Halmos-স্যাভেজ উপপাদ্য বলছেন যে একটি অধ্যুষিত পরিসংখ্যানগত মডেল জন্য একটি পরিসংখ্যাত যথেষ্ট, যদি (এবং কেবলমাত্র) সমস্ত for সেখানে রডন নিকডিম ডেরিভেটিভ একটি মেসেবল সংস্করণ থাকে যেখানে হয় তৈরী পরিমাপ যেমন যে জন্য এবং । $(\Omega, \mathscr A, \mathscr P)$ $T: (\Omega, \mathscr A, \mathscr P)\to(\Omega', \mathscr A')$ $\{P \in \mathscr{P} \}$ $T$ $\frac{dP}{dP*}$ $dP*$ $P*=\sum_{i=1}^\infty P_i c_i$ $c_i >0, \sum _{i=1}^\infty c_i =1$ $P_i \in \mathscr P$

আমি তাত্ত্বিক সত্য কেন একটি স্বজ্ঞাত উপলব্ধি করার চেষ্টা করেছি কিন্তু আমি সফল হই নি, তাই আমার প্রশ্নটি উপপাদ্যটি বোঝার কোন অন্তর্দৃষ্টি আছে কিনা তা আমার প্রশ্ন is

— সেবাস্টিয়ান
সূত্র

আমি বিশ্বাস করি এখানে আমার সঠিক লিঙ্ক আছে। দয়া করে চেক করুন এবং যদি আমার কোনও ভুল হয় তবে তা সরান।

— গুং - মনিকা পুনরায়

হতে পারে পাঠককে পরিভাষা দিয়ে সহায়তা করুন, যেমন, " আধিপত্যবাদী পরিসংখ্যানের মডেলগুলি", " মেসুরবিলিটি" এবং "সুবিধাপ্রাপ্ত ব্যবস্থা?"

T

$T$

— কার্ল

একটি প্রযুক্তিগত লেমা

আমি এটি কতটা স্বজ্ঞাত তা নিশ্চিত নই তবে হালমোস-সেভেজ তত্ত্বের আপনার বক্তব্যটির মূল প্রযুক্তিগত ফলাফলটি হ'ল:

থিম। যাক একটি হতে -finite উপর পরিমাপ । ধরা যাক যে হ'ল ব্যবস্থাগুলির সংকলন যেমন that প্রতিটি for , । তারপরে সংখ্যার ক্রম বিদ্যমান এবং , যেমন এবং প্রতি । $\mu$ $\sigma$ $(S, \mathcal{A})$ $\aleph$ $(S, \mathcal{A})$ $\nu \in \aleph$ $\nu \ll \mu$ $\{c_i\}_{i=1}^\infty$ $\aleph$ $\{\nu_i\}_{i=1}^\infty$ $\sum_{i=1}^\infty c_i = 1$ $\nu \ll \sum_{i=1}^\infty c_i \nu_i$ $\nu \in \aleph$

এটি শেরভিশ থিওরি অফ স্ট্যাটিস্টিক্স (১৯৯৫) এর থিওরিম এ 7878 এর কাছ থেকে নেওয়া হয়েছে । সেখানে তিনি এটিকে লেহম্যানের টেস্টিং স্ট্যাটিস্টিকাল হাইপোথিসিসের (১৯৮6) ( তৃতীয় সংস্করণের লিঙ্ক ) দিয়েছিলেন, যেখানে ফলাফলটি হালমোস এবং সেভেজকেই দায়ী করা হয়েছে (লেমমা দেখুন))। আর একটি ভাল রেফারেন্স হ'ল শাওর গাণিতিক পরিসংখ্যান (দ্বিতীয় সংস্করণ, ২০০৩) , যেখানে সম্পর্কিত ফলাফল লেমমা ২.১ এবং উপপাদ্য ২.২।

উপরের লেমাতে বলা হয়েছে যে আপনি যদি একটি চিরস্থায়ী পরিমাপ দ্বারা প্রভাবিত ব্যবস্থার পরিবার নিয়ে শুরু করেন তবে বাস্তবে আপনি পরিবারের মধ্যে থেকে একটি গণনাযোগ্য উত্তল সংমিশ্রণ দ্বারা প্রভাবশালী পরিমাপকে প্রতিস্থাপন করতে পারেন। শেরভিশ থিওরেম এ 7878 উল্লেখ করার আগে লিখেছেন, $\sigma$

