দুটি ভেরিয়েবলের যোগফলের সূত্রের পিছনে অন্তর্দৃষ্টি

10

আমি পূর্ববর্তী গবেষণা থেকে জানি যে

$Var(A+B) = Var(A) + Var(B) + 2 Cov (A,B)$

তবে কেন তা বুঝতে পারছি না don't আমি দেখতে পাচ্ছি যে এ এবং বি কোভারি যখন উচ্চতর হয় তখন প্রভাবটি 'ধাক্কা' দিতে পারে to এটি উপলব্ধি করে যে আপনি দুটি অত্যন্ত সংযুক্ত ভেরিয়েবল থেকে একটি যৌগ তৈরি করার সময় আপনি বি থেকে উচ্চ পর্যবেক্ষণের সাথে এ থেকে উচ্চ পর্যবেক্ষণ যুক্ত করবেন এবং বি থেকে কম পর্যবেক্ষণের সাথে এ থেকে কম পর্যবেক্ষণ যুক্ত করবেন This সংমিশ্রিত ভেরিয়েবলের মধ্যে চূড়ান্ত উচ্চ এবং নিম্ন মানের তৈরি করুন, সংমিশ্রনের বৈকল্পিক বৃদ্ধি করুন।

তবে কেন এটি সমবায়কে ঠিক 2 দিয়ে গুণ করতে কাজ করে ?

variance covariance intuition

— user1205901 - মনিকা পুনরায় ইনস্টল করুন
সূত্র

1

যদি এবং পুরোপুরি ইতিবাচকভাবে সম্পর্কিত হয় তবে এবং যদি সেগুলি পুরোপুরি নেতিবাচকভাবে সম্পর্কিত হয় তবে । এই সম্পর্কের পরিধিটি কতটা দূরে রয়েছে তা সমবায়ীরা পরিমাপ করে

A

$A$

B

$B$

V a r (A + B) = V a r (A) + V a r (B) + 2 \sqrt{V a r (A) V a r (B)}

$Var(A+B)= Var(A) + Var(B)+ 2\sqrt{ Var(A) Var(B)}$

V a r (A + B) = V a r (A) + V a r (B) - 2 \sqrt{V a r (A) V a r (B)}

$Var(A+B)= Var(A) + Var(B)- 2\sqrt{ Var(A) Var(B)}$

— হেনরি

21

সহজ উত্তর:

প্রকরণটি একটি বর্গক্ষেত্রের সাথে জড়িত:

V a r (X) = E [(X - E [X])^{2}]

$Var(X) = E[(X - E[X])^2]$

সুতরাং, আপনার প্রশ্নটি বর্গ পরিচয়ের 2 ফ্যাক্টারে ফোটে:

(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b

$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$

কোনটি চাক্ষুষরূপে দিকে একটি বর্গক্ষেত্র এর এলাকার পচানি যেমন বোঝা যাবে পক্ষের ছোট বর্গের এলাকার মধ্যে এবং ছাড়াও, দুই পক্ষের আয়তক্ষেত্র এবং : $(a+b)$ $a$ $b$ $a$ $b$

আরও জড়িত উত্তর:

আপনি যদি গাণিতিকভাবে আরও জড়িত উত্তর চান, তবে সমবায় একটি দ্বৈত রূপ, যার অর্থ এটি প্রথম এবং দ্বিতীয় উভয় যুক্তিতেই লিনিয়ার, এটি বাড়ে:

\begin{aligned} V a r (A + B) & = C o v (A + B, A + B) \\ = C o v (A, A + B) + C o v (B, A + B) \\ = C o v (A, A) + C o v (A, B) + C o v (B, A) + C o v (B, B) \\ = V a r (A) + 2 C o v (A, B) + V a r (B) \end{aligned}

$\begin{aligned} Var(A+B) &= Cov(A+B, A+B) \\ &= Cov(A, A+B) + Cov(B, A+B) \\ &= Cov(A,A) + Cov(A,B) + Cov(B,A) + Cov(B,B) \\ &= Var(A) + 2 Cov(A,B) + Var(B) \end{aligned}$

