গামা বিতরণ দিয়ে ডিরিচলেট বিতরণ নির্মাণ

যাক হতে পারস্পরিক স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল, প্রতিটি পরামিতি সঙ্গে একটি গামা বন্টন থাকার শো ots , joint $X_1,\dots,X_{k+1}$ $\alpha_i,i=1,2,\dots,k+1$ $Y_i=\frac{X_i}{X_1+\cdots+X_{k+1}},i=1,\dots,k$ $\text{Dirichlet}(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_k;\alpha_{k+1})$

যুগ্ম পিডিএফ .Then যৌথ এটি পিডিএফ আমি জ্যাকোবিয়ান অর্থাৎ $(X_1,\dots,X_{k+1})=\frac{e^{-\sum_{i=1}^{k+1}x_i}x_1^{\alpha_1-1}\dots x_{k+1}^{\alpha_{k+1}-1}}{\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)\dots \Gamma(\alpha_{k+1})}$ $(Y_1,\dots,Y_{k+1})$ $J(\frac{x_1,\dots,x_{k+1}}{y_1,\dots,y_{k+1}})$

— Argha
সূত্র

এই নথির 13-14 পৃষ্ঠাগুলি একবার দেখুন ।

@ প্রলিনেটর আপনাকে ধন্যবাদ আমার ডকুমেন্টটি আমার প্রশ্নের সেরা উত্তর।

— আরঘা

@ প্রবিলিনেটর - সম্ভবত আপনার এটি উত্তর হিসাবে দেওয়া উচিত, যেহেতু ওপি এতে খুশি, এবং কয়েকটি বাক্য যুক্ত করুন যাতে আপনি "আমরা একটি বাক্যের চেয়ে বেশি উত্তর চাই" সতর্কবার্তাটি ভ্রমণ না করি?

— jboman

এই দস্তাবেজটি এখন একটি উত্তর নেই কারণ এটি 404

— হুবহু

উদ্ধার

— পথে ওয়েবব্যাক

জ্যাকবীয়রা - ভেরিয়েবল ফাংশন পরিবর্তনের পরম নির্ধারক - ভয়ঙ্কর প্রদর্শিত হয় এবং জটিল হতে পারে। তবুও, এগুলি ভেরিয়েবলের একটি বহু পরিবর্তনশীল গণনার গণনার একটি অপরিহার্য এবং অনিবার্য অংশ। এটা তার জন্য কিছু নেই কিন্তু একটি লিখে মনে হবে দ্বারা ডেরাইভেটিভস ম্যাট্রিক্স এবং গণনা করা যাক। $k+1$ $k+1$

আরও ভাল উপায় আছে। এটি "সমাধান" বিভাগের শেষে দেখানো হয়েছে। কারণ এই পোস্টের উদ্দেশ্যটি পরিসংখ্যানবিদদের সাথে পরিচিত করা যা অনেকের জন্য একটি নতুন পদ্ধতি হতে পারে, এর বেশিরভাগ অংশই সমাধানের পিছনে যন্ত্রপাতি ব্যাখ্যা করতে উত্সর্গীকৃত। এটি ডিফারেনশনাল ফর্মের বীজগণিত । (ডিফারেন্সিয়াল ফর্মগুলি হ'ল জিনিসগুলি যেগুলি একাধিক মাত্রায় একীভূত হয়)) এটিকে আরও পরিচিত হতে সহায়তা করার জন্য একটি বিশদ, কাজের উদাহরণ অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে।

পটভূমি

এক শতাব্দী আগে, গণিতবিদগণ বহু মাত্রিক জ্যামিতিতে ঘটে যাওয়া "উচ্চতর আদেশ ডেরাইভেটিভস" এর সাথে কাজ করার জন্য ডিফারেনশনাল বীজগণিতের তত্ত্বটি বিকাশ করেছিলেন । নির্ধারক হ'ল এই জাতীয় বীজগণিতগুলি দ্বারা চালিত মৌলিক অবজেক্টগুলির একটি বিশেষ কেস, যা সাধারণত মাল্টলাইনারি ফর্মগুলি পরিবর্তন করে । এর সৌন্দর্য নিখরচায় গণনা কতটা সহজ হতে পারে তার মধ্যে।

