আমি কীভাবে একটি পূর্বনির্ধারিত পারস্পরিক সম্পর্ক মেট্রিক্স দিয়ে ডেটা তৈরি করতে পারি?

Question

আমি গড় = $0$ , ভেরিয়েন্স = $1$ , পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ = সাথে সম্পর্কিত র্যান্ডম ক্রম উত্পন্ন করার চেষ্টা করছি $0.8$। নীচের কোডটিতে, আমি s1& s2মানক বিচ্যুতি হিসাবে এবং ব্যবহার করিm1 & m2মাধ্যম হিসেবে।

p = 0.8 
u = randn(1, n)
v = randn(1, n)
x = s1 * u + m1
y = s2 * (p * u + sqrt(1 - p^2) * v) + m2

এটি আমার সঠিক দেয় corrcoef()মধ্যে 0.8 এর xএবং y। আমার প্রশ্ন হ'ল আমি কীভাবে একটি সিরিজ উত্পন্ন করতে পারি যদি আমি চাই zযে এটির সাথেও yএকই সম্পর্কযুক্ত (একই সমান্তরতার সাথে $r=0.8$ ), তবে এর সাথে নয় x। আমার কোন বিশেষ সূত্র জানা দরকার? আমি দেখেছি এক কিন্তু এটা বুঝতে পারছি না।

Comments

নিম্নলিখিত প্রশ্নাগুলি দৃ strongly়ভাবে সম্পর্কিত এবং আগ্রহের বিষয় হবে: প্রদত্ত উপায়গুলি কীভাবে বৈকল্পিক এবং পারস্পরিক সম্পর্কের ডিগ্রী প্রদান করতে হবে? , এটি থেকে এমন একটি বিতরণকে কীভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায় যা অন্য পূর্বনির্ধারিত বিতরণের একটি অঙ্কনের সাথে সম্পর্কিত? & একটি বিদ্যমান পরিবর্তনশীল করার জন্য একটি সংজ্ঞায়িত পারস্পরিক সম্পর্ক সঙ্গে একটি দৈব চলক জেনারেট করুন ।

— গুং - মনিকা পুনরায়

Answer 1

দেখা যাচ্ছে যে আপনি কোনও নির্দিষ্ট পারস্পরিক সম্পর্কের ম্যাট্রিক্স দিয়ে কীভাবে ডেটা উত্পন্ন করবেন জিজ্ঞাসা করছেন।

একটি দরকারী সত্য যে আপনি একটি র্যান্ডম ভেক্টর আছে যদি সঙ্গে সহভেদাংক ম্যাট্রিক্স Σ , তারপর র্যান্ডম ভেক্টর একটি এক্স হয়েছে গড় একটি ই ( এক্স ) এবং সহভেদাংক ম্যাট্রিক্স Ω = একটি Σ একটি টি । সুতরাং, আপনি দিয়ে শুরু ডেটা গড় শূন্য আছে, দ্বারা গুন একজন যে পরিবর্তন হবে না, তাই আপনার প্রথম প্রয়োজন সহজে সন্তুষ্ট হয়। ${\bf x}$$\Sigma$${\bf Ax}$${\bf A} E({\bf x})$$\Omega = {\bf A} \Sigma {\bf A}^{T}$${\bf A}$

ধরা যাক আপনি (অপেক্ষাকৃত শূন্য) অসামঞ্জস্যিত ডেটা দিয়ে শুরু করেছেন (অর্থাত্ কোভরিয়েন্স ম্যাট্রিক্সটি তির্যক) - যেহেতু আমরা পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্সের বিষয়ে কথা বলছি, আসুন আমরা কেবল নিয়ে যাই । আপনি চয়ন করে একটি প্রদত্ত সহভেদাংক ম্যাট্রিক্স সাথে ডেটা এই রুপান্তর করতে পারেন একটি হতে cholesky বর্গমূল এর Ω তারপর - একটি এক্স হবে আকাঙ্ক্ষিত সহভেদাংক ম্যাট্রিক্স Ω ।$\Sigma = I$${\bf A}$$\Omega$${\bf Ax}$$\Omega$

আপনার উদাহরণে, আপনি এই জাতীয় কিছু চাইছেন বলে মনে হয়:

$$\Omega = \left( \begin{array}{ccc} 1 & .8 & 0 \\ .8 & 1 & .8 \\ 0 & .8 & 1 \\ \end{array} \right)$$

দুর্ভাগ্যক্রমে ম্যাট্রিক্স ইতিবাচক সুনির্দিষ্ট নয়, সুতরাং এটি কোনও সমবায় ম্যাট্রিক্স হতে পারে না - আপনি নির্ধারকটি নেতিবাচক কিনা তা দেখে এটি পরীক্ষা করতে পারেন। সম্ভবত, পরিবর্তে

$$\Omega = \left( \begin{array}{ccc} 1 & .8 & .3 \\ .8 & 1 & .8 \\ .3 & .8 & 1 \\ \end{array} \right) \ \ \ \ {\rm or} \ \ \ \Omega = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2/3 & 0 \\ 2/3 & 1 & 2/3 \\ 0 & 2/3 & 1 \\ \end{array} \right)$$

যথেষ্ট হবে। আমি নিশ্চিত না যে কীভাবে মাতলাবে কোলেস্কি স্কোয়ার রুট গণনা করতে হবে (যা আপনি কী ব্যবহার করছেন তা প্রদর্শিত হয়) তবে আপনি ফাংশনটি Rব্যবহার করতে পারেন chol()।

