গামা বিতরণ থেকে পরিসংখ্যান স্বাধীন

9

যাক গামা বন্টন থেকে একটি র্যান্ডম নমুনা হতে । $X_1,...,X_n$ $\mathrm{Gamma}\left(\alpha,\beta\right)$

যাক এবং , নমুনা গড় এবং নমুনা ভ্যারিয়েন্স হতে যথাক্রমে। $\bar{X}$ $S^2$

তারপরে প্রমাণ করুন বা প্রমাণ করুন যে এবং স্বতন্ত্র। $\bar{X}$ $S^2/\bar{X}^2$

আমার চেষ্টা: যেহেতু , আমাদের এবং , তবে আমি কীভাবে তাদের মধ্যে স্বাধীনতা প্রতিষ্ঠা করব? $S^2/\bar{X}^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i}{\bar{X}}-1\right)^2$ $\bar{X}$ $\left(\frac{X_i}{\bar{X}} \right)_{i=1}^{n}$

— bellcircle
সূত্র

2

যৌথ Laplace সমষ্টি রুপান্তর বিবেচনা করুন

U := \sum_{i} X_{i}

$U:= \sum_i X_i$ ও ভেক্টর

W

$\mathbf{W}$ অনুপাত

W_{i} := X_{i} / U

$W_i := X_i / U$ । এটি হ'ল

E {\exp [- t U - z^{⊤} W]}

$\text{E}\{\exp[-tU - \mathbf{z}^\top \mathbf{W}]\}$ ; আপনি দেখাতে পারেন যে এই একটি ফাংশন এর পণ্য

t

$t$ এবং একটি ফাংশন

z

$\mathbf{z}$ ।

— ইয়ভে

@ হ্যাঁ আপনি নীচে পোস্ট করা আমার উত্তর চেক করতে পারেন?

— বেলকোর্চাল

4

অবিচ্ছেদ্য জন্য একটি বুদ্ধিমান, সাধারণ, স্বজ্ঞাগতভাবে সুস্পষ্ট বিক্ষোভ আছে $\alpha.$ এটি কেবল ইউনিফর্ম বিতরণ, গামা বিতরণ, পোইসন প্রক্রিয়া এবং এলোমেলো ভেরিয়েবলের সুপরিচিত বৈশিষ্ট্যগুলির উপর নির্ভর করে এবং এটি এর মতো চলে:

প্রতিটি একটি পইসন প্রক্রিয়াটির পয়েন্টগুলি উপস্থিত হওয়া পর্যন্ত অপেক্ষা করার সময় । $X_i$ $\alpha$
এর যোগফল সেই প্রক্রিয়াটির পয়েন্টগুলি না হওয়া পর্যন্ত অপেক্ষা করার সময় । আসুন এই পয়েন্টগুলিকে $Y = X_1+X_2+\cdots + X_n$ $n\alpha$ $Z_1, Z_2, \ldots, Z_{n\alpha}.$
শর্তসাপেক্ষে , প্রথম পয়েন্টগুলি থেকে মধ্যে স্বতন্ত্রভাবে সমানভাবে বিতরণ করা হয় $Y$ $n\alpha-1$ $0$ $Y.$
অতএব অনুপাত স্বাধীনভাবে অবিশেষে মধ্যে বিতরণ করা হয় এবং বিশেষ করে, তাদের ডিস্ট্রিবিউশন উপর নির্ভর করে না $Z_i/Y,\ i=1,2,\ldots, n\alpha-1$ $0$ $1.$ $Y.$
ফলে, কোনো (পরিমাপযোগ্য) এর ফাংশন স্বাধীন $Z_i/Y$ $Y.$
এই জাতীয় ফাংশনগুলির মধ্যে (যেখানে বন্ধনী বোঝাতে অর্ডার পরিসংখ্যান এর )।
$\begin{aligned} X_{1} / Y & = Z_{[α]} / Y \\ X_{2} / Y & = Z_{[2 α]} / Y - Z_{[α]} / Y \\ \dots \\ X_{n - 1} / Y & = Z_{[(n - 1) α]} / Y - Z_{[(n - 2) α]} / Y \\ X_{n} / Y & = 1 - Z_{[(n - 1) α]} / Y \end{aligned}$ $\eqalign{X_1/Y &= Z_{[\alpha]}/Y\\ X_2/Y &= Z_{[2\alpha]}/Y - Z_{[\alpha]}/Y\\ \ldots\\ X_{n-1}/Y &= Z_{[(n-1)\alpha]}/Y - Z_{[(n-2)\alpha]}/Y\\ X_n/Y &= 1 - Z_{[(n-1)\alpha]}/Y}$ $[]$ $Z_i$

এই মুহুর্তে, কেবল লক্ষ্য করুন যে একটি (পরিমাপযোগ্য) ফাংশন হিসাবে স্পষ্টভাবে লেখা যেতে পারে এবং তাই therefore স্বতন্ত্র $S^2/\bar X^2$ $X_i/Y$ $\bar X = Y/n.$

