কেন

Question

আমি মনে করি

$$P(A|B) = P(A | B,C) * P(C) + P(A|B,\neg C) * P(\neg C)$$

সঠিক, যদিও

$$P(A|B) = P(A | B,C) + P(A|B,\neg C)$$

ভুল.

তবে আমি পরবর্তী একটি সম্পর্কে একটি "স্বজ্ঞাত" পেয়েছি, এটি হ'ল আপনি দুটি কেস (সি বা নট সি) কে বিভক্ত করে সম্ভাব্যতা পি (এ | বি) বিবেচনা করুন। কেন এই অন্তর্দৃষ্টি ভুল?

Comments

আপনার সমীকরণগুলি পরীক্ষা করার জন্য এখানে একটি সাধারণ উদাহরণ। দুটি স্বতন্ত্র, ন্যায্য কয়েন টস করুন। যাক $A$ ঘটনা যে প্রথম মাথা আসে আপ হও, $B$ ঘটনা দ্বিতীয় মাথা আসে, এবং হতে $C$ ঘটনা উভয় মাথা আসা পর্যন্ত হবে। আপনি যে সমীকরণটি লিখেছেন তা কি সঠিক?

— এ রেক্স

মোট সম্ভাবনা আইন উদাহরণ: যদি আপনি শর্তাধীন সম্ভাব্যতা একটি সমষ্টি হিসাবে একটি নিঃশর্ত সম্ভাব্যতা প্রকাশ করার চান, আপনি কন্ডিশনার ঘটনা দ্বারা ওজন আবশ্যক বলেছেন $P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\bar{B})P(\bar{B})$

— অ্যাডামো

Answer 1

একটি সহজ কাউন্টার উদাহরণ হিসাবে ধরুন, যে সম্ভাব্যতা $P(A)$ এর $A$ হল $1$ , এর মান নির্বিশেষে $C$ । তারপরে, আমরা যদি ভুল সমীকরণ গ্রহণ করি তবে আমরা পাই:

$P(A | B) = P(A | B, C) + P(A | B, \neg C) = 1 + 1 = 2$

এটি অবশ্যই সঠিক হতে পারে না, সম্ভবত এর চেয়ে বড় আর হতে পারে না । এটি অন্তর্নিহিততা তৈরি করতে সহায়তা করে যে আপনার ক্ষেত্রে দুটি ক্ষেত্রে যে পরিমাণ সম্ভাবনা রয়েছে তার সমানুপাতিকভাবে একটি ওজন নির্ধারণ করা উচিত, যার ফলে প্রথম (সঠিক) সমীকরণ হয়। ।$1$

---

এটি আপনাকে আপনার প্রথম সমীকরণের কাছাকাছি এনে দেয় তবে ওজনগুলি সম্পূর্ণ সঠিক নয় not সঠিক ওজনের জন্য এ। রেক্স 'মন্তব্য দেখুন।

Comments

"প্রথম (সঠিক) সমীকরণ" এর ওজনগুলি এবং পি ( ¬ সি ) হওয়া উচিত, বা সেগুলি পি ( সি ∣ বি ) এবং পি ( ¬ সি ∣ বি ) হওয়া উচিত ? $P(C)$$P(\neg C)$$P(C\mid B)$$P(\neg C\mid B)$

— এ। রেক্স

@ এআরেক্স এটি একটি ভাল পয়েন্ট, সম্পূর্ণ নির্ভুলতার জন্য আমি মনে করি এটি এবং পি ( ¬ সি | বি ) হওয়া উচিত । সমীকরণের বাম পাশে থাকা সমস্ত কিছু (কেবলমাত্র একটি একক শব্দ) ধরে নেওয়া হয় যে বি দেওয়া হয়েছে, সুতরাং কোনও অতিরিক্ত অনুমান ছাড়াই (যেমন ধরে নেওয়া হয় যে বি এবং সি একে অপরের থেকে স্বতন্ত্র), ডানদিকে একই হওয়া উচিত$P(C | B)$$P(\neg C | B)$$B$$B$$C$

— ডেনিস সোয়েমার্স

A | B এর 200% নিশ্চিত হওয়ার কথা ভাবেন।

— মার্ক এল স্টোন

@ মার্কএল.স্টোন মানে কি এটি সর্বদা দুবার হয়? ;)

