হ্যামিলটোনীয় মন্টি কার্লো: মহানগর-হেস্টিংয়ের প্রস্তাবটি কীভাবে বোধ করবেন?

Question

আমি হ্যামিলটোনীয় মন্টে কার্লো (এইচএমসি) এর অভ্যন্তরীণ কাজটি বোঝার চেষ্টা করছি, তবে আমরা যখন কোনও মহানগর-হেস্টিং প্রস্তাবের সাথে সংক্ষিপ্ত সময়-সংহতকরণ প্রতিস্থাপন করি তখন সেই অংশটি পুরোপুরি বুঝতে পারি না। মাইকেল বেতানকোর্টের হ্যামিলটোনীয় মন্টি কার্লো- র দুর্দান্ত ধারণার প্রবন্ধটি আমি পড়ছি , সুতরাং আমি সেখানে ব্যবহৃত একই স্বরলিপিটি অনুসরণ করব।

পটভূমি

মার্কভ চেইন মন্টে কার্লো (এমসিএমসি) সাধারণ লক্ষ্য বন্টন আনুমানিক হয় একটি টার্গেট ভেরিয়েবলের ।$\pi(q)$$q$

এইচএমসির ধারণাটি হ'ল "পজিশন" হিসাবে চিহ্নিত মূল ভেরিয়েবল এর সাথে একযোগে "সহায়ক" গতিবেগ "পরিবর্তনশীল চালু করা । অবস্থান-গতির জোড় একটি বর্ধিত পর্যায়ের স্থান গঠন করে এবং হ্যামিলটোনীয় গতিবিদ্যা দ্বারা বর্ণনা করা যায়। যৌথ বিতরণ মাইক্রোক্যানোনিকাল পচনের ক্ষেত্রে লেখা যেতে পারে:$p$$q$$\pi(q, p)$

$\pi(q, p) = \pi(\theta_E | E) \hspace{2pt} \pi(E)$ ,

যেখানে একটি প্রদত্ত শক্তি স্তর এর পরামিতিগুলি করে , এটি একটি সাধারণ সেট হিসাবেও পরিচিত । চিত্রের জন্য চিত্রের 21 এবং চিত্র 22 দেখুন।$\theta_E$$(q, p)$$E$

মূল এইচএমসি পদ্ধতিতে নিম্নলিখিত দুটি বিকল্প পদক্ষেপ থাকে:

• একটি স্টোকাস্টিক পদক্ষেপ যা শক্তির স্তরগুলির মধ্যে এলোমেলো রূপান্তর সম্পাদন করে এবং

• একটি নির্ধারিত পদক্ষেপ যা প্রদত্ত শক্তির স্তর বরাবর সময় সংহতকরণ (সাধারণত লিপফ্রগ সংখ্যাসূচক সংহতকরণের মাধ্যমে প্রয়োগ করা হয়) সম্পাদন করে।

কাগজটিতে, যুক্তি দেওয়া হয় যে লিফফ্রোগ (বা সিম্প্লেটিক ইন্টিগ্রেটার) এর মধ্যে ছোট্ট ত্রুটি রয়েছে যা সংখ্যাসূচক পক্ষপাত প্রবর্তন করবে। সুতরাং, এটিকে একটি নির্বিচারক পদক্ষেপ হিসাবে বিবেচনা করার পরিবর্তে, আমাদের এটিকে স্টোকাস্টিক করার মেট্রোপলিস-হেস্টিং (এমএইচ) প্রস্তাবে রূপান্তর করা উচিত, এবং ফলস্বরূপ পদ্ধতিটি বিতরণ থেকে সঠিক নমুনা উত্পন্ন করবে।

এমএইচ প্রস্তাব সঞ্চালন করা হবে পৃষ্ঠলম্ফ অপারেশনের পদক্ষেপ এবং তারপর টুসকি ভরবেগ। প্রস্তাবটি তখন নিম্নলিখিত গ্রহণযোগ্যতা সম্ভাবনার সাথে গৃহীত হবে:$L$

$a (q_L, -p_L | q_0, p_0) = min(1, \exp(H(q_0,p_0) - H(q_L,-p_L)))$

প্রশ্নাবলি

আমার প্রশ্নগুলি হ'ল:

1) নির্ধারিত সময়-সংহতিকে এমএইচ প্রস্তাবের মধ্যে রূপান্তর করার এই পরিবর্তন কেন সংখ্যার পক্ষপাত বাতিল করে যাতে উত্পন্ন নমুনাগুলি ঠিক লক্ষ্য বন্টন অনুসরণ করে?

