কোন বিতরণ ফর্মগুলি "পাইথাগোরিয়ান প্রত্যাশা" দেয়?

16

যাক এবং স্বাধীন একটানা র্যান্ডম একই অনির্দিষ্ট distributional ফর্ম থেকে কিন্তু বিভিন্ন পরামিতি মানের জন্য ভাতা দিয়ে তৈরি ভেরিয়েবল হও। আমি প্যারাম্যাট্রিক বিতরণ ফর্মটি খুঁজতে আগ্রহী যার জন্য নিম্নলিখিত নমুনা সম্ভাবনাটি সমস্ত অনুমোদিত প্যারামিটার মানগুলির জন্য ধারণ করে: $X \sim \text{Dist}(\theta_X)$ $Y \sim \text{Dist}(\theta_Y)$

P (X > Y | θ_{X}, θ_{Y}) = \frac{θ_{X}^{2}}{θ_{X}^{2} + θ_{Y}^{2}} .

$\mathbb{P}(X > Y| \theta_X, \theta_Y) = \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}.$

আমার প্রশ্ন: কেউ কি আমাকে একটি ধারাবাহিক বিতরণ ফর্ম বলতে পারেন যার জন্য এটি ধারণ করে? এমন কোনও (অ-তুচ্ছ) সাধারণ পরিস্থিতি রয়েছে যা এর দিকে পরিচালিত করে?

আমার প্রাথমিক চিন্তা: আপনি যদি উভয় পরামিতিগুলিকে কোনও অ-শূন্য ধ্রুবক দিয়ে গুণ করেন তবে সম্ভাবনা অপরিবর্তিত রয়েছে, তাই একরকম স্কেল প্যারামিটার হিসাবে বোঝানো যায়। $\theta$

probability distributions

— মনিকা পুনরায় স্থাপন করুন
সূত্র

1

হতে পারে এটি সাহায্য করবে: en.wikedia.org/wiki/…

— জন কোলেম্যান

1

আপনি কি এই প্রশ্নের জন্য একটি প্রসঙ্গ বা রেফারেন্স সরবরাহ করতে পারেন?

— শি'য়ান

17

যদি আমরা দুটি এক্সপেনশনাল এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি পাই তবে আমরা সেই পাই এবং এখন, যদি তারপরে

X \sim E (θ_{X}) X \sim E (θ_{Y})

$X\sim\mathcal{E}(\theta_X)\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y)$

P (X > Y | Y = y) = \exp {- θ_{X} y}

$\mathbb{P}(X>Y|Y=y)=\exp\{-\theta_X y\}$

E^{Y} [\exp {- θ_{X} Y}] = \int_{0}^{\infty} \exp {- θ_{X} y} θ_{Y} \exp {- θ_{Y} y} d y = \frac{θ_{Y}}{θ_{X} + θ_{Y}}

$\mathbb{E}^Y[\exp\{-\theta_X Y\}]=\int_0^\infty \exp\{-\theta_X y\}\,\theta_Y\exp\{-\theta_Y y\}\text{d}y=\dfrac{\theta_Y}{\theta_X+\theta_Y}$

X \sim E (θ_{X}^{- 2}) X \sim E (θ_{Y}^{- 2})

$X\sim\mathcal{E}(\theta_X^{-2})\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y^{-2})$

P (X > Y) = \frac{θ_{X}^{2}}{θ_{X}^{2} + θ_{Y}^{2}}

$\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}$

আরও আকর্ষণীয় প্রশ্ন হ'ল এটি বিতরণের একমাত্র সম্ভাব্য কেস যার জন্য এটি কাজ করে। , একটি প্রয়োজনীয় এবং মূলগত ঘনত্ব উপর যথেষ্ট স্কেলে পরিবার কাঠামো ধরে নেওয়া যাক (উদাহরণস্বরূপ, এই গামা পরিবার, যার জন্য এটি কাজ করে একমাত্র উপাদান।) এর এবং যে $f$ $X$ $Y$

\int_{0}^{\infty} z f (z) f (τ z) d z = \frac{1}{(1 + τ)^{2}}

$\int_0^\infty z\, f(z)\, f(\tau z) \,\text{d}z = \frac{1}{(1+\tau)^2}$

তবে জেনেরিক উত্তরটি হ'ল: @ সোসকলির উত্তরে যেমন উল্লেখ করা হয়েছে, এটি ওয়েইবুলসের পক্ষেও কাজ করে যা থেকে অবাক হওয়ার কিছু নয় সকলের জন্য pha (এবং ওয়েইবুলগুলি ক্ষতিকারক শক্তি)। আরও সাধারণ শ্রেণির উদাহরণগুলি করা হয় সমস্ত কঠোরভাবে বর্ধিত ক্রিয়াকলাপের জন্য , যেখানে উপরের হিসাবে , তখন থেকে আমাদের

P (X > Y) = P (X^{α} > Y^{α})

$\mathbb{P}(X>Y)=\mathbb{P}(X^\alpha>Y^\alpha)$

α > 0

$\alpha>0$

X^{'} = ϕ (X) Y^{'} = ϕ (Y)

$X' = \phi(X) \qquad Y' = \phi(Y)$ $\phi$

X, Y

$X,Y$

P (X^{'} > Y^{'}) = P (ϕ (X) > ϕ (Y)) = P (X > Y) = \frac{θ_{X}^{2}}{θ_{X}^{2} + θ_{Y}^{2}} .

$\mathbb{P}(X'>Y') =\mathbb{P}(\phi(X)>\phi(Y))=\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}.$

— সিয়ান
সূত্র

8

$X$ $\left( \alpha,\beta_1 \right)$ $Y$ $\left( \alpha, \beta_2 \right)$

P [X > Y] = \frac{β_{1}^{α}}{β_{1}^{α} + β_{2}^{α}}

$P \left[ X > Y \right]= \frac{\beta_1^\alpha}{\beta_1^\alpha + \beta_2^\alpha}$

শি'ানের উত্তরে প্রদত্ত একই পদ্ধতির অনুসরণ করে এটি উত্পন্ন করা যেতে পারে।

এখন এবং উভয়ের জন্য দিন । যদি এর স্কেল প্যারামিটার থাকে এবং এর স্কেল প্যারামিটার থাকে আমাদের $\alpha=2$ $X$ $Y$ $X$ $\theta_X$ $Y$ $\theta_Y,$

P [X > Y] = \frac{θ_{X}^{2}}{θ_{X}^{2} + θ_{Y}^{2}}

$P \left[ X > Y \right]= \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}$

— soakley
সূত্র

(+1 টি): parameterisation সম্পর্কে অস্পষ্ট ধারণা প্রশ্নে গৃহীত দেওয়া, আপনি Weibulls parametrise করতে এবং জন্য সব 'র। তাই ফলাফলের জন্য ঝুলিতে 'র।

θ_{X}

$\theta_X$

θ_{Y}

$\theta_Y$

α

$\alpha$

α

$\alpha$

— শি'য়ান

প্রকৃতপক্ষে, যেমন আপনি দেখিয়েছেন। আমি ধরে নিয়েছি ওপি প্যারামিটারগুলির সাথে আরও সরাসরি কিছু চায়।

— soakley