফেলে দেওয়ার পরে কোনও স্থিতিশীল সমাধান পাওয়া যায় না) এটি আবার ফিরে আসতে পারে)।

    পোড়া ভরাট করা এবং খালি করার শারীরিক কাজ সম্পাদনের দৃষ্টিকোণ থেকে মনে হয় আমাদের বলগুলিতে সংখ্যা আছে কি না তা বিবেচ্য নয়। এটি সেট তাত্ত্বিক যুক্তিটিকে আসল প্রক্রিয়া না করে বরং অসীম সেট সম্পর্কে গাণিতিক চিন্তার মতো করে তোলে।

যাইহোক, আমরা যদি যুক্তিবাদী উদ্দেশ্যে এই অসীম প্যারাডোক্সগুলির ব্যবহারের জন্য জোর দিয়ে থাকি এবং এইভাবে সম্ভাবনার তত্ত্বটি পাওয়ার আগে আমাদের প্রথমে সন্দিহান / জেদী দ্বারা গ্রহণযোগ্য (কিছু) সুপারটাস্কের একটি গ্রহণযোগ্য ধারণা পাওয়ার জন্য লড়াই করতে হবে চিন্তাবিদরা, তবে জেনোর প্যারাডক্স এবং অ্যালিস এবং কোয়েটিসিয়ার (১৯৯৫) দ্বারা বর্ণিত রস-লিটলউড প্যারাডক্সের মধ্যে এবং খুব শীঘ্রই নীচে বর্ণিত যোগাযোগের ব্যবহার আকর্ষণীয় হতে পারে ।

তাদের উপমা অনুসারে অ্যাকিলিস কচ্ছপটি ধরার চেষ্টা করছে যখন এ দু'জনেই ফ্ল্যাশগুলি এমনভাবে রাখা হয়েছে যা দূরত্ব এর সাথে রয়েছে যাতে পতাকা সহ অ্যাকিলিসের দূরত্ব রয়েছে পতাকা সহ কচ্ছপের দ্বিগুণ দূরত্ব , যথা । তারপর রাত 12 টা অবধি। কচ্ছপ এবং অ্যাকিলিস যে পতাকা পাবে তার মধ্যে পার্থক্য বাড়ছে । তবে অবশেষে রাত বারোটায় এ্যালিয়েটিকস ব্যতীত কেউই তর্ক করতে পারেনি যে তারা অ্যাকিলিস এবং কচ্ছপ একই পয়েন্টে পৌঁছেছিল এবং (এভাবে) তাদের মধ্যে শূন্য পতাকা রয়েছে। এন 10 এন এফ ( এন ) = 2 এফ ( 10 এন

$$F(n)=2^{-10 \log n}$$ $n$$10n$$F(n) = 2 F(10n)$

সম্ভাব্য কেস এবং এটি কীভাবে সমস্যার নতুন দিক যুক্ত করে।

রস দ্বারা যুক্ত করা দ্বিতীয় সংস্করণ (তার পাঠ্যপুস্তকে), এলোমেলো নির্বাচনের ভিত্তিতে বলগুলি সরিয়ে দেয়

আসুন এখন ধরে নিই যে যখনই কোনও বল প্রত্যাহার করতে হয়, সেই বলটি উপস্থিত লোকদের মধ্যে এলোমেলোভাবে নির্বাচন করা হয়। এটি হ'ল ধরুন যে 1 মিনিট থেকে 12 টা পর্যন্ত 1 থেকে 10 নাম্বার বলগুলি ইর্নে রাখা হয় এবং একটি বল এলোমেলোভাবে নির্বাচন করা হয় এবং প্রত্যাহার করা হয়, ইত্যাদি and এই ক্ষেত্রে, 12 টা বেজে কতটি বল কলমে রয়েছে?

রস সমাধানটি হ'ল মলটি খালি থাকার সম্ভাবনা 1 is যাইহোক, যদিও রস এর তর্কটি দৃ sound় এবং কঠোর বলে মনে হচ্ছে, কেউ ভাবতে পারেন যে এর জন্য কী ধরণের অক্ষশক্তি প্রয়োজনীয় এবং কোনটি ব্যবহৃত উপপাদ্যকে সেই অক্ষরূপে প্রতিষ্ঠিত নয় এমন অন্তর্নিহিত অনুমান দ্বারা চাপের মধ্যে রাখা যেতে পারে (উদাহরণস্বরূপ অনুমান করা যায় যে দুপুরের ইভেন্টগুলি সম্ভাব্যতা বরাদ্দ করা যেতে পারে)।

রসের গণনা সংক্ষেপে দুটি উপাদানগুলির সংমিশ্রণ যা খালি খালি কলস ঘটনাকে অনেকগুলি উপগঠন / ইভেন্টে ভাগ করে দেয় এবং প্রমাণ করে যে এই ইভেন্টগুলির প্রতিটিটির জন্য সম্ভাব্যতা শূন্য:

1. জন্য, ইভেন্টটি যে বার নম্বরটি বারান্দায় রাত 12 টায়, আমাদের$F_i$$i$$P(F_1) = 0$

2. জন্য, , আমাদের সম্ভবত বার্ন খালি নয় বলে সম্ভাবনা রয়েছে$P(\bigcup_1^\infty F_i)$

   $P(\bigcup_1^\infty F_i) \leq \sum_1^\infty P(F_i) = 0$

সুপার-টাস্ক সম্পর্কে যুক্তি ছাড়াই রস-লিটলউড প্যারাডক্সের সম্ভাব্য ঘটনা

প্যারাডক্সের সবচেয়ে নগ্ন রূপে, সুপারটাস্কের কর্মক্ষমতা নিয়ে যে কোনও সমস্যা থেকে এড়িয়ে চলা, আমরা অসীম সেটগুলি বিয়োগ করার "সহজ" সমস্যা সম্পর্কে ভাবতে পারি। উদাহরণস্বরূপ আমরা তিনটি সংস্করণ পেয়েছি:

$$\begin{array} \\ S_{added} &= \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \rbrace + \lbrace10k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,1} &= \lbrace k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,2} &= \lbrace 10k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,3} &= \lbrace k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \setminus \lbrace a_1,a_2,a_3,... \text{ with } a_i \in \mathbb{N} \rbrace \end{array}$$

এবং সেট এর মতো সেট বিয়োগে সমস্যা হ্রাস পায় ।$S_{added}-S_{removed,1} = \emptyset$

কোনও অসীম অনুক্রম, , একটি (সমানভাবে) সম্ভাব্য ক্রম যা রসের সম্ভাব্য উপলব্ধিতে বলগুলি সরানো যেতে পারে এমন ক্রমটি বর্ণনা করে -লিটলউড সমস্যা। এই অসীম সিকোয়েন্সগুলিকে আরএল-সিকোয়েন্সগুলি কল করতে দিন।$S_{RL} =\lbrace a_k \text{ without repetitions and } a_k < 10k \rbrace$

সুপারটাস্কগুলি সম্পর্কে বিতর্কিত যুক্তি ছাড়াই এখন আরও সাধারণ প্রশ্ন, আরএল সিকোয়েন্সগুলির ঘনত্ব সম্পর্কে যা পুরো সেটটি অন্তর্ভুক্ত করে না$\mathbb{N}$

সমস্যার একটি গ্রাফিকাল ভিউ।

নেস্টেড, ফ্র্যাক্টাল, স্ট্রাকচার

এই উত্তরের সম্পাদিত সংস্করণটির আগে আমি একটি যুক্তি দিয়েছিলাম যা 'অসীম অনুক্রমগুলি যে মলকে ফাঁকা করে' থেকে 'সংখ্যায় অন্তর্ভুক্ত নয় এমন' অসীম অনুক্রম 'থেকে একটি ইনজেকশন মানচিত্রের অস্তিত্ব ব্যবহার করেছিল।

এটি কোনও বৈধ যুক্তি নয়। স্কোয়ারগুলির সেটগুলির ঘনত্বের সাথে উদাহরণস্বরূপ তুলনা করুন। সেখানে অসীম অনেক স্কোয়ার (এবং সেখানে bijective সম্পর্ক নেই এবং ), এখনো বর্গের সেটে ঘনত্ব শূন্য আছে ।$n \mapsto n^2$$n^2 \mapsto n$$\mathbb{N}$

নীচের চিত্রটি আরও উন্নততর দৃষ্টিভঙ্গি তৈরি করে, প্রতিটি অতিরিক্ত পদক্ষেপের সাহায্যে, ইটুর মধ্যে 1 বলের সম্ভাবনা কীভাবে হ্রাস পাচ্ছে (এবং আমরা অন্যান্য সমস্ত বলের ক্ষেত্রেও একই তর্ক করতে পারি)। যদিও সমস্ত আরএল-সিকোয়েন্সগুলির উপসেটের কার্ডিনালিটিটি (বাস্তুচ্যুত বলগুলির ক্রম) সমস্ত আরএল-সিকোয়েন্সগুলির কার্ডিনালটির সমান (চিত্রটি একরকম ফ্র্যাক্টাল কাঠামো প্রদর্শন করে এবং গাছটি ইনসিলভের বহু কপি ধারণ করে) contains

নমুনা স্থান বৃদ্ধি, পথ সংখ্যা

টেনিস বল সমস্যা (টেনিস বল সমস্যা, প্রতিটি পদক্ষেপ: 2 অপসারণ 1 যোগ করুন, কম দ্রুত বৃদ্ধি পায় এবং প্রদর্শন করা সহজ) চিত্রটি প্রথম পাঁচটি ধাপের জন্য সমস্ত সম্ভাব্য উপলব্ধি দেখায় image ফিরোজা এবং রক্তবর্ণ লাইন সম্ভাব্য সব পাথ যে প্রকাশ করতে পারে প্রদর্শন (প্রতিটি পদে পদে কল্পনা আমরা আকারের একটি পাশা নিক্ষেপ এবং এটি এর ফলাফলের উপর ভিত্তি করে আমরা একটি নির্বাচন পাথ, বা অন্য কথায় ফলাফলের ভিত্তিতে আমরা কলমে বলের একটি অপসারণ করি )।$n$$n+1$$n+1$$n+1$

