দুটি আরভির পার্থক্যের অভিন্ন পিডিএফ

দুটি আইড আরভি এর রুপক্ষেত্রের মতো দেখতে পার্থক্যের পিডিএফ পাওয়া কি সম্ভব (এর পরিবর্তে, বলুন, ইউনিফর্ম বিতরণ থেকে আরভি'র নেওয়া হলে ত্রিভুজটি আমরা পাই)।

অর্থাত্ জে.কে. এর পিডিএফ এফের জন্য (কিছু বিতরণ থেকে নেওয়া দুটি আইডির জন্য) এফ (এক্স) = 0.5-সব -1 <x <1?

নূন্যতম -1 এবং সর্বাধিক 1 হ'ল আমরা জে এবং কে গ্রহণের বিতরণে কোনও বিধিনিষেধ নেই।

কিছু পরীক্ষা-নিরীক্ষার পরে, আমি ভাবছিলাম এটি অসম্ভব হতে পারে।

random-variable pdf iid

— নাথান
সূত্র

দুটি অভিন্ন বিতরণের পার্থক্যটি একটি ত্রিভুজাকৃতির বিতরণ, সুতরাং যদি আপনি জিজ্ঞাসা করেন যে আইড ইউনিফর্মগুলির পার্থক্যের ইউনিফর্ম পাওয়া সম্ভব কিনা, তবে উত্তরটি নয়।

— টিম

একই প্রশ্ন এখানে জিজ্ঞাসা করেছেন: math.stackexchange.com/questions/2048939/… এখনও পর্যন্ত উত্তর ছাড়াই!

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন

বাইরে উপলব্ধিগুলি এড়ানো সত্যিই কঠিন বলে মনে হচ্ছে

[- 1, 1]

$[-1,1]$ যখন

j

$j$ এবং

উভয়ই

k

$k$ এই শেষের পয়েন্টগুলির নিকটে সম্ভাবনার ভর রয়েছে mass

— ক্রিস্টোফ হ্যাঙ্ক

এটা সম্ভব নয়. আমার স্মরণে এটি ইতিমধ্যে কোথাও কোথাও উত্তর দেওয়া হয়েছে (কিছুটা ভিন্ন আকারে)। আমি এটি সনাক্ত করতে পারি কিনা তা আমি দেখতে পাচ্ছি

— Glen_b -Rininstate Monica

@ Glen_b আপনি সম্ভবত stats.stackexchange.com/questions/125360/… স্মরণ করছেন । এটা না বেশ সদৃশ, যদিও কারণ একটি পার্থক্য IID ভেরিয়েবল, যদিও ব্যক্ত করা যায় এমন একটি সমষ্টি অ অভিন্ন ডিস্ট্রিবিউশন সঙ্গে ভেরিয়েবল একটি সমষ্টি জড়িত পারে। আমি বিশ্বাস করি আমার সমাধানের একটি তুচ্ছ পরিবর্তন এই পার্থক্যটির সমাধান করবে; সিলভারফিশের সমাধানটি দেখে মনে হচ্ছে এটি প্রায় কোনও পরিবর্তন ছাড়াই সরাসরি প্রযোজ্য, তবে এটির জন্য প্রথমে প্রচুর বহিরাগত উপাদান সরিয়ে ফেলতে হবে।

X - Y

$X-Y$

X + (- Y),

$X+(-Y),$

— হোবার

উত্তর:

উপপাদ্য: কোন বন্টন হয় , যার জন্য যখন । $\text{Dist}$ $A-B \sim \text{U}(-1,1)$ $A, B \sim \text{IID Dist}$

প্রমাণ: সাধারণ বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশন সহ দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবল বিবেচনা করুন । দ্বারা তাদের পার্থক্য চিহ্নিত করে । পার্থক্যের বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনটি হ'ল: $A, B \sim \text{IID Dist}$ $\varphi$ $D=A-B$

\begin{aligned} φ_{D} (t) = E (\exp (i t D)) & = E (\exp (i t (A - B))) \\ = E (\exp (i t A)) E (\exp (- i t B)) \\ = φ (t) φ (- t) \\ = φ (t) \bar{φ (t)} \\ = | φ (t) |^{2} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(i t D)) &= \mathbb{E}(\exp(i t (A-B))) \\[6pt] &= \mathbb{E}(\exp(i t A)) \mathbb{E}(\exp(-i t B)) \\[6pt] &= \varphi(t) \varphi(-t) \\[6pt] &= \varphi(t) \overline{\varphi(t)} \\[6pt] &= |\varphi(t)|^2. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