2) পদার্থবিজ্ঞানের দৃষ্টিকোণ থেকে, শক্তি একটি প্রদত্ত শক্তি স্তরে সংরক্ষণ করা হয়। এজন্য আমরা হ্যামিল্টনের সমীকরণগুলি ব্যবহার করতে সক্ষম হলাম:

$\dfrac{dq}{dt} = \dfrac{\partial H}{\partial p}, \hspace{10pt} \dfrac{dp}{dt} = -\dfrac{\partial H}{\partial q}$ ।

এই অর্থে, জ্বালানি ধ্রুবক হওয়া উচিত সর্বত্র টিপিক্যাল সেটে, অত সমান হওয়া উচিত । শক্তির মধ্যে কেন পার্থক্য রয়েছে যা আমাদের গ্রহণযোগ্যতা সম্ভাবনা তৈরি করতে দেয়?$H(q_0, p_0)$$H(q_L, -p_L)$

Answer 1

নিরস্তক হ্যামিল্টোনীয় ট্র্যাজেক্টরিজগুলি কেবলমাত্র কার্যকর কারণ যেগুলি লক্ষ্য বিতরণের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। বিশেষত, টার্গেটরিজগুলি লক্ষ্য বিতরণের উচ্চ সম্ভাবনার অঞ্চলগুলিতে একটি সাধারণ শক্তি প্রকল্পের সাথে। আমরা যদি হ্যামিল্টনের সমীকরণগুলিকে ঠিক একীভূত করতে পারি এবং সুস্পষ্ট হ্যামিল্টোনীয় ট্র্যাজেক্টরিগুলি তৈরি করতে পারি তবে আমাদের ইতিমধ্যে একটি সম্পূর্ণ অ্যালগরিদম হবে এবং কোনও গ্রহণযোগ্য পদক্ষেপের প্রয়োজন হবে না ।

দুর্ভাগ্যক্রমে কয়েকটি খুব সাধারণ উদাহরণের বাইরে আমরা হ্যামিল্টনের সমীকরণগুলি ঠিকঠাকভাবে সংহত করতে পারি না। এজন্য আমাদেরকে সহজাত ইন্টিগ্রেটারগুলি আনতে হবে । প্রতীকী ইন্টিগ্রেটারগুলি হ্যামিল্টোনীয় ট্র্যাজেক্টরিজগুলির উচ্চতর নির্ভুলতার সংখ্যাসূদ্ধ আনুষঙ্গিকতাগুলি তৈরি করতে ব্যবহৃত হয় যা আমরা বিশ্লেষণাত্মকভাবে সমাধান করতে পারি না। লক্ষণীয় সংহতকারীগুলির অন্তর্নিহিত ছোট্ট ত্রুটি এই সংখ্যাসূচক ট্র্যাজেক্টরিগুলিকে সত্য ট্র্যাজেক্টরিজ থেকে দূরে সরিয়ে নিয়ে যায় এবং সুতরাং সংখ্যার ট্র্যাজেক্টরিগুলির অনুমানগুলি লক্ষ্য বিতরণের সাধারণ সেট থেকে দূরে সরে যায়। এই বিচ্যুতি সংশোধন করার জন্য আমাদের একটি উপায় প্রবর্তন করতে হবে।

