পি-আদর্শ বল থেকে অভিন্ন শব্দের উত্পন্ন করুন ( )

Question

আমি এমন একটি ফাংশন লেখার চেষ্টা করছি যা একটি সমানভাবে বিতরিত শব্দ উত্পন্ন করে যা ডাইমেনশনের পি-আদর্শ বল থেকে আসে :$n$

$$\begin{equation} ||x||_p \leq r \end{equation}$$

আমি চেনাশোনাগুলির জন্য সম্ভাব্য সমাধানগুলি খুঁজে পেয়েছি ( $p = 2$ ) ( http://mathworld.wolfram.com/DiskPointPicking.html ) তবে পি এর বিভিন্ন মানের জন্য এটি প্রসারিত করতে আমার সমস্যা হচ্ছে $p$।

আমি এটি একটি ইউনিফর্ম বিতরণ থেকে কেবল এলোমেলো নমুনা অঙ্কন করে করার চেষ্টা করেছি এবং যখন প্রদত্ত সীমাবদ্ধতাটি পূরণ না করে তখন পুনরায় আঁকতে। তবে এটি একটি কুৎসিত সমাধান হওয়ার পাশাপাশি এটি উচ্চ মাত্রার জন্য কম্পিউটেশনালভাবে অপরিহার্যও হয়ে যায়।

Comments

উত্তরটি এখানে ইউক্লিডিয়ান দূরত্ব (পি = 2) ব্যবহার করে একটি গোলকের জন্য খুঁজে পাওয়া যাবে গণিত.স্ট্যাকেক্সেঞ্জঞ্জ / প্রশ্নগুলি / ৮72২৩০/২ তবে আমি কীভাবে বিভিন্ন পি- নর্মগুলির জন্য এটি ব্যবহার করব তা এখনও নিশ্চিত নই, আমি কি পারি কেবল ব্যবহৃত ইউক্লিডিয়ান দূরত্বকে দূরত্বের জন্য আলাদা সম্পর্কের ক্ষেত্রে পরিবর্তন করতে চান?

— তাইকে দে হান

প্রচুর কাগজপত্র রয়েছে তবে বেশিরভাগ পে-ওয়াল পিছনে রয়েছে: link.springer.com/article/10.1007/s00184-011-0360-x বা google.com/… দেখুন

— kjetil b halvorsen

"ইউনিফর্ম" শ্রদ্ধার সাথে কোন ভলিউম মেট্রিক? সর্বোপরি, আপনি যদি বল ব্যবহার করেন তবে ইউক্লিডিয়ান আয়তন কেন আগ্রহী হবে? $p$

— হোবার

@ তবে আমি নির্দ্বিধায় নিশ্চিত নই যেহেতু এই কার্যভারে স্পষ্টভাবে বলা হয়নি, তবে আমি পি-নর্মের বিষয়ে আশা করব যেহেতু অন্য কোনও মেট্রিক এ ক্ষেত্রে নির্বিচারে বলে মনে হচ্ছে।

— তাইকে দে হান

সমস্যাটি একটি মেশিন লার্নিং অ্যাসাইনমেন্ট থেকে আসে; "সমস্যাটি 204 মাত্রায় দ্বি-শ্রেণীর শ্রেণিবদ্ধকরণ সমস্যা The ছোট লেবেলযুক্ত প্রশিক্ষণ সেটটিতে ক্লাস প্রতি 50 টি নমুনা থাকে The লেবেলযুক্ত ডেটা 20,000 অতিরিক্ত নমুনা সরবরাহ করে These এই নমুনাগুলি অবশ্য কোনও ধরণের দুর্নীতির মধ্য দিয়ে গেছে The শুধুমাত্র অতিরিক্ত তথ্য আমরা এই দুর্নীতির বিষয়ে আছে, য়েন যুত অভিন্ন গোলমাল হয় এবং গোলমাল একটি নির্দিষ্ট P-আদর্শ বল থেকে আসে যে, , যেখানে উভয় এবং ব্যাসার্ধ অজানা। " লেবেলযুক্ত ডেটাতে আমার সর্বনিম্ন ত্রুটি হার পাওয়া উচিত। p $||x||_p \leq r$$p$$r$

