এটা কি একই বিতরণ পরিবার থেকে দুটি র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের একই প্রত্যাশা এবং বৈচিত্র থাকতে পারে তবে ভিন্নতর উচ্চতর মুহুর্তগুলি কী সম্ভব?

Question

আমি লোকেশন-স্কেল পরিবারের অর্থ সম্পর্কে ভাবছিলাম। আমার বোধগম্যতা হল যে কোনও লোকাল স্কেল পরিবারের প্রতিটি সদস্যের জন্য প্যারামিটারগুলির সাথে অবস্থান এবং স্কেল রয়েছে, তবে বিতরণ কোনও পরামিতিগুলির উপর নির্ভর করে না এবং এটি সেই পরিবারের অন্তর্গত প্রতিটি জন্য সমান ।$X$$a$$b$$Z =(X-a)/b$$X$

সুতরাং আমার প্রশ্নটি কি আপনি একটি উদাহরণ প্রদান করতে পারেন যেখানে একই বিতরণ পরিবার থেকে দুটি এলোমেলো মানক করা হয়েছে তবে এর ফলে একই বন্টনের সাথে কোনও র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের ফলাফল হয় না?

বলুন এবং একই বন্টন পরিবার থেকে আসা (যেখানে পরিবারের সঙ্গে আমি উদাহরণ উভয় সাধারন বা উভয় গামা ইত্যাদি জন্য অর্থ ..)। নির্ধারণ:$X$$Y$

$Z_1 = \dfrac{X-\mu}{\sigma}$

$Z_2 = \dfrac{Y-\mu}{\sigma}$

আমরা জানি যে এবং উভয়েরই একই প্রত্যাশা এবং বৈচিত্র রয়েছে, ।$Z_1$$Z_2$$\mu_Z =0, \sigma^2_Z =1$

তবে তাদের কি আলাদা আলাদা মুহুর্ত থাকতে পারে?

এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য আমার প্রচেষ্টাটি হ'ল এবং বিতরণ যদি এটি হতে পারে তার চেয়ে 2 পরামিতির বেশি নির্ভর করে। এবং আমি 3 টি প্যারামিটারযুক্ত জেনারেলাইজড সম্পর্কে ভাবছি ।$X$$Y$$t-student$

তবে যদি প্যারামিটারের সংখ্যাটি এবং এবং একই বিতরণ পরিবার থেকে একই প্রত্যাশা এবং বৈচিত্র নিয়ে আসে, তবে এর অর্থ কী এবং এর একই বিতরণ (উচ্চতর মুহুর্তগুলি) রয়েছে?$\le2$$X$$Y$$Z_1$$Z_2$

Comments

হ্যা তারা পারে. তবে, সাধারণীকৃত বিতরণে আপনার কমপক্ষে 3 টি প্যারামিটারের প্রয়োজন হবে।

— কার্ল

@ কার্ল ওয়ান প্যারামিটার যথেষ্ট হবে।

— হোবল

@ কার্ল আপনার "একই বিতরণ" বলতে কী বোঝায় তা অস্পষ্ট। আক্ষরিকভাবে, এটি একটি আইন এবং সেইজন্য একটি অনন্য প্রত্যাশা, অনন্য বৈচিত্র্য এবং অনন্য মুহুর্তগুলি (যে পরিমাণে তারা সংজ্ঞায়িত হয়) সহ একটি অনন্য বিতরণকে নির্দেশ করবে। আপনি যদি "একই বিতরণ পরিবার " বলতে চান তবে আপনার মন্তব্য অর্থহীন, কারণ পরিবারটি যা আপনি এটি নির্ধারণ করেন is

— হোবার

@ হারডকোর যেহেতু মনে হচ্ছে আপনার প্রশ্নের উত্তর হয়েছে বলে মনে হয়েছে, দয়া করে দেখুন আমার প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার পরে আমি কী করব?

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

@ কার্ল আমি আপনার উত্তরটিও উত্তর দিয়েছি। ওপি ব্যবহারের ধারণা সমর্থন করার জন্য মনে হয় সব পছন্দ জন্য একই মান বন্টন তার হিসাবে পরিবারে। আসুন দেখুন ওপি কোন উত্তর গ্রহণ করে (যদি ওপি কখনও গ্লেন_ব এর মন্তব্য পড়ে এবং এতে কাজ করে)। $Z=(X-a)/b$$X$