হ্যামিলটোনীয় মন্টি কার্লোর আসল বাস্তবায়ন একটি প্রস্তাব হিসাবে নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যের একটি ট্র্যাজেক্টরিতে চূড়ান্ত বিষয়টিকে বিবেচনা করে এবং পরে সেই প্রস্তাবটিতে একটি মেট্রোপলিস গ্রহণযোগ্যতা পদ্ধতি প্রয়োগ করে। যদি সংখ্যার ট্রাজেক্টোরি খুব বেশি ত্রুটি জমে থাকে এবং তাই প্রাথমিক শক্তি থেকে খুব দূরে সরে যায় তবে প্রস্তাবিত প্রস্তাব প্রত্যাখাত হবে। অন্য কথায়, স্বীকৃতি পদ্ধতি এমন প্রস্তাবগুলি ছুঁড়ে দেয় যা লক্ষ্য বন্টনের সাধারণ সেট থেকে খুব দূরে প্রজেক্ট করে যাতে আমাদের কাছে রাখা কেবলমাত্র নমুনাগুলি সাধারণত সেটে পড়ে।

নোট করুন যে কনসেপ্টুয়াল পেপারে আমি আরও আধুনিক বাস্তবায়নের পক্ষে পরামর্শ দিচ্ছি বাস্তবে মেট্রোপলিস-হেস্টিংস অ্যালগরিদম নয়। একটি এলোমেলো ট্র্যাজেক্টোরি নমুনা এবং তারপরে সেই এলোমেলো ট্র্যাজেক্টরি থেকে একটি এলোমেলো বিন্দু সিম্প্লেটিক ইন্টিগ্রেটারের দ্বারা প্রবর্তিত সংখ্যাসূচক ত্রুটি সংশোধন করার আরও সাধারণ উপায়। মেট্রোপলিস-হেস্টিংস এই আরও সাধারণ অ্যালগরিদম বাস্তবায়নের একমাত্র উপায়, তবে স্লাইস স্যাম্পলিং (যেমন ইউএনটিএসে করা হয়েছে) এবং বহু-জাতীয় নমুনা (যেমন বর্তমানে স্ট্যানে করা হয়েছে) ঠিক তেমন ভাল না হলে কাজ করে। তবে শেষ পর্যন্ত স্বজ্ঞাততাটি একই - আমরা লক্ষ্য বন্টন থেকে সঠিক নমুনাগুলি নিশ্চিত করতে আমরা সংখ্যাসূচক ত্রুটিযুক্ত পয়েন্টগুলি বেছে নিই।

Comments

ধন্যবাদ @ মিশেল বেতানকোর্ট !! স্বতঃস্ফূর্তভাবে, এখন আমি সংহত রাষ্ট্রটি ট্রাজেক্টোরি থেকে কতটা বিচ্যুত হবে তার ভিত্তিতে সময়-সংহতকরণের ধাপটিকে সম্ভাব্যতা তৈরি করার ধারণাটি পেয়েছি। যাইহোক, গ্রহণযোগ্যতা সম্ভাবনাটি যেভাবে নির্মিত হয়েছে তা আমার পক্ষে পুরোপুরি অর্থপূর্ণ নয়, কারণ মনে হয় যে আমরা বিচ্যুতিটিকে উত্সাহিত করছি যার ফলশ্রুতি হ্রাস পায় কম শক্তি? যদি চেয়ে অনেক কম হয় তবে প্রস্তাবটি পথ থেকে অনেকটা বিচ্যুত হয়েও আমরা কি সর্বদা প্রস্তাবটি গ্রহণ করে শেষ করব? $H(q_L, -p_L)$$H(q_0, p_0)$

— cwl

হ্যাঁ, তবে উচ্চ মাত্রিক জায়গাগুলিতে ভলিউম কীভাবে কাজ করে (তার অভ্যন্তরের চেয়ে কোনও পৃষ্ঠের বাইরের দিকে সবসময় আরও বেশি পরিমাণে) কাজ করে, ট্রাজেক্ট্রোজিগুলি নিম্ন শক্তির চেয়ে উচ্চতর শক্তিতে বিচ্যুত হওয়ার ক্ষেত্রে আরও বেশি সময় ব্যয় করে। ফলস্বরূপ আপনি যখন প্রস্তাবটি (যা উচ্চতর শক্তির পক্ষে) একত্রিত করেন তখন এটি গ্রহণের সাথে (যা কম শক্তিকে সমর্থন করে) আপনি প্রাথমিক শক্তির চারপাশে ভারসাম্য পুনরুদ্ধার করেন।

— মাইকেল বেতানকোর্ট 4