কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্য (সিএলটি) থেকে Where কোথা থেকে আসে?

36

কেন্দ্রীয় সীমিত উপপাদ্যের খুব সাধারণ সংস্করণ নীচের মতো যা লিন্ডবার্গ – ল্যাভি সিএলটি। বাম পাশের কেনে is আছে তা আমি বুঝতে পারি না । এবং লিয়াপুনভ সিএলটি বলছে তবে কেন না ? কেউ কি আমাকে বলবেন যে এই কারণগুলি কী, যেমন এবং ? আমরা তাদের উপপাদ্য মধ্যে পাবেন কিভাবে?

\sqrt{n} ((\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}) - μ) \overset{d}{\to} N (0, σ^{2})

$\sqrt{n}\bigg(\bigg(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\bigg) - \mu\bigg)\ \xrightarrow{d}\ \mathcal{N}(0,\;\sigma^2)$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

\frac{1}{s_{n}} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - μ_{i}) \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{1}{s_n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu_i) \ \xrightarrow{d}\ \mathcal{N}(0,\;1)$

\sqrt{s_{n}}

$\sqrt{s_n}$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

\frac{1}{s_{n}}

$\frac{1}{s_n}$

central-limit-theorem intuition

— উড়ন্ত শূকর
সূত্র

3

এটি stats.stackexchange.com/questions/3734 এ ব্যাখ্যা করা হয়েছে । এই উত্তরটি দীর্ঘ, কারণ এটি "অন্তর্দৃষ্টি" চেয়েছে। এটি উপসংহারে আসে, "যদিও এই সরল অনুমানটি বোঝায় যে দে মাইভ্রে কীভাবে মূলত সন্দেহ করতে পেরেছিলেন যে সেখানে সর্বজনীন সীমাবদ্ধ বিতরণ রয়েছে, তার কাজ, এবং সঠিক স্কেল ফ্যাক্টর অবশ্যই to proportion এর সাথে সমানুপাতিক হতে হবে ...

s_{n}

$s_n$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— হোবার

1

স্বজ্ঞাতভাবে, যদি সমস্ত তবে এবং ২ য় লাইনটি প্রথম লাইন থেকে অনুসরণ করে: দ্বারা বিভক্ত (অবশ্যই লিয়াপুনভ শর্ত, সংমিশ্রণ বন্ধ সমস্ত , অন্য একটি প্রশ্ন)

σ_{i} = σ

$\sigma_i=\sigma$

s_{n} = \sqrt{\sum σ_{i}^{2}} = \sqrt{n} σ

$s_n = \sqrt{\sum\sigma_i^2}=\sqrt{n}\sigma$

\sqrt{n} ((\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}) - μ) = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - μ) \overset{d}{\to} N (0, σ^{2})

$\sqrt{n}\bigg(\bigg(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\bigg)-\mu\bigg)=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n \bigg(X_i-\mu\bigg)\xrightarrow{d}\ \mathcal{N}(0,\;\sigma^2)$

σ = \frac{s_{n}}{\sqrt{n}}

$\sigma = \frac{s_n}{\sqrt{n}}$

\frac{\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - μ)}{\frac{s_{n}}{\sqrt{n}}} = \frac{1}{s_{n}} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - μ_{i}) \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n \bigg(X_i-\mu\bigg)}{\frac{s_n}{\sqrt{n}}}=\frac{1}{s_n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu_i)\xrightarrow{d}\ \mathcal{N}(0,\;1)$ $\sigma_i$

— সেক্সটাস এম্পেরিকাস

33

সুন্দর প্রশ্ন (+1) !!

