2 ডি মার্জিনাল দ্বারা কোনও 3 ডি যৌথ বিতরণ পুনর্গঠন করা যেতে পারে?

ধরুন আমরা p (x, y), p (x, z) এবং p (y, z) জানি, এটা কি সত্য যে যৌথ বিতরণ পি (x, y, z) সনাক্তযোগ্য? অর্থাৎ, কেবলমাত্র একটি সম্ভাব্য পি (এক্স, ওয়াই, জেড) আছে যা প্রান্তিকের উপরে?

distributions mathematical-statistics

— user1466742
সূত্র

সম্পর্কিত: যৌথ বন্টন গাউসিয়ান নয় এমন গাউসিয়ান এলোমেলো ভেরিয়েবলের জুড়ি রাখা কি সম্ভব? (এটি 2 ডি যৌথ বনাম 1 ডি প্রান্তিকের সাথে সম্পর্কিত তবে উত্তর এবং অন্তর্দৃষ্টি শেষ পর্যন্ত একই, প্লাসে @ কার্ডিনালের উত্তরের চিত্রগুলি সুন্দর))

— গং - মনিকা পুনরায়

@ গুং সম্পর্কটি কিছুটা দূরবর্তী। এই প্রশ্নের পিছনে সূক্ষ্মতা হল এই চিন্তাভাবনা যা একটি কোপুলা আমাদের দেখায় যে প্রদত্ত প্রান্তিকের সাথে দ্বিবিভক্ত বিতরণ কীভাবে বিকাশ করা যায়। তবে আমরা যদি একটি তুচ্ছ বিতরণের জন্য তিনটি দ্বিবিড়ীয় প্রান্তিক নির্দিষ্ট করি, তবে সেই তুচ্ছ বিতরণে মোটামুটি অতিরিক্ত বাধা থাকতে হবে: অবিবাহিত প্রান্তিকগুলি অবশ্যই সামঞ্জস্যপূর্ণ হতে হবে। তারপরে প্রশ্ন হ'ল এই বাধাগুলি কি তুচ্ছ বিতরণ পিন করার জন্য যথেষ্ট? এটি এটিকে সহজাতভাবে দ্বিমাত্রিক প্রশ্নে আরও বেশি করে তোলে।

— whuber

@ হুবুহু, আমি আপনাকে বুঝতে পেরেছি যে 2D মার্জিনাল 1D প্রান্তিকের চেয়ে বেশি সীমাবদ্ধ, যা যুক্তিসঙ্গত। আমার বক্তব্যটি হ'ল উভয়েরই উত্তর হ'ল প্রান্তিকগুলি যৌথ বন্টনকে পর্যাপ্ত পরিমাণে সীমাবদ্ধ করতে পারে না এবং সেখানে কার্ডিনালের উত্তরটি বিষয়টি দেখতে খুব সহজ করে তোলে। আপনি যদি মনে করেন এটি খুব বেশি বিচলিত হয় তবে আমি এই মন্তব্যগুলি মুছতে পারি।

— গুং - মনিকা পুনরায়

@ গুং আমি সম্পূর্ণ আলাদা কিছু বলার চেষ্টা করছি এবং এটি দেখতে সহজ নয় (যদি আপনি 3D ভিজ্যুয়ালাইজেশনে খুব ভাল না হন)। আপনি কি হাফস্টাডটারের গডেল, এসচার, বাচের কভার চিত্রটি মনে করছেন ? (এটি গুগলিংয়ের দ্বারা সহজেই পাওয়া গেছে; সম্ভবত আমি আমার উত্তরটি এর অন্তর্ভুক্ত করার জন্য প্রসারিত করব)) স্থানাঙ্ক অক্ষগুলিতে অদ্বিতীয় সেটগুলির সমাহারযুক্ত দুটি পৃথক কঠিন পদার্থের অস্তিত্ব মোটামুটি আশ্চর্যজনক। এটি এই ধারণাকে ধারণ করে যে একটি 3 ডি অবজেক্টের অर्थোগোনাল 2 ডি "ভিউ" এর একটি সম্পূর্ণ সেট অগত্যা অবজেক্টটি নির্ধারণ করে না। এটাই বিষয়টির ক্রুশ।

— whuber

@ গুং আমাকে আরও একবার চেষ্টা করার অনুমতি দেয়। হ্যাঁ, মার্জিনালরা কোনও বিতরণ পুরোপুরি নির্ধারণ করে না এমন ধারণা উভয় ক্ষেত্রেই সাধারণ। এইটির মধ্যে জটিলতা - একটি যেটি আমি বিশ্বাস করি এটি একে অন্যের থেকে এতটাই আলাদা করে তোলে - বর্তমান পরিস্থিতির প্রান্তিকতা কোনও উপায়েই স্বাধীন নয়: প্রতিটি 2 ডি প্রান্তিক দুটি 1D মার্জিনাল নির্ধারণ করে পাশাপাশি তাদের মধ্যে দৃ strong ় সম্পর্ককে marginals। ধারণার দিক থেকে, তারপর, এই প্রশ্ন যেমন "কেন নয় ঢেলে সাজানো যেতে পারে নির্ভরতা 2D marginals 'সকর্মক' থেকে বা পূর্ণ 3D বন্টন নির্ধারণের অর্থে 'সর্বমোট'?"