— দিলীপ সরোতে

Answer 1

বিতরণের পরিবার কী এবং ফ্রি প্লাস ফিক্সড (নির্ধারিত) পরামিতিগুলির তুলনায় ফ্রি প্যারামিটারগুলি কীভাবে গণনা করা যায় সে সম্পর্কে স্পষ্টতই কিছু বিভ্রান্তি রয়েছে। এই প্রশ্নগুলি এমন একটি দিক যা ওপি এর উদ্দেশ্য এবং এই উত্তরটির সাথে সম্পর্কিত নয়। আমি পরিবার শব্দটি এখানে ব্যবহার করি না কারণ এটি বিভ্রান্তিকর। উদাহরণস্বরূপ, একটি উত্স অনুসারে একটি পরিবার হ'ল আকারের পরামিতি পরিবর্তনের ফলাফল। @ শুভর বক্তব্য যে কোনও পরিবারের একটি "প্যারামিটারাইজেশন" হ'ল usual এর একটি উপসেট থেকে নিয়মিত টোপোলজি সহ বিতরণের জায়গাতে, যার চিত্র সেই পরিবার। আমি শব্দের ফর্মটি ব্যবহার করব যা শব্দের উদ্দেশ্যপ্রণালী উভয়ই কভার করে$^n$ x 2 -2x+4পরিবার এবং পরামিতি সনাক্তকরণ এবং গণনা। উদাহরণস্বরূপ সূত্রহয়েছে ফর্ম একটি দ্বিঘাত সূত্রের, অর্থাত্,এবং যদিসূত্র দ্বিঘাত ফর্ম এখনও। যাইহোক, যখনসূত্রটি লিনিয়ার হয় এবং ফর্মটি আর চতুর্ভুজ আকৃতির শব্দটি ধারণ করতে পর্যাপ্ত পরিপূর্ণ হয় না। যারা পরিবার শব্দটি একটি সঠিক পরিসংখ্যানিক প্রসঙ্গে ব্যবহার করতে চান তাদের পৃথক প্রশ্নে অবদান রাখতে উত্সাহিত করা হয়।$x^2-2x+4$$a_2x^2+a_1x+a_0$$a_1=0$$a_2=0$

আসুন "তাদের আলাদা আলাদা মুহুর্ত থাকতে পারে?" এই প্রশ্নের উত্তর দিন। এরকম অনেক উদাহরণ রয়েছে। আমরা উত্তরণে নোট করি যে প্রশ্নটি প্রতিসম পিডিএফ সম্পর্কিত বলে মনে হচ্ছে, যা সাধারণ দ্বি-পরামিতি ক্ষেত্রে অবস্থান এবং স্কেল রাখে। যুক্তি: ধরুন দুটি আকারের দুটি অভিন্ন (অবস্থান, স্কেল) পরামিতি সহ বিভিন্ন আকারের দুটি ঘনত্ব ফাংশন রয়েছে। তারপরে হয় একটি আকারের প্যারামিটার রয়েছে যা আকারকে সামঞ্জস্য করে, বা, ঘনত্ব ফাংশনগুলির কোনও সাধারণ আকারের পরামিতি থাকে না এবং এইভাবে কোনও সাধারণ আকারের ঘনত্ব ফাংশন হয়।

আকার, প্যারামিটার এটির মধ্যে কীভাবে চিত্রিত হয় তার একটি উদাহরণ এখানে। সাধারণ ত্রুটি ঘনত্ব ফাংশন এবং এখানে , একটি উত্তর অবাধে নির্বাচনযোগ্য সূঁচালতা আছে বলে মনে হচ্ছে না।

Skbkekas দ্বারা - নিজস্ব কাজ, সিসি বাই-এসএ 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=6057753

পিডিএফ (একা "সম্ভাব্যতা" ঘনত্ব ফাংশন, নোট করুন যে "সম্ভাব্যতা" শব্দটি অতিমাত্রায় ব্যবহৃত)

$$\dfrac{\beta}{2\alpha\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)} \; e^{-\Big(\dfrac{|x-\mu|}{\alpha}\Big)^\beta}$$

গড় এবং অবস্থানটি $\mu$ , স্কেলটি $\alpha$ , এবং $\beta$ আকার। মনে রাখবেন যে প্রতিসম পিডিএফ উপস্থাপন করা সহজ, কারণ এই পিডিএফগুলিতে প্রায়শই সরল দুটি প্যারামিটার কেস হিসাবে অবস্থান এবং স্কেল থাকে তবে গামা পিডিএফ এর মতো অসমमित পিডিএফগুলি তাদের সরল কেস প্যারামিটার হিসাবে আকার এবং স্কেল রাখে। ত্রুটির ঘনত্বের ক্রিয়াটি অব্যাহত রেখে, তারতম্যটি $\dfrac{\alpha^2\Gamma\Big(\dfrac{3}{\beta}\Big)}{\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)}$, স্কিউনেস$0$এবং কার্টটোসিস হ'ল$\dfrac{\Gamma\Big(\dfrac{5}{\beta}\Big)\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)}{\Gamma\Big(\dfrac{3}{\beta}\Big)^2}-3$। সুতরাং, যদি আমরা ভ্যারিয়েন্স সেট 1 হতে, তারপর আমরা মান নির্ধারণ$\alpha$থেকে$\alpha ^2=\dfrac{\Gamma \left(\dfrac{1}{\beta }\right)}{\Gamma \left(\dfrac{3}{\beta }\right)}$যখন নানারকম$\beta>0$, যাতে সূঁচালতা থেকে সীমার মধ্যে নির্বাচনযোগ্য হয়$-0.601114$করার$\infty$।