N + 1-th কাতালান সংখ্যা as হিসাবে সম্ভাব্য কলস রচনাগুলির (বাক্সগুলি) সংখ্যা বৃদ্ধি পায় এবং হিসাবে মোট পাথের সংখ্যা বৃদ্ধি পায়। বলের 1 নম্বর ভিতরে (রঙিন গা dark় ধূসর) এবং এই বাক্সগুলি (বেগুনি) দিকে পরিচালিত পথগুলির সাথে কলুষ রচনাগুলির ক্ষেত্রে, সংখ্যাগুলি হুবহু একইভাবে উদ্ভাসিত হয় তবে এবার এটি n-th স্থির সংখ্যা এবং ফ্যাক্টরিয়াল।$C_{n+1}$$(n+1)!$$n!$

পাথের ঘনত্ব যা বল ভিতরে ফেলে$n$

সুতরাং, যে পাথগুলি ভিতরে বলের 1 নম্বর দিয়ে কলস বাড়ে, তার ঘনত্ব এবং বড় হওয়ার সাথে সাথে হ্রাস পায় । অনেকগুলি উপলব্ধি রয়েছে যা বাক্সে বল নম্বর সন্ধানের দিকে নিয়ে যায়, সম্ভাবনা শূন্যের কাছে পৌঁছায় (আমি যুক্তি দিয়ে বলব যে এটি এটিকে অসম্ভব করে না, তবে প্রায় অবশ্যই ঘটছে না, এবং রসের যুক্তির মূল কৌশলটি হ'ল) গণনাযোগ্য অনেক নাল ইভেন্টের মিলনও একটি নাল ইভেন্ট)।$\frac{(n)!}{(n+1)!}$$n$$n$

টেনিস বল সমস্যায় প্রথম পাঁচটি ধাপের পথগুলির উদাহরণ (প্রতিটি পদক্ষেপ: 2 টি সরান 1 যোগ করুন)

অবশ্যই খালি কলসের জন্য রসের যুক্তি।

রস ইভেন্টগুলি (নমুনা স্থান সাব-সেট নির্বাচন) সংজ্ঞায়িত করে, , একটি বল সংখ্যাযুক্ত যে পদে পদে ভস্মাধার হয় । (তাঁর পাঠ্যপুস্তকে তিনি আসলে সাবস্ক্রিপ্টটি বাইরে রেখে 1 বলের পক্ষে যুক্তি দিয়েছিলেন)।$E_{in}$$i$$n$$i$

প্রমাণ পদক্ষেপ 1)

রস তার প্রস্তাবটি 6.1 ব্যবহার করে। ইভেন্টগুলির ক্রমবর্ধমান বা হ্রাসের জন্য (উদাহরণস্বরূপ হ্রাস হ্রাস করা )।$E_1 \supset E_2 \supset E_3 \supset E_4 \supset ...$

প্রস্তাব 6.১: যদি হয় ঘটনাগুলির ক্রমবর্ধমান বা ক্রমহ্রাসমান ক্রম হয় তবে$\lbrace E_n, n\geq 1 \rbrace$

$$\lim_{n \to \infty} P(E_n) = P(\lim_{n \to \infty} E_n)$$

এই প্রস্তাবটি ব্যবহার করে রস জানায় যে রাত ১২ টায় বল পর্যবেক্ষণের সম্ভাবনা (যা ইভেন্ট ) সমান$i$$lim_{n \to \infty} E_{in}$

$$lim_{n \to \infty} P (E_{in})$$

অ্যালিস এবং কোয়েটিসিয়ার যুক্তি দিয়েছিলেন যে এটি সেইগুলি অন্তর্ভুক্ত অনুমানগুলির মধ্যে একটি। সুপারটাস্ক ইটসেলভ (যৌক্তিকভাবে) রাত 12 টায় যা বোঝায় তা বোঝায় না এবং সমস্যার সমাধানগুলিতে অন্তর্নিহিত অনুমান করা উচিত, যা এই ক্ষেত্রে আমরা কলসের অভ্যন্তরে বলের সেটটিতে ধারাবাহিকতার নীতিটি ব্যবহার করতে পারি তা কী তা জানাতে পারি অনন্ত সময়ে একটি (সেট-তত্ত্বীয়) অনন্ত সীমা একটি নির্দিষ্ট মান হয়, তাহলে অনন্ত আমরা হবে সেই বিশেষ মূল্য আছে (কোন আকস্মিক লাফ হতে পারে)।

রস-লিটলউড প্যারাডক্সের একটি আকর্ষণীয় বৈকল্পিকটি হ'ল আমরা যখন এলোমেলোভাবে বলগুলি আগে ফিরে ফেলেছিলাম তখনও ফিরে আসি। এতে কনভার্জেন্স হবে না (থমসনের প্রদীপের মতো) এবং আমরা সিকোয়েন্সগুলির সীমাটি খুব সহজেই নির্ধারণ করতে পারি না (যা আর কমছে না)।$E_{in}$

প্রমাণ পদক্ষেপ 2)

সীমাটি গণনা করা হয়। এটি একটি সাধারণ বীজগণিত পদক্ষেপ।

$$lim_{n \to \infty} P (E_{in}) = \prod_{k=i}^{\infty} \frac{9k}{9k+1} = 0$$

প্রমাণ পদক্ষেপ 3)

এটা সব জন্য বলা হয় যে পদক্ষেপ 1 এবং 2 কাজ একটি সহজ বিবৃতি দ্বারা$i$

"একইভাবে, আমরা সকলের জন্য দেখাতে পারি "$P(F_i)=0$$i$

যেখানে ঘটনা যে বল ভস্মাধার বাইরে নিয়ে যাওয়া হয়েছে যখন আমরা 12 অপরাহ্ন পৌঁছেছেন$F_i$$i$

যদিও এটি সত্য হতে পারে, আমরা সেই পণ্য এক্সপ্রেশন সম্পর্কে অবাক হতে পারি যার নিম্ন সূচকটি এখন অসীমের দিকে চলে যায়:

$$lim_{i \to \infty}(lim_{n \to \infty} P (E_{in})) = lim_{i \to \infty}\prod_{k=i}^{\infty} \frac{9k}{9k+1} = ... ?$$

আমি এ সম্পর্কে এতটুকু বলার অপেক্ষা রাখে না যে আমি আশা করি যে এটি কেউ কাজ করে কিনা তা আমাকে ব্যাখ্যা করতে পারে।

এই ধারণাটি সম্পর্কে আরও ভাল স্বজ্ঞাত উদাহরণ পেতে ভাল লাগবে যে হ্রাস ক্রম , যা প্রস্তাব 6.1 এর জন্য প্রয়োজনীয়, সমস্তই পারে না ধাপ সংখ্যা সূচক, , সমান 1 এর সাথে শুরু করুন এই সূচকটি অনন্ততায় বৃদ্ধি করা উচিত (যা কেবল অসীম হয়ে ওঠা পদক্ষেপের সংখ্যা নয়, তবে যে বলটি বাতিল করতে হবে তা এলোমেলো হয়ে যায় এবং যে বলের জন্য আমরা সীমাটি নিরীক্ষণ করি তা অসীম হয়ে যায়)। যদিও এই প্রযুক্তিটি মোকাবেলা করা হতে পারে (এবং সম্ভবত ইতিমধ্যে বা স্পষ্টতই অন্য জবাবগুলিতে সম্পন্ন হয়েছে), একটি পুঙ্খানুপুঙ্খ এবং স্বজ্ঞাত, ব্যাখ্যা খুব সহায়ক হতে পারে।$E_{in}, E_{in+1}, E_{in+2}, ...$$n$

এই পদক্ষেপ 3 এ এটি বরং প্রযুক্তিগত হয়ে ওঠে, অন্যদিকে রস এটি সম্পর্কে খুব ছোট। রস একটি সম্ভাব্য স্থানের অস্তিত্বকে অনুমান করে (বা কমপক্ষে এটি স্পষ্ট নয়) যেখানে আমরা অপরিবর্তনীয় সময়ে এই অপারেশনগুলি প্রয়োগ করতে পারি ঠিক যেমনভাবে আমরা সীমাবদ্ধ উপসর্গগুলিতে অপারেশনগুলি প্রয়োগ করতে পারি।

ইকোভালের উত্তরটি একটি নির্মাণ সরবরাহ করে, আইনেস্কু- তুলসির কারণে এক্সটেনশন উপপাদ্যটি ব্যবহার করে ফলস্বরূপ অসীম পণ্যের স্থান যা আমরা সম্ভাব্য কার্নেলের অসীম পণ্য দ্বারা ঘটনাগুলি প্রকাশ করতে পারি , যার ফলস্বরূপ ।$\sum_{k=0}^\infty \Omega_i \bigotimes_{k=0}^\infty \mathcal{A}_i$$P(E_i)$$P=0$

তবে এটি স্বজ্ঞাত অর্থে বানান নয়। the ইভেন্ট স্পেসটি কাজ করে কীভাবে আমরা স্বজ্ঞাতভাবে তা দেখাতে পারি ? এটির পরিপূরক হ'ল নাল সেট (এবং অ্যালিস এবং কোয়েটিসিয়ারের রস-লিটলউড সমস্যার সামঞ্জস্যিত সংস্করণে সমাধান যেমন অনন্য অনেক শূন্যের সাথে 1 নম্বর নয়) এবং এটি সম্ভাবনার স্থান?$E_{i}$

প্রমাণ পদক্ষেপ 4)

বুলের অসমতা প্রমাণকে চূড়ান্ত করতে ব্যবহৃত হয়।

$$P\left( \bigcup_1^\infty F_i \right) \leq \sum_1^\infty P(F_i) = 0$$

অসম্পূর্ণতা সীমিত বা অসীম গণনাযোগ্য ইভেন্টগুলির সেটগুলির জন্য প্রমাণিত। এটি ক্ষেত্রে সত্য ।$F_i$