— মনিকা

Answer 2

ডেনিসের উত্তরের একটি দুর্দান্ত পাল্টা উদাহরণ রয়েছে, যা ভুল সমীকরণটিকে অস্বীকার করে। এই উত্তরটি নীচের সমীকরণটি সঠিক কেন তা ব্যাখ্যা করতে চায়:

$$P(A|B) = P(A|C,B) P(C|B) + P(A|\neg C,B) P(\neg C|B).$$

যেহেতু প্রতিটি শব্দ তে শর্তযুক্ত , আমরা পুরো সম্ভাবনার স্থানটি বি দ্বারা প্রতিস্থাপন করতে পারি এবং বি পদটি ফেলে দিতে পারি । এটি আমাদের দেয়:$B$$B$$B$

$$P(A) = P(A|C) P(C) + P(A|\neg C) P(\neg C).$$

তারপরে আপনি জিজ্ঞাসা করছেন কেন এই সমীকরণটির এতে এবং P ( ¬ C ) পদ রয়েছে has$P(C)$$P(\neg C)$

কারণ যে এর অংশ একটি মধ্যে সি এবং পি ( একটি | ¬ সি ) পি ( ¬ সি ) এর অংশ একটি মধ্যে ¬ সি এবং দুই পর্যন্ত যোগ একজন । চিত্রটি দেখুন। অন্যদিকে পি ( একটি | সি ) অনুপাত হল সি ধারণকারী একটি এবং পি | $P(A|C) P(C)$$A$$C$$P(A|\neg C) P(\neg C)$$A$$\neg C$$A$$P(A|C)$$C$$A$ অনুপাত হয় ¬ সি ধারণকারী একটি - তাই তারা সাধারণ denominators, হবে না, যাতে তাদের যোগ অর্থহীন এই বিভিন্ন অঞ্চলে অনুপাত আছে।$P(A|\neg C)$$\neg C$$A$

Comments

Not "everything is conditioned on $B$". In particular, $P(C)$ and $P(\neg C)$ are not, so you can't just drop $B$. Moreover, this might suggest the equation is wrong!

— A. Rex

@A.Rex Technically you're right, I should have said every term involving $A$ is conditioned on $B$ (I made a simple substitution $A|B \rightarrow A$). I will correct the answer.

— Reinstate Monica

My objection wasn't a technicality. Your diagram correctly proves that $P(A) = P(A\mid C) P(C) + P(A\mid\neg C) P(\neg C)$, which after conditioning on $B$ becomes $P(A\mid B) = P(A\mid B,C) P(C\mid B) + P(A\mid B,\neg C) P(\neg C\mid B)$; note that the probabilities of $C$ and $\neg C$ are also conditioned on $B$. This is not the first equation given in the OP, which is good news, because the first equation given in the OP is not correct.

— A. Rex

@A.Rex You are right once again, $C$ must also conditioned on $B$ as the proportion of the probability space contained in $C$ might not be the same as the proportion of $B$ contained in $C$. This point escaped me. I will revise again.

— Reinstate Monica

Answer 3

I know you've already received two great answers to your question, but I just wanted to point out how you can turn the idea behind your intuition into the correct equation.

First, remember that $P(X \mid Y) = \dfrac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$ and equivalently $P(X \cap Y) = P(X \mid Y)P(Y)$.

To avoid making mistakes, we will use the first equation in the previous paragraph to eliminate all conditional probabilities, then keep rewriting expressions involving intersections and unions of events, then use the second equation in the previous paragraph to re-introduce the conditionals at the end. Thus, we start with:

$$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

We will keep rewriting the right-hand side until we get the desired equation.

The casework in your intuition expands the event $A$ into $(A \cap C) \cup (A \cap \neg C)$, resulting in

$$P(A \mid B) = \dfrac{P(((A \cap C) \cup (A \cap \neg C)) \cap B)}{P(B)}$$

As with sets, the intersection distributes over the union:

$$P(A \mid B) = \dfrac{P((A \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap \neg C))}{P(B)}$$

Since the two events being unioned in the numerator are mutually exclusive (since $C$ and $\neg C$ cannot both happen), we can use the sum rule:

$$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B \cap C)}{P(B)} + \dfrac{P(A \cap B \cap \neg C)}{P(B)}$$

We now see that $P(A \mid B) = P(A \cap C \mid B) + P(A \cap \neg C \mid B)$; thus, you can use the sum rule on the event on the event of interest (the "left" side of the conditional bar) if you keep the given event (the "right" side) the same. This can be used as a general rule for other equality proofs as well.

