যখন কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তত্ত্ব এবং বৃহত সংখ্যার আইন একমত হয় না

Question

এটি মূলত গণিতের উপরে আমি যে প্রশ্নের উত্তর পেয়েছি তারই একটি প্রতিলিপি , যা আমি প্রত্যাশিত উত্তর পাই নি।

যাক $\{ X_i \}_{i \in \mathbb{N}}$ স্বাধীন, অভিন্নরুপে বিতরণ র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটা ক্রম, সাথে থাকতে এবং ।$\mathbb{E}[X_i] = 1$$\mathbb{V}[X_i] = 1$

মূল্যায়ন বিবেচনা করুন

$$\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i \leq \sqrt{n}\right)$$

এই অভিব্যক্তিটি হেরফের হতে হবে যেহেতু, অসমতার ঘটনার উভয় পক্ষই অসীমের দিকে ঝুঁকছে।

ক) সাবস্ক্রেকশন চেষ্টা করুন

সীমাবদ্ধ বিবৃতি বিবেচনা করার আগে, উভয় পক্ষ থেকে \ sqrt {n sub বিয়োগ করুন $\sqrt{n}$:

$$\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i -\sqrt{n} \leq \sqrt{n}-\sqrt{n} \right) = \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n (X_i - 1) \leq 0\right) \\ = \Phi(0) = \frac{1}{2}$$

সিএলটি কর্তৃক শেষ সমতা, যেখানে hi $\Phi()$ হ'ল আদর্শ বিতরণ ফাংশন।

খ) বহুগুণ চেষ্টা করুন

উভয় পক্ষকে 1 / q sqrt {n} $1/\sqrt{n}$

$$\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac {1}{\sqrt{n}}\cdot \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i \leq \frac {1}{\sqrt{n}}\cdot\sqrt{n} \right) = \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \leq 1\right)$$

$$= \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\bar X_n \leq 1\right) = \lim_{n \to \infty}F_{\bar X_n}(1) = 1$$

যেখানে $F_{\bar X_n}()$ হ'ল নমুনার বিতরণ ফাংশনটি হ'ল $\bar X_n$ , যা এলএলএন দ্বারা সম্ভাব্যতার (এবং তাই বিতরণেও) ধ্রুবক 1 এ রূপান্তর করে $1$, তাই শেষ সমতা।

সুতরাং আমরা বিরোধী ফলাফল পেতে। কোনটি সঠিক? আর অন্যটি কেন ভুল?

Comments

@ জুহোকোকলা অবশ্যই, এখানে, গণিত.স্ট্যাকেক্সেঞ্জার / কিউ / ২৮৩০৩০৪/৮74৪০০ সেখানে ওপি-র ভুলটিকে উপেক্ষা করুন।

— অ্যালেকোস পাপাদোপ্লোস

আমি মনে করি যে সমস্যাটি দ্বিতীয় বিবৃতিতে

— এলএলএনকে অনুরোধ

আমি আপনাকে চূড়ান্ত সাম্যতা অবধি অনুসরণ করেছিলাম। কারণ আমরা আশা স্পষ্ট ভুল হয়, সূক্ষ পরিমাপক বৃহৎ জন্য এবং সেইজন্য তার সীমা সমান করা উচিত নয় এটি অভিপ্রেত যৌক্তিকতা কী? এটি আমি জানি যে প্রচুর সংখ্যক আইনের কোনও সংস্করণের বিবৃতি নয়। $\mathbb{P}(\bar X_n\le 1)$$1/2$$n$$1.$

— whuber

@ হুবুহু মনে করা যায় যে, নমুনার জন্য সমস্ত সম্ভাব্যতা মান তে মনোনিবেশ করে । যদি এটি ভুল হয় তবে আমি বিশ্বাস করি যে উত্তরের জন্য ভুলটির বিশদ বিবরণ দেওয়া গুরুত্বপূর্ণ, এটাই এই প্রশ্নের উদ্দেশ্য। $1$

