একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বৈশিষ্ট্য

Question

আমার পরিসংখ্যান কোর্সটি কেবল আমাকে শিখিয়েছে যে একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সীমাবদ্ধ বিকল্প রয়েছে ... আমি তা বুঝতে পারি নি। আমি ভেবেছি, একটি পূর্ণসংখ্যার সেট হিসাবে এটি অসীম হতে পারে। গুগলিং এবং বিশ্ববিদ্যালয় কোর্স থেকে কয়েকটি সহ কয়েকটি ওয়েব পৃষ্ঠাগুলি পরীক্ষা করা নির্দিষ্টভাবে এটি নিশ্চিত করতে ব্যর্থ হয়েছে; তবে বেশিরভাগ সাইটগুলি বলে যে বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি গণনাযোগ্য - আমি মনে করি এর অর্থ চূড়ান্তভাবে সংখ্যাযুক্ত?

এটি স্পষ্ট যে অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনগুলি অসীম এমনকি যদি (বেশিরভাগ?) প্রায়শই সীমাবদ্ধ থাকে।

তবে যদি বিচ্ছিন্ন এলোমেলো ভেরিয়েবলের সীমাবদ্ধ সম্ভাবনা থাকে, তবে পূর্ণসংখ্যার অসীম বিতরণ কী? এটা না আলাদা বা ধারাবাহিক? ভেরিয়েবলগুলি অবিচ্ছিন্ন এবং (সংজ্ঞা অনুসারে) অসীম বা বিচ্ছিন্ন এবং সসীম হতে পারে বলে প্রশ্নটি কী মোটা?

Comments

জ্যামিতিক এবং পোয়েসন র্যান্ডম ভেরিয়েবল সম্পর্কে আপনার স্ট্যাটাস কোর্সটি জিজ্ঞাসা করা উচিত

— সম্ভাব্যতা ব্লগ

এটি অনলাইন, তাই সীমিত প্রতিক্রিয়া। আপনি পরামর্শ দিচ্ছেন যে তারা কেবল (!) বিতরণের পরিবর্তে তৃতীয় (এবং চতুর্থ?) ধরণের পরিবর্তনশীল?

— জেমস

একটি বিতরণ এলোমেলো পরিবর্তনশীল নয় - এবং এই পার্থক্যটিকে উপেক্ষা করে অনেকে বিভ্রান্ত করেছে। বিংশ শতাব্দীর গোড়ার দিকে গণিতের একটি সুন্দর উপপাদ্য, লেবেসগু পচানোর উপপাদ্যটি দেখায় যে কীভাবে সমস্ত বিতরণ কার্যগুলি তিনটি স্বতন্ত্র ধরণের সমন্বয়ে ধারণ করা যায়: "অবিচ্ছিন্ন" (যা আরও নিখরচর এবং ধারাবাহিক তবে এসি নয়, আরও বিভক্ত) এবং "বিযুক্ত। "

— হোবার

আপনি যে ভয় পেয়েছেন তা খুব ভাল নয়

— আকসকল

এখানে সমস্ত প্রতিক্রিয়ার জন্য, আপনাকে ধন্যবাদ (যদিও কিছু আমার মাথার উপর দিয়ে গেছে আমি স্বীকার করব)। এই প্রশ্নটি পর্যালোচনা করার সাথে সাথে আমার সম্ভবত এটি উল্লেখ করা উচিত যা আমি এটির ভুল ব্যাখ্যা দিয়েছি: "একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটি সীমাবদ্ধ স্বতন্ত্র মান গ্রহণ করতে পারে" উল্লেখ করে একটি সত্য / মিথ্যা প্রশ্ন সত্য বলে বিবেচিত হয়; বিবৃতি "একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মূল বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি" এর ব্যাখ্যা সহ with আমরা যদি কৃষকদের কাছে কতটা গবাদিপশুের মালিকানা জিজ্ঞাসা করেছিলাম তবে এটির আগেই সংখ্যাটি বেঁধে রাখা অসম্ভব, এটি তাত্ত্বিকভাবে অসীম তবে বিচ্ছিন্ন ...?

— জেমস

Answer 1

যদি আপনার কোর্সটি এটাই বলে থাকে তবে এটি ভুল।

পৃথক বিতরণে সীমাবদ্ধ সংখ্যক সম্ভাব্য ফলাফল থাকতে পারে, তবে তাদের প্রয়োজন হয় না; আপনার একটি পৃথক বিতরণ থাকতে পারে যার অসীম সংখ্যক সম্ভাব্য ফলাফল রয়েছে - উপাদানগুলির সংখ্যা গণনার চেয়ে বেশি হওয়া উচিত।