এটি হ'ল আমরা যদি উচ্চতর ক্রমের মুহুর্তগুলিকে আলাদা করতে চাই এবং যদি আমরা শূন্যের গড় এবং 1 এর বৈকল্পিকতা বজায় রাখতে চাই তবে আমাদের আকারটি আলাদা করতে হবে। এটি তিনটি পরামিতি সূচিত করে, যা সাধারণতঃ 1) অবস্থানের যথাযথ পরিমাপ হয় বা না হয় 2) তারতম্য বা পরিবর্তনশীলতার অন্যান্য পরিমাপ সামঞ্জস্য করার স্কেল এবং 3) আকৃতি। এটি করতে কমপক্ষে তিনজন প্যারামেটর গ্রহণ করে।

মনে রাখবেন যে আমরা যদি বিকল্পগুলি $\beta=2$ , $\alpha=\sqrt{2}\sigma$উপরেরপিডিএফে 2 σ, আমরা ই - ( x - μ ) 2 পাই

$$\frac{e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}}}{\sqrt{2 \pi } \sigma }\;,$$

যা একটি সাধারণ বিতরণের ঘনত্ব ফাংশন। সুতরাং, সাধারণ ত্রুটি ঘনত্ব ফাংশন হ'ল সাধারণ বিতরণের ঘনত্ব ফাংশনের একটি সাধারণীকরণ। একটি সাধারণ বিতরণের ঘনত্বের কার্যটি সাধারণ করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে। আরেকটি উদাহরণ, কিন্তু সাধারন বন্টনের একমাত্র যেমন ঘনত্ব ফাংশন একটি সীমিত মান, এবং সাধারণ ত্রুটি ঘনত্ব ফাংশন মত মধ্য পরিসীমা প্রতিকল্পন মান না সঙ্গে, স্টুডেন্টস হয় $-t$ এর ঘনত্ব ফাংশন। স্টুডেন্টের $-t$ ডেনসিটি ফাংশনটি ব্যবহার করে আমাদের কুর্তোসিসের পরিবর্তে আরও সীমাবদ্ধ নির্বাচন করতে হবে এবং $\textit{df}\geq2$ হ'ল আকারের প্যারামিটার কারণ দ্বিতীয় মুহুর্ত ডিএফ < 2 এর জন্য বিদ্যমান নেই 2$\textit{df}<2$। তদুপরি, df আসলে ইতিবাচক পূর্ণসংখ্যার মানগুলির মধ্যে সীমাবদ্ধ নয়, এটি সাধারণ বাস্তব $\geq1$ । শিক্ষার্থীর $-t$ কেবলমাত্র $\textit{df}\rightarrow\infty$ হিসাবে সীমাতে স্বাভাবিক হয়ে যায় , এ কারণেই আমি এটি উদাহরণ হিসাবে বেছে নিই নি। এটি একটি ভাল উদাহরণ বা এটি একটি পাল্টা উদাহরণও নয় এবং এর মধ্যে আমি @ জিয়ান এবং @ হোবারের সাথে একমত নই।

আমাকে এই আরও ব্যাখ্যা করুন। একটি দুটি পরামিতিগুলির অনেকগুলি স্বেচ্ছাসেবী ঘনত্ব ফাংশন বেছে নিতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, শূন্যের গড় এবং এর মধ্যে একটি বৈকল্পিক। তবে, তারা সবাই একই ফর্মের হবে না। তবে প্রশ্নটি একই ফর্মের ঘনত্ব ফাংশনগুলির সাথে সম্পর্কিত, বিভিন্ন রূপ নয়। দাবিটি করা হয়েছে যে ঘনত্বের ফাংশনগুলির একই ফর্মটি একটি স্বেচ্ছাসেবী অ্যাসাইনমেন্ট কারণ এটি সংজ্ঞার বিষয়, এবং এতে আমার মতামত পৃথক। আমি সম্মত হই না যে এটি নির্বিচারে কারণ কোনও একটি একটি ঘনত্বের ফাংশনটিকে অন্য রূপে রূপান্তর করার জন্য প্রতিস্থাপন করতে পারে, বা পারে না। প্রথম ক্ষেত্রে, ঘনত্বের ক্রিয়াগুলি একই রকম হয় এবং প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে যদি আমরা দেখাতে পারি যে ঘনত্বের কার্যগুলি সমতুল্য নয়, তবে সেই ঘনত্বের কার্যগুলি বিভিন্ন রূপের হয়।

সুতরাং, স্টুডেন্টস উদাহরণ ব্যবহার $-t$ পিডিএফ, পছন্দ হয় এটিকে একটি স্বাভাবিক পিডিএফ একটি সাধারণীকরণ, যে ক্ষেত্রে একটি স্বাভাবিক পিডিএফ একটি স্টুডেন্টস জন্য জায়েয ফর্ম আছে হতে বিবেচনা করা হয় $-t$ এর পিডিএফ, বা না, যে ক্ষেত্রে স্টুডেন্টস $-t$ এর পিডিএফ স্বাভাবিক পিডিএফ থেকে বিভিন্ন ফর্ম হয় এবং এইভাবে প্রশ্ন রেখে কি অবান্তর নয় ।