আপনার যা জানা দরকার তা এখানে।

একটি ডিফারেনশিয়াল হল " " ফর্মের একটি প্রকাশ । এটি " $dx_i$ $d$ কোনও পরিবর্তনশীল নামের সাথে " এর সংক্ষিপ্তকরণ।
একটি এক-রূপ হ'ল $dx_1+dx_2$ বা এমনকি মতো পার্থক্যগুলির একটি লিনিয়ার সংমিশ্রণ $x_2 dx_1 - \exp(x_2) dx_2$ । অর্থাৎ, সহগগুলি ভেরিয়েবলগুলির ফাংশন ।
ফরম একটি ব্যবহার "গুন" করা যেতে পারে কীলক পণ্য , লিখিত $\wedge$ । এই পণ্যটি বাণিজ্য-বিরোধী (একে বিকল্প রূপেও বলা হয় ): যে কোনও দুটি এক-রূপের জন্য $\omega$ এবং $\eta$ ,

$ω \land η = - η \land ω .$ $\omega \wedge \eta = -\eta \wedge \omega.$
এই গুণটি লিনিয়ার এবং সহযোগী: অন্য কথায়, এটি পরিচিত ফ্যাশনে কাজ করে। তাত্ক্ষণিক পরিণতি হ'ল $\omega \wedge \omega = -\omega \wedge \omega$ , যে কোনও এক-রূপের বর্গ বোঝানো সর্বদা শূন্য। এটি গুণকে অত্যন্ত সহজ করে তোলে!
সম্ভাবনার গণনাগুলিতে প্রদর্শিত সংহতগুলির হেরফেরের উদ্দেশ্যে, মত একটি অভিব্যক্তি $dx_1 dx_2 \cdots dx_{k+1}$ হিসাবে বোঝা যায় $|dx_1\wedge dx_2 \wedge \cdots \wedge dx_{k+1}|$ ।
যখন $y = g(x_1, \ldots, x_n)$ কোনও ফাংশন হয়, তারপরে তার পার্থক্যটি আলাদা করে দেওয়া হয়:

$d y = d g (x_{1}, \dots, x_{n}) = \frac{\partial g}{\partial x_{1}} (x_{1}, \dots, x_{n}) d x_{1} + \dots + \frac{\partial g}{\partial x_{1}} (x_{1}, \dots, x_{n}) d x_{n} .$ $dy = dg(x_1, \ldots, x_n) = \frac{\partial g}{\partial x_1}(x_1, \ldots, x_n) dx_1 + \cdots + \frac{\partial g}{\partial x_1}(x_1, \ldots, x_n) dx_n.$

জ্যাকবীয়দের সাথে সংযোগটি হ'ল: জ্যাকবীয়িয়ান অফ ট্রান্সফর্মেশন $(y_1, \ldots, y_n) = F(x_1, \ldots, x_n) = (f_1(x_1, \ldots, x_n), \ldots, f_n(x_1, \ldots, x_n))$ হয়, সাইন আপ করতে, সহজভাবে সহগ যা কম্পিউটিংয়ে উপস্থিত হয় $dx_1\wedge \dots \wedge dx_n$

d y_{1} \land \dots \land d y_{n} = d f_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}) \land \dots \land d f_{n} (x_{1}, \dots, x_{n})

$dy_1 \wedge \cdots \wedge dy_n = df_1(x_1,\ldots, x_n)\wedge \cdots \wedge df_n(x_1, \ldots, x_n)$

