লম্বা লেজের মধ্যে পইসন সংশ্লেষিত বিতরণের সাধারণ অনুমান?

আমি ধারণক্ষমতা সিদ্ধান্ত নিতে চান একটি টেবিলের যাতে এটি কম অবশিষ্ট মতভেদ রয়েছে দেওয়া ওভারফ্লো থেকে , এন্ট্রি সংখ্যা অভিমানী একটি পইসন আইন একটি প্রদত্ত প্রত্যাশা সঙ্গে অনুসরণ করে । $C$ $2^{-p}$ $p\in[40\dots 120]$ $E\in[10^3\dots 10^{12}]$

আদর্শভাবে, আমি সর্বনিম্ন পূর্ণসংখ্যা চান Cযেমন যে 1-CDF[PoissonDistribution[E],C] < 2^-pজন্য দেওয়া pএবং E; তবে আমি এর Cচেয়ে কিছুটা বেশি নিয়ে সন্তুষ্ট। ম্যাথামেটিকাল ম্যানুয়াল গণনার জন্য ভালো, কিন্তু আমি গনা চাই Cথেকে pএবং Eকম্পাইল সময়, যা আমার 64-বিট পূর্ণসংখ্যা গাণিতিক সীমা করেন।

আপডেট: ম্যাথমেটিকাতে (সংস্করণ 7) e = 1000; p = 40; c = Quantile[PoissonDistribution[e], 1 - 2^-p]হ'ল 1231এবং ডান সম্পর্কে মনে হয় (ধন্যবাদ @ প্রলিটিনেটর); তবে উভয়ের জন্য ফলাফলের p = 50এবং p = 60হয় 1250, যা অনিরাপদ পাশ ভুল (এবং গুরুত্বপূর্ণ: আমার পরীক্ষা পুনরাবৃত্তি বার বা তার বেশি, আর আমি demonstrably কম চান ব্যর্থতার সামগ্রিক মতভেদ)। সংকলনের সময় সি (++) তে কেবলমাত্র 64৪-বিট পূর্ণসংখ্যার গাণিতিক ব্যবহার করে আমি কিছু অপরিশোধিত তবে নিরাপদ অনুমান চাই । $2^{25}$ $2^{-30}$

poisson-distribution

— fgrieu
সূত্র

কীভাবে C = Quantile[PoissonDistribution[E],1-2^p]?

পোয়েসনের সম্ভাব্যতা ভর ক্রিয়াকলাপের শীর্ষস্থানীয় শব্দটি লেজের মধ্যে প্রাধান্য পায়।

— কার্ডিনাল

@ প্রলিটিনেটর: হ্যাঁ এটি ম্যাথমেটিকাতে কাজ করে (সাইন p, এবং যথার্থ ইস্যু এবং নাম বাদে ) Eএবং Cতা সংরক্ষিত। তবে আমার কেবল এটির সাধারণ অনুমান প্রয়োজন, সম্ভবত cr৪-বিট পূর্ণসংখ্যার প্রত্নতাত্ত্বিক ব্যবহার করে অশোধিত (তবে নিরাপদ দিকে)!

— fgrieu

আপডেটটি পুনরায়: ম্যাথামেটিকা 8

জন্য 1262 এবং

জন্য 1290 প্রদান করে । পুনরায় সাধারণ অনুমান (@ প্রোক): এটি লেজগুলিতে ভাল কাজ করার আশা করা যায় না, যা গণনার পক্ষে গুরুত্বপূর্ণ।

p = 50

$p=50$

p = 60

$p=60$

— whuber

সম্ভবত আপনার স্ট্যাকওভারফ্লোতে জিজ্ঞাসা করা উচিত। আপনার প্রতিবন্ধকতাগুলির সাথে আমি পরিচিত নই। ডায়নামিক মেমোরি বরাদ্দ ব্যবহার করা আপনাকে কী থামায়, বা অ্যারের আকার নির্ধারণের জন্য আপনি ব্রাঞ্চিং ব্যবহার করতে পারেন, বা আপনার প্রয়োজন মাপের দ্বিগুণ অ্যারে নির্ধারণের জন্য ব্যয়গুলি কী হবে তা (এবং তারপরে সমস্ত ব্যবহার না করে) আমি জানি না এর)। যদি কিছু ফাংশন

মতো হয়

(যেমন একটি উদাহরণ) আপনাকে সঠিক উত্তর দিয়েছে, আপনি কি নিজের সীমাবদ্ধতার অধীনে একটি আনুমানিক বাস্তবায়ন করতে সক্ষম হবেন না? এটি এখন একটি প্রোগ্রামিং সমস্যার মতো মনে হচ্ছে।

μ + \sqrt{\log \log μ} \log μ \sqrt{μ} + p \frac{\sqrt{μ}}{\log μ}

$\mu + \sqrt{\log\log \mu} \log \mu \sqrt \mu + p \frac{\sqrt{\mu}} {\log \mu}$

— ডগলাস জেরে

উত্তর:

বৃহত গড়ের সাথে একটি পয়সন বিতরণ প্রায় স্বাভাবিক, তবে আপনাকে যত্নবান হতে হবে যে আপনি একটি লেজ বেঁধে রাখতে চান এবং স্বাভাবিকের অনুপাতে লেজগুলির কাছে আনুপাতিকভাবে কম নির্ভুল হয়।