রস দ্বারা প্রাপ্ত এই প্রমাণটি কোনও গঠনবাদী দৃষ্টিতে প্রমাণ নয়। পরিবর্তে প্রতিপাদন সম্ভাব্যতা প্রায় 1 ভস্মাধার হতে জন্য যে খালি 12 টায় এটি প্রতিপাদন সম্ভাব্যতা প্রায় 0 জন্য ভস্মাধার ভরে হয় যে কোন এটি একটি সসীম সংখ্যা সঙ্গে বল।

পুনঃস্মরণ, অনুস্মরণ

নির্বাহী রস-লিটলউড প্যারাডক্সে স্পষ্টভাবে ফাঁকা সেট থাকে (এই পোস্টটি এভাবেই শুরু হয়েছিল)। এটি কম আশ্চর্যজনক করে তোলে যে সম্ভাব্য সংস্করণটি খালি সেট দিয়ে শেষ হয় এবং ফলাফল (এটি সত্য হয় বা না) অ-সম্ভাব্য আরএল সংস্করণগুলির তুলনায় এতটা বিপরীতমুখী নয়। একটি আকর্ষণীয় চিন্তার পরীক্ষাটি হল আরএল সমস্যার নিম্নলিখিত সংস্করণ:

• অসম্পূর্ণভাবে অনেকগুলি বল দ্বারা পূর্ণ একটি কলস দিয়ে শুরু করার কল্পনা করুন এবং এলোমেলোভাবে এটিকে দিয়ে বলগুলি ছাড়তে শুরু করুন start এই সুপারটাস্কটি যদি এটি শেষ হয় তবে অবশ্যই লার্জিকভাবে খালিটি খালি করতে হবে। যেহেতু, এটি খালি না থাকলে আমরা চালিয়ে যেতে পারতাম। (এই চিন্তাধারার পরীক্ষাটি অবশ্য সুপারটাস্কের ধারণাটিকে প্রসারিত করে এবং এর একটি অস্পষ্ট সংজ্ঞায়িত সমাপ্তি ঘটে it এটি কি কালশূন্য খালি হয় বা আমরা যখন রাত বারোটায় পৌঁছায়?)

রস 'প্রমাণের কৌশলটি সম্পর্কে অসন্তুষ্টিজনক কিছু রয়েছে, বা প্রমাণের সৌন্দর্যের পুরোপুরি প্রশংসা করতে সক্ষম হওয়ার জন্য অন্যান্য উদাহরণগুলির সাথে কমপক্ষে আরও ভাল অন্তর্দৃষ্টি এবং ব্যাখ্যা প্রয়োজন হতে পারে। 4 টি পদক্ষেপ একসাথে এমন একটি প্রক্রিয়া তৈরি করে যা সাধারণীকরণ করা যেতে পারে এবং অন্য অনেকগুলি প্যারাডক্স তৈরি করতে সম্ভবত প্রয়োগ করা যেতে পারে (যদিও আমি চেষ্টা করেছি আমি সফল হইনি)।

আমরা একটি উপপাদ তৈরি করতে সক্ষম হতে পারি যে অন্য যে কোনও উপযুক্ত নমুনা জায়গার জন্য যা অসীমের দিকে আকারে বৃদ্ধি পায় (আরএল সমস্যার নমুনা স্পেসে )। যদি আমরা events ইভেন্টগুলির একটি গণনাযোগ্য সেটকে সংজ্ঞায়িত করতে পারি যা ধাপে বাড়ার সাথে সাথে একটি সীমা 0 এর সাথে ক্রমহ্রাসমান ক্রম হয় , তবে সেই ইভেন্টগুলির মিলন হওয়ার ঘটনাটির সম্ভাবনা শূন্যে চলে যায় যখন আমরা অনন্তের কাছে যাই। যদি আমরা ইভেন্টগুলির ইউনিয়নটিকে পুরো স্থান হিসাবে তৈরি করতে পারি (আরএল উদাহরণে খালি ফুলদানিটি ইউনিয়নে অন্তর্ভুক্ত করা হয়নি যার সম্ভাবনা শূন্যে চলে যায়, সুতরাং কোনও মারাত্মক বিপর্যয় ঘটেনি) তবে আমরা আরও মারাত্মক প্যারাডক্স তৈরি করতে পারি যা চ্যালেঞ্জ করে স্থানান্তরিত ছাড়ের সাথে একত্রে অক্ষগুলির ধারাবাহিকতা।E i j$card(2^\mathbb{N})$$E_{ij}$$j$

• এরকম একটি উদাহরণ (বা তৈরি করার চেষ্টা) হ'ল অনন্তকালীন একটি রুটির ছোট ছোট টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো করা (গাণিতিক শর্ত পূরণের জন্য বলি আমরা কেবল টুকরো টুকরো টুকরো করে ফেলি যা ইতিবাচক সংখ্যার আকার রয়েছে) size এই উদাহরণের জন্য আমরা ইভেন্টগুলি সংজ্ঞায়িত করতে পারি (ধাপে x আমাদের আকারের এক টুকরো আছে), যা ক্রম হ্রাস পাচ্ছে এবং ইভেন্টগুলির সম্ভাবনার সীমা শূন্যে চলে যাবে (একইভাবে আরএল প্যারাডক্স হিসাবে, ক্রমহ্রাসমান ক্রমগুলি কেবল আরও ঘটবে এবং পরবর্তী সময়ে, এবং এখানে দিকনির্দেশনা রয়েছে তবে একই নয় এবং অভিন্ন রূপান্তর)।

  আমাদের এই সিদ্ধান্তে পৌঁছতে হবে যে যখন আমরা এই সুপারটাস্কটি শেষ করি তখন রুটিটি অদৃশ্য হয়ে যায় । আমরা এখানে বিভিন্ন দিকে যেতে পারি। 1) আমরা বলতে পারি যে সমাধানটি খালি সেট (যদিও এই দ্রষ্টব্যটি আরএল প্যারাডক্সের তুলনায় খুব কম আনন্দদায়ক, কারণ খালি সেটটি নমুনা জায়গার অংশ নয়) 2) আমরা বলতে পারি যে অসীম অনেকগুলি অপরিজ্ঞাত টুকরা রয়েছে ( যেমন অসীম আকারের আকার) 3) বা সম্ভবত আমাদের উপসংহারটি নিতে হবে (রস 'প্রমাণ সম্পাদন করার পরে এবং খালি সন্ধান করার পরে) যে এটি কোনও সুপারটাস্ক নয় যা সম্পূর্ণ করা যায়? এই ধরণের সুপারটাস্ক শেষ করার ধারণাটি তৈরি করা যেতে পারে তবে অগত্যা "অস্তিত্ব" থাকে না (রাসেলের প্যারাডক্সের এক ধরণের)।

---

লিটলউডের বিবিধে মুদ্রিত বেসিকোভিচের একটি উক্তি:

"একজন গণিতজ্ঞের খ্যাতি তার দেওয়া সংখ্যক খারাপ প্রমাণের উপর নির্ভর করে"।

---

অ্যালিস, ভি।, কোয়েটিসিয়ার, টি। (১৯৯৫), অন ​​অফ অফ ইনফিনিট II এর কিছু প্যারাডক্স , ব্রিটিশ জার্নাল ফর দ্য ফিলোসফি অফ সায়েন্স , পৃষ্ঠা 235-247

কোয়েটিসিয়র, টি। (২০১২), দিডাটিকের সাথে উইন্ডিজের ওড়না পিংপংব্লেলেন, নিউউ আর্কিফের সাথে উইসকুন্ডে , 5/13 এনআর 4, পৃষ্ঠা 258-261 ( ডাচ মূল , অনুবাদ গুগল এবং অন্যান্য পদ্ধতির মাধ্যমে সম্ভব)

লিটলউড, জেই (1953), একজন গণিতজ্ঞ বিবিধ , পৃষ্ঠা 5 ( আর্কাইভ.অর্গের মাধ্যমে বিনামূল্যে লিঙ্ক )

মেরলিন, ডি।, স্প্রাগনোলি, আর।, এবং ভেরি এমসি (২০০২), টেনিস বল সমস্যা , জার্নাল অফ কম্বিনেটরিয়াল থিওরী , পৃষ্ঠা 307-344

রস, এসএম (1976), সম্ভাবনার প্রথম কোর্স , (বিভাগ 2.7)

টিমোকজকো, টি। এবং হেনেল, জে। (1995 মূল) (গুগলের উপর 1999 এর দ্বিতীয় সংস্করণ রেফারেন্স ), মিষ্টি কারণ: আধুনিক যুক্তির ক্ষেত্র গাইড

Comments

মন্তব্যগুলি বর্ধিত আলোচনার জন্য নয়; এই কথোপকথন চ্যাটে সরানো হয়েছে ।

— whuber

Answer 15

ঠিক আছে, আমি আবার চেষ্টা করব।

উত্তরটি হ'ল প্যারাডক্সটি খাঁটি গাণিতিক। এনুমারিস এবং কাস্টমারের উত্তরের এক দিক থেকে কী চলছে তা বলুন, তবে সমস্যাটি দেখার এটি অন্য উপায়। সমস্যাটি হ'ল আমরা কীভাবে অসম্পূর্ণতার সাথে সম্ভাব্যতাগুলি মোকাবিলা করব, যেমন জেনেস লিখেছেন (বিশদগুলির জন্য আমার অন্যান্য চেষ্টা করা উত্তরটি দেখুন)।

একটি অসীম সিরিজটি সাধারণত চিকিত্সা করা হয় যেমন এর কোনও শেষ নেই, তবে এই সমস্যাটিতে একটি শেষ সময় (12PM) রয়েছে এবং তাই যুক্তিযুক্তভাবে, এমনকি গাণিতিকভাবে না থাকলেও বলগুলি সংযোজন এবং অপসারণের একটি শেষ চক্র রয়েছে: ঘটে যাওয়া একটি অনন্তকালীন 12PM আগে। একটি 'শেষ' চক্রের অস্তিত্ব আমাদের সম্ভাব্যতার পিছনে পাশাপাশি সময়ের সাথে সামনের দিকে নজর দিতে দেয়।

সর্বশেষ যুক্ত হওয়া দশটি বল বিবেচনা করুন। তাদের প্রত্যেকের জন্য তাদের অপসারণের সম্ভাবনা শূন্য কারণ এগুলি প্রত্যেকে কেবল একটির অনন্ত বলগুলিকে সরানো হতে পারে। সুতরাং 12PM এ কমপক্ষে দশটি বল বাকি থাকতে পারে unityক্য is