(এই কাজের চতুর্থ লাইনটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশন হার্মিটিয়ান থেকে এই অনুসরণ করে )) এখন, জন্য একটি নির্দিষ্ট ফর্ম পাওয়া যায় যা হ'ল: $D \sim \text{U}(-1,1)$ $\varphi_D$

\begin{aligned} φ_{D} (t) = E (\exp (i t D)) & = \int_{R} \exp (i t r) f_{D} (r) d r \\ = \frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} \exp (i t r) d r \\ = \frac{1}{2} [\frac{\exp (i t r)}{i t}]_{r = - 1}^{r = 1} \\ = \frac{1}{2} \frac{\exp (i t) - \exp (- i t)}{i t} \\ = \frac{1}{2} \frac{(\cos (t) + i \sin (t)) - (\cos (- t) + i \sin (- t))}{i t} \\ = \frac{1}{2} \frac{(\cos (t) + i \sin (t)) - (\cos (t) - i \sin (t))}{i t} \\ = \frac{1}{2} \frac{2 i \sin (t)}{i t} \\ = \frac{\sin (t)}{t} = sinc (t) . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(itD)) &= \int \limits_{\mathbb{R}} \exp(itr) f_D(r) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \int \limits_{-1}^1 \exp(itr) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ \frac{\exp(itr)}{it} \Bigg]_{r=-1}^{r=1} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{\exp(it)-\exp(-it)}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(-t) + i \sin(-t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(t) - i \sin(t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{2i \sin(t)}{it} \\[6pt] &= \frac{\sin(t)}{t} = \text{sinc}(t). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

যেখানে পরেরটি হ'ল (অস্বাভাবিক) সিনক ফাংশন । সুতরাং, for এর প্রয়োজনীয়তাগুলি পূরণ করার জন্য , আমাদের দ্বারা স্কোয়ার্ড-আদর্শ সহ একটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশন প্রয়োজন : $\text{Dist}$ $\varphi$

| φ (t) |^{2} = φ_{D} (t) = sinc (t) .

$|\varphi(t)|^2 = \varphi_D(t) = \text{sinc}(t).$

এই সমীকরণের বাম-দিকটি বর্গক্ষেত্রের আদর্শ এবং তাই অ-নেতিবাচক, অন্যদিকে ডান-দিকের দিকটি এমন একটি ফাংশন যা বিভিন্ন জায়গায় নেতিবাচক। সুতরাং, এই সমীকরণের কোনও সমাধান নেই, এবং তাই বিতরণের প্রয়োজনীয়তাগুলি সন্তুষ্ট করার মতো কোনও বৈশিষ্ট্যযুক্ত কার্য নেই। ( ম্যাথমেটিক্স.এসই সম্পর্কিত একটি সম্পর্কিত প্রশ্নে এটিকে নির্দেশ করার জন্য ফ্যাবিয়ানের কাছে টুপি-টিপ ।) সুতরাং, তাত্ত্বিকের প্রয়োজনীয়তাগুলির সাথে কোনও বিতরণ নেই। $\blacksquare$

— বেন - মনিকা পুনরায় স্থাপন করুন
সূত্র

এটি একটি বৈদ্যুতিক ইঞ্জিনিয়ারের বিষয়টি বিবেচনা করে, এমন একটি দৃষ্টিভঙ্গি সহ যা পরিসংখ্যান.এসইয়ের চেয়ে dsp.SE এর জন্য বেশি উপযুক্ত তবে কোনও বিষয় নয়।

ধরুন যে এবং হয় ক্রমাগত সাধারণ পিডিএফ সঙ্গে র্যান্ডম ভেরিয়েবল । তারপরে, যদি কে চিহ্নিত করে , আমাদের কাছে সেই -শোয়ার্জ অসমতা আমাদের জানায় যে এর সর্বাধিক । আসলে, যেহেতু আসলে "সিগন্যাল" হিসাবে বিবেচিত এর " " ফাংশন তাই এর এ একটি অনন্য সর্বাধিক হওয়া আবশ্যক এবং এভাবে ইচ্ছানুযায়ী একতভাবে বিতরণ করা যায় না । বিকল্পভাবে, যদি $X$ $Y$ $f(x)$ $Z$ $X-Y$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) f (x + z) d x .