— অ্যালেকোস পাপাদোপ্লোস

আলেকোস, আমার উদ্বেগ চূড়ান্ত পদক্ষেপটি ভুল কিনা তা নয়: এটি এটি তৈরির জন্য আপনার কারণগুলি নিয়ে উদ্বেগ প্রকাশ করে। সব কি পরে প্রশ্ন না হয়? আমি এখনও আপনার কাছ থেকে এই কারণগুলি দেওয়ার জন্য কিছু পড়িনি এবং সেগুলি কী হতে পারে তা অনুমান করতেও আমি দ্বিধা বোধ করব। যদিও আপনি একটি "এলএলএন," উল্লেখ করেছেন, আমি বিশ্বাস করি যে আপনার সমস্যার সমাধান সম্ভবত আপনি "এলএলএন" বোঝার জন্য যা বোঝেন তা সুনির্দিষ্টভাবে বর্ণনা করার ক্ষেত্রে মিথ্যা বলে মনে হতে পারে।

— whuber

Answer 1

ত্রুটি এখানে নিম্নলিখিত আসলে সম্ভাবনা থাকে: বিতরণে অভিসৃতি পরোক্ষভাবে ধরে নেয় যে র দিকে এগোয় এ ধারাবাহিকতা পয়েন্ট । যেহেতু সীমা বিতরণ একটি ধ্রুব র্যান্ডম ভেরিয়েবলের হয় তাই এর এ ঝাঁপ দেওয়া বন্ধ হয়ে যায় , সুতরাং সিডিএফ রূপান্তরিত করে এমন সিদ্ধান্তে পৌঁছানো ভুল হবে । F n ( x ) F ( x ) F ( x ) x = 1 F ( x ) = $F_n(x)$$F(x)$ $F(x)$$x=1$$F(x)=1$

Comments

বিতরণে আমরা রূপান্তরকে যেভাবে সংজ্ঞায়িত করি তা বিচ্ছিন্নতার বিন্দুতে রূপান্তরকরণের সম্ভাবনা বাদ দেয় না - এটি কেবল প্রয়োজন হয় না ।

— অ্যালেকোস পাপাদোপ্লোস

তবে যদি বিতরণে জন্য রূপান্তরিত হওয়া প্রয়োজন হয় না , তবে প্রশ্নটির ভিত্তিতে শেষ সমতাটি কী? এফ এন ( 1 ) এফ ( 1 $F_n(1)$$F(1)$

— জুহো কোক্কলা

@ জুহো এটি কোনও কিছুর উপর ভিত্তি করে নয় - এটিই বিষয়টির জটিলতা। এমন কোনও উপপাদ্য নেই যা একজনকে প্রশ্নের শেষ সমীকরণ তৈরি করতে দেয়।

— হোবার

@ অ্যালোকোসপ্যাডাপোলোস: আমি কখনও বলিনি যে এটি সম্ভাবনা বাদ দেয় না। আমি সুস্পষ্টভাবে বলছি যে আপনাকে বিতরণে রূপান্তর থেকে আপনাকে যা দেওয়া হয়েছে তার বাইরে শেষ সমতাটি ন্যায়সঙ্গত হওয়া দরকার। উদাহরণস্বরূপ যদি হয় তবে এটি সত্য হবে। $X_n$

— অ্যালেক্স আর

Answer 2

জন্য IID র্যান্ডম ভেরিয়েবল সঙ্গে সংজ্ঞায়িত এখন, CLT বলছেন যে যে জন্য সংশোধন করা হয়েছে বাস্তব সংখ্যার , । OP মূল্যায়নের জন্য ওপি সিএলটি প্রয়োগ করে এক্স আই ই [ এক্স আই ] = ভার ( এক্স আই ) = 1 জেড $X_i$$E[X_i]= \operatorname{var}(X_i)=1$

$$\begin{align}Z_n &= \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n X_i,\\ Y_n &= \frac{1}{{n}}\sum_{i=1}^n X_i. \end{align}$$ $z$$\lim_{n\to\infty} F_{Z_n}(z) = \Phi(z-1)$ $$\lim_{n\to\infty}P\left(Z_n \leq \frac{1}{\sqrt{n}}\right) = \Phi(0) = \frac 12.$$