— whuber

উত্তর:

নং সম্ভবত সবচেয়ে সহজ counterexample উদ্বেগ তিনটি স্বাধীন বিতরণের ভেরিয়েবল , যার জন্য থেকে সব আটটি সম্ভাব্য ফলাফল মাধ্যমে সমানভাবে সম্ভাবনা বেশি। এটি চারটি প্রান্তিক বিতরণকে অভিন্ন করে তোলে $\text{Bernoulli}(1/2)$ $X_i$ $(0,0,0)$ $(1,1,1)$ । $\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$

র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল যা সেট অভিন্নভাবে বিতরণ করা হয়েছে । এগুলির মতো প্রান্তিক $(Y_1,Y_2,Y_3)$ $\{(1,0,0),(0,1,0), (0,0,1),(1,1,1)\}$ । $(X_1,X_2,X_3)$

ডগলাস হাফস্টাডটারের গডেল, এসচার, বাচের প্রচ্ছদটি সম্ভাবনার দিকে ইঙ্গিত করেছে।

সমন্বিত সমতলগুলিতে এই প্রতিটি পদার্থের তিনটি অর্থোগোনাল অনুমান (ছায়া) একই, তবে সলিডগুলি স্পষ্টতই পৃথক। যদিও ছায়াগুলি প্রান্তিক বিতরণের মতো একই জিনিস নয় তবে এগুলি সীমাবদ্ধ করার পরিবর্তে একইভাবে কাজ করে তবে পুরোপুরি নির্ধারণ করে না যে 3 ডি অবজেক্ট তাদেরকে ফেলে দেয়।

— whuber
সূত্র

Y 1, Y 2, Y 3

$Y1,Y2,Y3$

হুবহু জবাব যেমন একই আত্মায়,

$U, V, W$

\begin{aligned} (1) & f_{U, V, W} (u, v, w) = {\begin{cases} 2 ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w) & if u \geq 0, v \geq 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v < 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v \geq 0, w < 0, \\ or if u \geq 0, v < 0, w < 0, \\ 0 & otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U,V,W}(u,v,w) = \begin{cases} 2\phi(u)\phi(v)\phi(w) & ~~~~\text{if}~ u \geq 0, v\geq 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v < 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v\geq 0, w < 0,\\ & \text{or if}~ u \geq 0, v< 0, w < 0,\\ & \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\tag{1} \end{align}$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

$U, V$ $W$ $(U,V), (U,W), (V,W)$ $U,V,W$ জুটিওয়ালা স্বতন্ত্র তবে পারস্পরিকভাবে স্বাধীন মানক আদর্শ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের উদাহরণ নয়। আরও তথ্যের জন্য আমার এই উত্তরটি দেখুন ।

$X,Y,Z$

\begin{matrix} (2) & f_{X, Y, Z} (u, v, w) = ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w), u, v, w \in R \end{matrix}

$f_{X,Y,Z}(u,v,w) = \phi(u)\phi(v)\phi(w), ~~u,v,w \in \mathbb R \tag{2}$ which is not the same as the joint density in

(1)

$(1)$ . So, NO, we cannot deduce the trivariate joint pdf from the bivariate pdfs even in the case when the marginal univariate distributions are standard normal and the random variables are pairwise independent.

— Dilip Sarwate
সূত্র

You're basically asking if CAT reconstruction is possible using only images along the 3 main axes.

It is not... otherwise that's what they would do. :-) See the Radon transform for more literature.

— user541686
সূত্র

I like the analogy. Two aspects are troubling, though. One is the logic: just because the Radon transform (or some other technique) uses more data than the three marginals does not logically imply it really needs all those data. Another problem is that CT scans are inherently two-dimensional: they reconstruct a solid body slice by slice. (It's true that the Radon transform is defined in three and higher dimensions.) Thus they don't really get to the heart of the matter: we already know the univariate marginals aren't enough to reconstruct a 2D distribution.

— whuber

@whuber: I think you misunderstood what I was saying... and the 2D vs 3D is a red herring. I was trying to say that the inverse of the Radon transform requires the full integral for its inversion (i.e. if you literally just look at the inversion formula, you see the inversion requires an integral over all angles, not a sum over d angles). The CAT scan was just to help the OP see it's the same problem as CT.

— user541686

That's where the logic breaks down: it's not the same problem as the CT. Your argument sounds like an analog of "every vehicle I see on the road uses at least four wheels. Therefore ground transportation with fewer than four wheels is impossible, for if it were possible, then people would be using fewer wheels to save tire costs. If you doubt this, just look at the blueprints for a car." Incidentally, the transform as implemented in a CT scanner does not integrate over all angles--the measure of the set of angles it uses is zero!

— whuber

@whuber: Forget the CT thing for a moment. Do you agree with the rest of the logic?

— user541686