আমরা এই অনেক উপায়ে তর্ক করতে পারি। আমার ধারনা, একটি স্বাভাবিক পিডিএফ একটি স্টুডেন্টস এর একটি উপ-নির্বাচন করা ফর্ম হয় $-t$ এর পিডিএফ, কিন্তু একটি স্বাভাবিক পিডিএফ যদিও একটি গামা পিডিএফ একটি সীমিত মান দেখানো যেতে পারে একটি গামা পিডিএফ এর একটি উপ-নির্বাচন নয় যে একটি সাধারণ পিডিএফ হোন, এবং এর জন্য আমার কারণটি হ'ল সাধারণ / ছাত্রী $-t$ ক্ষেত্রে সমর্থনটি একই, তবে সাধারণ / গামার ক্ষেত্রে সমর্থনটি অসীম বনাম আধা-অসীম, যা প্রয়োজনীয় অসামঞ্জস্যতা ।

Comments

(-1) অন্যান্য মন্তব্যে যেমন বলা হয়েছে, বিষয়টি "বিতরণ পরিবার বলতে কী বোঝায়?" আমি সহজেই বিতরণগুলির একটি নতুন "পরিবার" সংজ্ঞায়িত করতে পারি যা কেবলমাত্র একক প্যারামিটার: অর্থ = 0, এসডি = 1 এর সাথে টি-বিতরণগুলি পুনরুদ্ধার করা হয়: ডিএফ। তারপরে 1 ম এবং 2 য় মুহুর্ত সমস্ত ডিএফের জন্য সমান, তবে ডিএফের বিভিন্ন মানের জন্য তাদের আলাদা উচ্চতর মুহুর্ত রয়েছে।

— ক্লিফ এবি

হার্ড কোর, এই মন্তব্যটি অনুধাবন করা কঠিন, প্রদত্ত যে আপনার শিরোনামে নিজেই "পরিবার" শব্দটি রয়েছে! তদুপরি, যদি আপনি অস্বীকার করেন যে কোনও পরিবার অর্থবহ, তবে প্রশ্নটির কোনও মানে হয় না। আপনার উদ্দেশ্যগুলি প্রতিফলিত করতে দয়া করে আপনার প্রশ্নটি সম্পাদনা করে স্পষ্ট করুন।

— হোবার

-1 কারণ আপনি "উত্তরটি হয় না" বলে শুরু করে। এবং তারপরে একটি উদাহরণ প্রদান করুন যা কার্যকরভাবে হ্যাঁর উত্তর দেয় (অন্যটি উদাহরণ কেজিটিলভালভর্সেনের উত্তর দেওয়া হয়েছে যা আপনি অনুকূলভাবে উল্লেখ করেছেন)। এটি আমার কাছে অর্থবোধ করে না। আমি মনে করি এখানে গণিত আমাদের সকলের কাছে পরিষ্কার, সুতরাং আমার ডাউনভোটটি কেবল উপস্থাপনায় ধারাবাহিকতার অভাবের জন্য।

— অ্যামিবা

কার্ল, প্রশ্ন এবং হার্ড কোরের মন্তব্যের মধ্যে একদম অসামঞ্জস্যতা রয়েছে। প্রশ্নটি সুস্পষ্ট: "একটি উদাহরণ প্রদান করার জন্য যেখানে একই বিতরণ পরিবার থেকে দুটি এলোমেলো [পরিবর্তনশীল] প্রমিত হয় তবে এর ফল হয় না ... একই বিতরণের সাথে এলোমেলো পরিবর্তনশীল [গুলি]"। স্পষ্টতই "পরিবার" এর কিছু অর্থ উদ্দেশ্যযুক্ত। চারপাশে বিভিন্ন প্রযুক্তিগত রূপ থাকা সত্ত্বেও স্বাভাবিক অর্থটি পরিষ্কার, এবং (সহজেই প্রদর্শিত) সঠিক উত্তরটি হ্যাঁ, হ্যাঁ, এরকম অনেক উদাহরণ রয়েছে।

— শুক্র

ধন্যবাদ. স্পষ্টতই আপনি যা লিখছেন সে সম্পর্কে আপনার ধারণাটি ভাল। তবে দুর্ভাগ্যক্রমে আপনার পোস্টটি "বিতরণ," "আকৃতি," "ফর্ম," এবং "পরামিতি" এর অর্থ কী হতে পারে সে সম্পর্কে বেশ কিছু বিভ্রান্তি প্রচার করে। সূক্ষ্মতার উদাহরণ হিসাবে, কোনও বিতরণ আইন দ্বারা নির্মিত বিতরণের একটি পরিবারকে বিবেচনা করুন যা ননজারো তৃতীয় কেন্দ্রীয় মুহূর্তে রয়েছে। পরিবারটি দুটি প্রকৃত সংখ্যার ( μ , σ ≠ 0 ) দ্বারা সূচিত এবং সমস্ত আইন x → F ( σ x + μ ) নিয়ে গঠিত । এটা একটা অবস্থান-স্কেল পরিবার, কিন্তু এই আইনের আকার চিহ্ন উপর নির্ভর করে ভিন্ন σ ।$F$$(\mu,\sigma\ne 0)$$x\to F(\sigma x+\mu)$$\sigma$

