মিডিয়ানের একটি নিরপেক্ষ অনুমান

ধরুন আমাদের র্যান্ডম ভেরিয়েবল $X$ সমর্থিত আছে যা থেকে আমরা নমুনা আঁকতে পারি। আমরা কীভাবে এর মধ্যম একটি নিরপেক্ষ অনুমান নিয়ে আসতে পারি ? $[0,1]$ $X$

আমরা অবশ্যই কিছু নমুনা তৈরি করতে পারি এবং নমুনা মিডিয়ান নিতে পারি, তবে আমি বুঝতে পারি এটি সাধারণভাবে পক্ষপাতহীন হবে না।

নোট: এই প্রশ্নের সাথে সম্পর্কিত করা হয়, কিন্তু অভিন্ন নয় যোগদান আমার শেষ প্রশ্ন , যা ক্ষেত্রে $X$ শুধুমাত্র আনুমানিক নমুনা যেতে পারে।

sampling

— রবিনসন
সূত্র

উত্তর:

এ জাতীয় অনুমানের অস্তিত্ব নেই।

স্বজ্ঞাততাটি হ'ল মধ্যস্থতা স্থির থাকতে পারে যখন আমরা অবাধে সম্ভাবনার ঘনত্বটি এর উভয় পক্ষের চারপাশে স্থানান্তরিত করতে পারি, যাতে যে কোনও প্রাক্কলনকারীর গড় মূল্য একটি বন্টনের জন্য মধ্যম হয়, তাকে পক্ষপাতী করে তোলে distribution নীচের প্রকাশটি এই স্বজ্ঞাতকে কিছুটা আরও কঠোরতা দেয়।

আমরা ডিস্ট্রিবিউশন ফোকাস অনন্য মধ্যমা থাকার , যাতে সংজ্ঞা দ্বারা এবং সবার জন্য । একটি নমুনা আকার ঠিক করুন এবং যে অনুমান করা অনুমান । (এটি যথেষ্ট হবে যে $F$ $m$ $F(m) \ge 1/2$ $F(x) \lt 1/2$ $x \lt m$ $n \ge 1$ $t: [0,1]^n \to [0,1]$ $m$ $t$ কেবল আবদ্ধ থাকা, তবে সাধারণত কেউ এমন অনুমানকারীকে গুরুত্ব সহকারে বিবেচনা করে না যা স্পষ্টতই অসম্ভব মানগুলি উত্পন্ন করে।) আমরা সম্পর্কে কোনও অনুমান করি না ; এমনকি এটি কোথাও অবিচ্ছিন্ন হতে হবে না। $t$

অর্থ পক্ষপাতিত্বহীন হচ্ছে (এই নির্দিষ্ট নমুনা আকার জন্য) যে $t$

E_{F} [t (X_{1}, \dots, X_{n})] = m

$E_F[t(X_1, \ldots, X_n)] = m$

সহ কোনও আইডির নমুনার জন্য । এই জাতীয় সমস্ত জন্য একটি "নিরপেক্ষ অনুমানক" এই সম্পত্তিটির সাথে এক । $X_i \sim F$ $t$ $F$

ধরুন একটি নিরপেক্ষ অনুমানক উপস্থিত রয়েছে। আমরা একটি বিতরণ বিশেষত সেট সেট এ প্রয়োগ করে একটি দ্বন্দ্ব আনতে হবে। বিবেচনা করুন ডিস্ট্রিবিউশন এই বৈশিষ্ট্য থাকার: $F = F_{x,y,m, \varepsilon}$

; $0 \le x \lt y \le 1$
; $0 \lt \varepsilon \lt (y-x)/4$
; $x + \varepsilon \lt m \lt y - \varepsilon$
; $\Pr(X = x) = \Pr(X = y) = (1-\varepsilon)/2$
; এবং $\Pr(m-\varepsilon \le X \le m+\varepsilon) = \varepsilon$
অভিন্ন। $F$ $[m-\varepsilon, m+\varepsilon]$

এই ডিস্ট্রিবিউশন জায়গা সম্ভাব্যতা এর প্রতিটি এবং এবং সম্ভাবনা একটি ক্ষুদ্র পরিমাণ নিয়মনিষ্ঠভাবে কাছাকাছি স্থাপিত মধ্যে এবং । এটি অনন্য মাঝারি করে তোলে । (আপনি যদি উদ্বিগ্ন হন যে এটি কোনও অবিচ্ছিন্ন বিতরণ নয়, তবে এটি খুব সংকীর্ণ গাউসিয়ান দিয়ে মিশ্রিত করুন এবং ফলাফলটি কেটে দিন : যুক্তিটি পরিবর্তন হবে না)) $(1-\varepsilon)/2$ $x$ $y$ $m$ $x$ $y$ $m$ $F$ $[0,1]$

এখন, কোন স্বীকৃত মধ্যমা মূল্নির্ধারক , একটি সহজ হিসাব দেখায় যে কঠোরভাবে মধ্যে গড় এর মান যেখানে এবং সমস্ত সম্ভাব্য সংমিশ্রণের চেয়ে পৃথক হয় । তবে আমরা $t$ $E[t(X_1, X_2, \ldots, X_n)]$ $\varepsilon$ $2^n$ $t(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ $x_i$ $x$ $y$ $m$ মধ্যে এবং , অন্তত পরিবর্তনের (অবস্থার 2 এবং 3 এর পুণ্য দ্বারা)। সুতরাং এখানে একটি , এবং সেখান থেকে একটি বিতরণ , যার জন্য এই প্রত্যাশাটি মধ্যম, কিউইডি সমান হয় না । $x + \varepsilon$ $y - \varepsilon$ $\varepsilon$ $m$ $F_{x,y,m,\varepsilon}$

— whuber
সূত্র

(+1) চমৎকার প্রমাণ। আপনি কি এটি নিয়ে এসেছেন, বা এটি গ্রেড স্কুল থেকে আপনার মনে পড়ে এমন কিছু?