একটি সাধারণ উদাহরণ জ্যামিতিক বিতরণ হবে; আপনি মাথা না পাওয়া পর্যন্ত একটি ন্যায্য মুদ্রার টসসের সংখ্যা বিবেচনা করুন। প্রয়োজনীয় টসসের সংখ্যার উপর কোনও সীমাবদ্ধ উপরের আবদ্ধ নেই। এটিতে 1 টস, বা 2, বা 3, বা 100 বা অন্য কোনও সংখ্যা লাগতে পারে।

একটি পৃথক বিতরণ নেতিবাচক হতে পারে (দুটি যেমন জ্যামিতিক-বিতরণ এলোমেলো ভেরিয়েবলের মধ্যে পার্থক্য বিবেচনা করুন; এটি কোনও ধনাত্মক বা নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যার হতে পারে)।

একটি পৃথক বিতরণ পূর্ণসংখ্যার উপরের হতে হবে না, যদিও আমার উদাহরণের মতো। এটি কেবল একটি সাধারণ পরিস্থিতি, প্রয়োজন নয়।

Comments

তাহলে আসল শর্তটি যা বিতরণকে "বিচ্ছিন্ন" করে তোলে? :)

— ম্যাথু ড্রুরি

অবস্থাটি হ'ল এটির লেবেসগু পরিমাপ শূন্য, এটি কি @ মাতৃড্রুরি নয়? যা ঘুরে ফিরে বেশিরভাগ একটি গণনাযোগ্য সেটকে বিতরণের যোগফলের সমান।

— থের্কেল

আমাকে অবশ্যই স্বীকার করতে হবে যে আমি ক্যানোনিকাল সংজ্ঞাগুলি জানি না। আমি এই সমস্ত জড় পয়েন্ট ভূমিকা সম্পর্কে কৌতূহলী।

— ম্যাথু ড্রুরি

@ থার্কেল আমি ভাবব ক্যান্টর সেট উপর বিতরণ "বিযুক্ত" হিসাবে বিবেচিত হবে না।

— সংগৃহীত

En.wikedia.org/wiki/Countable_set চেক করার পরে আমি এটিকে উত্তর হিসাবে গ্রহণ করে খুশি; জ্যামিতিক বিতরণের উদাহরণটি পরিষ্কার, এবং এটি এখনও অবদান হওয়া প্রতিক্রিয়াগুলির sensক্যমতের প্রতিনিধিত্ব করে বলে মনে হচ্ছে।

— জেমস

Answer 2

আমি একটি উত্তর লিখছি, সেই পরিপ্রেক্ষিতের সাথে যে পরিমাপ-তাত্ত্বিক সম্ভাবনার সম্পর্কে আমার কাছে কেবল খুব নির্লিপ্ত ধারণা রয়েছে (সুতরাং বিশেষজ্ঞরা, দয়া করে আমাকে সংশোধন করুন!)।

একটি (আসল মূল্যবান) র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটি ফাংশন , যেখানে এস একটি নমুনা স্থান।$X: S \to \mathbb{R}$$S$

বিযুক্ত হয় যদি এক্স ( এস ) , এক্স দ্বারাপ্রেরিত এসের চিত্রটিগণনাযোগ্য হয়। এক্স একটানা হলে এক্স একটি হয়েছেএকেবারে একটানা সিডিএফ। (একেবারে ক্রমাগত ক্রিয়াকলাপ সম্পর্কে আমি তেমন কিছুই জানি না, তাই আমি এই বিষয়টিতে বিস্তারিত বলতে পারি না))$X$$X(S)$$S$$X$$X$$X$

যাইহোক, সমস্ত এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি কেবল পৃথক বা অবিচ্ছিন্ন নয়। এখানে "মিশ্র" র্যান্ডম ভেরিয়েবল রয়েছে, যেখানে এর একটি সিডিএফ রয়েছে যা একটি ধাপের ফাংশনের যোগফল এবং সূচকগুলি সহ অবিচ্ছিন্ন ফাংশন।$X(s)$

আপনার এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি থাকতে পারে যা ক্যান্টর বিতরণের মতো আলাদা বা অবিচ্ছিন্ন নয় ।

Comments

আপনি একেবারে অবিচ্ছিন্ন বিতরণগুলি সম্পর্কে যথেষ্ট পরিমাণে জানেন, কারণ (প্রায় সংজ্ঞা অনুসারে) একটি সম্পূর্ণ অবিচ্ছিন্ন বিতরণ এমন একটি যা ঘনত্ব রয়েছে। ঘনত্ব নেই এমন অবিচ্ছিন্ন বিতরণ রয়েছে: প্রত্নতাত্ত্বিক উদাহরণটি ক্যান্টোর ফাংশন দ্বারা প্রেরিত বিতরণ ।

— হোবার

যদি গণনাযোগ্য চিত্রটির একটি সংশ্লেষ থাকে তবে আমরা কি এখনও এর বিযুক্ত বলতে পারি?