— হোবার

Answer 2

যদি আপনি এমন একটি উদাহরণ চান যা "আনুষ্ঠানিকভাবে নামযুক্ত প্যারামিটারাইজড ডিস্ট্রিবিউশন পরিবার, আপনি সাধারণীকরণ করা গামা বিতরণ, https://en.wikedia.org/wiki/ জেনারালাইজড_গ্যামা_ড্রিট্রিবিউশন দেখতে পারেন। এবং বৈকল্পিক এবং এখনও উচ্চতর মুহুর্তগুলিতে পরিবর্তিত হওয়ার স্বাধীনতা আছে the উইকি পৃষ্ঠা থেকে, বীজগণিতগুলি আমন্ত্রণমূলক বলে মনে হয় না, আমি বরং এটি সংখ্যাসূচকভাবে করতে চাই stat স্ট্যাটিস্টিকাল অ্যাপ্লিকেশনগুলির জন্য, এই সাইটটি গ্যামসের জন্য অনুসন্ধান করুন, যা গামের একটি এক্সটেনশান (সাধারণীকরণযোগ্য অ্যাডিটিভ) মডেলগুলি, নিজে থেকেই গ্ল্যামের একটি সাধারণীকরণ) যার "অবস্থান, স্কেল এবং আকৃতি" এর পরামিতি রয়েছে।

আর একটি উদাহরণ $t$ বিতরণ, যা লোকেশন-স্কেল পরিবার হিসাবে বাড়ানো। তারপরে তৃতীয় প্যারামিটারটি হবে স্বাধীনতার ডিগ্রি, যা নির্দিষ্ট অবস্থান এবং স্কেলের জন্য আকৃতিটি সতর্ক করবে।

Comments

যদিও সাধারণ ত্রুটি বিতরণ আরও ভাল পছন্দ হতে পারে।

— কার্ল

উত্তরের জন্য তোমাকে অনেক ধন্যবাদ!! আমি কার্লকে বেছে নিই কারণ এটি আরও বিশদ ছিল তবে এটিও ভাল ছিল .. আপনাকে অনেক ধন্যবাদ !!!

— gioxc88

Answer 3

অর্থ শূন্য এবং ভ্যারিয়েন্স এক সঙ্গে ডিস্ট্রিবিউশন অসীম সংখ্যা নেই অত: পর নিতে এই ডিস্ট্রিবিউশন এক থেকে বিতরণ করা বলে এন ( 0 , 1 ) , এবং ε 2 এই ডিস্ট্রিবিউশন আরেকটি থেকে স্টুডেন্টস বলে টন 54 ডিগ্রী সঙ্গে স্বাধীনতার দ্বারা rescaled $\epsilon_1$$\mathcal{N}(0,1)$$\epsilon_2$$t$ যাতে এর বৈকল্পিকতা এক, তারপরে এক্স=μ+σϵ$\sqrt\frac{1}{3}$ আপনি উল্লিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি উপভোগ করুন। পরামিতিগুলির "সংখ্যা" সম্পত্তি সম্পর্কিত অপ্রাসঙ্গিক।

$$X=\mu+\sigma\epsilon_1\qquad\text{and}\qquad Y=\mu+\sigma\epsilon_2$$

একথাও ঠিক যে, আপনি এই পরিবারের সংজ্ঞা, একটি নির্দিষ্ট ঘনত্ব অস্তিত্ব আছে যে উদাহরণস্বরূপ জানায় মত আরও নিয়ম সেট যদি যেমন ঘনত্ব যে এক্স হয় $f$$X$আপনি একটি একক সম্ভব ডিস্ট্রিবিউশনের সাথে শেষ হতে পারে।

$$\frac{1}{\sigma^d} f(\{x-\mu\}/\sigma)$$

Comments

উত্তরের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ তবে আমি মনে করি এটি আমি যা চেয়েছিলাম তা নয়

— gioxc88

আমি মনে করি এটি এটি কারণ কারণ যদি বিতরণ পরিবারটি এবং Y এর বিতরণ উভয়ের পুনর্মিলন দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় , তবে আপনার সম্পত্তির সাথে দ্বন্দ্ব রয়েছে। বিতরণের একটি "পরিবার" বেশ অস্পষ্ট ধারণা। $X$$Y$

— শি'য়ান

হ্যাঁ আসলেই অস্পষ্ট তবে আপনি যদি আমার প্রশ্নটি পড়ে থাকেন তবে আমি লিখেছিলাম যে পরিবারের সাথে এই প্রসঙ্গে আমি উদাহরণস্বরূপ নরমাল বা উভয়ই গামা এবং এই জাতীয় .. আপনি একজন সাধারণ এবং এক ছাত্রের সাথে একটি উদাহরণ তৈরি করেছেন

— gioxc88

হার্ড কোর, আপনি একটি পরিবারের নামটিকে ধারণার সাথে বিভ্রান্ত করছেন বলে মনে হচ্ছে । এই উত্তরটি একটি দুর্দান্ত এবং ধারণাটি সুন্দরভাবে ফুটিয়ে তুলেছে। আপনার প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করে না যে সমাধানটি কোনও লোকেশনের পরিবার be আপনার যদি এটির একটি হওয়ার প্রয়োজন হয় তবে আপনি সর্বদা এই উত্তরটি - বা অন্য কোনও উত্তর নিতে পারেন - এবং স্বেচ্ছাসেবী অনুবাদ এবং পুনরুদ্ধারের অনুমতি দিয়ে একটি অবস্থান-স্কেল পরিবারে এটি দীর্ঘায়িত করতে পারেন। প্যারামিটারের সংখ্যা সম্পর্কে শি'ানের বিষয়টি এখনও ধরে রেখেছে।