— তাইকে দে হান

Answer 1

Kjetil b halvorsen ( https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?arnumber=758215 ) দ্বারা প্রস্তাবিত হিসাবে আমি একটি কাগজে পুরো সমাধানটি পেয়েছি । এর পিছনে গণিতটি বুঝতে আমার সত্যিই সমস্যা হচ্ছে, তবে পরিণামের অ্যালগরিদম মোটামুটি সহজ। আমাদের যদি মাত্রা থাকে তবে একটি ব্যাসার্ধ এবং এর চেয়ে সাধারণ :আর $n$$r$$p$

1) স্বতন্ত্র এলোমেলো প্রকৃত স্কেলারগুলি উত্পন্ন করুন ps , যেখানে সাধারণ গাউসীয় বিতরণ (এতে আলাদা পাওয়ার সহ) এক্সপোশনটি just এর পরিবর্তে কেবল )ε i = ˉ জি ( 1 / পি , পি ) ˉ জি ( μ , σ 2 ) ই - | এক্স | পি পি = $n$$\varepsilon_i = \bar{G}(1/p, p)$$\bar{G}(\mu, \sigma^2)$$e^{−|x|^p}$$p=2$

2) গঠন করা ভেক্টর উপাদান , যেখানে স্বাধীন র্যান্ডম লক্ষণগুলি আমি * ε আমি গুলি $x$$s_i * \varepsilon_i$$s_i$

3) জেনারেট করুন , যেখানে একটি এলোমেলোভাবে পরিবর্তনশীল যা ব্যবধানে সমানভাবে বিতরণ করা হয় [0, 1]।$z = w^{1/n}$$w$

4)$y = r z \frac{x}{||x||_p}$

Comments

সম্পূর্ণতার জন্য, আপনি বলতে পারতাম কি আপনার উত্তর? $G$

— স্টাফেন লরেন্ট

এটি আপডেট করা হয়েছে

— তাইকে দে হান

জি হ'ল জেনারালাইজড গাউসীয় বিতরণ (এক্সপোনেন্টে পরিবর্তে কেবল পরিবর্তে ) এটি ভেক্টরের জন্য বিতরণ করবে for multiple, একাধিক স্বতন্ত্র জেনারেলাইজড গাউসীয় বিতরণ ভেরিয়েবল সমন্বয়ে তৈরি করা হবে , যা পি-আদর্শের উপর নির্ভরশীল একক পিডিএফসের পণ্য। পি = 2 x এর এক্স আমি চ ( এক্স ) α ই - | এক্স | পি $e^{-|x|^p}$$p=2$$\mathbf{x}$$x_i$ $$f(\mathbf{x}) \propto e^{-\vert \mathbf{x} \vert_p^p}$$

— সেক্সটাস এম্পেরিকাস

@ মার্তিজজন ওয়েটারিংস অনেক ধন্যবাদ, এটি আপডেট করা হয়েছে।

— তাইকে দে হান

ধন্যবাদ। তথ্যের জন্য, আর প্যাকেজ pgnorm মধ্যে এই বিতরণ একটি নমুনা আছে ।

— স্টাফেন লরেন্ট

Answer 2

একজাতভাবে বিতরণ করা মাল্টিভারিয়েট ভেরিয়েবলগুলি ব্যবহার করা

তাইকে একটি নিবন্ধের লিঙ্ক সরবরাহ করেছে যা নীচের পাঠ্যটি বিশেষত ২-আদর্শ এবং 1-আদর্শ ক্ষেত্রে ব্যাখ্যা করে আরও স্বজ্ঞাগত করে তোলে।

$\Vert x \Vert_2 \leq r$

নমুনা দিক

আপনি এই ফলাফলটি http://mathworld.wolfram.com/HyperspherePointPicking.html ব্যবহার করতে পারেন

একটি মাল্টিভারিয়েট গাউসীয় বিতরণযোগ্য ভেরিয়েবল (সনাক্তকরণ কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স সহ) কেবলমাত্র দূরত্ব বা স্কোয়ারের যোগফলের উপর নির্ভর করে।$X$

$$f(X_1,X_2,...,X_n) = \prod_{1\leq i \leq n} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{1}{2}x_i^2} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{1}{2}\sum_{1 \leq i \leq n} x_i^2}$$