অপর উত্তরের পাশাপাশি ওপি-র প্রশ্নের বেশ কয়েকটি মন্তব্যে ইঙ্গিত করা হয়েছে, এটি সন্দেহজনক যে is । বিশেষ ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন যখন বিযুক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি এবং সমান সম্ভাবনা taking সহ মান গ্রহণ করে । এখন, নিতে পারেন সব এমনকি মান পূর্ণসংখ্যা এবং তাই যখন হয় বিজোড়, মান নেব না অত: পর এবং মান নিতে পারে না$\lim_{n\to\infty} P(Y_n \leq 1)$$X_i$$0$$2$$\frac 12$$\sum_{i=1}^n X_i$$[0,2n]$$n$$\sum_{i=1}^n X_i$$n$$Y_n = \frac 1n \sum_{i=1}^n X_i$ $1$। তদ্ব্যতীত, যেহেতু এর বিতরণ প্রায় প্রতিসম হয় , আমাদের কাছে এর মান যখনই বিজোড় হয়। সুতরাং, ক্রম সংখ্যার রয়েছে subsequence যাতে সমস্ত পদগুলির মান । অন্যদিকে, subsequence হয় সমকেন্দ্রি করতে । তাই,$Y_n$$1$$P(Y_n \leq 1) = F_{Y_n}(1)$$\frac 12$$n$

$$P(Y_1 \leq 1), P(Y_2 \leq 1), \ldots, P(Y_n \leq 1), \ldots$$ $$P(Y_1 \leq 1), P(Y_3 \leq 1), \ldots, P(Y_{2k-1} \leq 1), \ldots$$ $\frac 12$ $$P(Y_2 \leq 1), P(Y_ 4\leq 1), \ldots, P(Y_{2k} \leq 1), \ldots$$ $1$$\lim_{n\to\infty} P(Y_n \leq 1)$অস্তিত্ব নেই এবং থেকে 1 রূপান্তর করার দাবী অবশ্যই সন্দেহের সাথে দেখা উচিত।$P(Y_n\leq 1)$

Answer 3

আপনার প্রথম ফলাফলটি সঠিক। নিম্নলিখিত ত্রুটিযুক্ত বিবৃতিতে আপনার ত্রুটি দ্বিতীয় অংশে ঘটে:

$$\lim_{n \rightarrow \infty} F_{\bar{X}_n}(1) = 1.$$

এই বিবৃতিটি মিথ্যা (ডান দিকের দিকটি ) এবং এটি বিশাল সংখ্যক আইন থেকে অনুসরণ করে না$\tfrac{1}{2}$ serted বিপুল সংখ্যক দুর্বল আইন (যা আপনি প্রার্থনা করেন) বলেছেন যে:

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} \Big( |\bar{X}_n - 1| \leqslant \varepsilon \Big) = 1 \quad \quad \text{for all } \varepsilon > 0.$$

সমস্ত শর্ত কিছু মান স্প্যান করে যেখানে এবং কিছু মান যেখানে । সুতরাং, এটি এলএলএন থেকে অনুসরণ করে না যে ।$\varepsilon > 0$$|\bar{X}_n - 1| \leqslant \varepsilon$$\bar{X}_n \leqslant 1$$\bar{X}_n > 1$$\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} ( \bar{X}_n \leqslant 1 ) = 1$

Comments

(ভ্রান্ত প্রকৃতপক্ষে) ফলাফলটি "সম্ভাবনার মধ্যে রূপান্তরটি বিতরণে রূপান্তরকে বোঝায়" থেকে বোঝায় from প্রশ্নটি উল্লেখ করে না যে এই দাবিটি সরাসরি এলএলএন থেকে এসেছে।

— অ্যালেকোস পাপাদোপ্লোস

@AlecosPapadopoulos: সম্ভবত কনভার্জেন্স করে বিতরণে অভিসৃতি পরোক্ষভাবে। আবার, কেবলমাত্র ধারাবাহিকতায় বিতরণে সংহতকরণ প্রয়োজন। তবে, সম্ভবত আপনি বোঝাতে চেয়েছিলেন অভিভাবন বিন্যাসের বিন্দু ভিত্তিক বিতরণকে বোঝায় না ।