— StasK

এখানে অন্য প্রমাণ রয়েছে: বেশিরভাগ বার্নোল্লি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মাঝারি

বা

। থেকে অনুমান

বিচারের শুধুমাত্র ছেদচিহ্ন উপর মূল্নির্ধারক গড় মান উপর নির্ভর করে

সঙ্গে

, এবং এই গড় মূল্যবোধের ওজন একটি বহুপদী হয়

ডিগ্রী

। এই একটি পক্ষপাতিত্বহীন মূল্নির্ধারক হয়, তাহলে এটি গড় মান থাকা আবশ্যক

কোন

, এবং তুলনায় আরো আছে

ধরনের মান

0

$0$

1

$1$

n

$n$

[0, 1]^{n}

$[0,1]^n$

k

$k$

p

$p$

n

$n$

1

$1$

p > 1 / 2

$p \gt 1/2$

n + 1

$n+1$

p

$p$ সুতরাং, এই বহুপদী অবশ্যই ধ্রুবক হতে হবে ... তবে এটি

নিম্ন মানের উপর

হওয়া উচিত , সুতরাং এটিও পক্ষপাতহীন হতে পারে না।

0

$0$

p

$p$

— ডগলাস জারে

@ ডগলাস এটি একটি দুর্দান্ত প্রমাণ। আমি কিছু মানুষ, তার প্রযোজ্যতা পরিধি সম্পর্কে সামান্য অস্বস্তিকর মনে হতে পারে যদিও, কারণ একটি বের্নুলির পরিবর্তনশীল জন্য মধ্যমা কিছুটা বিশেষ, তার দুই সমর্থন পয়েন্ট এক সঙ্গে সমাপতনিক হচ্ছে সন্দেহ (-setup যখন

)। পাঠকরা এটিকে "প্যাথলজিকাল" হিসাবে ঘোষণার জন্য প্রলুব্ধ হতে পারেন এবং তাদের ডোমেনগুলিতে সর্বত্র ইতিবাচক ঘনত্বের সাথে কেবল অবিচ্ছিন্ন বিতরণগুলি দেখে এই জাতীয় দানবদের নিষিদ্ধ করার চেষ্টা করতে পারেন। এ কারণেই আমি দেখানোর জন্য যত্ন নিয়েছিলাম যে এই জাতীয় প্রচেষ্টা ব্যর্থ হবে।

p = 1 / 2

$p=1/2$

— হোবার

প্যারামেট্রিক মডেল না করে নিরপেক্ষ আনুষাঙ্গিক সন্ধান করা কঠিন হবে! তবে আপনি বুটস্ট্র্যাপিং ব্যবহার করতে পারেন এবং অনুমানিক ভিত্তিক আনুমানিক আনার জন্য এম্পিরিকাল মিডিয়ানটিকে সংশোধন করতে এটি ব্যবহার করতে পারেন।

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন en
সূত্র

এটি যদি অসম্ভব হয় তবে এটি কি প্রমাণ করা সম্ভব? উদাহরণস্বরূপ, যদি

থেকে স্বাধীন নমুনা আছে

তারপর এক যে প্রমাণ করতে পারেন

না কোন পছন্দ জন্য নিরপেক্ষ হতে পারে

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

$X_1, X_2, \ldots, X_n$

X

$X$

f (X_{1}, \dots, X_{n})

$f(X_1, \ldots, X_n)$

f

$f$

— রবিনসন

I think kjetil is saying that in a nonparametric framework there is no method that will give an unbiased estimate for every possible distribution. But in the parametric framework you probably could. Bootstrapping a biased sample estimate can allow you to estimate the bias and adjust it to get a bootstrap estimate that is nearly unbiased. That was his suggestion for handling the problem in the nonparametric framework. Proving that an unbiased estimate is not possible would also be difficult.

— Michael R. Chernick

If you really want to try to prove that there do not exist an unbiased estimator, there is a book, Ferguson: "Mathematical Statistics - A Decision Theoretic Approach" which do have some examples of that kind of thing!

— kjetil b halvorsen

I imagine that the regularity conditions for the bootstrap will be violated with the distribution functions that whuber considers in his answer. Michael, can you comment?

— StasK

@Stas As I pointed out, my functions can be made to look very "nice" by mollifying them. They can also be generalized to mollifications of large finite mixtures of atoms. The class of such distributions is dense in all distributions on the unit interval, so I don't think bootstrap regularity would be involved here.

— whuber

I believe quantile regression will give you a consistent estimator of the median. Given the model $Y = \alpha + u$ . And you want to estimate $\text{med}(y) = \text{med}(\alpha + u) = \alpha + \text{med}(u)$ since $\alpha$ is a constant. All you need is the $\text{med}(u) = 0$ which should be true so long as you have independent draws. However, as far as unbiasedness, I don't know. Medians are difficult.

— ফ্রান্সিস
সূত্র

@ শুভর জবাব দেখুন

— পিটার