এই উদাহরণস্বরূপ, যথাযথ ম্যাট্রিক্স উপরে যথাক্রমে দুটি Ω এর জন্য (যথাক্রমে) হবে$\Omega$

$${\bf A} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ .8 & .6 & 0 \\ .3 & .933 & .1972 \\ \end{array} \right) \ \ \ \ {\rm or} \ \ \ {\bf A} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2/3 & .7453 & 0 \\ 0 & .8944 & .4472 \\ \end{array} \right)$$

Rএই ছিল পৌঁছা করতে ব্যবহৃত কোড:

x = matrix(0,3,3)
x[1,]=c(1,.8,.3)
x[2,]=c(.8,1,.8)
x[3,]=c(.3,.8,1)
t(chol(x))

     [,1]      [,2]      [,3]
[1,]  1.0 0.0000000 0.0000000
[2,]  0.8 0.6000000 0.0000000
[3,]  0.3 0.9333333 0.1972027

x[1,]=c(1,2/3,0)
x[2,]=c(2/3,1,2/3)
x[3,]=c(0,2/3,1)
t(chol(x))

      [,1]      [,2]      [,3]
[1,] 1.0000000 0.0000000 0.0000000
[2,] 0.6666667 0.7453560 0.0000000
[3,] 0.0000000 0.8944272 0.4472136

Comments

ম্যাটল্যাব ফাংশন এছাড়াও বলা হয় chol। মনে রাখবেন যে প্রায় একবিন্দু হলে এটি বেশ সংখ্যাগতভাবে অস্থির হতে পারে । সেক্ষেত্রে এসভিডি এর মাধ্যমে প্রাপ্ত প্রতিসামগ্রীক স্কোয়ার-রুট ব্যবহার করা সংখ্যার স্থায়িত্বের ক্ষেত্রে প্রায়শই ভাল পছন্দ। :)$\Omega$

— কার্ডিনাল

অবশ্যই এটি সঠিকভাবে @ কার্ডিনাল - আপনি প্রায় একক একক ম্যাট্রিক দিয়ে সংখ্যাগুলি করার চেষ্টা করার সময় প্রচুর তাত্ত্বিকভাবে ন্যায়সঙ্গত জিনিসগুলি খারাপ হয়ে যায়। আমি (স্বাচ্ছন্দ্যে) পরিস্থিতিটি কল্পনা করছিলাম যেখানে টার্গেট রিলেশন ম্যাট্রিক্স বাস্তবে ছিল না যেখানে এটি একটি ইস্যু ছিল। এটি ভাল যে আপনি এটি চিহ্নিত করেছেন - ধন্যবাদ (এবং আমার অন্য উত্তরের সম্পাদনার জন্য ধন্যবাদ)

— ম্যাক্রো

আমি যে বিষয়টি নিয়ে ভাবছিলাম তার প্রধান কারণটি ছিল ওপির প্রথম পরামর্শটি ইতিবাচক সুনির্দিষ্টও নয় বলে স্বীকৃতি দেওয়ার জন্য আপনার আগ্রহী দৃষ্টি ছিল। এবং, আশা করি অন্য প্রশ্নের সম্পাদনা অত্যধিক alousর্ষান্বিত ছিল না; আমি এই দুটি উত্তর পছন্দ।

— মূল কার্ডিনাল

Answer 2

আপনি যদি আর ব্যবহার করে থাকেন তবে আপনি সাধারণত বিতরণযোগ্য ভেরিয়েবলগুলি ধরে নিচ্ছেন এমনটি ধরে নিয়ে আপনি ম্যাস প্যাকেজ থেকে এমভিআরনর্ম ফাংশনটিও ব্যবহার করতে পারেন। বাস্তবায়নটি উপরের ম্যাক্রোর বর্ণনার সাথে সমান, তবে কোলেস্কি পচন এবং পরিবর্তনের একক মানের পচন সহ স্কেলিংয়ের পরিবর্তে পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্সের আইজেনভেেক্টর ব্যবহার করে (যদি অভিজ্ঞতা অভিজ্ঞতা সত্যতে সেট করা থাকে)।

তাহলে একটি সাধারণ বিন্যাসের থেকে টানা এন্ট্রিগুলির সাথে একটি ম্যাট্রিক্স হয়, Σ eigenvectors সঙ্গে একটি ইতিবাচক নির্দিষ্ট পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স হয় γ এবং λ বর্গমূল থেকে eigen মান একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্সের হয় Σ তির্যক বরাবর তারপর:$X$$\Sigma$$\gamma$$\lambda$$\Sigma$

$X' = \gamma\lambda X^{T}$

$\Sigma$$X$

মনে রাখবেন যে পারস্পরিক সম্পর্ক মেট্রিক্সকে ইতিবাচক সুনির্দিষ্ট হতে হবে, তবে ম্যাট্রিক্স প্যাকেজ থেকে আর এর নিকটস্থ পিডি ফাংশনের সাথে রূপান্তর করা কার্যকর হবে।

Answer 3

কোলেস্কি ফ্যাক্টরিয়েশন ছাড়াই বিকল্প সমাধান নিম্নলিখিত is দিন$\Sigma_y$ মনে করুন আপনার পছন্দসই কোভরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স এবং মনে করুন আপনার কাছে ডেটা রয়েছে $x$ সঙ্গে $\Sigma_x = I$। অনুমান করা$\Sigma_y$ সঙ্গে ইতিবাচক নির্দিষ্ট $\Lambda$ ইগেনভ্যালুগুলির তির্যক ম্যাট্রিক্স এবং $V$ কলাম ইগেনভেেক্টরগুলির ম্যাট্রিক্স।

তুমি লিখতে পারো $\Sigma_y = V \Lambda V^T = ( V \sqrt{\Lambda} ) (\sqrt{\Lambda}^T V^T ) = A A^T$।

$y=Ax$ পছন্দসই ডেটা তৈরি করুন।