সম্ভাব্যতার ব্যবস্থার মধ্যে রেডন-নিকোডিয়াম ডেরাইভেটিভের ব্যাখ্যা?

আমি কিছু বিন্দুতে দেখেছি অন্য সম্মান সঙ্গে এক সম্ভাব্যতা পরিমাপ রাডন-Nikodym ব্যুৎপন্ন ব্যবহার, এর মধ্যে উল্লেখযোগ্য হল Kullback-Leibler বিকিরণ, যেখানে এটি কিছু অবাধ পরামিতি জন্য একটি মডেল সম্ভাবনা পরিমাপ ব্যুৎপন্ন হয় সঙ্গে আসল প্যারামিটার সম্মান : $\theta$ $\theta_0$

\frac{d P_{θ}}{d P_{θ_{0}}}

$\frac {dP_\theta}{dP_{\theta_0}}$

কোথায় এই datapoints স্থান উভয়েই সম্ভাব্যতা পরিমাপ করে একটি প্যারামিটার মূল্যের ওপর শর্তসাপেক্ষ হয় । $P_\theta(D)=P(D|\theta)$

কুলব্যাক-লেবলার ডাইভার্জেনে এরকম একটি রেডন-নিকোডিয়াম ডেরাইভেটিভের ব্যাখ্যা বা সাধারণত দুটি সম্ভাবনার পদক্ষেপের মধ্যে কী বোঝায়?

— user56834
সূত্র

প্রথমত, আমরা সম্ভাব্যতা পরিমাপ করে, শুধু প্রয়োজন হবে না -finiteness। তাই দিন একটি পরিমাপযোগ্য স্থান হতে হবে এবং দিন এবং হতে উপর -finite ব্যবস্থা । $\sigma$ $\mathcal M = (\Omega, \mathscr F)$ $\mu$ $\nu$ $\sigma$ $\mathcal M$

রাডন-Nikodym উপপাদ্য বলে যে, যদি সকলের জন্য , দ্বারা প্রকাশ , তারপর সেখানে একটি অ-নেতিবাচক Borel ফাংশন বিদ্যমান যেমন যে $\mu(A) = 0 \implies \nu(A) = 0$ $A \in \mathscr F$ $\mu \gg \nu$ $f$ সবার জন্য ।

ν (A) = \int_{A} f d μ

$\nu(A) = \int_A f \,\text d\mu$

A \in F

$A \in \mathscr F$

আমি এটি সম্পর্কে ভাবতে পছন্দ করি। প্রথমত, কোনো দুই ব্যবস্থা জন্য , আসুন সংজ্ঞায়িত করার গড় $\mathcal M$ $\mu \sim \nu$ । এটিকে একটি বৈধ সমানতা সম্পর্ক এবং আমরা বলে যে এবং হয়সমতুল্যএই ক্ষেত্রে। এটি কেন পদক্ষেপগুলির জন্য বোধগম্য সমতুল্য? ব্যবস্থাগুলি কেবলমাত্র ফাংশন তবে তাদের ডোমেনগুলি ভিজ্যুয়ালাইজ করার পক্ষে কৌশলযুক্ত। দুটি সাধারণ ফাংশন এই সম্পত্তি যেমন, $\mu(A) = 0 \iff \nu(A) = 0$ $\mu$ $\nu$ $f, g :\mathbb R \to \mathbb R$ ? ঠিক আছে, এবং মনে রাখবেন সমর্থনে কোথাও আমরা আছে , এবং সমর্থনে বাইরে (যেহেতু $f(x) = 0 \iff g(x) = 0$

h (x) = {\begin{cases} f (x) / g (x) & g (x) \neq 0 \\ π^{e} & o.w. \end{cases}

$h(x) = \begin{cases} f(x) / g(x) & g(x) \neq 0 \\ \pi^e & \text{o.w.}\end{cases}$

g

$g$

g h = f

$gh = f$

g

$g$

g h = 0 \cdot π^{e} = 0 = f

$gh = 0 \cdot \pi^e = 0 = f$

f

$f$ এবং

ভাগ সমর্থন করে) তাই

আমাদের rescale দেয়

মধ্যে

। @Whuber পয়েন্ট আউট হিসাবে, এখানে কী ধারণা নয় যে

একরকম "নিরাপদ" না বা উপেক্ষা করা হয়, বরং যখন

তারপর এটা কোন ব্যাপার না কি

তাই আমরা শুধু ইচ্ছামত সংজ্ঞায়িত করতে পারেন (মত এখানে

হওয়ার বিশেষ কোনও তাত্পর্য নেই) এবং জিনিসগুলি এখনও কাজ করে। এছাড়াও এই ক্ষেত্রে আমরা অনুরূপ ফাংশন নির্ধারণ করতে পারবেন

