দিলীপ সরওয়াতে বর্ণিত মামলাটিকে সাধারণীকরণ করা
অন্যান্য উত্তরের বর্ণনায় বর্ণিত কয়েকটি পদ্ধতি একটি স্কিম ব্যবহার করে যাতে আপনি একটি 'টার্ন' এ n কয়েনের অনুক্রম নিক্ষেপ করেন এবং ফলাফলের উপর নির্ভর করে আপনি 1 বা 7 এর মধ্যে একটি নম্বর চয়ন করেন বা টার্নটি বাতিল করে আবার ফেলে দিন।
কৌশলটি সম্ভাবনার প্রসারণে একই সম্ভাবনা pk(1−p)n−k সহ 7 টি ফলাফলের একাধিক খুঁজে পাওয়া এবং একে অপরের বিপরীতে মেলে।
কারণ মোট ফলাফলের সংখ্যা 7 এর একক নয়, আমাদের কয়েকটি ফলাফল রয়েছে যা আমরা কোনও সংখ্যাকে বরাদ্দ করতে পারি না এবং এর কিছু সম্ভাবনা রয়েছে যে আমাদের ফলাফলগুলি বাতিল করে আবার শুরু করতে হবে।
প্রতি মুড়ি 7 টি মুদ্রা ব্যবহারের ক্ষেত্রে using
স্বজ্ঞাতভাবে আমরা বলতে পারি যে সাতবার পাশা ঘুরিয়ে দেওয়া খুব আকর্ষণীয় হবে। যেহেতু আমাদের কেবল 27 সম্ভাবনার বাইরে ফেলে দিতে হবে । যথা, 7 বার মাথা এবং 0 বার মাথা।
অন্যান্য সমস্ত 27- 2 সম্ভাবনার জন্য সর্বদা একই সংখ্যক মাথাযুক্ত 7 টি ক্ষেত্রে একাধিক থাকে। যথা 1 মাথা সহ 7 টি মামলা, 2 মাথা 2 টি, 3 টি মাথা সহ 35 টি মামলা, 4 মাথা সহ 35 টি মামলা, 5 মাথা সহ 21 টি মামলা এবং 6 টি মাথা সহ 7 টি মামলা।
সুতরাং আপনি যদি সংখ্যাটি গণনা করেন (0 টি মাথা এবং 7 মাথা ছাড়ছেন ) এক্স= ∑কে = 17( কে - 1 ) ⋅ সেট
সঙ্গে সিট বের্নুলির বিতরণ ভেরিয়েবল (মান 0 অথবা 1) সাত সম্ভব ফলাফল একটি অভিন্ন পরিবর্তনশীল, তখন X- মডিউল 7।
মুদ্রার বিভিন্ন সংখ্যার তুলনায় পালা
প্রশ্নটি রয়ে গেছে যে প্রতি ঘুরে রোলগুলির সর্বোত্তম সংখ্যাটি কী হবে। প্রতি ঘণ্টায় আরও ডাইস রোলিং করতে আপনার আরও বেশি খরচ হয় তবে আপনি আবার রোল করার সম্ভাবনা হ্রাস করেন।
নীচের চিত্রটিতে মুড়ি প্রতি প্রথম কয়েক সংখ্যক মুদ্রা ফ্লিপের জন্য একটি ম্যানুয়াল গণনা দেখানো হয়েছে। (সম্ভবত কোনও বিশ্লেষণাত্মক সমাধান হতে পারে, তবে আমি বিশ্বাস করি যে এটি নিরাপদ যে 7 কয়েন ফ্লিপ সহ একটি সিস্টেম প্রয়োজনীয় সংখ্যক মুদ্রা উল্টানোর প্রত্যাশার মান সম্পর্কে সর্বোত্তম পদ্ধতি সরবরাহ করে)
# plot an empty canvas
plot(-100,-100,
xlab="flips per turn",
ylab="E(total flips)",
ylim=c(7,400),xlim=c(0,20),log="y")
title("expectation value for total number of coin flips
(number of turns times flips per turn)")
