আইআইডি গামা তারতম্যের সীমাবদ্ধতা

Question

যাক সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন সঙ্গে স্বাধীনভাবে অভিন্নরুপে বিতরণ র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটা ক্রম হতে; Show দেখানচ ( এক্স ) = { $X_1,X_2,\ldots$

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2}x^2 e^{-x} & \mbox{if $x>0$};\\ 0 & \mbox{otherwise}.\end{array} \right.$$ $$\lim_{n\to \infty} P[X_1+X_2+\ldots+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] \ge \frac{1}{2}$$

আমি কি চেষ্টা করেছি

প্রথম দর্শনে আমি ভেবেছিলাম এটি চেবিশেভের অসমতা ব্যবহার করা উচিত কারণ প্রশ্নটি নীচের দিকে থাকা X_1 + X_2 + d ldots + X_n দেখানোর জন্য জিজ্ঞাসা করছে $X_1+X_2+\ldots +X_n$। যাইহোক, আমি সীমা চিহ্ন সম্পর্কে ভাবলাম যা স্পষ্টভাবে ইঙ্গিত দিচ্ছে যে সমস্যাটি কোনওভাবেই কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধতা উপপাদ্য (সিএলটি) এর সাথে সম্পর্কিত হতে পারে is

যাক $S_n=X_1+X_2+\ldots +X_n$

$$E(S_n)=\sum_{i=0}^{n} E(X_i)=3n \ (\text{since } E(X_i)=3) \\ V(S_n)=\sum_{i=0}^{n} V(X_i)=3n \ (\text{since } V(X_i)=3 \text{ and } X_i \text{ are i.i.d})$$

এখন, বৃহত্তর $n$ , এক্স_1 + এক্স_2 + ........ সিএলটি ব্যবহার করে , + এক্স_এন \ সিম এন (3 এন, 3 এন)$X_1+X_2+........+X_n \sim N(3n,3n)$
বা,

$$z=\frac{S_n-3n}{\sqrt{3n}} \sim N(0,1) \text{ as } n\to \infty$$

এখন,

$$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] = \lim_\limits{n\to \infty}P(S_n-3n \ge -3\sqrt{n}) = \lim_\limits{n\to \infty} P\left(\frac{S_n-3n}{\sqrt{3n}} \ge -\sqrt{3}\right) =P(z\ge -\sqrt{3}) =P\left(-\sqrt{3}\le z<0\right)+P(z\ge 0 ) =P\left(-\sqrt{3}\le z<0\right)+\frac{1}{2}\cdots(1)$$

যেহেতু $P(-\sqrt{3}\le z<0) \ge 0$ , সুতরাং $(1)$ ,

$$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})]\ge \frac{1}{2}$$

আমি কি সঠিক?

Comments

সিএলটি মনে হয় একটি যুক্তিসঙ্গত পদ্ধতির তবে " "কোনও মানে নেই ..$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] =P(S_n-3n \ge -3\sqrt{n})$

— P.Windridge

আমি মনে করি এটির $$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] =\lim_\limits{n\to \infty}P(S_n-3n \ge -3\sqrt{n}) =\lim_\limits{n\to \infty}P\left(\frac{S_n-3n}{\sqrt{3n}} \ge -\sqrt{3}\right) =P(z\ge -\sqrt{3})$$

বিকল্প হিসাবে, এই আইডি এবং তাই । মধ্যমা একটি গামা এলোপাতাড়ি ভেরিয়েবলের বদ্ধ আকারে জানা যায় না কিন্তু এটা করা হয় পরিচিত (Cf. উইকিপিডিয়া ) যে বৃহৎ জন্য , একটি মধ্যমা মধ্যে দৈব চলক মিথ্যা এবং । যেহেতু , এটি অবশ্যই হওয়া উচিত যে সম্ভাবনার কমপক্ষে অর্ধেক অংশ এর ডানদিকে থাকে । এক্স 1 + এক্স 2 + ⋅ + এক্স এন ∼ Γ ( 3 এন , 1 $X_i \sim\Gamma(3,1)$$X_1+X_2+\cdot+X_n \sim \Gamma(3n,1)$Γ ( 3 এন , 1 ) 3 এন - $n$$\Gamma(3n,1)$ 3এন3(এন-$3n-\frac 13$$3n$ 3(এন-$3(n-\sqrt{n}) < 3n-\frac 13$$3(n-\sqrt{n})$