Qed। একটি সম্ভাব্য যুক্তি যা বাজে বাড়ে না।

Comments

, ক্রমটির শেষ পদ আছে তার চেয়ে বেশি সমস্যার মধ্যে কোনও শেষ "চক্র" নেই , যার 1 এ "শেষ সময় "ও রয়েছে ।এন = 1 , 2 , $a_n = 1 - 1/n$$n = 1, 2, \dots$

— একভল

@ekvall আপনি কি বলতে পারবেন যে চক্রের অসীম সিরিজটি কেন 12 টা 12 টায় শেষ হতে পারে এবং এখনও তার শেষ নেই? দেখে মনে হচ্ছে এটি এমন একটি পরিস্থিতি যেখানে প্রচলিতভাবে অসম্পূর্ণতার নিয়মগুলি গ্রহণ করা হাস্যকর (প্রতি-স্বজ্ঞাত নয়, তবে ভুল) পরিণতির দিকে নিয়ে যায়।

— মাইকেল লিউ

@ মিশেললিউ: হাততালি দেওয়ার কাজটি বিবেচনা করুন। বিবেচনা করুন যে সময়ে এমন একটি সময় আসবে যেখানে আপনার হাত একসাথে 1/2 হয়। তারপরে 1/4 একসাথে। তারপরে 1/8 একসাথে। বিবেচনা করুন যে যতবার আপনার হাত একে অপরের সাথে বাকি দূরত্ব অর্ধেক করে দেয়, তারা সর্বদা এটি আবার অর্ধেক করতে পারে । এটি এমন একটি চক্র যার স্পষ্টভাবে কোনও শেষ নেই (পরবর্তী পদক্ষেপে একসাথে হাত রাখার আগে আপনাকে অবশ্যই কতগুলি পদক্ষেপ নিতে হবে?) তবে যার ধারাবাহিকতার খুব স্পষ্টভাবে শেষ হয়েছে (বা আপনি তালি দিতে অক্ষম?)

— ভেগার্ড

@ ওয়েগার্ড আপনার হাততালি না দেওয়ার কথা বিবেচনা করুন, কারণ তারা একে অপরের কাছে ক্রমশ আস্তে আস্তে আসে। শুরুর দূরত্ব এ 2 সেকেন্ডের নিতে 1/2 দূরত্ব পৌঁছানোর এবং সাধারণভাবে দেখো থেকে সেগুলিকে অ্যাক্সেস করা দূরত্বের দূরত্বেরমাইকেল +1 এর জন্য বিটিডাব্লু। $2^n$$\frac{1}{2^{n-1}}$$\frac{1}{2^n}$

— কার্ল

@ কার্ল আমার হাত কেন ক্রমশ ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে এগিয়ে যাবে? এটি একটি দু: খিত তালি হবে। অনুমান করুন যে আমার হাতগুলি কিছুটা ধ্রুবক গতিতে চলছে এবং তারপরে ব্যাখ্যা করুন যে আমি কীভাবে সীমিত সময়ের মধ্যে অসীম পরিমাণের দূরত্ব-অবিচ্ছিন্নতা coveredেকে রাখিনি? অসীম সিরিজ একত্রিত হতে পারে, এবং অনন্ত সিরিজটি 1/2 + 1/4 + ... 1/2^nরূপান্তরিত করতে পারে, যেমন আমি অনুমান করি যে যার প্রবেশিকা স্তরের ক্যালকুলাস আছে সে জানে? তবে বল-সমস্যার কোনও সমাধান না হয়ে সিরিজের নিজেই শেষ না হয়ে সীমিত সময়ে সীমাহীন সীমারেখা কীভাবে অতিক্রম করা যায় এই প্রশ্নের জবাবে এটিই।

— Vegard

Answer 16

উইলহেমের সাম্প্রতিক বেশ কয়েকটি মন্তব্য, ওল্ফগ্যাং ম্যাকেনহাইম আমাকে আমার উত্তরে কিছু নির্দিষ্ট সূত্রগুলি নিয়ে পুনর্বিবেচনা করতে বাধ্য করেছিল। আমি এটিকে একটি নতুন উত্তর হিসাবে পোস্ট করছি মূলত কারণ এই উত্তরটির ভিন্ন ভিন্ন দৃষ্টিভঙ্গি, এই সমস্যার শিক্ষার বিষয়ে বিতর্ক না করে পরিবর্তে প্যারাডক্সটি অবৈধ হওয়ার বিষয়ে।

উইলহেলম তাঁর দীর্ঘ পাণ্ডুলিপিতে সেই বিষয়ে আলোচনা করেছেন

লেনদেন সসীম ধাপ শুধুমাত্র সম্ভব (সেখানে কোনো পদক্ষেপ "সব মধ্যে সম্ভব এবং ")।$n$$n$$\omega$

এটি আমাকে এই শব্দটির কথা মনে করিয়ে দিয়েছে

$$\sum_{k=1}^\infty \prod_{n=k}^\infty \left( \frac{9n}{9n+1} \right)$$

যা রস এর কাজ থেকে প্রাপ্ত। এই শব্দটি অনির্দিষ্ট হয় যখন অনন্তের পথে নিম্নলিখিত সীমাটির জন্য সংজ্ঞা দেওয়া হয় না ।

$$\lim_\limits{(l,m)\to(\infty,\infty)}\sum_{k=1}^l\prod_{n=k}^m\left(\frac{9n}{9n+1}\right)$$

এটি উইলহেলম যে বিন্দুটির সাথে আলোচনা করেছে এবং আকসকলের উত্তরেও উল্লেখ করা হয়েছে তার সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ বলে মনে হয়। সময়ের পদক্ষেপগুলি অসীম আকারে ছোট হয়ে যায়, সুতরাং আমরা সেই অর্থে রাত 12 টা পৌঁছাতে সক্ষম হব, তবে একই সাথে আমাদের একটি বল (অফসিসিকাল) অসীম সংখ্যার বল যোগ করতে এবং মুছে ফেলার প্রয়োজন হবে। জেনোর তীরের মতো একটি প্রক্রিয়াতে এই সুপারটাস্ক সংযুক্ত করা একটি মিথ্যা ধারণা, ঠিক যেমন থম্পসনের প্যারাডোক্সিকাল ল্যাম্পের একটি সুপারটাস্কের শেষে কোনও নির্দিষ্ট অবস্থান থাকতে পারে না।

সীমাবদ্ধতার ক্ষেত্রে আমরা বলতে পারি যে আমরা যে অনন্তের দিকে যাই তা শারীরিক পথ

$$\lim_\limits{l\to \infty}\sum_{k=1}^l\prod_{n=k}^l\left(\frac{9n}{9n+1}\right) = \lim_\limits{l\to \infty} \frac{9l}{10}$$

তাই শূন্য নয় তবে অসীম।

Comments

এফওয়াইআই, ওল্ফগ্যাং ম্যাকেনহাইম কয়েক দশক ধরে ম্যাথফর্ম.আর.কম

— Paul

এই তথ্যের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ, এবং সত্য বলতে আমি পুরো পাণ্ডুলিপিটি পড়িনি, যদিও আমি একটি চমৎকার চূড়ান্তবাদী যুক্তি পছন্দ করি, এবং তার যুক্তি (ট্রল বা না) তা বোঝায় (যা ট্রোলিংয়ের ক্ষেত্রে অস্বাভাবিক নয়)। যদিও আমি ব্যক্তিগতভাবে বলেছি, যদি পদক্ষেপগুলি অসীম আকারে ছোট হয়ে যায় তবে আমাদের একটি (শারীরিক) প্রক্রিয়া থাকতে পারে যা পদক্ষেপের সংখ্যায় অসীম হিসাবে বিবেচিত হতে পারে। দুঃখের বিষয়, এটি তার ট্রোলিং ততটা নয়, এবং বিপরীত অবস্থানের বিরুদ্ধে ভোটগুলি নিয়ে (বা তাদের নিজস্ব পক্ষে) প্রচুর পরিমাণে হুড়োহুড়ি যা তার থ্রেডে আলোচনাকে ক্ষতিগ্রস্ত করে এবং জ্বালানী ট্রলিং (বা অন্য)।

— মার্টিজন ওয়েটারিংস

@ মার্তিজন ওয়েটারিংস: এখানে প্রায় কে ট্রোল তা প্রমাণ করা সহজ: ক্যান্টোরের ধারণা 1, 2, 3, ... এর পরে সীমা- । প্রথমে এই লঙ্ঘন করে গাণিতিক আনয়ন, কারণ এর আগে আছে সবসময় অন্য প্রাকৃতিক সংখ্যা। দ্বিতীয়ত, সেট তত্ত্বের কোনও শারীরিক প্রাসঙ্গিকতা বাদ দিতে, ক্রিয়াকলাপগুলি গণনা করা হয় এমন একটি আনন্দময়-রাউন্ডের দ্বারা ক্রমটি মডেল করুন। সীমা থাকতে পারে? ( বছর ধরে মহাকর্ষীয় তরঙ্গ নিঃসরণ করার পরে পৃথিবীর কক্ষপথের পতন অবশ্যই সেট তত্ত্বের ফলস্বরূপ নয়।)ω 10 $\omega$$\omega$$10^{15}$

— উইলহেলম

"প্রথমে এটি গাণিতিক আবেগ লঙ্ঘন করে, কারণ before আগে সর্বদা অন্য প্রাকৃতিক সংখ্যা থাকে।" গাণিতিক আবেশন "এর আগে" what কী হওয়া উচিত বা কী হওয়া উচিত তা সম্পর্কে কিছুই বলে না ω সীমা অধ্যাদেশগুলি আনয়ন দ্বারা উত্পাদিত হয় না এবং আবেশনগুলির উপস্থিতি আছে কি নেই সে সম্পর্কে কিছুই বলার নেই। গণিত কীভাবে কাজ করা উচিত সে সম্পর্কে আপনার মন ভ্রান্ত অনুমান দ্বারা পরিপূর্ণ এবং এই ভ্রান্ত অনুমানগুলি যখন সত্যিকার গণিতের বিরোধিতা করে আপনি পরবর্তীকে দোষ দেন।