— হোবার

@ যাহাকে আমি উত্তর হিসাবে বিভ্রান্ত মনে করি। Student's-T নিজে, একটি ভাল উত্তর হবে বরং ব্যবহার তুলনায় চরম উত্তর এবং এটি নির্দিষ্ট করে না। প্রকৃতপক্ষে, এটি ডি চ যা তৃতীয় প্যারামিটার। $df=3,\infty$$df$

— কার্ল

Answer 4

আমি মনে করি আপনি একই অবস্থান-স্কেল পরিবার থেকে আসা দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির একই গড় এবং বৈচিত্র থাকতে পারে কিনা তা জিজ্ঞাসা করছেন তবে কমপক্ষে একটি আলাদা উচ্চতর মুহূর্ত। উত্তর না হয়।

প্রুফ : এবং এক্স 2 এর মতো দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবল হোক। যেহেতু এক্স 1 এবং এক্স 2 একই অবস্থানে মাপের পরিবারে হয়, একটি দৈব চলক অস্তিত্ব এক্স ও রিয়েল নাম্বার একটি 1 > 0 , একটি 2 > 0 , বো 1 , খ 2 যেমন যে এক্স 1 ঘ = একটি 1 এক্স + + খ 1 এবং এক্স 2 ডি = এ 2$X_1$$X_2$$X_1$$X_2$$X$$a_1>0, a_2>0, b_1, b_2$$X_1 \stackrel{d}{=} a_1 X + b_1$ । যেহেতু এক্স 1 এবং এক্স 2 এর একই গড় এবং ভিন্নতা রয়েছে, তাই আমাদের রয়েছে:$X_2 \stackrel{d}{=} a_2 X + b_2$$X_1$$X_2$

1. ।$E[X_1] = E[X_2] \implies a_1 E[X] + b_1 = a_2 E[X] + b_2$
2. ।$\operatorname{Var}[X_1] = \operatorname{Var}[X_2] \implies a_1^2 \operatorname{Var}[X] = a_2^2 \operatorname{Var}[X]$

যদি , তবে এক্স 1 = ই [ এক্স 1 ] = এক্স 2 = ই [ এক্স 2 ] সম্ভাব্যতা 1 সহ , এবং তাই এক্স 1 এবং এক্স 2 এর উচ্চতর মুহুর্তগুলি সমস্ত সমান। সুতরাং আমরা ধরে নিতে পারি যে ভার [ এক্স ] ≠ 0 । এটি ব্যবহার করে (2) বোঝায় যে | a 1 | = | a 2 | । থেকে$\operatorname{Var}[X] = 0$$X_1=E[X_1]=X_2=E[X_2]$$1$$X_1$$X_2$$\operatorname{Var}[X] \neq 0$$|a_1|=|a_2|$ এবং একটি 2 > 0 , আমরা সত্য যে আছে একটি 1 = একটি 2 । পরিবর্তে, (1) উপরে এখন বোঝা যাচ্ছে যে খ 1 = খ 2 । সুতরাং আমাদের কাছে এটি রয়েছে: E [ এক্স কে 1 ] = ই [ ( একটি 1 এক্স + বি 1 ) কে ] = ই [ ( একটি 2 এক্স + বি 2 ) কে ] $a_1>0$$a_2>0$$a_1=a_2$$b_1=b_2$ কোনও কে , অর্থাত্, এক্স 1 এবং এক্স 2 এর সমস্তমুহুর্তগুলিসমস্ত সমান।

$$E[X_1^k] = E[(a_1X+b_1)^k] = E[(a_2X+b_2)^k] = E[X_2^k],$$ $k$$X_1$$X_2$

Comments

(+1) আমি এই উত্তরটির সাথে দোষ খুঁজে পাচ্ছি না। স্পষ্টতই কেউ করেন এবং তারা আমার সাথেও দোষ খুঁজে পান। এই অব্যক্ত আচরণ আমি বুঝতে পারি না।

— কার্ল

@ কার্ল এই উত্তরটি ভুল - এজন্যই এটি নিম্নচঞ্চিত হচ্ছে। শি'য়ান ইতিমধ্যে একটি কাউন্টারিকাম নমুনা সরবরাহ করেছে।

— whuber

@ হুবার দয়া করে শিয়ানের উত্তরের নীচে আমার মন্তব্যগুলি দেখুন। আমি তার সাথে একমত নই তবে নিম্নোক্ত হলাম না কেননা আমি এবং এটি আপনার পক্ষে উভয়েরই আপনার মতামতের অধিকার রয়েছে, যদিও আমি এটিকে ভুল হিসাবে বিবেচনা করি।