দিয়ে

যাতে

।

g

$g$

h

$h$

g

$g$

f

$f$

0 / 0

$0/0$

g = 0

$g = 0$

h

$h$

π^{e}

$\pi^e$

h^{'}

$h'$

g / f

$g / f$

f h^{'} = g

$fh' = g$

$g(x) = 0 \implies f(x) = 0$ $h$ $h'$ $0$ $g$ $f$ $gh = f$ $0$

$\mu$ $\nu$ $f$ $\mu \sim \nu$ $\mu \gg \nu$

$0/0$ $0$ $A$ $\mu(A) = 0$ $1$ $0/0$ $0/0$ $0$ $\mu$ সুতরাং আমরা কেবল আমাদের আরএনডিকে কোনও কিছুই প্রভাবিত না করেই দুর্দান্ত কিছু হতে সংজ্ঞায়িত করতে পারি।

$k \cdot \mu = \nu$ $k > 0$

ν (A) = \int_{A} d ν = \int_{A} k d μ

$\nu(A) = \int_A \,\text d\nu = \int_A k \,\text d \mu$

f (x) = k = \frac{d ν}{d μ}

$f(x) = k = \frac{\text d\nu}{\text d\mu}$

$0$ $f(x) = \varphi(x) + 1_{\mathbb Q}(x)$ $1$ $X$

P (X \in A) = \int_{A} (φ + 1_{Q}) d λ

$P(X \in A) = \int_A \left(\varphi + 1_{\mathbb Q}\right) \,\text d\lambda$

= \int_{A} φ d λ + λ (Q) = \int_{A} φ d λ

$= \int_A \varphi \,\text d\lambda + \lambda\left(\mathbb Q \right) =\int_A \varphi \,\text d\lambda$

X

$X$

X

$X$

Q

$\mathbb Q$

0

$0$

λ

$\lambda$

$X \sim \text{Pois}(\eta)$ $Y \sim \text{Bin}(n, p)$ $P_X$ $P_Y$ $c$ $c$ $c(A) = 0 \iff A = \emptyset$

\frac{d P_{Y}}{d P_{X}} = \frac{d P_{Y} / d c}{d P_{X} / d c} = \frac{f_{Y}}{f_{X}}

$\frac{\text dP_Y}{\text dP_X} = \frac{\text dP_Y / \text dc}{\text dP_X / \text dc} = \frac{f_Y}{f_X}$

সুতরাং আমরা গণনা করতে পারি

P_{Y} (A) = \int_{A} d P_{Y}

$P_Y(A) = \int_A \,\text dP_Y$

= \int_{A} \frac{d P_{Y}}{d P_{X}} d P_{X} = \int_{A} \frac{d P_{Y}}{d P_{X}} \frac{d P_{X}}{d c} d c

$= \int_A \frac{\text dP_Y}{\text dP_X}\,\text dP_X = \int_A \frac{\text dP_Y}{\text dP_X}\frac{\text dP_X}{\text dc}\,\text dc$

= \sum_{y \in A} \frac{d P_{Y}}{d P_{X}} (y) \frac{d P_{X}}{d c} (y) = \sum_{y \in A} \frac{f_{Y} (y)}{f_{X} (y)} f_{X} (y) = \sum_{y \in A} f_{Y} (y) .

$= \sum_{y \in A} \frac{\text dP_Y}{\text dP_X}(y)\frac{\text dP_X}{\text dc}(y) = \sum_{y \in A} \frac{f_Y(y)}{f_X(y)}f_X(y) = \sum_{y \in A} f_Y(y).$

$P(X = n) > 0$ $n$ $Y$

$P \ll Q$ $\mu$ $\frac{\text dP}{\text dQ} = \frac{\text dP / \text d\mu}{\text dQ / \text d\mu} := p / q$

— jld
সূত্র

0 / 0

$0/0$

0 / 0

$0/0$

@ শুভ মন্তব্যটির জন্য অনেক ধন্যবাদ, যা সত্যই সহায়তা করে। আমি

— এটিকে