প্রতিটি বিস্তৃত পর একটি রৈখিক সংমিশ্রন হিসেবে নিয়ম (5)। $df_i$ $dx_j$

উদাহরণ

জ্যাকবীয়ের এই সংজ্ঞাটির সরলতা আবেদনময়ী। এখনও সার্থক হয়নি? কার্তেসিয়ান স্থানাঙ্ক থেকে দ্বি-মাত্রিক ইন্টিগ্রালগুলিকে মেরু স্থানাঙ্কে রূপান্তর করার সুপরিচিত সমস্যাটি বিবেচনা করুন , যেখানে । নিম্নলিখিতটি পূর্ববর্তী নিয়মের একটি সম্পূর্ণ যান্ত্রিক প্রয়োগ, যেখানে " $(x, y)$ $(r,\theta)$ $(x,y) = (r\cos(\theta), r\sin(\theta))$ $(*)$ "সংক্ষিপ্ত প্রকাশের জন্য ব্যবহৃত হয় যা বিধি (3) এর গুণাবলী দ্বারা স্পষ্টতই অদৃশ্য হয়ে যায়, যা বোঝায় । $dr\wedge dr = d\theta\wedge d\theta = 0$

\begin{aligned} d x d y & = | d x \land d y | = | d (r \cos (θ)) \land d (r \sin (θ)) | \\ = | (\cos (θ) d r - r \sin (θ) d θ) \land (\sin (θ) d r + r \cos (θ) d θ | \\ = | (*) d r \land d r + (*) d θ \land d θ - r \sin (θ) d θ \land \sin (θ) d r + \cos (θ) d r \land r \cos (θ) d θ | \\ = | 0 + 0 + r \sin^{2} (θ) d r \land d θ + r \cos^{2} (θ) d r \land d θ | \\ = | r (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) d r \land d θ) | \\ = r d r d θ \end{aligned} .

$\eqalign{ dx dy &= |dx\wedge dy| = |d(r\cos(\theta)) \wedge d(r\sin(\theta))| \\ &= |(\cos(\theta)dr - r\sin(\theta)d\theta) \wedge (\sin(\theta)dr + r\cos(\theta)d\theta| \\ &= |(*)dr\wedge dr + (*) d\theta\wedge d\theta - r\sin(\theta)d\theta\wedge \sin(\theta)dr + \cos(\theta)dr \wedge r\cos(\theta) d\theta| \\ &= |0 + 0 + r\sin^2(\theta) dr\wedge d\theta + r\cos^2(\theta) dr\wedge d\theta| \\ &= |r(\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta)) dr\wedge d\theta)| \\ &= r\ dr d\theta }.$

এর মুল বিষয় হ'ল ম্যাট্রিক, নির্ধারক বা এই জাতীয় বহু-ইন্ডিকাল বস্তুগুলির সাথে গোলমাল না করে এমন স্বাচ্ছন্দ্য সহকারে গণনাগুলি সম্পাদন করা যায়। আপনি কেবল জিনিসগুলি বহুগুণে বাড়িয়েছেন, মনে রাখবেন যে বিবাহগুলি অ্যান্টি-কমিউটিটিভ। এটা সহজ কি উচ্চ বিদ্যালয় বীজগণিত পড়ানো হয় বেশী।

preliminaries

কর্মক্ষেত্রে এই ডিফারেনশিয়াল বীজগণিতটি দেখুন। এই সমস্যায়, যৌথ বিতরণের পিডিএফ হ'ল পৃথক পিডিএফগুলির পণ্য (কারণ স্বতন্ত্র বলে ধরে নেওয়া হয়)। অর্ডার ভেরিয়েবল পরিবর্তন হ্যান্ডেল করার জন্য আমরা যে বিষয়ে স্পষ্ট হতে হবে ডিফারেনশিয়াল উপাদানের যে ইন্টিগ্রেটেড করা হবে না। এগুলি শব্দটি গঠন করে $(X_1, X_2, \ldots, X_{k+1})$ $X_i$ $Y_i$ $dx_1 dx_2 \cdots dx_{k+1}$ . Including the PDF gives the probability element

\begin{aligned} f_{X} (x, α) d x_{1} \dots d x_{k + 1} & \propto (x_{1}^{α_{1} - 1} \exp (- x_{1})) \dots (x_{k + 1}^{α_{k + 1} - 1} \exp (- x_{k + 1})) d x_{1} \dots d x_{k + 1} \\ = x_{1}^{α_{1} - 1} \dots x_{k + 1}^{α_{k + 1} - 1} \exp (- (x_{1} + \dots + x_{k + 1})) d x_{1} \dots d x_{k + 1} . \end{aligned}