"পরিসংখ্যান সংক্রান্ত প্রয়োগগুলিতে, আমাদের প্রায়শই এক ধরণের পদক্ষেপের ব্যবস্থা থাকবে, যার প্রতিটিই একক চিরস্থায়ী পরিমাপের ক্ষেত্রে একেবারে অবিচ্ছিন্ন । একা প্রভাবশালী মাপটি মূল শ্রেণিতে থাকত বা সেখান থেকে তৈরি করা যেতে পারে তবে এটি চমৎকার হবে It ক্লাস। নিম্নলিখিত উপপাদ্য এই সমস্যাটিকে সম্বোধন করে। $\sigma$

একটি কংক্রিট উদাহরণ

ধরুন আমরা একটি পরিমাণ একটি পরিমাপ নিতে যা আমরা বিশ্বাস করি ব্যবধান উপর অবিশেষে বিতরণ করা কিছু অজানা জন্য । এই পরিসংখ্যান সমস্যা, আমরা পরোক্ষভাবে সেট বিবেচনা করা হয় উপর Borel সম্ভাব্যতা ব্যবস্থা ফর্ম সব সময় অন্তর উপর অভিন্ন ডিস্ট্রিবিউশন গঠিত । এটি হ'ল, যদি ল্যাম্বদা লেবেসগু পরিমাপকে বোঝায় এবং, , বিতরণকে বোঝায় (যেমন, $X$ $[0, \theta]$ $\theta > 0$ $\mathcal{P}$ $\mathbb{R}$ $[0, \theta]$ $\lambda$ $\theta > 0$ $P_\theta$ $\operatorname{Uniform}([0, \theta])$

P_{θ} (A) = \frac{1}{θ} λ (A \cap [0, θ]) = \int_{A} \frac{1}{θ} 1_{[0, θ]} (x) d x

$P_\theta(A) = \frac{1}{\theta} \lambda(A \cap [0, \theta]) = \int_A \frac{1}{\theta} \mathbf{1}_{[0, \theta]}(x) \, dx$ প্রতিটি বোরেল , তারপরে আমাদের কেবল এটি আমাদের পরিমাপ এর প্রার্থী বিতরণের সেট ।

A \subseteq R

$A \subseteq \mathbb{R}$

P = {P_{θ} : θ > 0} .

$\mathcal{P} = \{P_\theta : \theta > 0\}.$

X

$X$

পরিবার clearly স্পষ্টতই লেবেসগু পরিমাপ (যা স্থায়ী) দ্বারা প্রভাবিত , সুতরাং উপরের লেমমা ( with সহ ) একটি অনুক্রমের অস্তিত্বের নিশ্চয়তা দেয় করার summing নন-নেগেটিভ সংখ্যার এবং একটি ক্রম মধ্যে অভিন্ন ডিস্ট্রিবিউশন যেমন যে প্রতিটি । এই উদাহরণে, আমরা এই ধরণের ক্রমগুলি স্পষ্টভাবে নির্মাণ করতে পারি! $\mathcal{P}$ $\lambda$ $\sigma$ $\aleph = \mathcal{P}$ $\{c_i\}_{i=1}^\infty$ $1$ $\{Q_i\}_{i=1}^\infty$ $\mathcal{P}$

P_{θ} ≪ \sum_{i = 1}^{\infty} c_{i} Q_{i}

$P_\theta \ll \sum_{i=1}^\infty c_i Q_i$

θ > 0

$\theta > 0$

প্রথমে আসুন ইতিবাচক যুক্তিযুক্ত সংখ্যার একটি সংখ্যা হিসাবে বিবেচনা করুন ( এটি স্পষ্টভাবে করা যেতে পারে ), এবং প্রতিটি জন্য । দিন। এরপরে, , যাতে । আমি দাবি করি যে এবং কাজ করে। $(\theta_i)_{i=1}^\infty$ $Q_i = P_{\theta_i}$ $i$ $c_i = 2^{-i}$ $\sum_{i=1}^\infty c_i = 1$ $\{c_i\}_{i=1}^\infty$ $\{Q_i\}_{i=1}^\infty$

