এর সম্ভাব্য ব্যাপ্তি

Question

ধরুন, তিনটি টাইম সিরিজ, , এবং$X_1$$X_2$$Y$

~ ( ) এ সাধারণ লিনিয়ার রিগ্রেশন চালানো , আমরা পেয়ে থাকি । সাধারণ রৈখিক রিগ্রেশনের ~ পেতে । ধরে নিন$Y$$X_1$$Y = b X_1 + b_0 + \epsilon$$R^2 = U$$Y$$X_2$$R^2 = V$$U < V$

~ ( ) এর উপর এর সর্বনিম্ন এবং সর্বাধিক সম্ভাব্য মানগুলি কী ?$R^2$$Y$$X_1 + X_2$$Y = b_1 X_1 + b_2 X_2 + b_0 + \epsilon$

আমি বিশ্বাস করি যে সর্বনিম্ন হওয়া উচিত + একটি ছোট মান, যেহেতু নতুন ভেরিয়েবল যুক্ত করা সর্বদা increases বৃদ্ধি করে , তবে আমি জানি না যে এই ছোট মানটিকে কী পরিমাণে প্রমান করা যায় এবং আমি সর্বোচ্চ পরিসীমা কীভাবে প্রাপ্ত করব তা জানি না ।$R^2$$V$$R^2$

Answer 1

1) সম্পাদনা: নীচে কার্ডিনালের মন্তব্যটি দেখায় যে ন্যূনতম প্রশ্নের সঠিক উত্তরটি । সুতরাং আমি আমার "আকর্ষণীয়" মুছে ফেলছি, তবে শেষ পর্যন্ত ভুল, ওপি'র পোস্টের সেই অংশটির উত্তর দিন।$R^2$$V$

2) সর্বাধিক হয় 1. নীচের উদাহরণটি বিবেচনা করুন, যা আপনার ক্ষেত্রে ফিট করে।$R^2$

x1 <- rnorm(100)
x2 <- rnorm(100)
y <- x1 + 2*x2

> summary(lm(y~x1))$r.squared
[1] 0.2378023                 # This is U
> summary(lm(y~x2))$r.squared
[1] 0.7917808                 # This is V; U < V
> summary(lm(y~x1+x2))$r.squared
[1] 1

এখানে আমরা ভ্যারিয়েন্স ফিক্সিং হয় 0 এ আপনি যদি চান একটু, যদিও, কিছু পরিবর্তন করুন। আপনি ছোট ও ছোট করে আর 1 এর কাছাকাছি পেতে পারেন তবে ন্যূনতম সমস্যা হিসাবে আপনি সেখানে যেতে পারবেন না, তাই সর্বাধিক কোনও নেই। 1 আধিপত্যবাদী হয় , যেহেতু এটি সর্বদা এর চেয়ে বেশি তবে এটি সীমা ।$\epsilon$$\sigma^2_\epsilon > 0$$R^2$$\sigma^2_\epsilon$$R^2$$\sigma^2_\epsilon \to 0$

Comments

(+1) কিছু মন্তব্য: এটি একটি ভাল উত্তর; এটা মজার যে আপনি একটি asymptotic পদ্ধতির একটি fixed- গ্রহণ করেছি যেহেতু এটা স্পষ্ট সম্ভব নয় কিনা ওপি যে আগ্রহী ছিলেন বা, এক (বা উভয়)। এই উত্তরটি ওপির সীমাবদ্ধতার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয় যে , যদিও, এবং যদি বা some কিছু some জন্য, উদাহরণস্বরূপ, তবে সর্বনিম্ন জন্য সব নমুনা মাপ স্থির করা হয় ঠিক । (এই উদাহরণগুলির প্যাথলজিটি ক্ষমা করুন)) এছাড়াও, ওএলএস ভবিষ্যদ্বাণীকারীদের উপর অতিরিক্ত অনুভূতিগুলির অনুপস্থিতভাবে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয় । :)$n$$U < V$$X_1 = 0$$X_1 = a \mathbf{1}$$a \in \mathbb R$$R^2$$V := V(n)$

— কার্ডিনাল

@ কার্ডিনাল - পুনঃপাঠনের সময়, আমি বুঝতে পারি না কেন আমি ন্যূনতম সমস্যার দিকে কেন এই দৃষ্টিভঙ্গি নিয়েছি, যখন এখন স্পষ্টতই সঠিক উত্তর বলে মনে হচ্ছে এবং যেমন আপনি স্পষ্টভাবে পর্যবেক্ষণ করেছেন, আমি একটি উদাহরণ তৈরি করতে পারলাম যা এটি অর্জন করেছিল সর্বাধিক অংশের শিরা ... ওহ ভাল, সম্ভবত আমার এস্প্রেসোটি আজ সকালে দুর্ঘটনাক্রমে ডেকাফ হয়েছিল। (সম্ভবত আমার $V$