— পল

গাণিতিক আনয়ন বলে যে প্রতি জন্য এবং এটি কখনই পরিবর্তিত হয় না । সীমার অর্ডিনালটি গণিতবিদরা ধরে নিয়েছেন যারা অসীমকে বোঝার পক্ষে অক্ষম। সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার উপরে পরিমাণ বোঝানোর অর্থ কী? এর অর্থ কি কেবল সেই প্রাকৃতিক সংখ্যারই নেওয়া যা প্রত্যেক প্রাকৃতিক সংখ্যার বৈশিষ্ট্যযুক্ত সম্পত্তি রয়েছে, অর্থাত্ অসীম বহু প্রাকৃতিক সংখ্যা অনুসরণ করবে? তারপরে আপনি সেগুলি সব পান না কারণ সর্বদা অসীম অনেকগুলি অবশিষ্ট থাকে। বা আপনি ব্যতিক্রম ছাড়াই সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যা গ্রহণ করেন? n + $n$$n+1$

— উইলহেলম

Answer 17

আমি বিশ্বাস করি যে এই উদাহরণটি "যদি অনুমানটি মিথ্যা হয় তবে শর্তাধীন সত্য"

এই মহাবিশ্বে কোনও অসীম কলুষ নেই এবং বলের অসীম সংগ্রহ নেই। সময়কে নির্বিচারে ছোট ছোট টুকরো টুকরো করা অসম্ভব।

সুতরাং শেল্ডন রস সঠিকভাবে বলেছেন যে বার্নটি 12:00 এ খালি রয়েছে। যে শিক্ষার্থীরা বলেছে যে বার্নের 12:00 এ অসীম বল রয়েছে ঠিক ঠিক তেমনি।

আপনি যদি উত্তর দিয়েছিলেন যে ইর্নটির 50 টি বল রয়েছে তবে আপনিও সঠিক।

আমি কঠোরভাবে প্রমাণ করতে পারি নি যে এই মহাবিশ্বে অসীম কলস এবং অসীম বল নেই এবং সেই সময়টি পারমাণবিক নয় - আমি কেবল এই জিনিসগুলিকে বিশ্বাস করি। যদি আপনি বিশ্বাস করেন যে এই তিনটি দাবিই ভুল, তবে আপনি বিশ্বাস করেন যে রসের সমস্যাটি অনুগতভাবে মিথ্যা প্রমাণযোগ্য। আমি আপনার পরীক্ষামূলক ফলাফলের জন্য অপেক্ষা করছি।

Comments

আপনি কি পরীক্ষামূলক ফলাফলের জন্য অপেক্ষা করছেন যে এই যুক্তিতে অযৌক্তিক যে এই মহাবিশ্বের একটি বৃত্তে অসীম সংখ্যার ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র ত্রিভুজগুলির পক্ষে উপযুক্ত কোনও উপায় নেই? $\pi$

— ব্যবহারকারী 60

@ ইউজার 603 না, তবে আমি দাবি করি পাই এর শেষ সংখ্যাটি 7.. আপনি অন্যথায় প্রমাণ করতে পারবেন?

— এমোরি

প্রকৃতপক্ষে, এটি একটি উপযুক্ত পার্থক্য।

— ব্যবহারকারী 60

-1। সমস্যাটি গাণিতিকভাবে সংজ্ঞায়িত এবং শারীরিক উপলব্ধির অসম্ভবতার সাথে এর কোনও যোগসূত্র নেই।

— অ্যামিবা

আমি এই প্রশ্নটি আজেবাজেও খুঁজে পাই। যদি বারান্ট 12:00 টায় খালি থাকে তবে অবশ্যই এমন একটি সময় ছিল যখন শেষ বলটি সরানো হয়েছিল। তবে যে কোনও মুহুর্তে যখন একটি বল সরানো হয়, আরও বল যুক্ত করা হয় যাতে শেষ বলটি সরিয়ে না দেওয়া হয়। শেষ বলটি সরানো আছে এমন কোনও সময় কীভাবে থাকতে পারে? অন্যদিকে, যদি 12 টা বাজে বল যোগ করা বন্ধ হয়ে যায়, তবে অবশ্যই এমন একটি সময় থাকতে হবে যাতে শেষ বলটি যুক্ত হয়েছিল। তবে, যদি কিছু বল সর্বশেষে যোগ করা হত, তবে কলসটিতে অসীম অনেকগুলি বল থাকতে পারে না। একটি প্রক্রিয়াটির কোনও সূচনা হতে পারে না, কখনও শেষ না হওয়া এবং তবুও বন্ধ হয়ে যেতে পারে।

— কেভিন

Answer 18

আমি এই মতামতকে সমর্থন করি যে সমস্যাটি উদ্ভাসিত। আমরা যখন স্থায়ী কিছু বিবেচনা করি তখন আমাদের প্রায়শই একটি সীমা ব্যবহার করতে হয়। মনে হচ্ছে এখানেই একমাত্র পথ। যেহেতু আমরা বিভিন্ন বল পার্থক্য করি তাই আমাদের একটি অসীম-মাত্রিক প্রক্রিয়া রয়েছে যেখানে সময়, ঘোরা আছে যদি বল সময়ে এবং অন্যথায়।T = - 1 , - 1 / 2 , - 1 / 4 , । । । এক্স টি , জে = 1 জে টি + 0 এক্স টি , জে =

$$(X_{t,1}, X_{t,2},...),$$ $t=-1,-1/2,-1/4,...$$X_{t,j}=1$$j$$t+0$$X_{t,j}=0$

এখন এটি প্রত্যেকের বিবেচনার ভিত্তিতে যা রূপান্তরটি ব্যবহার করে: ইউনিফর্ম, , , ইত্যাদি বলা বাহুল্য, উত্তরটি পছন্দের উপর নির্ভর করে।$l_p$

আমরা যখন অসীম-মাত্রিক ভেক্টরগুলির সংযোগ বিবেচনা করি তখন এই সমস্যাটির ভুল বোঝাবুঝি এই বিষয়টিকে অবহেলা করা থেকে যায় যে মেট্রিক সমস্যাগুলি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ are একত্রিতকরণের ধরণটি বেছে না নিলে সঠিক কোনও উত্তর দেওয়া যায় না।

(শূন্য ভেক্টরের সাথে উপাদান হিসাবে রূপান্তর রয়েছে While যদিও আদর্শ বলের সংখ্যা গণনা করে, তাই এই আদর্শে প্রক্রিয়াটি বিস্ফোরিত হয়))$l_1$

Comments

"কলস খালি" যদি এবং কেবলমাত্র প্রতিটি বল যে beenোকানো ছিল তা শেষ পর্যন্ত বের করে দেওয়া হয়। শূন্যতার সংজ্ঞা এটি। এবং এটি উপাদান অনুসারে রূপান্তরিত করে।

— অ্যামিবা

আমি এই উত্তরের সাথে একমত প্রথমত, কোন রূপান্তর ধারণাটি বেছে নেওয়ার সম্ভাবনা তত্ত্ব থেকে সম্পূর্ণ স্বাধীন। এটি কারণ নয় যে আমাদের পয়েন্টওয়াইজ কনভার্জেন্স / প্রোডাক্ট টপোলজি (যেখানে এখানে একটি পয়েন্ট একটি নির্দিষ্ট পরিচয় সহ একটি বল) ব্যবহার করার অভ্যাস আছে যে এই ধারণাটি কেবলমাত্র বিকল্প হিসাবে ব্যবহার করা উচিত। এটি সমস্যা বা কোনও সাধারণ সম্মেলনে নির্দিষ্ট করা হয়নি। এবং এটি এমনকি যদি আমরা স্ট্যান্ডার্ড সম্ভাব্যতা তত্ত্বের সাথে একমত হই।

— বেনোইট সানচেজ

এটি কার্গো কাল্ট গণিত। আপনি মেট্রিক সমস্যাগুলিতে ফেলে দেন কারণ তারা অন্যান্য সমস্যার জন্য গুরুত্বপূর্ণ, কারণ তারা এই সমস্যার সাথে প্রাসঙ্গিক নয়।

— পল

@ পল "কার্গো কাল্ট ম্যাথ"। কখনই ভাবেন নি যে এই জাতীয় শব্দটির উপস্থিতি রয়েছে। এটি সম্পর্কে চিন্তা করবে। :)

— ভিক্টর

(+1) আমি একমত যে এই সমস্যাটি কোনও মেট্রিক ছাড়াই পোস্ট করা হয়েছে। তদতিরিক্ত, শূন্য বলের উত্তর একই সময়ে 1 টি বল তাই শূন্য বলের উত্তর কোনও সংখ্যা নয়। গণনাযোগ্য অনন্তটি কোনও সংখ্যা নয়। অসুস্থ-প্রশ্নযুক্ত প্রশ্ন। সত্যিই এমন হাস্যকর প্রশ্ন রয়েছে যেগুলির কোনও উত্তর নেই।

— কার্ল

Answer 19

আনুষ্ঠানিক শিক্ষার চেয়ে আরও স্বজ্ঞাততা:

মধ্যরাতের অন্তর যদি স্থির থাকে তবে আমরা কখনই মধ্যরাতে পৌঁছাতে পারি না ... আমরা কেবল আশ্রয়হীনভাবে পৌঁছাই; তাই এক তর্ক হতে পারে সেখানে হয় কোন সমাধান।

বিকল্পভাবে, বাক্সের উপর নির্ভর করে:

• যেহেতু +10 বলের অসীম অন্তর রয়েছে উত্তরটি অসীম
• যেহেতু (+10 বল - 1) এর অসীম অন্তর রয়েছে উত্তরটি 10 ​​* অসীম -1 * অসীম = 0?
• যেহেতু (+9 বল) অসীম অন্তর রয়েছে +1 উত্তর অসীম +1 1

Comments

দেখে মনে হচ্ছে আপনি জেনোর সাথে একমত হবেন যে অচিলিস কখনও কচ্ছপটি ধরতে পারে না ; এবং আরও খারাপ, দু'জনেই এমনকি তাদের প্রতিযোগিতা শুরু করতে পারে না।