আপনি মনে রাখবেন যে স্বাধীন এবং র্যান্ডম ভেরিয়েবল $X$ এবং $Y$ , $Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)$ এবং $Var(a\cdot X) = a^2 \cdot Var(X)$ । সুতরাং এর বৈকল্পিকতা $\sum_{i=1}^n X_i$ হ'ল $\sum_{i=1}^n \sigma^2 = n\sigma^2$ , এবং $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ হ'ল $n\sigma^2 / n^2 = \sigma^2/n$ ।

এটি বৈকল্পিক জন্য । একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলকে মানক করতে, আপনি এটির মানক বিচ্যুতি দ্বারা ভাগ করুন। আপনি জানেন যে, এর প্রত্যাশিত মান হ'ল , সুতরাং পরিবর্তনশীল $\bar{X}$ $\mu$

\frac{\bar{X} - E (\bar{X})}{\sqrt{V a r (\bar{X})}} = \sqrt{n} \frac{\bar{X} - μ}{σ}

$\frac{\bar{X} - E\left( \bar{X} \right)}{\sqrt{ Var(\bar{X}) }} = \sqrt{n} \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma}$ মান 0 এবং বৈকল্পিকতা প্রত্যাশা করেছে 1 সুতরাং এটি যদি কোনও গাউসির দিকে ঝোঁক থাকে তবে এটি স্ট্যান্ডার্ড গাউসিয়ান । প্রথম সমীকরণে আপনার সূত্রটি সমান। বাম হাতটি by দিয়ে গুণ করে আপনি সেট করেছেন ।

N (0, 1)

$\mathcal{N}(0,\;1)$

σ

$\sigma$

σ^{2}

$\sigma^2$

আপনার দ্বিতীয় দফা প্রসঙ্গে, আমি বিশ্বাস করি সমীকরণ উপরে দেখানো প্রকাশ যে আপনার দ্বারা বিভক্ত করা আছে এবং সমীকরণ প্রমিত করার ব্যাখ্যা কেন আপনি ব্যবহার (এর মূল্নির্ধারক এবং । $\sigma$ $\sqrt{\sigma}$ $s_n$ $\sigma)$ $\sqrt{s_n}$

সংযোজন: @whuber নিয়ে আলোচনা করার জন্য প্রস্তাব দেওয়া কেন দ্বারা স্কেলিং এর । তিনি সেখানে এটি করেন , তবে কারণ উত্তরটি দীর্ঘ দীর্ঘ বলে আমি তার যুক্তিটির প্রয়োজনীয়তা (যা ডি মাইভের চিন্তার পুনর্গঠন) ক্যাপচার চেষ্টা করব। $\sqrt{n}$

আপনি যদি +1 এবং -1 এর একটি বৃহত সংখ্যক যুক্ত করেন তবে প্রাথমিক গণনা অনুসারে যোগফল হওয়ার সম্ভাবনা প্রায় অনুমান করতে পারেন । এই সম্ভাবনার লগটি সমানুপাতিক । তাই আপনি যদি আমরা একটি ধ্রুবক থেকে বিন্দুতে মিলিত উপরে সম্ভাব্যতা চান হিসাবে বৃহৎ থাকে, আমরা একটি স্বাভাবিক ফ্যাক্টর ব্যবহার করতে হবে । $n$ $j$ $-j^2/n$ $n$ $O(\sqrt{n})$

আধুনিক (পোস্ট দে মাইভ্রে) গাণিতিক সরঞ্জামগুলি ব্যবহার করে, আপনি প্রত্যাশিত সম্ভাবনাটি তা লক্ষ্য করে উপরে উল্লিখিত অনুমানটি দেখতে পারেন

P (j) = \frac{(\binom{n}{n / 2 + j})}{2^{n}} = \frac{n!}{2^{n} (n / 2 + j)! (n / 2 - j)!}

$P(j) = \frac{{n \choose n/2+j}}{2^n} = \frac{n!}{2^n(n/2+j)!(n/2-j)!}$

যা আমরা স্ট্রিলিংয়ের সূত্র অনুসারে আনুমানিক

P (j) \approx \frac{n^{n} e^{n / 2 + j} e^{n / 2 - j}}{2^{n} e^{n} (n / 2 + j)^{n / 2 + j} (n / 2 - j)^{n / 2 - j}} = {(\frac{1}{1 + 2 j / n})}^{n + j} {(\frac{1}{1 - 2 j / n})}^{n - j} .

$P(j) \approx \frac{n^n e^{n/2+j} e^{n/2-j}}{2^n e^n (n/2+j)^{n/2+j} (n/2-j)^{n/2-j} } = \left(\frac{1}{1+2j/n}\right)^{n+j} \left(\frac{1}{1-2j/n}\right)^{n-j}.$

\log (P (j)) = - (n + j) \log (1 + 2 j / n) - (n - j) \log (1 - 2 j / n) \sim - 2 j (n + j) / n + 2 j (n - j) / n \propto - j^{2} / n .