— অ্যালেক্স আর

@AlexR। আমি নিশ্চিত না যে আপনার আপত্তি কোথায় আছে। আমি বিশ্বাস করি যে এই সমস্যাটি আমার নিজের উত্তরে isাকা আছে।

— অ্যালেকোস পাপাদোপ্লোস

Answer 4

সম্ভাবনার একত্রিতকরণ বিতরণে রূপান্তরকে বোঝায়। কিন্তু ... কি বিতরণ? যদি সীমাবদ্ধ বিতরণটিতে ঝাঁপ দেওয়া বন্ধ হয় তবে সীমাগুলি অস্পষ্ট হয়ে যায় (কারণ একাধিক মান সংযোগ বিচ্ছিন্নভাবে সম্ভব)।

যেখানে হ'ল নমুনার বিতরণ ফাংশনটি হ'ল , যা এলএলএন দ্বারা সম্ভাব্যতায় রূপান্তরিত হয় (এবং তাই বিতরণেও) ধ্রুবক ,$F_{\bar X_n}()$$\bar X_n$$1$

এটি সঠিক নয়, এবং এটিও সঠিকভাবে প্রদর্শন করা সহজ যে (সিএলটি এবং এলএলএন এর মধ্যে মতবিরোধের চেয়ে আলাদা)। সীমাবদ্ধ বিতরণ (যা সাধারণ বিতরণযোগ্য ভেরিয়েবলগুলির ক্রমের সীমা হিসাবে দেখা যায়) হতে হবে:

$$F_{\bar{X}_\infty}(x) = \begin{cases} 0 & \text{for } x<1 \\ 0.5& \text{for } x=1\\ 1 & \text{for } x>1 \end{cases}$$

এই ফাংশনের জন্য আপনার কাছে কোনও এবং প্রতিটি জন্য পার্থক্য পর্যাপ্ত বড় জন্য । এটি যদি পরিবর্তে$\epsilon>0$$x$$|F_{\bar{X}_n}(x)-F_{\bar{X}_\infty}(x)|<\epsilon$$n$$F_{\bar{X}_\infty}(1)=1$$F_{\bar{X}_\infty}(1)=0.5$

---

একটি সাধারণ বিতরণের সীমাবদ্ধতা

বিপুল সংখ্যক আইন প্রয়োগের জন্য ব্যবহৃত সমষ্টিটি স্পষ্টভাবে লিখতে সহায়ক হতে পারে।

$$\bar{X}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \sim N(1,\frac{1}{n})$$

^{জন্য সীমা$n\to \infty$$\hat{X}_n$ যখন এটি ভ্যারিয়েন্স শূন্য যাচ্ছে সাথে স্বাভাবিক বিতরণের সীমা হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা হয় আসলে ডিরাক ডেল্টা ফাংশন সমতুল্য।}

এই অভিব্যক্তিটি ব্যবহার করে সিএলটি-র তৈরি আইনগুলি এলএলএন ব্যবহারের চেয়ে হুডের নীচে কী চলছে তা দেখতে আরও সহজ, যা আইনগুলির পিছনে যুক্তিটিকে অস্পষ্ট করে।

---

সম্ভাবনা রূপান্তর

বিপুল সংখ্যার আইন আপনাকে 'সম্ভাবনায় রূপান্তর' দেয়

$$\lim_{n \to \infty} P(|\bar{X}_n-1|>\epsilon) =0$$

সঙ্গে$\epsilon > 0$

^{কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্যের জন্য with দিয়ে একটি সমমানের বিবৃতি দেওয়া যেতে পারে $\lim_{n \to \infty} P(|\frac{1}{\sqrt{n}}\sum \left( X_i-1 \right)|>\frac{\epsilon}{n}) =0$}