— দিলীপ সরোতে

Answer 1

আপনি সঠিক ছিলেন যে চেবিশেভের বৈষম্য কাজ করবে। এটি কিছুটা অপরিশোধিত তবে কার্যকর বাউন্ড সরবরাহ করে যা এ জাতীয় অনেকগুলি অনুক্রমের জন্য প্রযোজ্য, যা এই ক্রমের গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যটি প্রকাশ করে যে আংশিক যোগফলগুলির প্রকরণটি সাথে সর্বাধিক রৈখিকভাবে বৃদ্ধি পায় ।$n$

বিবেচনা করুন, তারপর, সম্পর্কহীন ভেরিয়েবল কোনো ক্রম অত্যন্ত সাধারণ ক্ষেত্রে উপায়ে সঙ্গে এবং সসীম ভেরিয়ানস যাক প্রথম এর সমষ্টি হতে তাদের,μ i σ 2 i । Y n$X_i$$\mu_i$$\sigma_i^2.$$Y_n$$n$

$$Y_n = \sum_{i=1}^n X_i.$$

এর ফলে গড় হয়$Y_n$

$$m_n = \sum_{i=1}^n \mu_n$$

এবং তার বৈকল্পিক হয়

$$s_n^2 = \operatorname{Var}(Y_n) = \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i) + 2\sum_{j > i}\operatorname{Cov}(X_i,X_j) = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2.$$

ধরা যাক সর্বাধিক সাথে বৃদ্ধি পায় :$s_n^2$$n$ অর্থাৎ, এখানে একটি সংখ্যা রয়েছে যেমন যথেষ্ট পরিমাণে বড় যাক (এখনও নির্ধারণ করতে হবে), মান্য যেn, s 2 n ≤ λ 2 n। k>$\lambda\gt 0$$n,$ $s_n^2 \le \lambda^2 n.$$k\gt 0$

$$m - k \sqrt{n} \le m - \frac{k}{\lambda}s_n,$$

এবং পেতে চেবিশেভের বৈষম্য প্রয়োগ করুন$Y_n$

$$\eqalign{ \Pr(Y_n \ge m_n - k\sqrt{n}) &\ge \Pr(Y_n \ge m_n - \frac{k}{\lambda}s_n) \\ &\ge \Pr(|Y_n - m_n| \le \frac{k}{\lambda} s_n) \\ &\ge 1 - \frac{\lambda^2}{k^2}. }$$

প্রথম দুটি বৈষম্য মৌলিক: তারা অনুসরণ করে কারণ প্রতিটি ক্রমিক ঘটনা পূর্ববর্তীগুলির একটি উপসেট হয় set

---

হাতের ক্ষেত্রে, যেখানে এর অর্থ এবং বৈকল্পিকগুলি সহ স্বতন্ত্র (এবং অতএব সম্পর্কহীন) রয়েছে আমরা এবং$X_i$$\mu_i=3$$\sigma_i^2=3,$$m_n=3n$

$$s_n = \sqrt{3}\sqrt{n},$$

যেহেতু আমরা as হিসাবে ছোট নিতে পারি প্রশ্নে ঘটনা অনুরূপ যেখানে$\lambda$$\sqrt{3}.$$3(n-\sqrt{n}) = \mu_n - 3\sqrt{n}$$k=3,$

$$\Pr(Y_n \ge 3n - 3\sqrt{n}) \ge 1 - \frac{\sqrt{3}^{\ 2}}{3^2} = \frac{2}{3}\gt \frac{1}{2},$$