$\log(P(j)) = -(n+j) \log(1+2j/n) - (n-j) \log(1-2j/n) \\ \sim -2j(n+j)/n + 2j(n-j)/n \propto -j^2/n.$

— gui11aume
সূত্র

মাইকেল সি এবং লোকের পূর্ববর্তী উত্তরের বিষয়ে আমার মন্তব্যগুলি দেখুন।

— হোবার

প্রথম সমীকরণ (এলএল সিএলটি) এর / বি ? এটি আমাকে বিভ্রান্ত করেছিল যে বৈকল্পিক হিসাবে উপস্থিত হয়েছিল।

\sqrt{n} ((\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}) - μ) \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\sqrt{n}\bigg(\bigg(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\bigg) - \mu\bigg)\ \xrightarrow{d}\ \mathcal{N}(0,\;1)$

σ^{2}

$\sigma^2$

— বি_মিনার

আপনি যদি গড় এবং বৈকল্পিক (মানক বিচ্যুতি নয়) দিয়ে গাউসিয়াকে প্যারামিট্রাইজ করেন তবে আমি বিশ্বাস করি যে ওপির সূত্রটি সঠিক।

— gui11aume

1

আহ .. জেনে নিন যে যদি আমরা দ্বারা আমরা ওপি ( বাতিল) দ্বারা যা দেখানো হয়েছিল তা পেয়েছি : যথা । তবে আমরা জানি যে VAR (aX) = a ^ 2Var (X) যেখানে এই ক্ষেত্রে a = ig এবং ভার (এক্স) 1 তাই বিতরণটি ম্যাথকল al ।

\frac{\bar{X} - E (\bar{X})}{\sqrt{V a r (\bar{X})}} = \sqrt{n} \frac{\bar{X} - μ}{σ} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{\bar{X} - E\left( \bar{X} \right)}{\sqrt{ Var(\bar{X}) }} = \sqrt{n} \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma} \xrightarrow{d}\ \mathcal{N}(0,\;1)$

\frac{\bar{X} - E (\bar{X})}{\sqrt{V a r (\bar{X})}}

$\frac{\bar{X} - E\left( \bar{X} \right)}{\sqrt{ Var(\bar{X}) }}$

σ

$\sigma$

σ

$\sigma$

\sqrt{n} ((\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}) - μ)

$\sqrt{n}\bigg(\bigg(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\bigg) - \mu\bigg)$

σ^{2}

$\sigma^2$

N (0, σ^{2})

$\mathcal{N}(0,\;\sigma^2)$

— বি_মিনার

গুই, খুব দেরি না হলে আমি নিশ্চিত করতে চেয়েছিলাম যে আমার এটি সঠিক ছিল। যদি আমরা ধরে নিই এবং আমরা একটি ধ্রুবক ( ) দ্বারা গুণ করি , এই পরিমাণের প্রত্যাশিত মান (যেমন ), যা শূন্য এখনও E [aX] = a * E [X] => ig * 0 = 0 হিসাবে শূন্য । এটা কি সঠিক?

\frac{\bar{X} - E (\bar{X})}{\sqrt{V a r (\bar{X})}} = \sqrt{n} (\bar{X} - μ) \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{\bar{X} - E\left( \bar{X} \right)}{\sqrt{ Var(\bar{X}) }} = \sqrt{n} ({\bar{X} - \mu}) \xrightarrow{d}\ \mathcal{N}(0,\;1)$

σ

$\sigma$

\sqrt{n} (\bar{X} - μ)

$\sqrt{n} ({\bar{X} - \mu})$

σ

$\sigma$

— বি_মিনার

8

কোন ধরণের বিতরণগুলি এলোমেলো ভেরিয়েবলের অঙ্কের বিতরণকে সীমাবদ্ধ করতে পারে তার একটি দুর্দান্ত তত্ত্ব রয়েছে। সুন্দর উত্স হ'ল পেট্রোভের নিম্নলিখিত বইটি যা আমি ব্যক্তিগতভাবে প্রচুর উপভোগ করেছি।