We re-introduce the desired conditionals using the second equation in the second paragraph:

$$P(A \cap (B \cap C)) = P(A \mid B \cap C)P(B \cap C)$$ and similarly for $\neg C$.

We plug this into our equation for $P(A \mid B)$ as:

$$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \mid B \cap C)P(B \cap C)}{P(B)} + \dfrac{P(A \mid B \cap \neg C)P(B \cap \neg C)}{P(B)}$$

Noting that $\dfrac{P(B \cap C)}{P(B)} = P(C \mid B)$ (and similarly for $\neg C$), we finally get

$$P(A \mid B) = P(A \mid B \cap C)P(C \mid B) + P(A \mid B \cap \neg C)P(\neg C \mid B)$$

Which is the correct equation (albeit with slightly different notation), including the fix A. Rex pointed out.

Note that $P(A \cap C \mid B)$ turned into $P(A \mid B \cap C)P(C \mid B)$. This mirrors the equation $P(A \cap C) = P(A \mid C)P(C)$ by adding the $B$ condition to not only $P(A \cap C)$ and $P(A \mid C)$, but also $P(C)$ as well. I think if you are to use familiar rules on conditioned probabilities, you need to add the condition to all probabilities in the rule. And if there's any doubt whether that idea works for a particular situation, you can always expand out the conditionals to check, as I did for this answer.

Comments

+1. I think you extracted the equation that OP tried to intuit: $P(A\mid B)=P(A\cap C\mid B)+P(A\cap\neg C\mid B)$.

— A. Rex

Thanks! That was the main point I wanted to make, but couldn't figure out a high-level explanation why the intersection goes on the left rather than the right, so I used formulas instead. Also, I just noticed you were the one who pointed out the mistake in OP's formula, so I credited you for that. (I probably wouldn't have noticed either, lol.)

— YawarRaza7349

Answer 4

Probabilities are ratios; the probability of A given B is how often A happens within the space of B. For instance, $P(\text{rain|March})$ is the number of rainy days in March divided by the number of total days in March. When dealing with fractions, it makes sense to split up numerators. For instance,

$$\begin{align} P(\text{rain or snow|March}) &= \frac{(\text{number of rainy or snowy days in March})}{(\text{total number of days in March})} \\[7pt] &= \frac{(\text{number of rainy days in March})}{(\text{total number of days in March)}} + \\[4pt] &\qquad \frac{\text{(number of snowy days in March)}}{(\text{total number of days in March)}} \\[7pt] &= P(\text{rain|March})+P(\text{snow|March}) \end{align}$$

This of course assumes that "snow" and "rain" are mutually exclusive. It does not, however, make sense to split up denominators. So if you have $P(\text{rain|February or March})$, that is equal to

$$\frac{(\text{number of rainy days in February and March})}{(\text{total number of days in February and March})}.$$

But that is not equal to

$$\frac{(\text{number of rainy days in February})}{(\text{total number of days in February})} + \frac{(\text{number of rainy days in March)}}{(\text{total number of days in March)}}.$$

If you're having trouble seeing that, you can try out some numbers. Suppose there are 10 rainy days in February and 8 in March. Then we have

$$\frac{(\text{number of rainy days in February and March})}{(\text{total number of days in February and March)}} = (10+8)/(28+31) = 29.5\%$$

and

$$\begin{align} \frac{(\text{number of rainy days in February})}{(\text{total number of days in February)}} + \frac{(\text{number of rainy days in March)}}{(\text{total number of days in March)}} &= (10/28)+(8/31) \\ &= 35.7\% + 25.8\% \\ &= 61.5\% \end{align}$$

The first number, 29.5%, is the average of 35.7% and 25.8% (with the second number weighted slightly more because there is are more days in March). When you say $P(A|B)=P(A|B,C)+P(A|B,¬C)$ you're saying that $\frac{x_1+x_2}{y_1+y_2} = \frac{x_1}{y_1}+\frac{x_2}{y_2}$, which is false.

Answer 5

If I go to Spain, I can get sunburnt.

$$P(sunburnt | Spain)=0.2$$ This tells me nothing about getting sunburnt if not going to Spain, let's say $$P(sunburnt|\neg Spain)=0.1$$ This year I'm going to Spain, so $$P(sunburnt)=0.2$$ Letting $B=\Omega$, this is, $P(B)=1$, your intuition would imply $$P(A)=P(A|C)+P(A|\neg C)$$ which by the previous argument, isn't neccesarily true.