এটি দেখতে, ঠিক করুন এবং কে of এর বোরেল উপসেট হতে দিন যেমন । আমাদের । যেহেতু এবং প্রতিটি নেতিবাচক নয়, এটি অনুসরণ করে প্রতিটি জন্য । অধিকন্তু, যেহেতু প্রতিটি ধনাত্মক, এটি প্রতিটি জন্য অনুসরণ করে । অর্থাত্, সকলের জন্য আমাদের কাছে যেহেতু প্রতিটি $\theta > 0$ $A$ $\mathbb{R}$ $\sum_{i=1}^\infty c_i Q_i(A) = 0$ $P_\theta(A) = 0$ $\sum_{i=1}^\infty c_i Q_i(A) = 0$ $c_i Q_i(A) = 0$ $i$ $c_i$ $Q_i(A) = 0$ $i$ $i$

Q_{i} (A) = P_{θ_{i}} (A) = \frac{1}{θ_{i}} λ (A \cap [0, θ_{i}]) = 0.

$Q_i(A) = P_{\theta_i}(A) = \frac{1}{\theta_i} \lambda(A \cap [0, \theta_i]) = 0.$

θ_{i}

$\theta_i$ ধনাত্মক, এটি অনুসরণ করে যে প্রতি জন্য ।

λ (A \cap [0, θ_{i}]) = 0

$\lambda(A \cap [0, \theta_i]) = 0$

i

$i$

এখন একটি subsequence চয়ন এর যা এগোয় করার উপরে থেকে (এই কাজ করা যেতে পারে যেহেতু ঘন হয় )। তারপর যেমন , তাই পরিমাপ ধারাবাহিকতা দ্বারা আমরা এই উপসংহারে যে এবং তাই । এটি দাবি প্রমাণ করে। $\{\theta_{i_k}\}_{k=1}^\infty$ $\{\theta_i\}_{i=1}^\infty$ $\theta$ $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$ $A \cap [0, \theta_{\theta_{i_k}}] \downarrow A \cap [0, \theta]$ $k \to \infty$

λ (A \cap [0, θ]) = lim_{k \to \infty} λ (A \cap [0, θ_{i_{k}}]) = 0,

$\lambda(A \cap [0, \theta]) = \lim_{k \to \infty} \lambda(A \cap [0, \theta_{i_k}]) = 0,$

P_{θ} (A) = 0

$P_\theta(A) = 0$

সুতরাং, এই উদাহরণে আমরা স্পষ্টতই আমাদের প্রভাবশালী পরিবার থেকে সম্ভাব্যতার পরিমাপের একটি গণনাযোগ্য উত্তল সংমিশ্রণ তৈরি করতে সক্ষম হয়েছিল যা এখনও পুরো পরিবারকে প্রাধান্য দেয়। উপরের লেমা গ্যারান্টি দেয় যে এটি যে কোনও আধিপত্যবাদী পরিবারের জন্য করা যেতে পারে (অন্ততপক্ষে প্রভাবশালী পরিমাপটি ig চিরস্থায়ী)। $\sigma$

হালমোস-সেভেজ উপপাদ্য

সুতরাং এখন হালমোস-সেভেজ উপপাদ্যটিতে (যার জন্য আমি ব্যক্তিগত পছন্দের কারণে প্রশ্নের তুলনায় কিছুটা আলাদা স্বরলিপি ব্যবহার করব)। হালমোস-সেভেজ উপপাদ্যটি দেওয়া, ফিশার-নেইম্যান ফ্যাক্টেরাইজেশন উপপাদ্যটি ডুব-ডাইনকিন লেমার মাত্র একটি প্রয়োগ এবং রেডন-নিকডোডিম ডেরিভেটিভসের জন্য চেইন রুল!

হালমোস-সেভেজ উপপাদ্য। আসুন একটি প্রাধান্যযুক্ত পরিসংখ্যানের মডেল হন (যার অর্থ on এর সম্ভাব্যতার একটি সেট এবং সেখানে একটি চিরস্থায়ী পরিমাপ অন যেমন সকলের জন্য )। আসুন একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশন হতে পারে যেখানে একটি আদর্শ বোরেল স্থান। এর পরে নিম্নলিখিত সমতুল্য: $(\mathcal{X}, \mathcal{B}, \mathcal{P})$ $\mathcal{P}$ $\mathcal{B}$ $\sigma$ $\mu$ $\mathcal{B}$ $P \ll \mu$ $P \in \mathcal{P}$ $T : (\mathcal{X}, \mathcal{B}) \to (\mathcal{T}, \mathcal{C})$ $(T, \mathcal{C})$