দেখা যাচ্ছে যে, আপনি যদি এই ধরণের সীমাবদ্ধতাগুলি অনুসন্ধান করছেন যেখানে স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবল, সীমা বন্টন শুধুমাত্র নির্দিষ্ট বিতরণ।

\frac{1}{a_{n}} \sum_{i = 1}^{n} X_{n} - b_{n}, (1)

$\frac{1}{a_n}\sum_{i=1}^nX_n-b_n, \quad (1)$

X_{i}

$X_i$

তখন প্রচুর গণিত ঘুরতে থাকে যা বেশ কয়েকটি উপপাদ্যে ফোটে যা সীমাবদ্ধতায় কী ঘটে তা সম্পূর্ণরূপে বৈশিষ্ট্যযুক্ত। এরকম একটি উপপাদ্য হ'ল ফেলারের কারণে:

উপপাদ্য আসুন স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটা ক্রম হতে বিতরণের ফাংশন হবে এবং ইতিবাচক ধ্রুবক একটি ক্রম হও। নির্দেশ অনুসারে $\{X_n;n=1,2,...\}$ $V_n(x)$ $X_n$ $a_n$

max_{1 \leq k \leq n} P (| X_{k} | \geq ε a_{n}) \to 0, for every fixed ε > 0

$\max_{1\le k\le n}P(|X_k|\ge\varepsilon a_n)\to 0, \text{ for every fixed } \varepsilon>0$

এবং

sup_{x} | P (a_{n}^{- 1} \sum_{k = 1}^{n} X_{k} < x) - Φ (x) | \to 0

$\sup_x\left|P\left(a_n^{-1}\sum_{k=1}^nX_k<x\right)-\Phi(x)\right|\to 0$

এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট

\sum_{k = 1}^{n} \int_{| x | \geq ε a_{n}} d V_{k} (x) \to 0 for every fixed ε > 0,

$\sum_{k=1}^n\int_{|x|\ge \varepsilon a_n}dV_k(x)\to 0 \text{ for every fixed }\varepsilon>0,$

a_{n}^{- 2} \sum_{k = 1}^{n} (\int_{| x | < a_{n}} x^{2} d V_{k} (x) - {(\int_{| x | < a_{n}} x d V_{k} (x))}^{2}) \to 1

$a_n^{-2}\sum_{k=1}^n\left(\int_{|x|<a_n}x^2dV_k(x)-\left(\int_{|x|<a_n}xdV_k(x)\right)^2\right)\to 1$

এবং

a_{n}^{- 1} \sum_{k = 1}^{n} \int_{| x | < a_{n}} x d V_{k} (x) \to 0.

$a_n^{-1}\sum_{k=1}^n\int_{|x|<a_n}xdV_k(x)\to 0.$

এই উপপাদ্যটি তখন আপনাকে দেখতে কেমন হবে তার একটি ধারণা দেয় । $a_n$

বইয়ে সাধারণ তত্ত্ব যেমন ভাবে নির্মাণ করা হয় যে norming ধ্রুবক কোন ভাবেই সীমিত থাকবে, কিন্তু চূড়ান্ত উপপাদ্য যা দিতে প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট শর্ত, ব্যতীত অন্য norming ধ্রুবক জন্য কোন রুম ছেড়ে না । $\sqrt{n}$

— mpiktas
সূত্র

4

s নমুনা গড়ের জন্য নমুনা স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি প্রতিনিধিত্ব করে। s হল নমুনার গড়ের জন্য নমুনা বৈকল্পিক এবং এটি S / n এর সমান । যেখানে S হ'ল জনসংখ্যার বৈচিত্রের নমুনা অনুমান। যেহেতু s = S / যা প্রথম সূত্রে কীভাবে উপস্থিত হয় তা ব্যাখ্যা করে। নোট যদি সীমা থাকে তবে ডিনোমিনেটরে একটি σ থাকবে $_n$ $_n$ $^2$ $_n$ $^2$ $_n$ $^2$ $_n$ $_n$

এন (0,1) তবে সীমাটি এন (0, σ ) হিসাবে দেওয়া হয়েছে । যেহেতু এস একটি নিয়মিত অনুমান σ এটি সেকেন্ড সমীকরণে ব্যবহৃত হয় limit সীমা ছাড়িয়ে। $^2$ $_n$