এটি ভুল বলা যায় যে এটি

$$\lim_{n \to \infty} P(|\bar{X}_n-1|>0) =0$$

^{এটি কম সুন্দর যে এই প্রশ্নটি এত তাড়াতাড়ি ক্রস পোস্ট করা হয়েছে (বিভ্রান্তিকর, তবে বিভিন্ন আলোচনার / ম্যাথ বনামের পরিসংখ্যানগুলির কাছে দৃষ্টিভঙ্গি দেখতে আকর্ষণীয়, সুতরাং এটি খুব খারাপ নয়)। উত্তর খুব কার্যকরভাবে বৃহৎ সংখ্যক দৃঢ় আইন পরিপ্রেক্ষিতে এটা দিয়ে গণিত stackexchange পুলিশ মাইকেল হার্ডি দ্বারা (ক্রশ পোস্ট প্রশ্ন ও দিলীপ এখানে drhab থেকে গৃহীত উত্তর হিসাবে একই নীতি)। আমরা প্রায় নিশ্চিত যে একটি সিকোয়েন্স ১ এ রূপান্তর করে তবে এর অর্থ এই নয় যে$\bar{X}_1, \bar{X}_2, \bar{X}_3, ... \bar{X}_n$$\lim_{n \to \infty} P(\bar{X}_n = 1)$1 এর সমান হবে (বা এটি দিলিপ শো হিসাবে উপস্থিতও নেই)। টমসজের মন্তব্যে ডাইস উদাহরণটি এটি ভিন্ন কোণ থেকে খুব সুন্দরভাবে দেখায় (সীমাটি বিদ্যমান না হয়ে সীমাটি শূন্যে যায়)। পাশা রোলগুলির ক্রমটির গড়টি পাশ্বের গড়তে রূপান্তরিত হবে তবে এর সমান হওয়ার সম্ভাবনা শূন্যের দিকে চলে যাবে।}

---

হেভিসাইড স্টেপ ফাংশন এবং ডায়ারাক ডেল্টা ফাংশন

এর সিডিএফ নিম্নলিখিত:$\bar{X}_n$

$$F_{\bar{X}_n}(x) = \frac{1}{2} \left(1 + \text{erf} \frac{x-1}{\sqrt{2/n}} \right)$$

এর সাথে, যদি আপনি চান, ( হেভিসাইড স্টেপ ফাংশন সম্পর্কিত, ডেল্টা ফাংশনের অবিচ্ছেদ্য যখন সীমা হিসাবে দেখা হয়) স্বাভাবিক বন্টন).$\lim_{n \to \infty} F_{\bar{X}_n}(1) = 0.5$

---

আমি বিশ্বাস করি যে এই দৃষ্টিভঙ্গি 'ভুল দেখাতে ভুল করুন' সম্পর্কিত আপনার ধারণাকে স্বজ্ঞাতভাবে সমাধান করে বা কমপক্ষে এটি দেখায় যে সিএলটি এবং এলএলএন-এর এই মতবিরোধের কারণ বোঝার প্রশ্নটি ডাইরাক ডেল্টা ফাংশনের অবিচ্ছেদ্য বোঝার প্রশ্নের সমতুল্য বা বৈকল্পিকের সাথে সাধারণ বিতরণের একটি ক্রম শূন্যে হ্রাস পেয়েছে।

Comments

আপনার সীমিত বিতরণ আসলে কোনও বিতরণ নয়। একটি সিডিএফ অবশ্যই সঠিক ক্রমাগত হতে হবে, যেখানে এটি পরিষ্কারভাবে 1/2 এ নয় । $x=1/2$

— অ্যালেক্স আর

অধিকার ধারাবাহিকতা যে এর প্রয়োজন হবে এমন প্রত্যেকটি যে মনে হয় আমরা আছে ঘটনা হিসেবে করা হয় আমাদের তবে এটি কি আমাদের ক্ষেত্রে সত্য এবং ক্যাচটি কোথায়? সম্ভাবনার অক্ষগুলির ভিত্তিতে এই সঠিক ধারাবাহিকতাটি প্রয়োজনীয় নাকি এটি কেবল একটি কনভেনশন যে সিডিএফ বেশিরভাগ সাধারণ ক্ষেত্রে কাজ করে? $a$$\lim_{n \to \infty} F_{X}(a+\frac{1}{n}) = F_{X}(a)$$X \leq a+\frac{1}{n}$ $$\lim_{n \to \infty} F_{X}(a+\frac{1}{n}) = \lim_{n \to \infty} P(X \leq a+\frac{1}{n}) = P(\lim_{n \to \infty} X \leq a+\frac{1}{n}) = P(X \leq a) = F_{X}(a)$$

