কমপক্ষে দুটি পয়েন্টের ব্যবধানে জয়টি করার জন্য গেমটি "ওভারটাইম" এর মধ্যে যায় বলে এই বিশ্লেষণটি জটিল। (অন্যথায় এটি https://stats.stackexchange.com/a/327015/919- তে দেখানো সমাধানের মতোই সহজ হবে)) আমি কীভাবে সমস্যাটি কল্পনা করতে পারি এবং সহজেই গণনা করা অবদানগুলিকে এটিকে ভাঙতে কীভাবে ব্যবহার করব তা আমি দেখাব উত্তর. ফলাফলটি যদিও খানিকটা অগোছালো, পরিচালনাযোগ্য। একটি সিমুলেশন এর সঠিকতা বহন করে।
যাক একটি বিন্দু সিদ্ধিলাভ আপনার সম্ভাবনা হও। p ধরুন সমস্ত পয়েন্ট স্বাধীন। আপনার গেমটি জয়ের সুযোগটি (ননওভারল্যাপিং) ইভেন্টগুলিতে বিভক্ত হতে পারে আপনার প্রতিপক্ষের শেষে কতগুলি পয়েন্ট ধরে ধরে নেওয়া হয় যে আপনি ওভারটাইম ( ) এ যাবেন না বা আপনি ওভারটাইমে যাবেন না । পরবর্তী ক্ষেত্রে এটি স্পষ্টতই (বা হয়ে যাবে) যে কোনও পর্যায়ে স্কোরটি 20-20 ছিল।0,1,…,19
একটি দুর্দান্ত দৃশ্যায়ন আছে। গেম চলাকালীন স্কোরগুলিকে পয়েন্ট হিসাবে প্লট করা যাক যেখানে আপনার স্কোর এবং আপনার প্রতিপক্ষের স্কোর। গেমটি উন্মোচিত হওয়ার সাথে সাথে স্কোরগুলি প্রথম চতুর্ভুজ শুরু করে পূর্ণসংখ্যার জাল দিয়ে অগ্রসর হয় , গেমের পথ তৈরি করে । এটি আপনার প্রথম একজনের সর্বনিম্ন স্কোর হয়েছে এবং কমপক্ষে মার্জিন রয়েছে এটি শেষ হয় । এই জাতীয় পয়েন্ট দুটি পয়েন্টের দুটি সেট গঠন করে, এই প্রক্রিয়ার "শোষণকারী সীমানা", গেমের পথটি অবসন্ন করতে হবে।x y ( 0 , 0 ) 21 2(x,y)xy(0,0)212
এই চিত্রটি শোষক সীমানার একটি অংশ দেখায় (এটি অসীম এবং ডানদিকে প্রসারিত হয়) ওভারটাইমের মধ্যে গিয়েছিল এমন একটি গেমের পথের সাথে (হায় হায় আফসোস)।
চল গুনি. উপায় খেলা সঙ্গে শেষ করতে পারেন সংখ্যা আপনার প্রতিপক্ষের জন্য পয়েন্ট পূর্ণসংখ্যা জাফরি মধ্যে স্বতন্ত্র পাথ সংখ্যা স্কোর প্রাথমিক স্কোর -এ শুরু এবং উপান্ত্য স্কোর এ বিভক্তি । আপনি যে গেমটি জিতেছেন তার মধ্যে পয়েন্টগুলির মধ্যে এমন পাথগুলি নির্ধারিত হয় । সুতরাং তারা সংখ্যার আকারের উপসর্গের সাথে এবং সেগুলির মধ্যে । যেহেতু এই জাতীয় প্রতিটি পথে আপনি পয়েন্ট (স্বাধীন সম্ভাব্যতার সাথে প্রতিবার, চূড়ান্ত পয়েন্ট গণনা করে) জিতেছেন এবং আপনার প্রতিপক্ষ জয়ী হয়েছে( x , y ) ( 0 , 0 ) ( 20 , y ) 20 + y 20 1 , 2 , … , 20 + yy(x,y)(0,0)(20,y)20+y201,2,…,20+y(20+y20)পি y 1 - পি ওয়াই21py পয়েন্ট (প্রতিটিবার স্বতন্ত্র সম্ভাব্যতা সহ ), সাথে সম্পর্কিত পাথগুলি মোট সুযোগের জন্য অ্যাকাউন্ট করে1−py
f(y)=(20+y20)p21(1−p)y.