$\eqalign{ f_\mathbf{X}(\mathbf{x},\mathbf{\alpha})dx_1 \cdots dx_{k+1} &\propto \left(x_1^{\alpha_1-1}\exp\left(-x_1\right)\right)\cdots \left(x_{k+1}^{\alpha_{k+1}-1}\exp\left(-x_{k+1}\right) \right)dx_1 \cdots dx_{k+1} \\ &= x_1^{\alpha_1-1}\cdots x_{k+1}^{\alpha_{k+1}-1}\exp\left(-\left(x_1+\cdots+x_{k+1}\right)\right)dx_1 \cdots dx_{k+1}. }$

(The normalizing constant has been ignored; it will be recovered at the end.)

Staring at the definitions of the $Y_i$ a few seconds ought to reveal the utility of introducing the new variable

Z = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{k + 1},

$Z = X_1 + X_2 + \cdots + X_{k+1},$

giving the relationships

X_{i} = Y_{i} Z .

$X_i = Y_i Z.$

This suggests making the change of variables $x_i \to y_i z$ in the probability element. The intention is to retain the first $k$ variables $y_1, \ldots, y_k$ along with $z$ and then integrate out $z$ . To do so, we have to re-express all the $dx_i$ in terms of the new variables. This is the heart of the problem. It's where the differential algebra takes place. To begin with,

d x_{i} = d (y_{i} z) = y_{i} d z + z d y_{i} .

$dx_i = d(y_i z) = y_i dz + z dy_i.$

Note that since $Y_1+Y_2+\cdots+Y_{k+1}=1$ , then

0 = d (1) = d (y_{1} + y_{2} + \dots + y_{k + 1}) = d y_{1} + d y_{2} + \dots + d y_{k + 1} .

$0 = d(1) = d(y_1 + y_2 + \cdots + y_{k+1}) = dy_1 + dy_2 + \cdots + dy_{k+1}.$

Consider the one-form

ω = d x_{1} + \dots + d x_{k} = z (d y_{1} + \dots + d y_{k}) + (y_{1} + \dots + y_{k}) d z .

$\omega = dx_1 + \cdots + dx_k = z(dy_1 + \cdots + dy_k) + (y_1+\cdots + y_k) dz.$

It appears in the differential of the last variable:

\begin{aligned} d x_{k + 1} & = z d y_{k + 1} + y_{k + 1} d z \\ = - z (d y_{1} + \dots + d y_{k}) + (1 - y_{1} - \dots y_{k}) d z \\ = d z - ω . \end{aligned}

$\eqalign{ dx_{k+1} &= z dy_{k+1} + y_{k+1}dz \\ &= -z(dy_1 + \cdots + dy_k) + (1-y_1-\cdots y_k)dz \\ &= dz - \omega. }$

The value of this lies in the observation that

d x_{1} \land \dots \land d x_{k} \land ω = 0

$dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_k \wedge \omega = 0$

because, when you expand this product, there is one term containing $dx_1 \wedge dx_1 = 0$ as a factor, another containing $dx_2 \wedge dx_2 = 0$ , and so on: they all disappear. Consequently,

\begin{aligned} d x_{1} \land \dots \land d x_{k} \land d x_{k + 1} & = d x_{1} \land \dots \land d x_{k} \land z - d x_{1} \land \dots \land d x_{k} \land ω \\ = d x_{1} \land \dots \land d x_{k} \land z . \end{aligned}