— পোস্টগুলি

আমি মনে করি না আপনি সরাতে উচিত যা লিখেছেন, যা আমি না করেনি প্রশ্নের উত্তর একটা মজার পদ্ধতির খুঁজে! আমি যেসব প্যাথলজগুলি উল্লেখ করেছি তা অবশ্যই সর্বনিম্ন জন্য অনুমতি দেয় তবে কেউই ভাবতে পারেন যে আসলে দ্বারা কী বোঝানো হয়েছে । অন্য উদাহরণ সম্ভবত প্যাথলজিকাল নয় কারণ এই সমস্যার সাধারণ সংস্করণে, এটি এমন ক্ষেত্রে প্রসারিত যেখানে কোনও অতিরিক্ত অন্যান্য কলাম স্পেসে রয়েছে। :)$R^2$$X_1 = 0$$X_i$

— কার্ডিনাল

@ কার্ডিনাল - ধন্যবাদ! আমি এটি পুনর্গঠন করব, সম্ভবত আরও কিছু আনুষ্ঠানিকভাবে, এবং এটি কিছুক্ষণের মধ্যে নীচে ফিরে রেখে দেব।

— jboman

Answer 2

যাক মধ্যে পারস্পরিক সমান এবং , মধ্যে পারস্পরিক সমান এবং এবং মধ্যে পারস্পরিক এবং । তারপরে সমান দ্বারা বিভক্ত পুরো মডেলের জন্য$r_{1,2}$$X_1$$X_2$$r_{1,Y}$$X_1$$Y$$r_{2,Y}$$X_2$$Y$$R^2$$V$

$$\left(\frac{1}{(1 - r_{1,2}^2)}\right) \left(1 - \frac{2 \cdot r_{1,2} \cdot r_{1,Y}}{r_{2,Y}} + \frac{U}{V}\right).$$

তাই পূর্ণ মডেল জন্য সমান শুধুমাত্র যদি এবং বা$R^2$$V$$r_{1,2} = 0$$r_{1,Y}^2 = U = 0$

$$r_{1,2}^2 = \frac{2\cdot r_{1,2} \cdot r_{1,Y}}{r_{2,Y}} - \frac{U}{V}.$$

যদি , সম্পূর্ণ মডেলের জন্য সমান হয় ।$r_{1,2} = 0$$R^2$$U + V$

Comments

(+1) সুন্দর। সাইটে স্বাগতম। আপনি আরও সম্পূর্ণরূপে অংশ নিতে পারেন দয়া করে আপনার অ্যাকাউন্ট নিবন্ধকরণ বিবেচনা করুন। আমাকে এই অভিব্যক্তিটি আরও পরে আরও পরে দেখতে হবে। :)

— কার্ডিনাল

Answer 3

এবং তে কোনও বাধা ছাড়াই সর্বনিম্ন এবং তারপরে সর্বাধিক হ'ল ছোট । এর কারণ হল দুই পরিবর্তনশীল পুরোপুরি সম্পর্কিত করা যেতে পারে (যে ক্ষেত্রে দ্বিতীয় পরিবর্তনশীল যোগ পরিবর্তন করে না এ সব) অথবা তারা উভয় পরিণাম সমেত যে ক্ষেত্রে লম্ব হতে পারে । মন্তব্যগুলিতে এটি যথাযথভাবে উল্লেখ করা হয়েছিল যে এর জন্য প্রত্যেককেই এর কলাম ভেক্টর to এর জন্য orthogonal হতে হবে ।$U$$V$$V$$\min(V + U, 1)$$R^2$$U + V$$\mathbf{1}$

আপনি বাধ্যতা যোগ । তবে, এটি এখনও সম্ভব যে । এটি, , , । অবশেষে, এটি সম্ভব যে তাই উপরের এখনও ।$U < V \implies X_{1} \neq X_{2}$$U = 0$$X_{1} \perp Y$$\min = \max = V + 0$$X_{1} \perp X_{2}$$\min(V + U, 1)$

আপনি যদি এবং between এর মধ্যে সম্পর্ক সম্পর্কে আরও জানতেন তবে আমার ধারণা আপনি আরও বলতে পারেন।$X_{1}$$X_{2}$

Comments

(+1) তবে মনে রাখবেন যে এটি (বেশ) সত্য নয় যে যদি এবং অরথোগোনাল হয় তবে মডেলটিতে উভয়কে অন্তর্ভুক্ত করার পরে তাদের স্বতন্ত্র মানগুলি যোগ হবে। আমাদের সেগুলি ভেক্টর- জন্যও অর্থকোনাল হওয়া দরকার । দ্রষ্টব্য যে আপনি গণিতটি চিহ্নিত করার জন্য এই সাইটে on ব্যবহার করতে পারেন । :)$X_1$$X_2$$R^2$$\mathbf 1$$\LaTeX$

— কার্ডিনাল

ঐটা সত্য. মন্তব্যগুলির জন্য এবং ব্যবহার করা যেতে পারে তা নির্দেশ করার জন্য অনেক ধন্যবাদ । আমি ভেবেছিলাম এটি ম্যাথজ্যাক্স স্টাইলটি পালিয়ে যাওয়ার চেষ্টা করেছে (এবং [ইনলাইন / সমীকরণের জন্য। টেক্সে আমি যেমন আকর্ষণীয় কাজ করতাম ঠিক তেমনই লিখেছিলাম :)$\LaTeX$

— জোশুয়া