একইভাবে, টাই উপস্থাপন করে পৌঁছানোর উপায় রয়েছে । এই পরিস্থিতিতে আপনার একটি নির্দিষ্ট জয় নেই। আমরা একটি সাধারণ সম্মেলন অবলম্বন করে আপনার জয়ের সম্ভাবনা গণনা করতে পারি: এখন পর্যন্ত কত পয়েন্ট হয়েছে তা ভুলে যান এবং পয়েন্ট ডিফারেনশিয়াল ট্র্যাকিং শুরু করুন। খেলার ডিফারেনশিয়াল হয় এবং যখন এটি প্রথম ছুঁয়েছে শেষ হয়ে যাবে বা , অগত্যা মাধ্যমে ক্ষণস্থায়ী পথ ধরে। যাক সুযোগ যখন আপনি ডিফারেনশিয়াল জয় হতে ।(20+2020)0 + + 2 - 2 ± 1 ছ ( আমি ) আমি ∈ { - 1 , 0 , 1 }(20,20)0+2−2±1g(i)i∈{−1,0,1}
যেহেতু যে কোনও পরিস্থিতিতে আপনার জয়ের সুযোগ , তাই আমাদের রয়েছেp
g(0)g(1)g(−1)=pg(1)+(1−p)g(−1),=p+(1−p)g(0),=pg(0).
ভেক্টর জন্য রৈখিক সমীকরণের এই পদ্ধতির অনন্য সমাধানটি বোঝায়(g(−1),g(0),g(1))
g(0)=p21−2p+2p2.
সুতরাং, একবারে আপনার বিজয়ী হওয়ার পৌঁছে গেছে (যা সুযোগ সহ ঘটে ।(20,20)(20+2020)p20(1−p)20
ফলস্বরূপ আপনার জয়ের সম্ভাবনা হ'ল এই সমস্ত অসম্পূর্ণ সম্ভাবনার সমষ্টি, সমান
==∑y=019f(y)+g(0)p20(1−p)20(20+2020)∑y=019(20+y20)p21(1−p)y+p21−2p+2p2p20(1−p)20(20+2020)p211−2p+2p2(∑y=019(20+y20)(1−2p+2p2)(1−p)y+(20+2020)p(1−p)20).
ডানদিকে বন্ধনীগুলির ভিতরে থাকা উপাদানগুলি তে একটি বহুপদী । (দেখে মনে হচ্ছে এটির ডিগ্রি , তবে নেতৃস্থানীয় পদগুলি সমস্ত বাতিল করে: এর ডিগ্রি )p2120
যখন , জয়ের সম্ভাবনা কাছাকাছিp=0.580.855913992.
এই বিশ্লেষণটিকে গেমগুলিতে সাধারণ করার ক্ষেত্রে আপনার কোনও সমস্যা হওয়ার দরকার নেই যা কোনও সংখ্যক পয়েন্টের সাথে শেষ হয়। যখন প্রয়োজনীয় মার্জিন এর চেয়ে বেশি হয় ফলাফল আরও জটিল হয় তবে ঠিক তত সরল।2
ঘটনাক্রমে , জয়ের এই সম্ভাবনার সাথে, আপনার প্রথম গেমস জয়ের সম্ভাবনা । আপনি যে প্রতিবেদন করেছেন তার সাথে এটি বেমানান নয়, যা প্রতিটি পয়েন্টের ফলাফলগুলি স্বতন্ত্র বলে মনে করে চালিয়ে যেতে আমাদের উত্সাহিত করতে পারে। আমরা এর মাধ্যমে প্রজেক্ট করব যে আপনার একটি সুযোগ আছে(0.8559…)15≈9.7%15
(0.8559…)35≈0.432%
এই সমস্ত অনুমান অনুসারে তারা এগিয়ে যান বলে ধরে নিয়ে বাকি গেম জিতেছে । পরিশোধের পরিমাণ বড় না হলে এটি তৈরি করা ভাল বাজি লাগবে না!35
আমি দ্রুত সিমুলেশন দিয়ে এই জাতীয় কাজ পরীক্ষা করতে চাই। Rএক সেকেন্ডে কয়েক হাজার গেম জেনারেট করার কোড এখানে । এটি ধরে নিয়েছে যে গেমটি 126 পয়েন্টের মধ্যে শেষ হয়ে যাবে (অত্যন্ত কম গেমের দীর্ঘকাল ধরে চালানো দরকার, সুতরাং ফলাফলের উপর এই অনুমানের কোনও উপাদানীয় প্রভাব নেই)।
n <- 21 # Points your opponent needs to win
m <- 21 # Points you need to win
margin <- 2 # Minimum winning margin
p <- .58 # Your chance of winning a point
n.sim <- 1e4 # Iterations in the simulation
sim <- replicate(n.sim, {
x <- sample(1:0, 3*(m+n), prob=c(p, 1-p), replace=TRUE)
points.1 <- cumsum(x)
points.0 <- cumsum(1-x)
win.1 <- points.1 >= m & points.0 <= points.1-margin
win.0 <- points.0 >= n & points.1 <= points.0-margin
which.max(c(win.1, TRUE)) < which.max(c(win.0, TRUE))
})
mean(sim)
আমি যখন এটি চালিয়েছি, আপনি 10,000 পুনরাবৃত্তির মধ্যে 8,570 কেসে জিতেছেন। এ জাতীয় ফলাফলের পরীক্ষার জন্য একটি জেড স্কোর (প্রায় একটি সাধারণ বিতরণ সহ) গণনা করা যেতে পারে:
Z <- (mean(sim) - 0.85591399165186659) / (sd(sim)/sqrt(n.sim))
message(round(Z, 3)) # Should be between -3 and 3, roughly.