— কার্ল

@ কার্ল এই উত্তরটি পুনরায় পড়ার পরে, আমাকে আমার মূল মূল্যায়নটি প্রত্যাহার করতে হবে: এই উত্তরটি সঠিক (এবং এর জন্য +1), এবং এটি সঠিক কারণ এটি কীভাবে মূল প্রশ্নের ব্যাখ্যা করে তা স্পষ্টভাবে ব্যাখ্যা করে। (বিশেষত, "লোকেশন-স্কেল পরিবার" এর একটি সাধারণ এখনও সংকীর্ণ ধারণা রয়েছে যেমন এর সমস্ত অনুবাদ এবং ইতিবাচক উদ্ধারগুলির সাথে কেবল একটি একক স্ট্যান্ডার্ড বিতরণ থাকে)) আমি বিশ্বাস করি যে আসল প্রশ্নটি কিছুটা আলাদা জিজ্ঞাসা করার উদ্দেশ্যে করা হয়েছিল; এই বিশ্বাসের ভিত্তি হ'ল পোস্টে দুটিরও বেশি পরামিতির রেফারেন্স।

— whuber

আমি দুঃখিত যদি আমি খুব স্পষ্ট না হয়ে থাকি এবং এটি অনুসন্ধানের জন্য আপনি যে সময় ব্যয় করেছেন তার জন্য আমি আপনাকে ধন্যবাদ জানাই কিন্তু আমি যা চেয়েছিলাম তা তা নয়।

— gioxc88

Answer 5

যেহেতু প্রশ্নটি বহুগুণে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে আমি এই উত্তরটিকে দুটি ভাগে ভাগ করব।

• উ: বিতরণ পরিবারগুলি।
• বি: লোকেশন-স্কেল বিতরণ পরিবারগুলি।

কেস এ সমস্যাটি একটি আকৃতির পরামিতি সহ অনেক পরিবার সহজেই উত্তর / প্রদর্শন করতে পারে।

কেস বি সঙ্গে সমস্যা এক থেকে আরো কঠিন এবং একটি অর্ধ মাপদণ্ডগুলি (অবস্থানের অবস্থান এবং স্কেল উল্লেখ করার জন্য যথেষ্ট হবে বলে মনে হচ্ছে $\mathbb{R}$ এবং স্কেল $\mathbb{R_{>0}}$ ), এবং সমস্যা কিনা দুটি প্যারামিটার সঙ্কেতাক্ষরে লিখা (একাধিক) ব্যবহার করা যেতে পারে হয়ে পাশাপাশি আকারগুলি। এটি এত তুচ্ছ নয়। আমরা সহজেই নির্দিষ্ট দুটি প্যারামিটার লোকেশন স্কেল পরিবারের সাথে উপস্থিত হতে পারি এবং এটি প্রমাণ করতে পারি যে আপনার বিভিন্ন আকার নেই তবে এটি প্রমাণ করে না যে এটি কোনও দুটি পরামিতি অবস্থান স্কেল পরিবারের জন্য একটি স্থির নিয়ম।

উত্তর: একই 2 টি প্যারামিটার বিতরণ পরিবার থেকে দুটি পৃথক বিতরণ কি একই রকম এবং বৈকল্পিক হতে পারে?

উত্তর হ্যাঁ এবং এটি ইতিমধ্যে সুস্পষ্টভাবে উল্লিখিত উদাহরণগুলির একটি ব্যবহার করে দেখানো যেতে পারে: স্বাভাবিক গামা বিতরণ

সাধারণ গামা বিতরণের পরিবার

যাক $Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$ সঙ্গে$X$একটি গামা বিতরণ পরিবর্তনশীল। $Z$(ক্রমবর্ধমান) বিতরণটিনীচে রয়েছে:

$$F_Z(z;k) = \begin{cases} 0 & \quad \text{if} & z < -\sqrt{k}\\ \frac{1}{\Gamma(k)} \gamma(k, {z\sqrt{k}+k}) & \quad \text{if} & z \geq -\sqrt{k} \end{cases}$$

$\gamma$

$Z_1$$Z_2$$\mu=0$$\sigma=1$$k$

বি: একই ২ টি প্যারামিটারের অবস্থান-স্কেল বিতরণ পরিবার থেকে দুটি আলাদা বিতরণ কি একই রকম এবং বৈকল্পিক হতে পারে?

আমি বিশ্বাস করি যে আমরা যদি কেবল মসৃণ পরিবারগুলি বিবেচনা করি তবে উত্তরটি হ'ল না (মসৃণ: প্যারামিটারগুলিতে একটি ছোট পরিবর্তনের ফলে বন্টন / কার্য / বক্ররেখা পরিবর্তন হবে)। তবে এই উত্তরটি তুচ্ছ নয় এবং যখন আমরা আরও সাধারণ (অ-মসৃণ) পরিবারগুলি ব্যবহার করব তখন আমরা হ্যাঁ বলতে পারি , যদিও এই পরিবারগুলি কেবল তত্ত্বের মধ্যেই বিদ্যমান এবং এর কোনও ব্যবহারিক প্রাসঙ্গিকতা নেই।

অনুবাদ এবং স্কেলিং দ্বারা একক বিতরণ থেকে একটি অবস্থান-স্কেল পরিবার তৈরি করা

$f(x)$

$$f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma}f(\frac{x-\mu}{\sigma})$$

একটি অবস্থান-স্কেল পরিবারের জন্য যা আমাদের এমনভাবে তৈরি করা যায়:

• $f(x;\mu_1,\sigma_1)$$f(x;\mu_2,\sigma_2)$$f(x;\mu_1,\sigma_1) = f(x;\mu_2,\sigma_2)$

দুটি পরামিতি অবস্থান-স্কেল পরিবারের জন্য কি তাদের সদস্য বিতরণগুলি অনুবাদ এবং স্কেলিংয়ের মাধ্যমে একক সদস্য বিতরণ থেকে উত্পন্ন করা যেতে পারে?