— মাইকেল আর চেরনিক
সূত্র

প্রশ্নের অন্যান্য (আরও মৌলিক এবং গুরুত্বপূর্ণ) অংশ সম্পর্কে কী: কেন এবং কিছু অন্যান্য ছড়িয়ে ছড়িয়ে ব্যবস্থা নয়?

s_{n}

$s_n$

— হোবার

@ শুভ এটি আলোচনার পক্ষে থাকতে পারে তবে এটি প্রশ্নের অংশ ছিল না। র কেন এবং উপস্থিত হয় তা ওপি কেবল জানতে চেয়েছিল । অবশ্যই এস আছে কারণ এটি for এর জন্য সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং সেই আকারে সিএলটি σ সরিয়ে ফেলা হয়েছে।

_{n}

$_n$

_{n}

$_n$

— মাইকেল আর চেরনিক

1

আমার কাছে এটা সব পরিষ্কার না যে উপস্থিত কারণ এটি "জন্য সামঞ্জস্যপূর্ণ "। এটি কেন বোঝায় না, বলুন যে, চরম-মান পরিসংখ্যানকে (যা কাজ করবে না) স্বাভাবিক করার জন্য ব্যবহার করা উচিত? আমি কি সহজ এবং স্বতঃস্ফূর্ত কিছু মিস করছি? এবং, ওপি প্রতিধ্বনিত করতে, কেন ব্যবহার করবেন না - সর্বোপরি, এটি for এর জন্য সামঞ্জস্যপূর্ণ !

s_{n}

$s_n$

σ

$\sigma$

s_{n}

$s_n$

\sqrt{s_{n}}

$\sqrt{s_n}$

\sqrt{σ}

$\sqrt{\sigma}$

— হোবার

উল্লিখিত উপপাদ্যটি এন (0,1) তে রূপান্তরিত হয়েছে, সুতরাং এটি সম্পাদন করার জন্য আপনাকে হয় জানতে হবে - এবং এটি ব্যবহার করতে হবে বা এটির একটি ধারাবাহিক অনুমান ব্যবহার করতে হবে যা আমার মনে হয় স্লটস্কির উপপাদ্য অনুসারে কাজ করে। আমি কি অস্পষ্ট ছিলাম?

— মাইকেল আর চেরনিক

আমি মনে করি না আপনি অস্পষ্ট ছিলেন; আমি কেবল মনে করি যে একটি গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্ট মিস হতে পারে। সর্বোপরি, অনেক বিতরণের জন্য আমরা পরিবর্তে আইকিউআর ব্যবহার করে সীমাবদ্ধ স্বাভাবিক বন্টন পারি তবে ফলাফলটি ঝরঝরে নয় (সীমিত বন্টনের এসডি আমরা যে বিতরণ শুরু করি তার উপর নির্ভর করে)। আমি কেবল পরামর্শ দিচ্ছি যে এটি ডাকা এবং ব্যাখ্যা করার উপযুক্ত। এটি এমন ব্যক্তির পক্ষে একেবারেই সুস্পষ্ট হবে না যার 40 বছর বয়সের সাথে তারা যে সমস্ত বিতরণ সম্মুখীন হয় তার মান নির্ধারণের অন্তর্দৃষ্টি না জানে!