— whuber

@ হুবুহু এই সমস্যাগুলি এই উত্তরটির সাথে মোটেই সম্পর্কিত নয়।

— ক্লিয়ারার

@ ক্লেয়ার আমি পরামর্শ দিতে চাই যে তারা "অনন্ত" এর নিরীহ ব্যবহারের মাধ্যমে তারা নিবিড়ভাবে সম্পর্কিত।

— হোবার

-1 কারণ এটি এখন আমার ঘড়িতে 00:00 তাই শেষ মুহুর্তের সময় বিজ্ঞাপনের আধিক্য থাকা সত্ত্বেও আমি ঠিক মধ্যরাতে পৌঁছেছি।

— অ্যামিবা

@ অ্যামিবা বিচ্ছিন্নতাটি হ'ল আপনার সেই সময় অপসারণ করা অসংখ্য বল রয়েছে। ঠিক কোথায় আপনি এই সংখ্যা বল রাখছেন? বলগুলি কি অসীমভাবে ছোট হয় যাতে আমাদের জন্য নন-বলের জন্য মহাবিশ্বে পর্যাপ্ত জায়গা থাকতে পারে? মনে মনে, অসীম ছোট ছোট বলগুলি তখনও একটি অসীম ভলিউম দখল করতে পারে এবং আপনি যখন মেট্রিক্সের সাথে খেলেন তখন এখানে পোস্টগুলির মতো নিয়মগুলি এতটা নির্বোধ নয়।

— কার্ল

Answer 20

পুনর্লিখন: জানুয়ারী 16, 2018

বিভাগ 1: রূপরেখা

নীচে এই পোস্টটি মৌলিক ফলাফল:

• এই পদক্ষেপটি যায় বলে হাফওয়ে বলের সীমাতে প্রায় % থাকার সম্ভাবনা থাকে - এটি উভয়ই সত্যিকারের বিশ্ব পর্যবেক্ষণ এবং গাণিতিকভাবে উদ্ভূত। উত্পন্ন একটি ডোমেন রয়েছে example উদাহরণস্বরূপ, হাফওয়ে বলের সীমাতে থাকা সম্ভাবনাটি ডোমেনের মান সাথে সামঞ্জস্য করে This পদক্ষেপের আকার।$0.91$$\infty$
  $(0,1]$$1/2$
• রসের বিশ্লেষণটি ভুল নয় তবে এটি অসম্পূর্ণ কারণ এটি যুক্তিগুলি ক্রম অনুসারে যুক্তিগুলিকে পুনরাবৃত্তি করার চেষ্টা করে । যুক্তিগুলির দৈর্ঘ্যের ক্রমে পুনরাবৃত্তি করা যায় না। সুতরাং, রস বিশ্লেষণ সম্পূর্ণ ডোমেন অ্যাক্সেস করতে পারে না এবং শুধুমাত্র মোট আচরণের একটি সীমাবদ্ধ দৃষ্টিভঙ্গি দিতে পারে।$\left(i,\infty\right), i=1..\infty$
  
• তবে রস বিশ্লেষণটি একটি নির্দিষ্ট পর্যবেক্ষণযোগ্য আচরণের জন্য দায়ী: সীমাতে 1 থেকে সিরিয়াল পুনরাবৃত্তির মাধ্যমে প্রথম বাকী বলসে পৌঁছানো সম্ভব নয়।
• রসের সীমাবদ্ধতার সিকোয়েন্সগুলিতে কিছু দুর্দান্ত বিশ্বাসযোগ্য বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা স্বজ্ঞাতভাবে অনন্য বলে মনে হয়।
  যাইহোক, আমরা সীমাবদ্ধতার ক্রমের আরও একটি সেট দেখি যা একই দুর্দান্ত বৈশিষ্ট্যগুলিকে সন্তুষ্ট করে এবং আমাদের ফাংশনের জন্য মান দেয়।

বিভাগ 2 "স্বরলিপি এবং পরিভাষা" এই পোস্টে ব্যবহৃত স্বরলিপি এবং পরিভাষা জুড়ে।

বিভাগ 3 "দ্য হাফওয়ে বলসেট" একটি বাস্তব বিশ্ব পর্যবেক্ষণের সূচনা করে - এমন একটি বলের অবশিষ্টাংশের সম্ভাবনার সীমাতে রূপান্তর যা এর সূচকটি সমস্ত sertedোকানো বলের মধ্য দিয়ে অর্ধেক পথ অবধি থাকে। এই সীমা মান প্রায় 91%। হাফওয়ে বলসেটের ক্ষেত্রে যে কোনও যৌক্তিক ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করা হয় , যার সকলেরই শূন্য নয় সীমাবদ্ধতার মান। $(0,1]$

ধারা 4 "প্যারাডক্সের রেজোলিউশন" রসের ফলাফল এবং 'যুক্তিযুক্ত-ডোমেন' ফলাফল (এখানে বর্ণিত) উভয়ই অন্তর্ভুক্ত করার জন্য একটি একীভূত কাঠামো উপস্থাপন করেছে। ইতিমধ্যে উল্লিখিত হিসাবে, রস 'বিশ্লেষণ একটি সম্পূর্ণ আচরণের একটি সীমাবদ্ধ দৃষ্টিভঙ্গি প্রস্তাব। সুতরাং, প্যারাডক্সের উত্সটি চিহ্নিত এবং সমাধান করা হয়েছে।

পরিশিষ্টে আরও কিছু গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল নিয়ে গুরুত্বপূর্ণ আলোচনা করা হয়েছে:

• "সীমাবদ্ধতায় প্রত্যাশা" পদক্ষেপের আকারের কোনও ভগ্নাংশ সহ অবধি অবশিষ্ট বলের সংখ্যা গণনা করে।
• এই ফলাফলের একটি তাত্ক্ষণিক প্রথম বলের সূচকটি নির্ধারণ করছে যা একের চেয়ে বেশি থাকার প্রত্যাশা রয়েছে।

বিভাগ 2: স্বরলিপি এবং পরিভাষা

• আমরা বল পদে পদে সন্নিবেশিত ইনডেক্স লেবেল যেমন এবং কল সেট ম "ballset"। ব্যালসেট একটি শব্দ, এই পোস্টের জন্য তৈরি। এই পরিভাষা আফসোসভাবে রসের পরিভাষা থেকে বিচ্যুত হয় তবে এটি পাঠ্যটিকে আরও পরিষ্কার ও সংক্ষিপ্ত করে তোলে।$n$$\{n.1, n.2, n.3, ..... n.10\}$$n$
  
• স্বরলিপি ঘটনা যে বল বোঝায় ballset মধ্যে পদে পদে রয়ে , ballset অন্যান্য বাজে কথা উপেক্ষা।$E(a,b)$$a.1$$a$$b$
• স্বরলিপি একটি সংক্ষেপণ এবং এটি এর সম্ভাব্যতা বোঝায় । মনে রাখবেন যে, সব বাজে কথা ballset মধ্যে অবশিষ্ট একই সম্ভাবনা আছে। - এর মান হয় ।$P(a,b)$$P(E(a,b))$$E(a,b)$
  $a.i$$a$
  $P(E(a,b))$$\prod_{k=a}^{b} \frac{9k}{(9k+1)}$
• রস সীমা সম্ভাব্যতা যেমন অনন্ত যায়: -$P(a)$$P(a,b)$$b$
  $P_{lim1}(a) = \lim_{b\rightarrow\infty} P(a,b)$
• যৌক্তিক-সীমাটি সীমিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় উভয় বল সূচক এবং ধাপ ধ্রুবক অনুপাত বজায় রেখে অনন্ত হয়ে যায়: -$a$$b$$P_{lim2}(a,b) = \lim_{k\rightarrow\infty} P(ka,kb)$

বিভাগ 3: হাফওয়ে বলसेट

প্রতিটি সমান ধাপে , অর্ধেক ব্যালসেটটি ম ব্যালসেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় । প্রতিটি ধাপ , বাকি অর্ধেক সম্ভাবনা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় । হিসাবে সীমাতে , বাকি অর্ধেক সম্ভাবনা তাই । নীচের তত্ত্বটি 1 বাকী অংশের অর্ধেক সম্ভাবনার জন্য একটি সাংখ্যিক মান দেয়।$2n$$n$$2n$$P(n,2n)$
$n\rightarrow\infty$$\lim_{n\rightarrow\infty} P(1*n,2*n)$

উপপাদ্য 1 - একটি অনুপাত-সংরক্ষণকারী ডোমেন ক্রমটিতে উপাদানগুলির সম্ভাবনার সীমা

$$\begin{equation} \lim_{n\rightarrow\infty} P(a*n,b*n) = (\frac{a}{b})^\frac{1}{9} \end{equation}$$ প্রমাণ পরিশিষ্টের ঠিক আগে দেওয়া হল।

উপপাদ্য 1 দ্বারা, সীমাতে থাকা অর্ধেক সম্ভাবনা হ'ল যা আনুমানিক দশমিক মানের মূল্যায়ন করে ।$(\frac{1}{2})^\frac{1}{9}$$0.925875$

স্যানিটি চেক অর্ধেক সম্ভাবনার সংখ্যার সীমা "সঠিক দেখাচ্ছে" কিনা তা দেখতে স্যানিটি পরীক্ষা করতে দেয়।

$$\begin{array}{|l|rcl|} \hline n & P(n/2,n) &=& \text{trunc decimal val} \\ \hline 1000 & P(500,1000) &=& 0.92572614082 \\ \hline 10000 & P(5000,10000) &=& 0.9258598528 \\ \hline 100000 & P(50000,100000) &=& 0.925873226 \\ \hline 1000000 & P(500000,1000000) &=& 0.92587456 \\ \hline \hline \infty & \lim_{n\rightarrow\infty} P(n,2n) &=& 0.925875 \\ \hline \end{array}$$