— সেক্সটাস এম্পেরিকাস

@ মার্টিন ওয়েটারিংস: এটি হ'ল ঠিক এখান থেকে এসেছে। কোনও বৈধ পরিমাপ অবশ্যই এই একঘেয়েমি ফলাফলগুলি সন্তুষ্ট করতে হবে। এগুলি গণনাযোগ্য সংযোজন সহ এর সীমানার এক পরিণতি । আরো সাধারণভাবে, একটি ফাংশন একটি সিডিএফ (হয় অর্থাত অনুরূপ কিছু বিতরণের মাধ্যমে iff ডান-একটানা হয়, একঘেয়ে হচ্ছে বরাবর , এবং বাম সীমা 0, ডান সীমা থাকা 1$P$$P$$F(x)$$P$$F(b)-F(a)=P(a<X\leq b)$$F$

— অ্যালেক্স আর।

Answer 5

আমি বিশ্বাস করি এটি এখনই পরিষ্কার হওয়া উচিত যে "সিএলটি পদ্ধতির" সঠিক উত্তর দেয়।

"LLN পদ্ধতির" কোথায় ভুল হয়েছে ঠিক ঠিক তা চিহ্নিত করুন Let's

সসীম বিবৃতি দিয়ে শুরু করে, এটি তখন পরিষ্কার যে আমরা সমানভাবে উভয়কেই বিয়োগ করতে পারি √n উভয় পক্ষ থেকে, বা উভয় পক্ষকে1/by দ্বারা বহুলিপি করুন$\sqrt{n}$এন । আমরা পেতে$1/\sqrt{n}$

$$\mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i \leq \sqrt{n}\right)=\mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n(X_i-1) \leq 0\right) = \mathbb{P}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^nX_i \leq 1\right)$$

সুতরাং যদি সীমাটি বিদ্যমান থাকে তবে এটি অভিন্ন হবে। জেড এন = 1 সেট করা হচ্ছে√n ∑ni=1(এক্সi-1), বিতরণ ফাংশন ব্যবহার করে আমাদের রয়েছে$Z_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n(X_i-1)$

$$\mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i \leq \sqrt{n}\right)= F_{Z_n}(0) = F_{\bar X_n}(1)$$

... এবং এটা সত্য যে $\lim_{n\to \infty}F_{Z_n}(0)= \Phi(0) = 1/2$ ।

"LLN অভিগমন" মধ্যে চিন্তা নিম্নরূপ যায়: "আমরা LLN থেকে জানি যে ˉ এক্স এন একটি ধ্রুবক থেকে probabililty মধ্যে এগোয় আর আমরা সেটা জানি।" সম্ভবত অভিসৃতি বিতরণে অভিসৃতি বোঝা "তাহলে,। ˉ এক্স এন এগোয় একটি ধ্রুবক বিতরণ "। এখানে আমরা সঠিক। তারপরে আমরা উল্লেখ করি: "অতএব, rand এক্স n এর সীমাবদ্ধতা সম্ভাব্যতাগুলি 1 টি এলোমেলো ভেরিয়েবলের ধ্রুবকের বিতরণ ফাংশন দ্বারা দেওয়া হয় ",$\bar X_n$$\bar X_n$
$\bar X_n$$1$

$$F_1(x) = \cases {1 \;\;\;\;x\geq 1 \\ 0 \;\;\;\;x<1} \implies F_1(1) = 1$$

... সুতরাং $\lim_{n\to \infty} F_{\bar X_n}(1) = F_1(1) = 1$ ...