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^\infty f(x)f(x+z) \ \mathrm dx.$

f_{Z} (z)

$f_Z(z)$

z = 0

$z=0$

f_{Z}

$f_Z$

f

$f$

z = 0

$z=0$

Z

$Z$

f_{Z}

$f_Z$ প্রকৃতপক্ষে অভিন্ন ঘনত্ব ছিল (মনে রাখবেন এটিও একটি স্বতঃসংশোধন ফাংশন), তবে "পাওয়ার বর্ণালী ঘনত্ব" (একটি সংকেত হিসাবে বিবেচিত) একটি সংশ্লেষিত ফাংশন হবে, এবং এইভাবে সমস্ত পাওয়ার বর্ণালী ঘনত্বগুলি অবশ্যই একটি ননজেটিভ ফাংশন নয় । তবে, এই ধারণাটি যে এক অভিন্ন ঘনত্ব একটি দ্বন্দ্বের দিকে নিয়ে যায় এবং তাই অনুমানটি অবশ্যই ভুল হতে পারে।

f_{Z}

$f_Z$

f_{Z}

$f_Z$

বলে যে দাবি করা স্পষ্টত অবৈধ যখন সাধারণ বন্টন এবং রয়েছে পরমাণু যেমন একটি ক্ষেত্রে বিতরণে যেহেতু এছাড়াও পরমাণু উপস্থিত থাকবে। আমি সন্দেহ যে সীমাবদ্ধতা হল এবং একটি আছে পিডিএফ মুছে ফেলা হতে পারে এবং একটি বিশুদ্ধরূপে পরিমাপ-তত্ত্বীয় প্রমাণ সাধারণ ক্ষেত্রে যখন জন্য নির্মিত এবং অগত্যা একটি পিডিএফ আনন্দ পাই না (কিন্তু তাদের পার্থক্য না)। $f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$ $X$ $Y$ $Z$ $X$ $Y$ $X$ $Y$

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

এর কিছু অংশ আমার কাছে ঠিক মনে হচ্ছে না। চারিত্রিক ফাংশন বন্টন হয় , ফাংশন, যাতে পরিষ্কারভাবে ফুরিয়ার ধরনের রুপান্তর যে সম্ভবপর হয়ে থাকে। আপনার যুক্তি আমার কাছে অনেক বেশি প্রমাণিত হতে পারে বলে মনে হয়েছে - এটি কেবল প্রমাণ করে যে অভিন্ন হতে পারে না, তবে অভিন্ন বিতরণটি অস্তিত্ব রাখতে পারে না। আমি কি ভুল বুঝেছি?

U (- 1, 1)

$\text{U}(-1,1)$

sinc

$\text{sinc}$

Z

$Z$

— বেন - মনিকা

এর বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনটি আছে কি না তা ইস্যু নয়; এটি বিদ্যমান আছে। এর পিডিএফ একটি স্বতঃসংশোধন ফাংশন। ওয়েল, ক্ষমতা ভুতুড়ে ঘনত্ব এর কোন autocorrelation ফাংশন আবশ্যক নন-নেগেটিভ ফাংশন হবে। সুতরাং, অনুমান যে একটি পাওয়ার বর্ণালী ঘনত্বের দিকে নিয়ে যায় যা একটি সিন্স ফাংশন (এটি ইতিবাচক এবং নেতিবাচক উভয় মান গ্রহণ করে)। যেহেতু এটি বৈধ পাওয়ার বর্ণালী ঘনত্ব নয় (মনে রাখবেন যে একটি ), অবশ্যই ভুল হতে পারে।

U [- 1, 1]

$\mathcal U[-1,1]$

Z

$Z$

f_{Z} \sim U [- 1, 1]

$f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$

f_{Z}

$f_Z$

f_{Z} \sim U [- 1, 1]

$f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$

— দিলীপ সরোতে