প্রথম 4 টি সারি হ'ল যথাক্রমে , , এবং step 6 এর ধাপ সংখ্যার মানগুলির অর্ধেক সম্ভাবনা । চূড়ান্ত সারিটি সীমা। মনে হচ্ছে অর্ধেক সম্ভাবনা সত্যই পূর্বাভাস সীমাতে রূপান্তর করছে। এই বাস্তব বিশ্ব পর্যবেক্ষণ, যা রস এর কাঠামোর মধ্যে খাপ খায় না, এটি ব্যাখ্যা করা দরকার। $10^3$$10^4$$10^5$$10^6$

** ধারা 4 "প্যারাডক্সের সমাধান" **

এই বিভাগটি রস উভয়ের বিশ্লেষণ এবং যুক্তিযুক্ত-ডোমেন বিশ্লেষণের জন্য একীভূত কাঠামো ব্যাখ্যা করে, তাদের একসাথে দেখে প্যারাডক্সটি সমাধান হয়ে যায়।

যৌক্তিক সীমা যৌক্তিক থেকে বাস্তবের : যেখানে এবং । এখানে সাধারণ গুণনীয়ক নির্দেশ করে। সমতুল্যভাবে বিবৃতি "হয় এবং হয় পারস্পরিক প্রধানমন্ত্রী ", এবং" কমে ভগ্নাংশ । $P_{lim2}(a,b)$$(0,1]$$(0,1]$

$$\begin{array}{rcl} P_{lim2}(a,b) &=& lim_{k\rightarrow\infty} P(ka,kb) \\ &=& (\frac{a'}{b'})^\frac{1}{9} \end{array}$$ $gcd(a',b')=1$$\frac{a'}{b'} = \frac{a}{b}$$gcd()$$a'$$b'$$\frac{a'}{b'}$$\frac{a}{b}$

রস সীমাটি যৌক্তিক সীমাবদ্ধতার ক্রম সীমা হিসাবে লেখা যেতে পারে: tuple মধ্যে rationals সদস্য নয় এটা জন্যে । অতএব রস সীমা ফাংশন isomorphic হয় ডোমেনে এবং তার ইমেজ সবসময় অনন্য বাস্তব হয় ।

$$\begin{array}{rclr} P_{lim1}(a) &=& lim_{k\rightarrow\infty} P(a,k) & \\ &=& lim_{i,k\rightarrow\infty} P(ka/i,kb) & \text{for some } b \\ &=& lim_{i\rightarrow\infty} P_{lim2}(a/i,b) & \\ &=& lim_{i\rightarrow\infty} P_{lim2}(0,b) & \end{array}$$ $(0,b)$$(0,1]$$[0,0]$$P_{lim2}(a,b)$$[0,0]$$0$

রস সীমা এবং যুক্তি-সীমা দুটি যথাক্রমে দুটি বিপর্যস্ত ডোমেন এবং এ একই ফাংশন Ro রস সীমাটি কেবলমাত্র বলসেট সূচকগুলির ক্ষেত্রে বিবেচনা করে যা অনন্তকালের তুলনায় অসীমভাবে ছোট আপেক্ষিক হিসাবে বিবেচিত হয় ধাপে আকার. $[0,0]$$(0,1]$

রস-সীমা বিশ্লেষণটি ভবিষ্যদ্বাণী করে যে সীমাতে, ক্রমান্বয়ে অ-শূন্য মানের কাছে পৌঁছাতে পারে না। এটি একটি সঠিক এবং বাস্তব বিশ্ব পর্যবেক্ষণের সাথে মিলে যায়।$P_{lim1}(i)$$i=1,2,...\infty$

যুক্তি-সীমা বিশ্লেষণ বাস্তব বিশ্বের পর্যবেক্ষণগুলির জন্য যেমন অর্ধপথ বলসেট যা রস-সীমা দায়বদ্ধ করে না accounts ফাংশনটি একই তবে ডোমেনটি পরিবর্তে হয়$P_{lim2}(a,b)$$(0,1]$$[0,0]$

নীচের চিত্রটি উভয় রস সীমা ক্রম এবং যুক্তিসঙ্গত সীমা ক্রমগুলি চিত্রিত করে।

এটি সম্ভবত বলা উপযুক্ত যে রস 'বিশ্লেষণে অন্তর্নিহিত ধারণাটি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে যে রস-সীমা এবং এর ডোমেনটি সম্পূর্ণ আগ্রহের ডোমেন। অন্তর্নিহিত অন্তর্নিহিত অন্তর্নিহিত রস 'অনুমিতি নীচের চারটি শর্তের কারণে যেমন তারা স্পষ্টভাবে স্বীকৃতি না পেয়েছে:

যাক হতে তম রথ সীমা অনুক্রম। যাক রথ সীমা ক্রম ইউনিয়ন হও। $S_i = P(i,n), n=1,...,\infty$$i$$S = \cup_{i=(1...\infty)} S_i$

• (1) ক্রমগুলি বিচ্ছিন্ন এবং প্রতিটি অনুক্রম একত্রিত হয়।$S_i$
• (2) সব ক্রম উপাদানের ইউনিয়ন ঠিক সমস্ত (বল, পদক্ষেপ) সেট আবরণ tuples খেলা উদ্ভেদ:$S$$\{ (i,n)\ |\ i\leq n\ \land \ i,n\in Q \}$
• (3) ক্রমগুলির , ধাপ সূচীতে অসীম , তাই তারা "তাড়াতাড়ি" শেষ করে না।$S_i$$n$
• (4) সিকোয়েন্স নিজেদের একটি সুপার-ক্রম গঠন । অতএব যে সুপার-সিকোয়েন্সটি পুনরাবৃত্তভাবে "তৈরি" করা যেতে পারে, আই, ই, তারা গণনাযোগ্য।$S_i$$\{ S_i \}_{i_in (1...\infty) }$

এটি অবিলম্বে সুস্পষ্ট নয় যে সীমাবদ্ধতার ক্রমের আরেকটি ব্যবস্থা উপরের পয়েন্টগুলি (1) - (4) পূরণ করতে পারে।

তবে, আমরা এখন সীমাবদ্ধতার ক্রমগুলির আরও একটি সিস্টেম নিয়ে আলোচনা করব যা প্রকৃতপক্ষে উপরের পয়েন্টগুলি (1) - (4) সন্তুষ্ট করে।

যাক , যেখানে , মূলদ সীমা ক্রমের প্রতিনিধিত্ব করে যাক পারস্পরিক প্রধানমন্ত্রী tuples হতে : = । যাক ইউনিয়ন বলেন মূলদ সীমা সিকোয়েন্স: $S_{p,q}$$gcd(p,q)=1$

$$\begin{equation} S_{p,q} = \{ (kp,kq) \}_{k\in (1...\infty)} \end{equation}$$ $D^*$$D$$D^* =\{ (p,q)\in D \land gcd(p,q)=1 \}$$S^*$$S^* = \cup_{d\in D^*} S_{p,q}$

স্পষ্টতই the অনুক্রমগুলি যার ইউনিয়ন উপরের বৈশিষ্ট্যগুলি পূরণ করে (1) - (3)। সূচকগুলি হুবহু যুক্তিযুক্ত । শর্তটি পূরণ করার জন্য (4) আমাদের দেখানো দরকার যে এর উপরের যুক্তি গণনাযোগ্য। $S_{p,q}$$S^*$
$(p,q)$$(0,1]$$(0,1]$

অর্ডার এর (ফ্রেই সিকোয়েন্স) 2 হ'ল 0 এবং 1 এর মধ্যে সম্পূর্ণ কমে যাওয়া ভগ্নাংশের ক্রম যা সর্বনিম্ন পদগুলিতে চেয়ে কম বা সমান , ক্রমবর্ধমান আকারের ক্রমে সাজানো হয়। এখানে প্রথম আটটি ফরে সিকোয়েন্স রয়েছে:$n$$n$

 F1 = {0/1,                                                                                                          1/1}
 F2 = {0/1,                                                   1/2,                                                   1/1}
 F3 = {0/1,                               1/3,                1/2,                2/3,                               1/1}
 F4 = {0/1,                     1/4,      1/3,                1/2,                2/3,      3/4,                     1/1}
 F5 = {0/1,                1/5, 1/4,      1/3,      2/5,      1/2,      3/5,      2/3,      3/4, 4/5,                1/1}
 F6 = {0/1,           1/6, 1/5, 1/4,      1/3,      2/5,      1/2,      3/5,      2/3,      3/4, 4/5, 5/6,           1/1}
 F7 = {0/1,      1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3,      2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5,      2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7,      1/1}
 F8 = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1}

যাক প্রতিনিধিত্ব ম Farey ক্রম প্রথম উপাদান ছাড়া ।$F^*_n$$n$$0/1$

যাক যা এবং ধাপে সহ অন্তত একটি উপাদান আছে মূলদ সীমা ক্রম ইউনিয়ন : $S^*_n$$n$

$$\begin{equation} S^*_n = \{ S_{p,q}\ |\ \exists (a,b) \} \end{equation}$$

সূচকের উপাদানগুলি ভগ্নাংশ থেকে টুপলে রূপান্তরিত হয়, ঠিক ঠিক উপাদানগুলিকে সূচক করে । নীচের সারণী রস বিশ্লেষণ এবং যুক্তি সীমা বিশ্লেষণের সীমাবদ্ধতার ক্রমগুলির গোষ্ঠীকরণের সাথে তুলনা করে:$F^*_n$$S^*_n$

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & \text{Ross} & \text{rational} \\ \hline \text{num new seq per step } & 1 & \text{multiple (generally)} \\ \hline \text{new seq at step } n & S_n & F^*_n - F^*_{n-1} \\ \hline \text{tot num seq up to step }n & n & \| F^*_n \| \\ \hline \text{super-seq up to step }n & \{ S_m \}_{m=1}^{n} & F^*_n \\ \hline \end{array}$$

অবশেষে, যেহেতু পুনরাবৃত্তভাবে সুপার সিকোয়েন্স তৈরির জন্য পদ্ধতিগুলি [ 3 ], [ 4 ] উপস্থিত রয়েছে তাই শর্ত (4 )ও সন্তুষ্ট।$F^*_n$

সেগুলির মধ্যে একটি পদ্ধতি, স্টার্ন-ব্রোকট গাছের একটি রূপ নিম্নরূপ:

এবং দুটি যুক্তির মধ্যস্থতাকে defined হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে$a/c$$b/d$$\frac{a+b}{c+d}$

• সেট করুন$F*_n = \emptyset$
• সংযোজন করুন করার$1/n$$F*_n$

• জন্য লুপ মধ্যে$i$$1...(\|F*_{n-1}\|-1)$

  • সংযোজন করুন এফ করুন * _n $$F*_{n-1}[i]$

  • আসুন$x = mediant(F*_{n-1}[i], F*_{n-1}[i+1])$

  • যদি যোগ করে$denom(x) \leq n$$F*_n$
  • অবিরত লুপ
• সংযোজন করুন থেকে$F*_{n-1}[n]$$F*_n$

প্যারাডক্স সমাধান করা হয়েছে।

উপপাদ্য 1 এর প্রমাণ প্রথম নোট করুন: যেখানে শেষ রূপান্তরটি হ'ল স্টার্লিং রূপান্তর।

$$\begin{eqnarray} P(E_{a,b}) &=& \prod_{k=a}^{b} \frac{9k}{(9k+1)} \\ &=& \frac{\Gamma \left(a+\frac{1}{9}\right) \Gamma (b+1)}{\Gamma (a) \Gamma\left(b+\frac{10}{9}\right)} \\ &=& (a-1)^{\frac{1}{2}-a} \left(a-\frac{8}{9}\right)^{a-\frac{7}{18}} b^{b+\frac{1}{2}} \left(b+\frac{1}{9}\right)^{-b-\frac{11}{18}} \end{eqnarray}$$

তারপরে, সিন্ট্যাক্টিকভাবে এবং সর্বশেষ (স্টার্লিং ফর্ম) সমীকরণের আমরা $a\rightarrow a*n$$b\rightarrow b*n$

$$\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow\infty} P(E_{a,b}) &=& \lim_{n\rightarrow\infty} (a M-1)^{\frac{1}{2}-a M} \left(a M-\frac{8}{9}\right)^{a M-\frac{7}{18}} (b M)^{b M+\frac{1}{2}} \left(b M+\frac{1}{9}\right)^{-b M-\frac{11}{18}} \\ &=& \left(\frac{a}{b}\right)^\frac{1}{9} \end{eqnarray}$$

পরিশিষ্ট: অন্যান্য ফলাফল

সীমাতে প্রত্যাশা

এই বিভাগটি বলের প্রত্যাশিত সংখ্যার জন্য অবশিষ্ট পদক্ষেপ এবং পদক্ষেপের আকারের কোনও ভগ্নাংশ সহ একটি বদ্ধ প্রকাশ দেয়।
এই ফলাফলের একটি তাত্ক্ষণিক হ'ল প্রথম বলের সূচকের একটি সংখ্যাসূচক অনুমান যা একের বেশি থাকার প্রত্যাশা থাকে।

( চলবে )

Comments

দুটি ভিন্ন প্রশ্নের একই উত্তর দুটি পোস্ট করবেন না দয়া করে।

— Glen_b

@ গ্লেন_ বি - আমি সম্পূর্ণ আমার গাণিতিক এবং পরিসংখ্যানিক পদ্ধতির পরিবর্তনে আমার উত্তরটি নতুন করে লিখেছি। কোন দর্শন, সেট, গণনা, বা গণনা বিজ্ঞান নেই। আমি মনে করি এটি এই বোর্ডের সাথে সামঞ্জস্য রেখে। আমি এটি একটি নতুন উত্তর হিসাবে পোস্ট করতে পারে? আমি আপনার বিবেচনা প্রশংসা করব।

— ক্রেগ হিক্স

আপনি এখানে আমাকে যা করতে বলছেন তা আমি নিশ্চিত নই। আপনি যদি সত্যিই ভাবেন যে আপনার আলাদা উত্তর রয়েছে তবে আপনি এটি পোস্ট করতে পারেন।

— Glen_b

@ Glen_b ক্রেগ আর একটি উত্তর পোস্ট করতে পারে না কারণ এই থ্রেডটি সুরক্ষিত এবং তাঁর খ্যাতি (বিয়োগ সংঘের বোনাস) বর্তমানে নেতিবাচক। অস্থায়ীভাবে সুরক্ষা অপসারণ ছাড়াও তাঁকে সাহায্য করার কোনও উপায় আছে বলে আমি নিশ্চিত নই। ক্রেগ, আরও ভাল উত্তর হ'ল আপনার পক্ষে অন্য থ্রেডে আরও কিছু উত্তর পোস্ট করা, বেশ কয়েকটি আপভোট পাওয়া এবং এখানে পোস্ট করতে সক্ষম হওয়ার জন্য যথেষ্ট পরিমাণে জড় জমা করা।

— অ্যামিবা

@ আমেবা - কম শব্দে বার্তা দেওয়ার জন্য আমি উত্তরটি সন্নিবেশিত করেছি। আপনি কি এটি পড়েছেন? ইন > DOMAIN এর <স্পেস, প্রতিটি রস সীমা একটি পন্থা শূন্য অনুপাত। তুলনায় তুলনাটি সংরক্ষণের সীমা the অনুপাতটি সংরক্ষণ করে । আপনি আমার বিন্দু দেখতে পাচ্ছি? $(i,n)$$i/n$$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a*n}{b*n}$$a/b$

— ক্রেগ হিক্স

Answer 21

সম্পাদনা সম্পাদনা করুন

দীর্ঘ সংক্ষিপ্ত বিবরণ. তথাকথিত প্যারাডক্স একটি অনির্দিষ্ট ফর্ম ত্রুটি, শূন্য ত্রুটি দ্বারা বিভাজনের সমান ফলাফলের সাথে শুরুর ত্রুটি যে প্রমাণ করে । এই জাতীয় ত্রুটিগুলি, সংখ্যা গণনার ক্ষেত্রে এই ক্ষেত্রে স্বাভাবিকভাবেই এমন উত্তরগুলি সরবরাহ করে যা 0, বা হতে পারে ।$1=2$$n$$\infty$

বিটিডাব্লু, যখন কেউ অসীম সংখ্যার সম্ভাব্য সংখ্যার যোগ করে তখন কেউ একটি inde , একটি অনির্দিষ্ট রূপ এবং রস এর প্রমাণ সঠিক নয়। একটি সঠিক উত্তর পেতে, এল'হোপিটাল এর বিধি ব্যবহার করুন। অনন্ত কোনও সংখ্যা নয় । অনন্তর চিকিত্সা করা যেন এটি একটি ত্রুটি বাড়ে।$\frac{1}{\infty}\infty$

Comments

আপনি এমন একটি উত্তর দেন যা বেশ কয়েকটি বিদ্যমান উচ্চ আপত্তিকর উত্তর এবং একটি পাঠ্যপুস্তকের সাথে সরাসরি বিপরীতে রয়েছে। অবনত লোকেরা কেন অবাক?

— অ্যামিবা

অনুগ্রহ করে আমাকে স্পষ্ট করার অনুমতি দিন। সিরিজের অন্যান্য অন্যান্য ভুল উত্তরের মতো, এই উত্তরটি রস দ্বারা তৈরি কড়া যুক্তি সম্পর্কে কোনও সচেতনতা দেখায় না এমন একটি অনমনীয়, অনানুষ্ঠানিক যুক্তি সরবরাহ করে যা ভুল সিদ্ধান্তে পৌঁছায় বা কোনও সিদ্ধান্তে পৌঁছায় না। যেমনটি আপনি বলেছিলেন, এর কোনও নির্দিষ্ট উত্তর নেই, সুতরাং স্পষ্টতই আপনার বিশ্লেষণ এই সমস্যার কোনও সমাধান সমর্থন বা রায় দেওয়ার পক্ষে যথেষ্ট শক্তিশালী নয় । অন্য কথায়, এটি কোনও উত্তর নয়। $\infty - \infty$

— পল

(-1) আপনার যুক্তিটি এখনও হাতের মুঠোয় এবং ভুল সিদ্ধান্তে আসে। আপনি এই বিবৃতিগুলির কোনও প্রমাণ ছাড়াই সম্ভাব্যতাগুলি কী তা উল্লেখ করছেন। আপনার সত্যই রসের যুক্তিটি পড়ার চেষ্টা করা উচিত এবং সত্যিকারের ত্রুটিটি খুঁজে পাওয়ার চেষ্টা করা উচিত ।

— একওয়াল

রস একজন অত্যন্ত বিশিষ্ট পরিসংখ্যানবিদ যিনি সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যান সম্পর্কিত অনেকগুলি বই এবং নিবন্ধ লিখেছেন এবং আমি পিএইচডি গণিতবিদ যিনি সমস্যার সমাধানের কঠোরতার পক্ষে প্রতিজ্ঞা করেছেন। খুব কম আপনি যা করতে পারেন তা হ'ল আসল মূল প্রমাণের মধ্যে একটি ত্রুটি চিহ্নিত করা । আপনার এখন পর্যন্ত সমস্ত প্রচেষ্টা ব্যর্থ হয়েছে। এটি আপনাকে বিরতি দেওয়া উচিত।

— পল

(-1)। আপনি যে দুটি সমীকরণ স্থাপন করছেন সেটি সমস্যার অপ্রাসঙ্গিক [উদাহরণস্বরূপ, আপনি "ইউনিফর্ম" অপসারণের সম্ভাব্যতাগুলি ভুল বুঝেছেন] এবং তাই আপনার বক্তব্যের ভিত্তি তৈরি করতে পারে না "সুতরাং রসের ক্ষেত্রে, বুলের অসমতাটি [sic] ] এর উপরের সীমা । আনুষ্ঠানিক গণিত ব্যবহার না করার এবং রাসের প্রমাণ অধ্যয়ন করতে অস্বীকার করার জন্য আপনার দৃistence়তা বিবেচনা করে, আমি মনে করি আপনি যদি গণিতের সমস্ত প্রচেষ্টার উত্তর সরিয়ে ফেলেন তবে আপনার পয়েন্টগুলি আরও ভালভাবে জানানো হবে। $0 \times \infty$

— একওয়াল