$T$ for এর জন্য যথেষ্ট (যার অর্থ একটি সম্ভাব্য কার্নেল যেমন এর একটি সংস্করণ এবং ) এর জন্য সমস্ত for $\mathcal{P}$ $r : \mathcal{B} \times \mathcal{T} \to [0, 1]$ $r(B, T)$ $P(B \mid T)$ $B \in \mathcal{B}$ $P \in \mathcal{P}$

একটি ক্রম বিদ্যমান নন-নেগেটিভ সংখ্যার যেমন যে এবং একটি ক্রম in এর সম্ভাব্যতার পরিমাপের পরিমাণ যেমন সমস্ত , যেখানে , এবং প্রতিটি জন্য জন্য এর একটি পরিমিত সংস্করণ উপস্থিত রয়েছে । $\{c_i\}_{i=1}^\infty$ $\sum_{i=1}^\infty c_i = 1$ $\{P_i\}_{i=1}^\infty$ $\mathcal{P}$ $P \ll P^*$ $P \in \mathcal{P}$ $P^* = \sum_{i=1}^\infty c_i P_i$ $P \in \mathcal{P}$ $T$ $dP/dP^*$

প্রুফ। উপরে থিম মাধ্যমে আমরা অবিলম্বে প্রতিস্থাপন করতে পারি দ্বারা কিছু ক্রম জন্য যেমন যে নন-নেগেটিভ সংখ্যার এবং একটি ক্রম মধ্যে সম্ভাব্যতা ব্যবস্থা । $\mu$ $P^* = \sum_{i=1}^\infty c_i P_i$ $\{c_i\}_{i=1}^\infty$ $\sum_{i=1}^\infty c_i = 1$ $\{P_i\}_{i=1}^\infty$ $\mathcal{P}$

(১. বোঝায় ২.) ধরুন যথেষ্ট is তারপর আমরা আছে দেখাতে হবে এর -measurable সংস্করণ সবার জন্য । থিওরিমের বিবৃতিতে সম্ভাব্যতার কার্নেল হওয়া যাক । প্রতিটি এবং For এর জন্য আমরা এভাবে একটি সংস্করণ সবার জন্য । $T$ $T$ $dP/dP^*$ $P \in \mathcal{P}$ $r$ $A \in \sigma(T)$ $B \in \mathcal{B}$

\begin{aligned} P^{*} (A \cap B) & = \sum_{i = 1}^{\infty} c_{i} P_{i} (A \cap B) \\ = \sum_{i = 1}^{\infty} c_{i} \int_{A} P_{i} (B ∣ T) d P_{i} \\ = \sum_{i = 1}^{\infty} c_{i} \int_{A} r (B, T) d P_{i} \\ = \int_{A} r (B, T) d P^{*} . \end{aligned}

$\begin{aligned} P^*(A \cap B) &= \sum_{i=1}^\infty c_i P_i(A \cap B) \\ &= \sum_{i=1}^\infty c_i \int_A P_i(B \mid T) \, dP_i \\ &= \sum_{i=1}^\infty c_i \int_A r(B, T) \, dP_i \\ &= \int_A r(B, T) \, dP^*. \end{aligned}$

r (B, T)

$r(B, T)$

P^{*} (B ∣ T)

$P^*(B \mid T)$

B \in B

$B \in \mathcal{B}$

প্রতিটি জন্য , পরিমাপযোগ্য জায়গার র‌্যাডন-নিকোডিয়াম ডেরিভেটিভ এর একটি সংস্করণ বোঝাতে দিন (তাই নির্দিষ্ট হ'ল পরিমাপযোগ্য)। তারপরে সমস্ত এবং আমরা সুতরাং প্রকৃতপক্ষে একটি $P \in \mathcal{P}$ $f_P$ $dP/dP^*$ $(\mathcal{X}, \sigma(T))$ $f_P$ $T$ $B \in \mathcal{B}$ $P \in \mathcal{P}$

\begin{aligned} P (B) & = \int_{X} P (B ∣ T) d P \\ = \int_{X} r (B, T) d P \\ = \int_{X} r (B, T) f_{P} d P^{*} \\ = \int_{X} P^{*} (B ∣ T) f_{P} d P^{*} \\ = \int_{X} E_{P^{*}} [1_{B} f_{P} ∣ T] d P^{*} \\ = \int_{B} f_{P} d P^{*} . \end{aligned}

