প্রান্তিক ঘনত্বগুলি সন্ধান করা হচ্ছে

Question

শিরোনাম অনুসারে, আমি এর প্রান্তিক ঘনত্বের সন্ধান করছি

$$f (x,y) = c \sqrt{1 - x^2 - y^2}, x^2 + y^2 \leq 1.$$

এ পর্যন্ত আমি খুঁজে পেয়েছি হতে । আমি কে মেরু স্থানাঙ্কে রূপান্তরিত করার মাধ্যমে এবং একীকরণের মাধ্যমে বুঝতে , এ কারণেই আমি প্রান্তিক ঘনত্বের অংশে আটকে আছি। আমি জানি যে , তবে আমি বড় অগোছালো ইন্টিগ্রাল না পেয়ে কীভাবে সমাধান করব তা নিশ্চিত নই এবং আমি উত্তরটি জানি না ' একটি বড় অগোছালো অবিচ্ছেদ্য বলে মনে করা। পরিবর্তে , এবং তারপরে করার জন্য নেওয়া কি সম্ভব?$c$$\frac{3}{2 \pi}$$f(x,y)$$drd\theta$$f_x(x) = \int_{-\infty}^\infty f(x,y)dy$$F(x,y)$$\frac{dF}{dx}$$f_x(x)$? এটি করার স্বজ্ঞাত উপায়ের মতো মনে হচ্ছে তবে আমার পাঠ্যপুস্তকের মধ্যে এমন সম্পর্কগুলির উল্লেখ করার মতো কিছুই খুঁজে পাচ্ছি না, তাই আমি ভুল অনুমানগুলি তৈরি করতে চাইনি।

Comments

@ কেওয়াক আমি নিশ্চিত না কেন শিরোনাম পরিবর্তন করা দরকার ছিল ... "হোমওয়ার্ক" ট্যাগ যথেষ্ট হওয়া উচিত।

— শেন

@ শানে:> ঠিক আছে ফিরে আসল।

— ব্যবহারকারী 60

Answer 1

জ্যামিতি এখানে সহায়তা করে। এর গ্রাফটি একক ব্যাসার্ধের একটি গোলাকার গম্বুজ। (এটি অবিলম্বে অনুসরণ করে যে এর আয়তন একক গোলকের অর্ধেক, , কোথাও ।) প্রান্তিক ঘনত্বগুলি উল্লম্ব ক্রস-বিভাগগুলির মাধ্যমে দেওয়া হয় এই গোলক স্পষ্টতই প্রতিটি ক্রস-সেকশন একটি অর্ধবৃত্ত: প্রান্তিক ঘনত্ব পেতে, এর ব্যাসার্ধটি অবশিষ্ট ভেরিয়েবলের ফাংশন হিসাবে সন্ধান করুন এবং একটি বৃত্তের ক্ষেত্রের জন্য সূত্রটি ব্যবহার করুন। ইউনিট ক্ষেত্রফল হিসাবে ফলস্বরূপ অবিচ্ছিন্ন ফাংশনকে সাধারণকরণ এটিকে ঘনত্বে পরিণত করে।$f$$(4 \pi /3)/2$$c=3/(2 \pi)$

Comments

আহ্, এটি মাল্টিভায়েবল ক্যালকুলাস থেকে আমার কাছে ফিরে আসার মতো। আমার মনে আছে এরকম সমস্যা করা। বাকি ভেরিয়েবলের একটি কার্য হিসাবে আমি ব্যাসার্ধটি কীভাবে খুঁজে পাব? এখনও মনে হচ্ছে আমি একরকম মনস্টার ইন্টিগ্রালটি রেখে যাব।

— জারোদ

বাকি ভেরিয়েবলটি হতে দিন । তারপরে আপনাকে যে অঞ্চলে সংহত করতে হবে তা বর্ণনা করে। স্পষ্টতই ব্যাসার্ধের সমান , যেহেতু ক্রস-বিভাগীয় অঞ্চল সমান এটি একটি খুব সহজ সূত্র :-)। (উল্লেখ্য, এখানে থিম জ্যামিতি, না ক্যালকুলাস ... হয়)$y$$x^2 \le 1-y^2$$\sqrt{1 - y^2}$$\pi (1 - y^2)/2.$

— whuber

হ্যাঁ সঠিক. এটি আমার মনকে অতিক্রম করেছিল, তবে এটি খুব সহজ বলে মনে হয়েছিল। আমি অনুমান করি যে এটি জটিল হওয়ার জন্য আমি দৃ determined় প্রতিজ্ঞ ছিল। ধন্যবাদ!

— জারোদ

আমি জিজ্ঞাসা করতে ভুলে গেছি: সি এটিতে কীভাবে চিত্রিত করে?

— জারোদ

আমার মতে, হোয়বারের উত্তর দুটি কারণে উত্সাহিত হওয়ার দাবিদার। প্রথমে এটি জিজ্ঞাসিত প্রশ্নের উত্তর দেয়, দ্বিতীয়টি কীভাবে আমরা ভবিষ্যতের হ্যান্ডেল (স্পষ্টভাবে বিবৃত) হোমওয়ার্ক প্রশ্নগুলিতে রাখতে পারি তার মডেল হিসাবে: এই ধরণের উত্তরগুলি আসলে শেখার প্রক্রিয়াতে অবদান রাখে এবং গৃহীত কাজের চেয়ে গৃহীত প্রশ্নের ক্ষেত্রে আরও ভাল নীতি হতে পারে এমও / এসও তে

— ব্যবহারকারী 60