... এবং আমরা শুধু আমাদের ভুল করেছি । কেন? কারণ, @ অ্যালেক্সআর হিসাবে । উত্তরে উল্লেখ করা হয়েছে , "বিতরণে রূপান্তর" সীমাবদ্ধ বিতরণ কার্যের ধারাবাহিকতার কেবলমাত্র পয়েন্টগুলিকেই অন্তর্ভুক্ত করে। এবং 1 এফ 1 এর জন্য বিরতি বিন্দু । এর অর্থ এই যে লিম এন → ∞ এফ ˉ এক্স এন ( 1 ) পারে সমান হতে এফ 1 ( 1 ) কিন্তু এটা নাও হতে পারে$1$$F_1$$\lim_{n\to \infty} F_{\bar X_n}(1)$ $F_1(1)$ এলএলএন এর "ধ্রুবককে বিতরণে রূপান্তরিতকরণ" অবহেলা করেও ।

আর CLT পদ্ধতির থেকে যেহেতু আমরা জানি কি সীমা মান হতে হবে ( 1 / 2 )। আমি একটি উপায় প্রমাণ করার জানা নেই সরাসরি যে লিম এন → ∞ এফ ˉ এক্স এন ( 1 ) = 1 / 2 ।$1/2$$\lim_{n\to \infty} F_{\bar X_n}(1) = 1/2$

আমরা কি নতুন কিছু শিখলাম?

আমি করেছিলাম. এলএলএন তা দৃ .়ভাবে জানিয়েছে

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} \Big( |\bar{X}_n - 1| \leqslant \varepsilon \Big) = 1 \quad \quad \text{for all } \varepsilon > 0$$

$$\implies \lim_{n \rightarrow \infty} \Big[ \mathbb{P} \Big( 1-\varepsilon <\bar{X}_n \leq 1\Big) + \mathbb{P} \Big( 1 <\bar{X}_n \leq 1+\varepsilon\Big)\Big] = 1$$

$$\implies \lim_{n \rightarrow \infty} \Big[ \mathbb{P} \Big(\bar{X}_n \leq 1\Big) + \mathbb{P} \Big( 1 <\bar{X}_n \leq 1+\varepsilon\Big)\Big] = 1$$

The LLN does not say how is the probability allocated in the $(1-\varepsilon, 1+\varepsilon)$ interval. What I learned is that, in this class of convergence results, the probability is at the limit allocated equally on the two sides of the centerpoint of the collapsing interval.

The general statement here is, assume

$$X_n\to_p \theta,\;\;\; h(n)(X_n-\theta) \to_d D(0,V)$$

where $D$ is some rv with distribution function $F_D$. Then

$$\lim_{n\to \infty} \mathbb P[X_n \leq \theta] = \lim_{n\to \infty}\mathbb P[h(n)(X_n-\theta) \leq 0] = F_D(0)$$

...which may not be equal to $F_{\theta}(0)$ (the distribution function of the constant rv).

Also, this is a strong example that, when the distribution function of the limiting random variable has discontinuities, then "convergence in distribution to a random variable" may describe a situation where "the limiting distribution" may disagree with the "distribution of the limiting random variable" at the discontinuity points. Strictly speaking, the limiting distribution for the continuity points is that of the constant random variable. For the discontinuity points we may be able to calculate the limiting probability, as "separate" entities.

Comments

The 'lesson learned' perspective is interesting, and this is a good, not too difficult, example for didactic application. Although I wonder what kind of (direct) practical application this thinking about the infinite has, because eventually in practice $n \neq \infty$

— Sextus Empiricus

@MartijnWeterings Martijn, the motivation here was certainly educational, a) as an alert to discontinuities even in such a "flat" situation as the convergence to a constant, and so also in general (they destroy uniform convergence for example), and b) a result on how the probability mass is allocated becomes interesting when the sequence that converges in probabilty to a constant, still has a non-zero variance.

— Alecos Papadopoulos

We could say that CLT let's as say something about convergence to a limiting normal distributed variable (thus being able to express such things as $F(x)$), but LLN only allows us to say that, by increasing the sample size, we get closer to the true mean, but this does not say that we get, with higher probability, 'exactly equal to the sample mean'. LLN means that the sample mean gets closer and closer to a limiting value but not (with higher probability) equal to it. LLN says nothing about $F(x)$

— Sextus Empiricus

The original thoughts around the LLN where actually opposite (see the reasoning of Arbuthnot stats.stackexchange.com/questions/343268). "It is visible from what has been said, that with a very great Number of Dice, A’s Lot would become very small... there would be but a small part of all the possible Chances, for its happening at any assignable time, that an equal Number of Males and Females should be born."

— Sextus Empiricus