সুতরাং n- মাত্রিক- পৃষ্ঠে সমানভাবে বিতরণ করা হয়।$\frac{X}{\Vert X \Vert_2}$

---

নমুনা দূরত্ব

সম্পূর্ণ করার জন্য আপনাকে কেবল দূরত্বের নমুনা করতে হবে, গোলকের একজাতীয় বিতরণকে একটি বলের একজাতীয় বিতরণে পরিবর্তন করতে হবে। (যা ডিস্ক পয়েন্ট বাছাইয়ের জন্য আপনার লিঙ্কযুক্ত উদাহরণের মতো কম-বেশি মিল)

আপনি যদি কেবল অভিন্ন বিতরণ হিসাবে কে নমুনা দিতেন তবে কেন্দ্রের কাছে আপনার তুলনামূলকভাবে উচ্চতর ঘনত্ব থাকবে ( as হিসাবে ভলিউম স্কেলগুলি তাই বিন্দুগুলির একটি ভগ্নাংশ একটি ভলিউম এ শেষ হবে , যা আরও ঘন কেন্দ্রের কাছাকাছি এবং একটি অভিন্ন বিতরণ বোঝায় না)r n r r $r$$r^n$$r$$r^n$

পরিবর্তে আপনি যদি অভিন্ন বিতরণ থেকে নমুনাযুক্ত একটি ভেরিয়েবলের তম মূল ব্যবহার করেন তবে আপনি একটি এমনকি বিতরণ পাবেন।$n$

1-আদর্শ$\Vert x \Vert_1 \leq r$

অভিমুখ

এক্ষেত্রে আপনি গাউসীয় বিতরণের পরিবর্তে ল্যাপ্লেস বিতরণ থেকে নমুনা এবং 1-আদর্শ অনুসারে ভাগ করে নিন। অবিশেষে এন-মাত্রিক 1-আদর্শ গোলক উপর বিতরণ করা হয়।$X$$\frac{X}{\vert X \vert_1}$

আমার কাছে কোনও প্রথাগত প্রমাণ নেই, কেবল স্বজ্ঞাততা

^{(যেহেতু পিডিএফ অবস্থান থেকে স্বতন্ত্র, আপনি যে কোনও অনন্য ক্ষেত্র / ভলিউমের একই 1-আদর্শের সাথে একই সম্ভাবনা এবং আপনি ইউনিট পৃষ্ঠের সাথে একই ভেঙে গেলে )f ( x ) d $f(x) dV$$f(x) dA$}

তবে সিমুলেশনগুলির সাথে পরীক্ষা করা ভাল দেখায়।

library(rmutil)
x <- abs(rlaplace(20000))
y <- abs(rlaplace(20000))
z <- abs(rlaplace(20000))
rn <- abs(x)+abs(y)+abs(z)

xi <- (x/rn)
yi <- (y/rn)
zi <- (z/rn)
plot(sqrt(0.5)*(xi-yi),
     sqrt((0.5-0.5*(xi+yi))^2+zi^2),
     pc=21,bg=rgb(0,0,0,0.02), col=rgb(0,0,0,0),cex=1)

দূরত্ব

দূরত্বটি 2-আদর্শের ক্ষেত্রে একই রকম হয় (ভলিউমটি এখনও হিসাবে স্কেল করে )।$r^n$

পি-আদর্শ$\Vert x \Vert_p \leq r$

এই ক্ষেত্রে, আপনি যদি একই নীতিটি অনুসরণ করতে চান, আপনাকে (I দিয়ে বিতরণগুলি থেকে নমুনা নিতে হবে । এগুলি সাধারণ বিতরণগুলি সাধারণ হয় এবং সম্ভবত তায়েকের দ্বারা বর্ণিত বিতরণের সাথে সম্পর্কিত ।$f(x) \propto e^{\vert x \vert^p}$$G()$

Comments

$p$

$n$$r$$p$$z = w^{1/n}$$w$$y = r z \frac{x}{||x||_p}$