$\eqalign{ dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_k \wedge dx_{k+1} &= dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_k \wedge z - dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_k \wedge \omega \\ &= dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_k \wedge z. }$

Whence (because all products $dz\wedge dz$ disappear),

\begin{aligned} d x_{1} \land \dots \land d x_{k + 1} & = (z d y_{1} + y_{1} d z) \land \dots \land (z d y_{k} + y_{k} d z) \land d z \\ = z^{k} d y_{1} \land \dots \land d y_{k} \land d z . \end{aligned}

$\eqalign{ dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_{k+1} &= (z dy_1 + y_1 dz) \wedge \cdots \wedge (z dy_k + y_k dz) \wedge dz \\ &= z^k dy_1 \wedge \cdots \wedge dy_k \wedge dz. }$

The Jacobian is simply $|z^k| = z^k$ , the coefficient of the differential product on the right hand side.

Solution

The transformation $(x_1, \ldots, x_k, x_{k+1})\to (y_1, \ldots, y_k, z)$ is one-to-one: its inverse is given by $x_i = y_i z$ for $1\le i\le k$ and $x_{k+1} = z(1-y_1-\cdots-y_k)$ . Therefore we don't have to fuss any more about the new probability element; it simply is

\begin{aligned} (z y_{1})^{α_{1} - 1} \dots (z y_{k})^{α_{k} - 1} {(z (1 - y_{1} - \dots - y_{k}))}^{α_{k + 1} - 1} \exp (- z) | z^{k} d y_{1} \land \dots \land d y_{k} \land d z | \\ = (z^{α_{1} + \dots + α_{k + 1} - 1} \exp (- z) d z) (y_{1}^{α_{1} - 1} \dots y_{k}^{α_{k} - 1} {(1 - y_{1} - \dots - y_{k})}^{α_{k + 1} - 1} d y_{1} \dots d y_{k}) . \end{aligned}

$\eqalign{ &(z y_1)^{\alpha_1-1}\cdots (z y_k)^{\alpha_k-1}\left(z(1-y_1-\cdots-y_k)\right)^{\alpha_{k+1}-1}\exp\left(-z\right)|z^k dy_1 \wedge \cdots \wedge dy_k \wedge dz| \\ &= \left(z^{\alpha_1+\cdots+\alpha_{k+1}-1}\exp\left(-z\right) dz\right)\left( y_1^{\alpha_1-1} \cdots y_k^{\alpha_k-1}\left(1-y_1-\cdots-y_k\right)^{\alpha_{k+1}-1}dy_1 \cdots dy_k\right). }$

That is manifestly a product of a Gamma $(\alpha_1+\cdots+\alpha_{k+1})$ distribution (for $Z$ ) and a Dirichlet $(\mathbf\alpha)$ distribution (for $(Y_1,\ldots, Y_k)$ ). In fact, since the original normalizing constant must have been a product of $\Gamma(\alpha_i)$ , we deduce immediately that the new normalizing constant must be divided by $\Gamma(\alpha_1+\cdots+\alpha_{k+1})$ , enabling the PDF to be written

f_{Y} (y, α) = \frac{Γ (α_{1} + \dots + α_{k + 1})}{Γ (α_{1}) \dots Γ (α_{k + 1})} (y_{1}^{α_{1} - 1} \dots y_{k}^{α_{k} - 1} {(1 - y_{1} - \dots - y_{k})}^{α_{k + 1} - 1}) .

$f_\mathbf{Y}(\mathbf{y},\mathbf{\alpha}) = \frac{\Gamma(\alpha_1+\cdots+\alpha_{k+1})}{\Gamma(\alpha_1)\cdots\Gamma(\alpha_{k+1})}\left( y_1^{\alpha_1-1} \cdots y_k^{\alpha_k-1}\left(1-y_1-\cdots-y_k\right)^{\alpha_{k+1}-1}\right).$

— whuber
সূত্র