$\begin{aligned} P(B) &= \int_{\mathcal{X}} P(B \mid T) \, dP \\ &= \int_{\mathcal{X}} r(B, T) \, dP \\ &= \int_{\mathcal{X}} r(B, T) f_P \, dP^* \\ &= \int_{\mathcal{X}} P^*(B \mid T) f_P \, dP^* \\ &= \int_{\mathcal{X}} E_{P^*}[\mathbf{1}_B f_P \mid T] \, dP^* \\ &= \int_B f_P \, dP^*. \end{aligned}$

f_{P}

$f_P$

T

$T$ এর -measurable সংস্করণ উপর । এটি প্রমাণ করে যে উপপাদ্যের প্রথম শর্তটি দ্বিতীয়টিকে বোঝায়।

d P / d P^{*}

$dP/dP^*$

(X, B)

$(\mathcal{X}, \mathcal{B})$

(2. বোঝা 1.) ধরুন একজন নির্বাচন করতে পারবেন -measurable সংস্করণ এর প্রতিটি । প্রতিটি For এর জন্য , এর একটি নির্দিষ্ট সংস্করণ বোঝায় (যেমন, এমন একটি ফাংশন যা এর একটি সংস্করণ । যেহেতু একটি প্রমিত Borel স্থান হয়, আমরা চয়ন করতে পারেন একটি উপায় যে তোলে একটি সম্ভাব্যতা কার্নেলের মধ্যে (দেখুন, যেমন, Schervish এর উপপাদ্য B.32 পরিসংখ্যান তত্ত্ব (1995))। আমরা সেই দেখাব $T$ $f_P$ $dP/dP^*$ $P \in \mathcal{P}$ $B \in \mathcal{B}$ $r(B, t)$ $P^*(B \mid T = t)$ $r(B, t)$ $r(B, T)$ $P^*(B \mid T)$ $(T, \mathcal{C})$ $r$ $r(B, T)$ একটি সংস্করণ জন্য কোনো এবং কোন । সুতরাং, এবং let দেওয়া হোক। তারপরে সমস্ত জন্য আমরা এটি দেখায় যে এবং যে কোনও কোনও জন্য এর একটি সংস্করণ , এবং প্রমাণটি হ'ল সম্পন্ন. $P(B \mid T)$ $P \in \mathcal{P}$ $B \in \mathcal{B}$ $A \in \sigma(T)$ $B \in \mathcal{B}$ $P \in \mathcal{P}$

\begin{aligned} P (A \cap B) & = \int_{A} 1_{B} f_{P} d P^{*} \\ = \int_{A} E_{P^{*}} [1_{B} f_{P} ∣ T] d P^{*} \\ = \int_{A} P^{*} (B ∣ T) f_{P} d P^{*} \\ = \int_{A} r (B, T) f_{P} d P^{*} \\ = \int_{A} r (B, T) d P . \end{aligned}

$\begin{aligned} P(A \cap B) &= \int_A \mathbf{1}_B f_P \, dP^* \\ &= \int_A E_{P^*}[\mathbf{1}_B f_P \mid T] \, dP^* \\ &= \int_A P^*(B \mid T) f_P \, dP^* \\ &= \int_A r(B, T) f_P \, dP^* \\ &= \int_A r(B, T) \, dP. \end{aligned}$

r (B, T)

$r(B, T)$

P (B ∣ T)

$P(B \mid T)$

P \in P

$P \in \mathcal{P}$

B \in B

$B \in \mathcal{B}$

সারসংক্ষেপ. এখানে উপস্থাপিত হাল্মোস-সেভেজ উপপাদ্যটির অন্তর্নিহিত গুরুত্বপূর্ণ প্রযুক্তিগত ফলাফলটি সত্য যে সম্ভাবনা ব্যবস্থাগুলির একটি প্রভাবিত পরিবার আসলে সেই পরিবার থেকে সম্ভাব্যতা ব্যবস্থার একটি গণনাযোগ্য উত্তল সংমিশ্রণ দ্বারা প্রাধান্য পায়। সেই ফলাফলটি দেওয়া, হালমোস-সেভেজের উপপাদ্য বাকী অংশটি বেশিরভাগ ক্ষেত্রে কেবল রেডন-নিকডিমের ডেরিভেটিভস এবং শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশাগুলির মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে হেরফের।

— আর্টেম মাভরিন
সূত্র

হালমোস-সেভেজ উপপাদ্যের স্বজ্ঞাত বোঝা understanding

একটি প্রযুক্তিগত লেমা

একটি কংক্রিট উদাহরণ

হালমোস-সেভেজ উপপাদ্য