এই সিমুলেশনটিতে এর মান পূর্ববর্তী তাত্ত্বিক গণনার সাথে পুরোপুরি সুসংগত।0.31
পরিশিষ্ট 1
প্রথম 18 গেমের ফলাফলগুলি তালিকাভুক্ত করে এমন প্রশ্নের আপডেটের আলোকে, এখানে এই ডেটার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ গেমের পাথগুলির পুনর্গঠন রয়েছে। আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে দুটি বা তিনটি গেমগুলি বিপদজনকভাবে ক্ষতির কাছে ছিল। (হালকা ধূসর বর্গক্ষেত্রের শেষে যে কোনও পথই আপনার ক্ষতি)
এই চিত্রের সম্ভাব্য ব্যবহারগুলি পর্যবেক্ষণের অন্তর্ভুক্ত:
পাথগুলি মোট স্কোরের 267: 380 অনুপাত দ্বারা প্রদত্ত slালের চারদিকে মনোনিবেশ করে, প্রায় 58.7% এর সমান।
Slালের চারপাশের পাথের বিস্তৃতি পয়েন্টগুলি স্বাধীন হলে প্রত্যাশিত প্রকরণটি দেখায় shows
যদি পয়েন্টগুলি লাইনগুলিতে তৈরি করা হয়, তবে স্বতন্ত্র পাথগুলিতে দীর্ঘ উল্লম্ব এবং অনুভূমিক প্রসারিত হতে থাকে।
অনুরূপ গেমগুলির আরও দীর্ঘ সংখ্যায়, রঙগুলি পরিসীমা মধ্যে থাকতে পারে এমন পাথগুলি দেখার আশা করুন, তবে এর থেকেও অল্প কিছু প্রসারিত হওয়ার আশাও করুন।
এমন খেলোয়াড় বা দু'জনের খেলার সম্ভাবনা যা সাধারণত ছড়িয়ে পড়ে তার সম্ভাবনা নির্দেশ করে যে আপনার প্রতিপক্ষ অবশেষে একটি খেলা জিতবে, সম্ভবত খুব শীঘ্রই তার চেয়ে বেশি শীঘ্রই।
পরিশিষ্ট 2
চিত্রটি তৈরি করার কোডটি অনুরোধ করা হয়েছিল। এখানে এটি (কিছুটা ভাল গ্রাফিক তৈরি করতে পরিষ্কার করা হয়েছে)।
library(data.table)
library(ggplot2)
n <- 21 # Points your opponent needs to win
m <- 21 # Points you need to win
margin <- 2 # Minimum winning margin
p <- 0.58 # Your chance of winning a point
#
# Quick and dirty generation of a game that goes into overtime.
#
done <- FALSE
iter <- 0
iter.max <- 2000
while(!done & iter < iter.max) {
Y <- sample(1:0, 3*(m+n), prob=c(p, 1-p), replace=TRUE)
Y <- data.table(You=c(0,cumsum(Y)), Opponent=c(0,cumsum(1-Y)))
Y[, Complete := (You >= m & You-Opponent >= margin) |
(Opponent >= n & Opponent-You >= margin)]
Y <- Y[1:which.max(Complete)]
done <- nrow(Y[You==m-1 & Opponent==n-1 & !Complete]) > 0
iter <- iter+1
}
if (iter >= iter.max) warning("Unable to find a solution. Using last.")
i.max <- max(n+margin, m+margin, max(c(Y$You, Y$Opponent))) + 1
#
# Represent the relevant part of the lattice.
#
X <- as.data.table(expand.grid(You=0:i.max,
Opponent=0:i.max))
X[, Win := (You == m & You-Opponent >= margin) |
(You > m & You-Opponent == margin)]
X[, Loss := (Opponent == n & You-Opponent <= -margin) |
(Opponent > n & You-Opponent == -margin)]
#
# Represent the absorbing boundary.
#
A <- data.table(x=c(m, m, i.max, 0, n-margin, i.max-margin),
y=c(0, m-margin, i.max-margin, n, n, i.max),
Winner=rep(c("You", "Opponent"), each=3))
#
# Plotting.
#
ggplot(X[Win==TRUE | Loss==TRUE], aes(You, Opponent)) +
geom_path(aes(x, y, color=Winner, group=Winner), inherit.aes=FALSE,
data=A, size=1.5) +
geom_point(data=X, color="#c0c0c0") +
geom_point(aes(fill=Win), size=3, shape=22, show.legend=FALSE) +
geom_path(data=Y, size=1) +
coord_equal(xlim=c(-1/2, i.max-1/2), ylim=c(-1/2, i.max-1/2),
ratio=1, expand=FALSE) +
ggtitle("Example Game Path",
paste0("You need ", m, " points to win; opponent needs ", n,
"; and the margin is ", margin, "."))