# loop 1
# different values p from fair to very unfair
# since this is symmetric only from 0 to 0.5 is necessary
# loop 2
# different values for number of flips per turn
# we can only use a multiple of 7 to assign
# so the modulus will have to be discarded
# from this we can calculate the probability that the turn succeeds
# the expected number of flips is
# the flips per turn
# divided by
# the probability for the turn to succeed
for (p in c(0.5,0.2,0.1,0.05)) {
Ecoins <- rep(0,16)
for (dr in (5:20)){
Pdiscards = 0
for (i in c(0:dr)) {
Pdiscards = Pdiscards + p^(i)*(1-p)^(dr-i) * (choose(dr,i) %% 7)
}
Ecoins[dr-4] = dr/(1-Pdiscards)
}
lines(5:20, Ecoins)
points(5:20, Ecoins, pch=21, col="black", bg="white", cex=0.5)
text(5, Ecoins[1], paste0("p = ",p), pos=2)
}
প্রাথমিক স্টপিং রুল ব্যবহার করা
দ্রষ্টব্য: ফ্লিপের সংখ্যার প্রত্যাশার মানের জন্য নীচের গণনাগুলি ন্যায্য মুদ্রা পি = 0.5 , এটি বিভিন্ন পি এর জন্য করণে বিড়বিড় হয়ে উঠবে , তবে নীতিটি একই থাকবে (যদিও বইয়ের বিভিন্ন বই রাখা) মামলা প্রয়োজন)
আমাদের কেসগুলি ( এক্স সূত্রের পরিবর্তে ) বেছে নিতে সক্ষম করা উচিত যাতে আমরা আগে থামাতে সক্ষম হতে পারি।
পাঁচটি মুদ্রা ফ্লিপ সহ আমাদের ছয়টি ভিন্ন ভিন্ন সীমাহীন সেট মাথা এবং লেজের জন্য রয়েছে:
1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 অর্ডার করা সেট
এবং আমরা দশটি কেসের সাথে গ্রুপগুলি ব্যবহার করতে পারি (এটি হ'ল গ্রুপের সাথে 2 মাথা বা 2 লেজযুক্ত গোষ্ঠী) একটি সংখ্যা বাছাই করতে (সমান সম্ভাবনার সাথে) বেছে নিতে। এটি 2 ^ 5 = 32 টির মধ্যে 14 টিতে ঘটে। এটি আমাদের সাথে ছেড়ে দেয়:
1 + 5 + 3 + 3 + 5 + 1 অর্ডার করা সেট
অতিরিক্ত সাত (ছ-তম) মুদ্রা ফ্লিপ সহ আমাদের কাছে সাতটি ভিন্ন ভিন্ন সীমাহীন সেট মাথা এবং লেজের জন্য রয়েছে:
1 + 6 + 8 + 6 + 8 + 6 + 1 অর্ডার করা সেট
এবং আমরা আটটি ক্ষেত্রে (এটি 3 টি মাথাযুক্ত গ্রুপ বা 3 লেজযুক্ত গ্রুপ) একটি সংখ্যা বেছে নিতে (সমান সম্ভাবনা সহ) ব্যবহার করতে পারি। এটি 2 * (2 ^ 5-14) = 36 টির মধ্যে 14 টিতে ঘটে। এটি আমাদের সাথে ছেড়ে দেয়:
1 + 6 + 1 + 6 + 1 + 6 + 1 অর্ডার সেট
আর একটি (7-ম) অতিরিক্ত মুদ্রা ফ্লিপ সহ আমাদের আটটি ভিন্ন ভিন্ন সীমিত মাথা এবং লেজের সেট রয়েছে:
1 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 1 অর্ডার করা সেট
এবং আমরা সংখ্যার (সমান সম্ভাবনা সহ) বেছে নিতে সাতটি কেস (সমস্ত লেজ এবং সমস্ত মাথা ব্যতীত) সহ গ্রুপগুলি ব্যবহার করতে পারি। এটি 44 টির মধ্যে 42 টিতে ঘটে। এটি আমাদের সাথে ছেড়ে দেয়:
1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 অর্ডার সেট
(আমরা এটি চালিয়ে যেতে পারি তবে কেবল 49 তম ধাপে এটি আমাদের কোনও সুবিধা দেয়)