এই এমও প্রশ্নে এবং দ্বিপদী বিতরণগুলির সাথে ব্যবহৃত একটি পদ্ধতির স্বীকৃতি হ'ল জ্যামিতিক সিরিজের তুলনায় লেজ আরও দ্রুত হ্রাস পায়, তাই আপনি জ্যামিতিক সিরিজ হিসাবে একটি স্পষ্টত উপরের আবদ্ধ লিখতে পারেন।

\begin{array}{rcl} Σ_{ট = ডি}^{\infty} মেপুঃ (- μ) \frac{μ^{ট}}{ট!} & < & Σ_{ট = ডি}^{\infty} মেপুঃ (- μ) \frac{μ^{ডি}}{ডি!} (\frac{μ}{ডি + + 1})^{ট - ডি} \\ = & মেপুঃ (- μ) \frac{μ^{ডি}}{ডি!} \frac{1}{1 - \frac{μ}{ডি + + 1}} \\ < & মেপুঃ (- μ) \frac{μ^{ডি}}{\sqrt{2 π ডি} (ডি / ই)^{ডি}} \frac{1}{1 - \frac{μ}{ডি + + 1}} \\ = & মেপুঃ (ডি - μ) (\frac{μ}{ডি})^{ডি} \frac{ডি + + 1}{\sqrt{2 π ডি} (ডি + + 1 - μ)} \end{array}

$\begin{eqnarray}\sum_{k=D}^\infty \exp(-\mu)\frac{\mu^k}{k!} & \lt & \sum_{k=D}^\infty \exp(-\mu) \frac{\mu^D}{D!}\bigg(\frac \mu{D+1}\bigg)^{k-D} \\ & = & \exp(-\mu)\frac{\mu^D}{D!}\frac{1}{1-\frac{\mu}{D+1}} \\ & \lt & \exp(-\mu) \frac{\mu^D}{\sqrt{2\pi D}(D/e)^D} \frac{1}{1-\frac{\mu}{D+1}} \\ & = & \exp(D-\mu) \bigg(\frac{\mu}{D}\bigg)^D \frac{D+1}{\sqrt{2\pi D} (D+1-\mu)}\end{eqnarray}$

লাইন 2 লাইন 3 স্ট্রিলিংয়ের সূত্রের সাথে সম্পর্কিত ছিল। অনুশীলনে আমার মনে হয় আপনি তারপর সমাধান করতে চান বাইনারি অনুসন্ধান ব্যবহার করে সংখ্যাগতভাবে। নিউটনের পদ্ধতিটি এর প্রাথমিক অনুমানের সাথে শুরু $\to$ $-p \log 2 = \log(\text{bound})$ কাজ করা উচিত। $D = \mu + c \sqrt \mu.$

উদাহরণস্বরূপ, এবং , আমি যে সংখ্যার সমাধান পাই তা 1384.89। গড় সঙ্গে একটি পইসন বিতরণের থেকে মানগুলি লাগে মাধ্যমে সম্ভাব্যতা সঙ্গে মান মাধ্যমে সম্ভাব্যতা সঙ্গে ঘটতে $p=100$ $\mu = 1000$ $1000$ $0$ $1384$ $1-1/2^{100.06}.$ $0$ $1383$ $1-1/2^{99.59}.$

— ডগলাস জারে
সূত্র

+1 টি। আরেকটি পদ্ধতির সাথে গায়ে বিতরণের (বাম দিকে) লেজ সম্ভাবনার (ডানদিকে) পোইসন লেজের সম্ভাব্যতা রয়েছে, যা স্যাডলিপয়েন্টের সান্নিধ্যের সাথে অনুমান করা যায় closely

— whuber

From৪-বিট পূর্ণসংখ্যার গাণিতিক (এক্সপ্রেস, লগ, স্কয়ার্ট ছাড়া ..) এর মধ্যে সীমাবদ্ধ কোনও কিছুর মধ্যে অনেক দীর্ঘ পথ রয়েছে তবে আমি এটিতে কাজ করব; সবাইকে ধন্যবাদ!

— fgrieu

(+1) স্টার্লিংয়ের সান্নিধ্যের আহ্বান (যা অপ্রাসঙ্গিক), ওপিতে আমার মন্তব্যে আমি ঠিক এই (আবদ্ধভাবে) রেফারেন্স করছিলাম। (উদাহরণস্বরূপ, এখানে দেখুন ))

— কার্ডিনাল

$Y$ $\lambda$

জি (এক্স) = \sqrt{2 (এক্স Ln \frac{এক্স}{λ} + + λ - এক্স)} গুলি আমি ছ এন (এক্স - λ) ।

$G(x)= \sqrt{2\left(x\ln \frac{x}{\lambda} +\lambda-x\right)} \ \ {\rm sign} \left(x-\lambda\right).$

Φ

$\Phi$

k \geq 0

$k\ge 0$

পি (ওয়াই < ট) \leq Φ (জি (ট)) \leq পি (ওয়াই \leq ট),

${\bf P}(Y<k)\le \Phi(G(k)) \le {\bf P}(Y\le k),$

Φ (জি (ট - 1)) \leq পি (ওয়াই < ট) \leq Φ (জি (ট))

$\Phi(G(k-1)) \le {\bf P}(Y<k)\le \Phi(G(k))$

k > 0

$k>0$

Φ (G (k + (1 / 2))) \leq P (Y \leq k)

$\Phi(G(k+(1/2))) \le {\bf P}(Y\le k)$

Φ (জি (ট - 1 / 2)) \leq পি (ওয়াই < ট) \leq Φ (জি (ট))

$\Phi(G(k-1/2)) \le {\bf P}(Y<k)\le \Phi(G(k))$

k > 0

$k>0$

— পাভেল রুজানকিন
সূত্র

যদি আপনি মূল সমীকরণটি লিখতে পারতেন (ধরে নিলেন কেবল এক বা দুটি আছে) যা লিঙ্কটি কোনও সময়ে মারা যাওয়ার ক্ষেত্রে সহায়তা করবে।

— jboman