পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত এলোমেলো ভেরিয়েবলের পার্থক্যের জন্য সীমাবদ্ধ

এবং দুটি অত্যন্ত সংযুক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবল দেওয়া , আমি সম্ভাব্যতার সাথে পার্থক্য করতে চাই যে পার্থক্যকিছু পরিমাণ ছাড়িয়ে গেছে: $X$ $Y$ $|X - Y|$

P (| X - Y | > K) < δ

$P( |X - Y| > K) < \delta$

সরলতার জন্য ধরে নিন যে:

পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ "উচ্চ" হিসাবে পরিচিত, বলুন: $\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} \geq 1 - \epsilon$
$X,Y$ এর অর্থ শূন্য: $\mu_x = \mu_y = 0$
$-1 \leq x_i, y_i \leq 1$ (বা যদি এটি আরও সহজ হয়) $0 \leq x_i, y_i \leq 1$
(যদি এটি বিষয়গুলি আরও সহজ করে তোলে তবে অভিন্ন বৈচিত্র রয়েছে: ) $X,Y$ $\sigma_X^2 = \sigma_Y^2$

কেবলমাত্র উপরের তথ্য প্রদত্ত পার্থক্যের উপর আবদ্ধ হওয়া কতটা সম্ভব তা নিশ্চিত নয় (আমি অবশ্যই কোথাও পেতে পারিনি)। একটি নির্দিষ্ট সমাধান (যদি থাকে), বিতরণে আরোপ করার বাধ্যতামূলক অতিরিক্ত বিধিনিষেধ, বা কোনও পদ্ধতির জন্য কেবল পরামর্শই দুর্দান্ত।

correlation mathematical-statistics bounds

— Avanti89
সূত্র

এমনকি এই সরলকরণ অনুমানগুলি ছাড়াই, বেশ কয়েকটি সাধারণ সরঞ্জামকে একত্রিত করে একটি সীমা পাওয়া যায়:

দুই সম্পর্কিত ভেরিয়েবল পার্থক্য ভ্যারিয়েন্স । এটি আমাদের দুটি ভেরিয়েবল সমস্যাটিকে অবিবাহিত সমস্যায় পরিণত করতে সহায়তা করে।
চেবিশেভের অসমতা । এটি প্রদত্ত মানকে অতিক্রম করার সম্ভাব্যতার উপর আবদ্ধ রাখে।

কিছু বিস্তারিত:

σ_{X - Y}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot c o v (X, Y)

$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·cov(X,Y)$

c o v (X, Y) = σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X Y}

$cov(X,Y)=\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{XY}$

σ_{এক্স - ওয়াই}^{2} = σ_{এক্স}^{2} + + σ_{ওয়াই}^{2} - 2 \cdot σ_{এক্স} \cdot σ_{ওয়াই} \cdot ρ_{এক্স, ওয়াই}

$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}$

চেবিশেভের বৈষম্য অনুসারে যেকোন র্যান্ডম ভেরিয়েবল : $Z$

pr (| জেড - μ | \geq ট σ) \leq \frac{1}{ট^{2}}

$\Pr(|Z-\mu|\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$

তারপরে (এবং : $\mu_{X-Y}=\mu_X-\mu_Y)$

pr (| এক্স - ওয়াই - μ_{এক্স} + + μ_{ওয়াই} | \geq ট \cdot \sqrt{σ_{এক্স}^{2} + + σ_{ওয়াই}^{2} - 2 \cdot σ_{এক্স} \cdot σ_{ওয়াই} \cdot ρ_{এক্স, ওয়াই}}) \leq \frac{1}{ট^{2}}

$\Pr(|X-Y-\mu_X+\mu_Y|\geq k·\sqrt{\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}}) \leq \frac{1}{k^2}$

আরও সহজ অভিব্যক্তি পেতে আমরা প্রস্তাবিত সরলকরণ অনুমানগুলি ব্যবহার করতে পারি। কখন:

ρ_{এক্স, ওয়াই} = গ ণ বনাম একটি R (এক্স, ওয়াই) / σ_{এক্স} σ_{ওয়াই} = 1 - ε

$\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} = 1 - \epsilon$

μ_{এক্স} = μ_{Y} = 0

$\mu_x = \mu_y = 0$

σ_{এক্স}^{2} = σ_{ওয়াই}^{2} = σ^{2}

$\sigma_X^2 = \sigma_Y^2 = \sigma^2$

তারপর:

σ_{এক্স}^{2} + + σ_{ওয়াই}^{2} - 2 \cdot σ_{এক্স} \cdot σ_{ওয়াই} \cdot ρ_{এক্স, ওয়াই} = 2 \cdot σ^{2} \cdot (1 - (1 - ε)) = 2 σ^{2} ε

$\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y} = 2·\sigma^2·(1-(1-\epsilon)) = 2\sigma^2\epsilon$

এবং সেইজন্য:

pr (| এক্স - ওয়াই | \geq ট \cdot σ \sqrt{2 ε}) \leq \frac{1}{ট^{2}}

$\Pr(|X-Y|\geq k·\sigma\sqrt{2\epsilon}) \leq \frac{1}{k^2}$

মজার বিষয় হচ্ছে, result ছোট না হলেও এই ফলাফলটি ধারণ করে এবং যদি পারস্পরিক সম্পর্কের শর্তটি থেকে পরিবর্তিত হয়, ফলাফল পরিবর্তন হয় না (কারণ এটি ইতিমধ্যে একটি বৈষম্য)। $\epsilon$ $=1-\epsilon$ $\geq 1-\epsilon$

— pere
সূত্র