s_{n}

$s_n$

— হোবার

2

স্বজ্ঞাতভাবে, যদি কিছু আমাদের প্রত্যাশা করা উচিত যে মোটামুটি সমান ; এটিকে বেশ যুক্তিসঙ্গত প্রত্যাশা মনে হয়, যদিও আমি সাধারণভাবে এটি প্রয়োজনীয় মনে করি না। কারণ প্রথম অভিব্যক্তি যে ভ্যারিয়েন্স হয় যায় মত এবং তাই ভ্যারিয়েন্স বৃদ্ধি করা হয়েছে যাতে অভিব্যক্তি মাত্র ভ্যারিয়েন্স রয়েছে সমান । দ্বিতীয় প্রকাশে, শব্দটি হিসাবে সংজ্ঞায়িত হয়েছে $Z_n \to \mathcal N(0, \sigma^2)$ $\sigma^2$ $\mbox{Var}(Z_n)$ $\sigma^2$ $\sqrt n$ $\bar X_n - \mu$ $0$ $\frac 1 n$ $\sqrt n$ $\sigma^2$ $s_n$ $\sqrt{\sum_{i = 1} ^ n \mbox{Var}(X_i)}$ যখন সংখ্যার মতো বৃদ্ধি পায় , তাই আমাদের আবারও রয়েছে যে সম্পূর্ণ অভিব্যক্তির বৈকল্পিকটি একটি ধ্রুবক ( এই ক্ষেত্রে )। $\sum_{i = 1} ^ n \mbox{Var}(X_i)$ $1$

মূলত, আমরা জানি যে interesting বিতরণের সাথে কিছু "আকর্ষণীয়" ঘটছে , তবে আমরা যদি এটি সঠিকভাবে কেন্দ্র করে এবং স্কেল না করি তবে আমরা এটি দেখতে সক্ষম হব না। আমি কখনও কখনও এটি মাইক্রোস্কোপ সামঞ্জস্য করার প্রয়োজন হিসাবে বর্ণিত শুনেছি। যদি আমরা (উদাহরণস্বরূপ) বাই উড়িয়ে না দিই তবে আমাদের কেবল দুর্বল আইন দ্বারা বিতরণ রয়েছে; এটি একটি নিজস্ব আকর্ষণীয় ফলাফল কিন্তু সিএলটি হিসাবে তথ্যপূর্ণ নয়। যদি আমরা দ্বারা ফ্যাক্টর দ্বারা করি তবে আমরা এখনও তবে যে কোনও ফ্যাক্টর যা আধিপত্য করে $\bar X_n := \frac 1 n \sum_i X_i$ $\bar X - \mu$ $\sqrt n$ $\bar X_n - \mu \to 0$ $a_n$ $\sqrt n$ $a_n(\bar X_n - \mu) \to 0$ $a_n$ $\sqrt n$ দেয় । দেখা যাচ্ছে এই ক্ষেত্রে কী চলছে তা দেখতে সক্ষম হবার জন্য যথাযথ বিবর্ধন (দ্রষ্টব্য: এখানে সমস্ত রূপান্তর বিতরণে রয়েছে; আরও একটি স্তর রয়েছে যা প্রায় নিশ্চিত রূপান্তরকরণের জন্য আকর্ষণীয়, যা উত্থান দেয় পুনরুক্তিযুক্ত লগারিদমের আইনে)। $a_n(\bar X_n - \mu) \to \infty$ $\sqrt n$

— লোক
সূত্র

4

আরও মৌলিক প্রশ্ন, যা প্রথমে সম্বোধন করা উচিত, কেন এসডিটি ছত্রাক পরিমাপের জন্য ব্যবহৃত হয়। কেন নয় পরম কেন্দ্রীয় এর কিছু অন্যান্য মান জন্য মুহূর্ত ? বা আইকিউআর বা এর কোনও আত্মীয় কেন নয়? একবার এর উত্তর দেওয়া হয়ে গেলে, তত্ক্ষণাত্ সোহাগুলির সাধারণ বৈশিষ্ট্যগুলি তাত্ক্ষণিকভাবে স্কয়ার্ট নির্ভরতা দেয় (যেমন @ গুই

k^{th}

$k^\text{th}$

k

$k$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— উমে

1

@ যাকে আমি সম্মত করি, এজন্যই আমি এটিকে বৌদ্ধিক হিসাবে উপস্থাপন করেছি। আমি নিশ্চিত নই যে এটি একটি সহজ ব্যাখ্যাতে কার্যকর, যদিও আমি এটি শুনতে পছন্দ করি। আমার পক্ষে আমি নিশ্চিত নই যে আমার একটি সহজ, ব্যাখ্যাযোগ্য কারণ অতীত আছে "কারণ আপনি যখন বোধগম্যতাটি বাদ দেন, তখন চারিত্রিক শব্দটি চারিত্রিক ক্রিয়াটির টেলর সম্প্রসারণের প্রাসঙ্গিক শব্দ।"

— লোক