$\theta_1$$\theta_2$$\mu$$\sigma$

সাধারণ বিতরণের পরিবারের মতো নির্দিষ্ট দুটি প্যারামিটার লোকেশন-স্কেল পরিবারগুলির জন্য এটি উপরে দেখানো প্রক্রিয়া অনুযায়ী একক উদাহরণের সদস্যকে স্কেলিং এবং অনুবাদ করা) হিসাবে উত্পন্ন করা সম্ভব তা দেখানো খুব কঠিন নয়।

কেউ ভাবতে পারেন যে অনুবাদ এবং স্কেলিংয়ের মাধ্যমে প্রতিটি দুটি প্যারামিটারের অবস্থান-স্কেল পরিবারের পক্ষে কোনও একক সদস্যের থেকে উত্পন্ন করা সম্ভব কিনা । বা একটি বিরোধী বক্তব্য: "দুটি পরামিতি অবস্থান-স্কেল পরিবারে একই অর্থ এবং বৈকল্পিকতা সহ দুটি পৃথক সদস্য বিতরণ থাকতে পারে?" যার জন্য এটি পরিবার একাধিক সাবফ্যামিলির একটি ইউনিয়ন যা প্রতিটি অনুবাদ দ্বারা তৈরি করা হয় এবং স্কেলিং।

কেস 1: দুটি ভেরিয়েবল দ্বারা প্যারামিটারাইজড সাধারণ শিক্ষার্থীদের টি-বিতরণ পরিবার

$R^2$$R^3$$\theta_1$$\theta_2$

আসুন (তিনটি প্যারামিটার) সাধারণীকরণ করা শিক্ষার্থীদের টি-বিতরণ ব্যবহার করুন:

$f(x;\nu,\mu,\sigma) = \frac{\Gamma \left( \frac{\nu + 1}{2} \right) }{\Gamma \left( \frac{\nu}{2} \right) \sqrt{\pi\nu}\sigma} \left(1 + \frac{1}{\nu} \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2 \right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$

$$\begin{array}{rcl} \mu &=& \tan (\theta_1)\\ \sigma &=& \theta_2\\ \nu &=& \lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor \end{array}$$

তারপর আমাদের আছে

$f(x;\theta_1,\theta_2) = \frac{\Gamma \left( \frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor + 1}{2} \right) }{\Gamma \left( \frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor}{2} \right) \sqrt{\pi\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor}\theta_2} \left(1 + \frac{1}{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor} \left( \frac{x-\tan(\theta_1)}{\theta_2} \right)^2 \right)^{-\frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor+1}{2}}$

যা একটি দুটি পরামিতি অবস্থান-স্কেল পরিবার হিসাবে বিবেচিত হতে পারে (তবে খুব দরকারী না হলেও) যা কেবলমাত্র একক সদস্যের অনুবাদ এবং স্কেলিং দ্বারা তৈরি করা যায় না।

কেস 2: অবস্থান-স্কেল পরিবারগুলি ননজারো স্কু সহ একক বিতরণের নেতিবাচক স্কেলিং দ্বারা উত্পন্ন

$x \mapsto f(x/b + a)$$b$

মসৃণ পরিবারগুলি

$f:\mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}^3$অবিচ্ছিন্ন ক্রিয়াকলাপ যা পিয়ানো কার্ভগুলির মতো কাজ করবে)।

$\theta_1$$\theta_2$$\theta_1$$\theta_2$$\mu$$\sigma$

$$\begin{array}{rcl} \theta_1 &= &f_{\theta_1}(\mu,\sigma) \\ \theta_2 &=& f_{\theta_2}(\mu,\sigma)\end{array}$$

$f_{\theta_1}(\mu,\sigma)$$\mu$$\sigma$

$\theta_1$$\theta_1$$f(x;\theta_1)$$x$

Comments

$x$$f,$$b\ne 1$$f$$\theta$$R^2$$R^3.$"এই" মানচিত্রগুলির "সমস্যা হ'ল এগুলি অবিচ্ছিন্ন হতে পারে না এবং এর কোনও পরিসংখ্যানগত অর্থ থাকবে না

— শুক্র

$R^2\to R^3$$\theta$$\theta$

দ্বিতীয় বুলেটটি ভুল: এটি কোনও অনুমান থেকে অনুসরণ করে না বা এটি কোনও অবস্থান-স্কেল পরিবারের সংজ্ঞার অংশ নয়।

— হোবার

$\theta_i$$\theta_i$$x \to F(bx + a)$$F$$(a,b)\in\mathbb{R}^2$$b\gt 0$$F$

$\mu$$\sigma$$\theta_1$$\theta_2$$\mu$$\sigma$