সুতরাং একটি সংখ্যা নির্বাচন করার সম্ভাবনা
- 5 ফ্লিপ এ 1432= 716
- 6 ফ্লিপ এ 9161436= 732
- 7 ফ্লিপ এ 11324244= 231704
- 7 ফ্লিপগুলিতে নয় 1 - 716- 732−231704=227
এটি একবারে ফ্লপের সংখ্যার প্রত্যাশার মানকে শর্তযুক্ত করে তোলে যে সাফল্য রয়েছে এবং p = 0.5:
5⋅716+6⋅732+7⋅231704=5.796875
ফ্লিপের মোট সংখ্যার প্রত্যাশার মান (কোনও সাফল্য না পাওয়া পর্যন্ত), শর্তসাপেক্ষে যে পি = 0.5 হয়:
(5⋅716+6⋅732+7⋅231704)2727−2=539=5.88889
এনসিএডামসের উত্তরটি এই স্টপিং-রুল কৌশলের বিভিন্নতা ব্যবহার করে (প্রতিটি সময় দুটি নতুন কয়েন ফ্লিপ নিয়ে আসে) তবে সমস্ত ফ্লিপগুলি সর্বোত্তমভাবে নির্বাচন করে না।
ক্লিডের উত্তরও একইরকম হতে পারে যদিও নির্বাচনের একটি অসম নিয়ম থাকতে পারে যে প্রতি দুটি মুদ্রা ফ্লিপ করে একটি সংখ্যা বেছে নেওয়া যেতে পারে তবে সমান সম্ভাবনার সাথে অগত্যা নয় (পরে এই মুদ্রার ফ্লিপ চলাকালীন মেরামত করা হচ্ছে এমন একটি তাত্পর্য)
অন্যান্য পদ্ধতির সাথে তুলনা
অনুরূপ নীতি ব্যবহার করে অন্যান্য পদ্ধতি হ'ল এনসিএডামস এবং অ্যাডামো by
নীতিটি হ'ল : 1 এবং 7 এর মধ্যে একটি সংখ্যার জন্য সিদ্ধান্ত নির্দিষ্ট সংখ্যক মাথা এবং লেজ পরে নেওয়া হয়। এক এক্স সংখ্যা উল্টাপাল্টির পরে, প্রতিটি সিদ্ধান্তের ফলে আমি একটি সংখ্যার দিকে নিয়ে যাই, সেখানে একটি অনুরূপ, সমান সম্ভাবনাযুক্ত, সিদ্ধান্ত যা একটি সংখ্যা ঞ বাড়ে (একই পরিমাণে মাথা এবং লেজ কিন্তু কেবল একটি ভিন্ন ক্রমে) নিয়ে যায়। কিছু সিরিজ মাথা এবং লেজগুলি আবার শুরু করার সিদ্ধান্ত নিতে পারে।
এই ধরণের পদ্ধতির জন্য এখানে যেটি স্থাপন করা হয়েছে এটি সবচেয়ে কার্যকরী কারণ এটি যত তাড়াতাড়ি সম্ভব সিদ্ধান্ত নেয় ( এক্স তম ফ্লিপের পরে যত তাড়াতাড়ি মাথা এবং লেজের 7 টি সমান সম্ভাবনার সিকোয়েন্সের সম্ভাবনা রয়েছে , আমরা ব্যবহার করতে পারি তাদের কোনও সংখ্যার বিষয়ে সিদ্ধান্ত নেওয়ার জন্য এবং সেগুলির মধ্যে একটির মুখোমুখি হলে আমাদের আরও ওঠার দরকার নেই)।
এটি নীচের চিত্র এবং সিমুলেশন দ্বারা প্রদর্শিত হয়:
#### mathematical part #####
set.seed(1)
#plotting this method
p <- seq(0.001,0.999,0.001)
tot <- (5*7*(p^2*(1-p)^3+p^3*(1-p)^2)+
6*7*(p^2*(1-p)^4+p^4*(1-p)^2)+
7*7*(p^1*(1-p)^6+p^2*(1-p)^5+p^3*(1-p)^4+p^4*(1-p)^3+p^5*(1-p)^2+p^6*(1-p)^1)+
7*1*(0+p^7+(1-p)^7) )/
(1-p^7-(1-p)^7)
plot(p,tot,type="l",log="y",
xlab="p",
ylab="expactation value number of flips"
)
#plotting method by AdamO