Qed।

Answer 2

Whuber এর দুর্দান্ত উত্তরের বিকল্প হিসাবে, আমি প্রশ্নের সম্ভাবনার সঠিক সীমাটি অর্জন করার চেষ্টা করব। গামা বিতরণের একটি বৈশিষ্ট্য হ'ল একই হার / স্কেল প্যারামিটার সহ স্বতন্ত্র গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির যোগগুলিও সেই ভেরিয়েবলগুলির আকারের সমষ্টি সমান আকারযুক্ত গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবল। (এটি সহজেই বিতরণের উত্পন্ন ফাংশনগুলি ব্যবহার করে প্রমাণিত হতে পারে)) বর্তমান ক্ষেত্রে আমাদের কাছে , , সুতরাং আমরা সমষ্টিটি পেয়েছি:$X_1,...X_n \sim \text{IID Gamma}(3,1)$

$$S_n \equiv X_1 + \cdots + X_n \sim \text{Gamma}(3n, 1).$$

সুতরাং আমরা গামা বিতরণের সিডিএফ ব্যবহার করে আগ্রহের সঠিক সম্ভাবনাটি লিখতে পারি। লেটিং বোঝাতে আকৃতির মাপদণ্ড এবং সুদের যুক্তি বোঝাতে, আমরা আছে:$a = 3n$$x = 3(n-\sqrt{n})$

$$\begin{equation} \begin{aligned} H(n) &\equiv \mathbb{P}(S_n \geq 3(n-\sqrt{n})) \\[12pt] &= \frac{\Gamma(a, x)}{\Gamma(a)} \\[6pt] &= \frac{a \Gamma(a)}{a \Gamma(a) + x^a e^{-x}} \cdot \frac{\Gamma(a+1, x)}{\Gamma(a+1)}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

এই সম্ভাবনা সীমা খুঁজতে, আমরা প্রথম নোট আমরা দ্বিতীয় প্যারামিটারটি হিসাবে প্রথম পদ লিখুন পারেন যেখানে । তেমে (1975) (একন 1.4, পি। 1109) এ প্রদর্শিত ফলাফল ব্যবহার করে আমাদের অ্যাসিপটোটিক সমতুল্যতা রয়েছে:$x = a + \sqrt{2a} \cdot y$$y = -\sqrt{3/2}$

$$\begin{aligned} \frac{\Gamma(a+1, x)}{\Gamma(a+1)} &\sim \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \text{erf}(-y) + \sqrt{\frac{2}{9a \pi}} (1+y^2) \exp( - y^2). \end{aligned}$$

স্ট্রিলিংয়ের সান্নিধ্য এবং তদন্তকারী সংখ্যার সীমাবদ্ধ সংজ্ঞা ব্যবহার করে এটিও প্রদর্শিত হতে পারে যে:

$$\begin{aligned} \frac{a \Gamma(a)}{a \Gamma(a) + x^a e^{-x}} &\sim \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (a-1)^{a-1/2}}{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (a-1)^{a-1/2} + x^a \cdot e^{a-x-1}} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (1-\tfrac{1}{a})^{a-1/2}}{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (1-\tfrac{1}{a})^{a-1/2} + \sqrt{x} \cdot (\tfrac{x}{a})^{a-1/2} \cdot e^{a-x-1}} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot e^{-1}}{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot e^{-1} + \sqrt{x} \cdot e^{x-a} \cdot e^{a-x-1}} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a}{\sqrt{2 \pi} \cdot a + \sqrt{x}} \\[6pt] &\sim \frac{\sqrt{2 \pi a}}{\sqrt{2 \pi a} + 1}. \\[6pt] \end{aligned}$$

প্রাসঙ্গিক মান প্রতিস্থাপন, আমরা অতএব প্রাপ্ত:

$$\begin{equation} \begin{aligned} H(n) &= \frac{a \Gamma(a)}{a \Gamma(a) + x^a e^{-x}} \cdot \frac{\Gamma(a+1, x)}{\Gamma(a+1)} \\[6pt] &\sim \frac{\sqrt{2 \pi a}}{\sqrt{2 \pi a} + 1} \cdot \Bigg[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \text{erf} \Big( \sqrt{\frac{3}{2}} \Big) + \sqrt{\frac{2}{9a \pi}} \cdot \frac{5}{2} \cdot \exp \Big( \frac{3}{2} \Big) \Bigg]. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

এটি আমাদের সীমা দেয়:

$$\lim_{n \rightarrow \infty} H(n) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \text{erf} \Big( \sqrt{\frac{3}{2}} \Big) = 0.9583677.$$

এটি আমাদের আগ্রহের সম্ভাবনার সঠিক সীমা দেয়, যা দেড়-অর্ধেকেরও বেশি।