— whuber
সূত্র

3

আপনি প্রমাণ করতে হবে যে গড় চান এবং rv.s স্বাধীন, বা equivalently যে সমষ্টি হয় এবং অনুপাত হয় স্বাধীন। আমরা অভিমানী যে সামান্য আরও সাধারণ ফলাফলের প্রমাণ করতে পারেন সম্ভবত বিভিন্ন আকার আছে , কিন্তু একই স্কেল যা গণ্য করা যাবে । $\bar{X}$ $n$ $X_i/\bar{X}$ $U := \sum X_i$ $n$ $W_i := X_i / U$ $X_i$ $\alpha_i$ $\beta>0$ $\beta = 1$

এবং অর্থাত্, এর যৌথ ল্যাপ্লেস রূপান্তর বিবেচনা করুন এটি একটি মাত্রিক অবিচ্ছেদ্য হিসাবে প্রকাশ করে যেখানে ধ্রুব আপেক্ষিক আমরা যদি সেটিংস এর দ্বারা অবিচ্ছেদ্য চিহ্ন অধীনে নতুন ভেরিয়েবলের পরিচয় দিন। $U$ $\mathbf{W}=[W_i]_{i=1}^n$

ψ (t, z) := E {\exp [- t U - z^{⊤} W} = E {\exp [- t \sum_{i} X_{i} - \sum_{i} z_{i} \frac{X_{i}}{U}]}

$\psi(t,\,\mathbf{z}) := \text{E}\{\exp[-tU - \mathbf{z}^\top \mathbf{W}\} = \text{E}\left\{ \exp\left[-t \sum_i X_i - \sum_i z_i \,\frac{X_i}{U} \right] \right\}$

n

$n$

(0, \infty)^{n}

$(0, \infty)^n$

Cst \int \exp [- (1 + t) (x_{1} + \dots + x_{n}) - \frac{z_{1} x_{1} + \dots + z_{n} x_{n}}{x_{1} + \dots + x_{n}}] x_{1}^{α_{1} - 1} \dots x_{n}^{α_{n} - 1} d x

$%% \psi(t,\,\mathbf{z} = \text{Cst} \, \int \exp \left[- (1 + t)(x_1 + \dots + x_n) - \frac{z_1 x_1 + \dots + z_n x_n}{x_1 + \dots + x_n} \right] \, x_1 ^{\alpha_1 - 1} \dots \, x_n^{\alpha_n - 1} \text{d}\mathbf{x}$

x

$\mathbf{x}$

y := (1 + t) x

$\mathbf{y} := (1 + t)\, \mathbf{x}$ , আমরা সহজেই দেখতে যে অবিচ্ছেদ্য দুই ফাংশন একটি পণ্য হিসেবে লেখা যেতে পারে, এক উপর নির্ভর করে অন্যান্য ভেক্টর উপর নির্ভর করে । এটি প্রমাণ করে যে এবং independent স্বতন্ত্র।

t

$t$

z

$\mathbf{z}$

U

$U$

W

$\mathbf{W}$

দাবি পরিত্যাগী । এই প্রশ্নটি লুয়াাক্সের উপপাদ্যকে সমানুপাতিক স্বাধীনতার সাথে সম্পর্কিত , তাই ইউজিন লুয়াকস গামা বিতরণের বৈশিষ্ট্যকরণের নিবন্ধের সাথে । আমি এখানে এই নিবন্ধটির প্রাসঙ্গিক অংশটি উদ্ধৃত করেছি (নাম পি 324), স্বরলিপিগুলির কিছু পরিবর্তন নিয়ে। জটিল সংখ্যা জড়িত ভেরিয়েবলের পরিবর্তন এড়াতে আমি ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মের দ্বারা বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনটির ব্যবহারও প্রতিস্থাপন করেছি।

— ইভস
সূত্র

1

(+1) গামা বিতরণের বৈশিষ্ট্য সম্পর্কিত কাগজের জন্য।

— জেদীআটম

1

যাক । দ্রষ্টব্য যে হ'ল একটি আনুষঙ্গিক পরিসংখ্যান , অর্থাৎ এর বিতরণ উপর নির্ভর করে না । $U=\sum_i X_i$ $(X_i /U)_i$ $\beta$ $\beta$

যেহেতু সম্পূর্ণ পরিসংখ্যান , তাই এটি বসুর উপপাদ্য অনুসারে কাছে স্বতন্ত্র , সুতরাং উপসংহারটি অনুসরণ করে। $U$ $\beta$ $(X_i /U)_i$

আমি আনুষঙ্গিক পরিসংখ্যান তৈরির বিষয়ে নিশ্চিত নই, কারণ এটি কেবলমাত্র নয়,, স্বাধীন । $\beta$ $\alpha$

— bellcircle
সূত্র

ভাল. এক-পরামিতি পরিসংখ্যানের মডেল বিবেচনা করে উপপাদ্যটিকে হিসাবে স্থির হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে ।

α

$\alpha$

— ইয়ভেস