tot <- (7*(p^20-20*p^19+189*p^18-1121*p^17+4674*p^16-14536*p^15+34900*p^14-66014*p^13+99426*p^12-119573*p^11+114257*p^10-85514*p^9+48750*p^8-20100*p^7+5400*p^6-720*p^5)+6*
(-7*p^21+140*p^20-1323*p^19+7847*p^18-32718*p^17+101752*p^16-244307*p^15+462196*p^14-696612*p^13+839468*p^12-806260*p^11+610617*p^10-357343*p^9+156100*p^8-47950*p^7+9240*p^6-840*p^5)+5*
(21*p^22-420*p^21+3969*p^20-23541*p^19+98154*p^18-305277*p^17+733257*p^16-1389066*p^15+2100987*p^14-2552529*p^13+2493624*p^12-1952475*p^11+1215900*p^10-594216*p^9+222600*p^8-61068*p^7+11088*p^6-1008*p^5)+4*(-
35*p^23+700*p^22-6615*p^21+39235*p^20-163625*p^19+509425*p^18-1227345*p^17+2341955*p^16-3595725*p^15+4493195*p^14-4609675*p^13+3907820*p^12-2745610*p^11+1592640*p^10-750855*p^9+278250*p^8-76335*p^7+13860*p^6-
1260*p^5)+3*(35*p^24-700*p^23+6615*p^22-39270*p^21+164325*p^20-515935*p^19+1264725*p^18-2490320*p^17+4027555*p^16-5447470*p^15+6245645*p^14-6113275*p^13+5102720*p^12-3597370*p^11+2105880*p^10-999180*p^9+371000
*p^8-101780*p^7+18480*p^6-1680*p^5)+2*(-21*p^25+420*p^24-3990*p^23+24024*p^22-103362*p^21+340221*p^20-896679*p^19+1954827*p^18-3604755*p^17+5695179*p^16-7742301*p^15+9038379*p^14-9009357*p^13+7608720*p^12-
5390385*p^11+3158820*p^10-1498770*p^9+556500*p^8-152670*p^7+27720*p^6-2520*p^5))/(7*p^27-147*p^26+1505*p^25-10073*p^24+49777*p^23-193781*p^22+616532*p^21-1636082*p^20+3660762*p^19-6946380*p^18+11213888*p^17-
15426950*p^16+18087244*p^15-18037012*p^14+15224160*p^13-10781610*p^12+6317640*p^11-2997540*p^10+1113000*p^9-305340*p^8+55440*p^7-5040*p^6)
lines(p,tot,col=2,lty=2)
#plotting method by NcAdam
lines(p,3*8/7/(p*(1-p)),col=3,lty=2)
legend(0.2,500,
c("this method calculation","AdamO","NcAdams","this method simulation"),
lty=c(1,2,2,0),pch=c(NA,NA,NA,1),col=c(1,2,3,1))
##### simulation part ######
#creating decision table
mat<-matrix(as.numeric(intToBits(c(0:(2^5-1)))),2^5,byrow=1)[,c(1:12)]
colnames(mat) <- c("b1","b2","b3","b4","b5","b6","b7","sum5","sum6","sum7","decision","exit")
# first 5 rolls
mat[,8] <- sapply(c(1:2^5), FUN = function(x) {sum(mat[x,1:5])})
mat[which((mat[,8]==2)&(mat[,11]==0))[1:7],12] = rep(5,7) # we can stop for 7 cases with 2 heads
mat[which((mat[,8]==2)&(mat[,11]==0))[1:7],11] = c(1:7)