— ম্যাথু ড্রুরি

@ ম্যাথু হ্যাঁ উদাহরণটি আমি অন্য মন্তব্যে উল্লেখ করেছি ( stats.stackexchange.com/a/104018/919 ), যা স্পষ্টতই পৃথক (গণনাযোগ্য সংখ্যার প্রত্যেকেরই একটি ননজারো সম্ভাবনা থাকে, সুতরাং এর বিতরণ কার্যটি জাম্প ছাড়া কিছুই থাকে না) সম্পূর্ণ বিরতি এর জমা পয়েন্টগুলির সেট করার জন্য। $[0,1]$

— হোবার

Answer 3

অবিচ্ছিন্ন এবং পৃথক পৃথক ভেরিয়েবলগুলিতে উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠাটি উদ্ধৃত করতে :

যদি এটি [চলক] দুটি নির্দিষ্ট বাস্তব মান গ্রহণ করতে পারে যেমন এটি তাদের মধ্যে থাকা সমস্ত বাস্তব মানও গ্রহণ করতে পারে (এমনকি মানগুলি যা নির্বিচারে একত্রে কাছাকাছি থাকে)), পরিবর্তনশীল সেই ব্যবধানে অবিচ্ছিন্ন থাকে

অতএব, একটি স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি 'সীমাবদ্ধ সংখ্যার বিকল্প' থাকতে হবে না, তবে সম্ভাব্য মানের মধ্যে একটি অসীম ফাঁক থাকা দরকার। এটি পূর্ণসংখ্যার বিতরণের ক্ষেত্রে এটি যেহেতু দুটি প্রতিবেশী পূর্ণসংখ্যার মধ্যে 'দূরত্ব' 1 এবং এটির চেয়ে কম হতে পারে না। সুতরাং ভেরিয়েবল অবিচ্ছিন্ন নয় কারণ এই ফাঁকগুলির মধ্যে এটি 'চালিয়ে' যায় না does

সম্পাদনা: আমি জানি যে এর উত্তর দেওয়ার সম্ভবত আরও ভাল এবং / বা আরও সুনির্দিষ্ট উপায় রয়েছে তবে এটি ব্যক্তিগতভাবে পার্থক্যটি বুঝতে আমাকে সহায়তা করেছিল।

Comments

কেবলমাত্র, স্বজ্ঞাততার জন্য উইকিপিডিয়া বৈশিষ্ট্যটি ঠিক আছে তবে বেশিরভাগ অন্যান্য উদ্দেশ্যে এটি সঠিক নয়। "অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল" এর একটি গুরুত্বপূর্ণ দিক যা এটি বাদ দেয় (বেশিরভাগের মধ্যে) এটি নির্ভর করে$0$$1.$

কিছু লেখক বলেছেন যে মানগুলি যেগুলি নির্বিচারে একত্রে কাছাকাছি আসে পৃথক হয় না, তবে আমি অবশ্যই স্বীকার করব যে আমি এটিকে অদ্ভুত বলে মনে করি (যদিও আমি কিছু মিস করছি)। উদাহরণ দুটি পয়সন এলোমেলো পরিবর্তনের বর্গক্ষেত্রের পার্থক্যের বিতরণ (ডাব্লিউ। রিয়েল অ্যাপ্লিকেশন: বিভিন্নতা স্থিতিশীল করতে লোকে কখনও কখনও পোয়েসন বলে বিবেচিত ভেরিয়েবলগুলির সাথে বর্গক্ষেত্র গ্রহণ করে এবং জোড়-পার্থক্য কেন্দ্রীভূত কিনা তাতে আগ্রহী হতে পারে শূন্য)। মানগুলি এ জাতীয় পরিবর্তনের সাথে একচ্ছত্র কাছাকাছি থাকতে পারে তবে সেগুলি সর্বদা স্বতন্ত্র (আপনি প্রত্যেকেই গণনা করতে পারেন), ... সিটিডি

— Glen_b -Reninstate মনিকা

সিটিডি ... এবং এটি গ্রহণ করা সমস্ত মানগুলির ইতিবাচক সম্ভাবনা থাকে। এর আরও সহজ উদাহরণ হ'ল জ্যামিতিক এলোমেলো ভেরিয়েট এক্স (ট্রায়ালের সংখ্যা) এর পারস্পরিক : যে কোনও ε > $Y=1/X$$X$$ε>0$$X$$Y$

@ গ্লেন এই লেখকরা "বিযুক্ত" এর দুটি ভিন্ন ধারণাটিকে বিভ্রান্ত করে দেখায়: একটি হ'ল এখানে আলোচিত পরিমাপ-তাত্ত্বিক ধারণা এবং অন্যটি হ'ল $A$$A$

আমি মনে করি এটি আমার মাথায় ছিল একটি মিশ্রণ। আমি একজন প্রশিক্ষিত টপোলজিস্ট, তাই আমি যখন শুনি তবে স্পষ্টতই টপোলজিকাল প্রসঙ্গে বেজে ওঠে। @ হোবারকে স্পষ্ট করার জন্য ধন্যবাদ

— ম্যাথু ড্রুরি