উইশার্ট ম্যাট্রিক্সের লগ-নির্ধারকের প্রত্যাশিত মান

যাক , অর্থাত্ একটি অনুযায়ী বিতরণ করা গড় সঙ্গে মাত্রিক বিশ্বকাপ বন্টন এবং স্বাধীন ডিগ্রীগুলির । আমি যেখানে জন্য একটি অভিব্যক্তি চাই নির্ধারক হয়। $\Lambda \sim \mathcal W_D(\nu, \Psi)$ $D \times D$ $\nu \Psi$ $\nu$ $E(\log |\Lambda|)$ $|\Lambda|$

আমি এর উত্তরের জন্য কিছুটা গুগল করেছি এবং কিছু বিবাদী তথ্য পেয়েছি। এই কাগজটিতে স্পষ্টতই বলা হয়েছে যে

E (\log | Λ |) = D \log 2 + \log | Ψ | + \sum_{i = 1}^{D} ψ (\frac{ν - i + 1}{2})

$E(\log|\Lambda|) = D \log 2 + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$ যেখানে

ψ (\cdot)

$\psi(\cdot)$ ডিগাম্মা ফাংশনকে বোঝায়

\frac{d}{d x} \log Γ (x)

$\frac d {dx} \log \Gamma(x)$ ; যতদূর আমি বলতে পারি কাগজটি এই সত্যটির জন্য কোনও উত্স দেয় না। এটি উইশার্টের উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠায় ব্যবহৃত সূত্রটিও , যা বিশপের প্যাটার্ন রিকগনিশন পাঠ্যটিকে দেখায়।

অন্যদিকে, গুগল এই লিঙ্কযুক্ত কাগজের সাথে এই আলোচনাটি সরিয়ে নিয়েছে যা জানিয়েছে যে

ν^{D} \frac{| Λ |}{| Ψ |} \sim χ_{ν}^{2} χ_{ν - 1}^{2} \dots χ_{ν - D + 1}^{2} . (†)

$\nu^D \frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger)$ তারা

E (\log | Λ |) = D \log 2 - D \log ν + \log | Ψ | + \sum_{i = 1}^{D} ψ (\frac{ν - i + 1}{2})

$E(\log | \Lambda|) = D \log 2 - D \log \nu + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$ যা

ব্যবহার করে উত্পন্ন

E (\log χ_{ν}^{2}) = \log (2) + ψ (ν / 2)

$E(\log \chi^2_\nu) = \log(2) + \psi(\nu /2)$ । আমি এই গণনাটি

থেকে শুরু করে দেখেছি

(†)

$(\dagger)$ এবং এটি ঠিক আছে বলে মনে হয় তবে আমাদের কাছে অতিরিক্ত

- D \log ν

$-D\log\nu$ ।

distributions wishart

— লোক
সূত্র

যেহেতু আমি এটি পোস্ট করতে প্রস্তুত হচ্ছিলাম, আমি নিজের প্রশ্নের উত্তর দিতে সক্ষম হয়েছি। সাধারণ স্ট্যাকএক্সচেঞ্জ শিষ্টাচার অনুসারে আমি যেভাবেই পোস্ট করার সিদ্ধান্ত নিয়েছি এই আশায় যে এই সমস্যাটি চালানো অন্য কেউ সম্ভবত ভবিষ্যতে খুঁজে পেতে পারে, সম্ভবত আমি যে সূত্রগুলি দিয়েছিলাম সেগুলি একই সমস্যা নিয়ে চলেছে। আমি অবিলম্বে এটির উত্তর দেওয়ার সিদ্ধান্ত নিয়েছি যাতে সমাধানটি আকর্ষণীয় না হওয়ায় কেউ এতে সময় নষ্ট না করে।

$(\dagger)$ ভুল, কারণ আলোচনায় লিঙ্কযুক্ত কাগজটি উইশার্টের একটি পৃথক প্যারামিট্রাইজেশন ব্যবহার করছিল; বিষয়টি আলোচকদের নজরে আসেনি। আমাদের আসলে যা হওয়া উচিত তা হ'ল এই সংশোধনীর পরে, দুটি সূত্র একই উত্তরের দিকে নিয়ে যায়।

\frac{| Λ |}{| Ψ |} \sim χ_{ν}^{2} χ_{ν - 1}^{2} \dots χ_{ν - D + 1}^{2} . († †)

$\frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger\dagger)$

যাইহোক, আমি মনে করি একটি আকর্ষণীয় সম্পর্ক। $(\dagger\dagger)$

সম্পাদনা করুন:

অনুসরণ করছেন probabilisticlogic পরামর্শ আমরা লিখতে পারি যেখানে নিম্ন ত্রিকোণ হয়েছে তির্যক এবং বন্ধ উপাদানের ত্রিভুজের উপর উপাদান। উভয় পক্ষের নির্ধারক গ্রহণ করা অবিলম্বে দেয় । $\Lambda \stackrel d = \Psi^{1/2} L L^T \Psi^{1/2}$ $L$ $N(0, 1)$ $\sqrt{\chi^2_{\nu - i + 1}}, (i = 1, ..., D)$ $(\dagger\dagger)$

— লোক
সূত্র

আমি কোলেস্কি সংস্করণটি আরও ভাল পছন্দ করি - আপনার ত্রিভুজটিতে চি-স্কোয়ারের বর্গমূল এবং নিম্ন ত্রিভুজটিতে স্ট্যান্ডার্ড স্বাভাবিক রয়েছে।

— সম্ভাব্যতা ব্লগ

টিউটিউজের জন্য ধন্যবাদ! এটির মতো মনে রাখা সহজ এবং আরও দরকারী বলে মনে হয়।

— লোক

আরে আমি লগ বিশার্ট (বিশপের বইয়ে বর্ণিত) লগের প্রত্যাশা আনার চেষ্টা করছি, যা জটিল দেখাচ্ছে, ফলাফলটি পাওয়ার কোনও উত্স আপনি খুঁজে পেয়েছেন?

— অ্যাভোকাডো