mat[which((mat[,8]==3)&(mat[,11]==0))[1:7],12] = rep(5,7) # we can stop for 7 cases with 3 heads
mat[which((mat[,8]==3)&(mat[,11]==0))[1:7],11] = c(1:7)
# extra 6th roll
mat <- rbind(mat,mat)
mat[c(33:64),6] <- rep(1,32)
mat[,9] <- sapply(c(1:2^6), FUN = function(x) {sum(mat[x,1:6])})
mat[which((mat[,9]==2)&(mat[,11]==0))[1:7],12] = rep(6,7) # we can stop for 7 cases with 2 heads
mat[which((mat[,9]==2)&(mat[,11]==0))[1:7],11] = c(1:7)
mat[which((mat[,9]==4)&(mat[,11]==0))[1:7],12] = rep(6,7) # we can stop for 7 cases with 4 heads
mat[which((mat[,9]==4)&(mat[,11]==0))[1:7],11] = c(1:7)
# extra 7th roll
mat <- rbind(mat,mat)
mat[c(65:128),7] <- rep(1,64)
mat[,10] <- sapply(c(1:2^7), FUN = function(x) {sum(mat[x,1:7])})
for (i in 1:6) {
mat[which((mat[,10]==i)&(mat[,11]==0))[1:7],12] = rep(7,7) # we can stop for 7 cases with i heads
mat[which((mat[,10]==i)&(mat[,11]==0))[1:7],11] = c(1:7)
}
mat[1,12] = 7 # when we did not have succes we still need to count the 7 coin tosses
mat[2^7,12] = 7
draws = rep(0,100)
num = rep(0,100)
# plotting simulation
for (p in seq(0.05,0.95,0.05)) {
n <- rep(0,1000)
for (i in 1:1000) {
coinflips <- rbinom(7,1,p) # draw seven numbers
I <- mat[,1:7]-matrix(rep(coinflips,2^7),2^7,byrow=1) == rep(0,7) # compare with the table
Imatch = I[,1]*I[,2]*I[,3]*I[,4]*I[,5]*I[,6]*I[,7] # compare with the table
draws[i] <- mat[which(Imatch==1),11] # result which number
num[i] <- mat[which(Imatch==1),12] # result how long it took
}
Nturn <- mean(num) #how many flips we made
Sturn <- (1000-sum(draws==0))/1000 #how many numbers we got (relatively)
points(p,Nturn/Sturn)
}
আরও একটি চিত্র যা আরও ভাল তুলনার জন্য p∗(1−p) দ্বারা মাপা হয়েছে :
এই পোস্টে এবং মন্তব্যে বর্ণিত পদ্ধতিগুলির তুলনায় জুম করুন
'--তম ধাপের শর্তসাপেক্ষ এড়িয়ে যাওয়া' সামান্য উন্নতি যা প্রাথমিক বিরতি নিয়মে করা যেতে পারে। এক্ষেত্রে আপনি--তম ফ্লপের পরে সমান সম্ভাব্যতার সাথে গোষ্ঠী নির্বাচন করবেন না। আপনার সমান সম্ভাব্যতা সহ, টি গ্রুপ এবং কিছুটা পৃথক সম্ভাবনা সহ ১ টি গোষ্ঠী রয়েছে (এই শেষ গোষ্ঠীর জন্য আপনার যখন 6 টি মাথা বা লেজ থাকে তখন আপনাকে আরও একটি অতিরিক্ত সময় ফ্লিপ করতে হবে এবং 7 টি মাথা বা 7 টি লেজ ফেলে দেওয়ার কারণে আপনি শেষ হয়ে যাবেন সব পরে একই সম্ভাবনা সঙ্গে আপ)
লিখেছেন স্ট্যাকএক্সচেঞ্জ স্ট্রাইক