শেষ লাইনে, আমি এই সত্যটি ব্যবহার করেছি যে প্রতিসাম্য:

C o v (A, B) = C o v (B, A)

$Cov(A,B) = Cov(B,A)$

সংক্ষেপে:

এটি দুটি কারণ আপনাকে এবং উভয়ের জন্য অ্যাকাউন্ট করতে হবে । $cov(A,B)$ $cov(B,A)$

— byouness
সূত্র

5

এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির সেটটি একটি ভেক্টর স্পেস এবং ইউক্লিডিয়ান স্পেসের অনেকগুলি বৈশিষ্ট্য তাদের সাথে সাদৃশ্যযুক্ত হতে পারে। স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি অনেকটা দৈর্ঘ্যের মতো এবং দৈর্ঘ্যের স্কোয়ারের মতো বৈকল্পিক acts স্বাধীনতা অরথোগোনাল হওয়ার সাথে মিল, তবে নিখুঁত পারস্পরিক সম্পর্কটি স্কেলারের গুণকের সাথে মিল রয়েছে। সুতরাং, স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলের বৈচিত্রগুলি পাইথাগোরিয়ান উপপাদ অনুসরণ করে: ।
$var(A+B) = var(A)+var(B)$

যদি সেগুলি পুরোপুরি সম্পর্কযুক্ত হয় তবে
$std(A+B) = std(A)+std(B)$

মনে রাখবেন যে এটি সমান
$var(A+B) = var(A)+var(B)+2\sqrt{var(A)var(B)}$

যদি তারা স্বতন্ত্র না থাকে তবে তারা কোসাইনের বিধি অনুসারে একটি আইন অনুসরণ করে:
$var(A+B) = var(A)+var(B)+2cov(A,B)$

দ্রষ্টব্য যে সম্পূর্ণ ক্ষেত্রে সম্পূর্ণ স্বাধীনতা এবং নিখুঁত সম্পর্ক আছে। যদি এবং স্বতন্ত্র হয় তবে শূন্য। তাই সাধারণভাবে ক্ষেত্রে যে সবসময় একটি হয়েছে মেয়াদ এবং মেয়াদি, এবং তারপর এটি কিছু ভেরিয়েশন আছে $A$ $B$ $cov(A,B)$ $var(A,B)$ $var(A)$ $var(B)$ শব্দ; ভেরিয়েবলগুলি যত বেশি সংযুক্ত থাকে, তৃতীয়টি তৃতীয় হবে। আর এই অবিকল কিহয়: এটা $2\sqrt{var(A)var(B)}$ $2cov(A,B)$ বারএরএবং। $2\sqrt{var(A)var(B)}$ $r^2$ $A$ $B$

$var(A+B) = var(A)+var(B)+MeasureOfCorrelation*PerfectCorrelationTerm$

যেখানে এবং $MeasureOfCorrelation = r^2$ $PerfectCorrelationTerm=2\sqrt{var(A)var(B)}$

অন্য শর্তে রাখুন, যদি , তবে $r = correl(A,B)$

$\sigma_{A+B} = \sigma_A^2+\sigma_B^2+ 2(r\sigma_A)(r\sigma_B)$

সুতরাং, অনুরূপ Cosines আইন হবে। $r^2$ $cos$

— Acccumulation
সূত্র

2

$Var(A+B)$ $Var$ $Cov$

$A+B$

$A$
$B$
$A$ $B$
$B$ $A$

V a r (A + B) = V a r (A) + V a r (B) + C o v (A, B) + C o v (B, A)

$Var(A+B)=Var(A)+Var(B)+Cov(A,B)+Cov(B,A)$

= V a r (A) + V a r (B) + 2 C o v (A, B)

$=Var(A)+Var(B)+2Cov(A,B)$

C o v

$Cov$

— Bananin
সূত্র